高中数学复习典型题专题训练72---平行与垂直关系综合证明

高中数学复习典型题专题训练72

【例1】 已知PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面， ,E F 分别是PB 和AC 的中点，

求证：①EF ∥平面PAD ；②EF AB ⊥

I H G F

E D

C

B

A P

【例2】 （2008新课标江苏16）

如图，在四面体ABCD 中，CB CD =，AD BD ⊥，点E 、F 分别是AB 、BD 的中点．求证：⑴直线EF ∥面ACD ；⑵面EFC ⊥面BCD ．

F D

E

A

B C

【例3】 已知：四棱锥P ABCD -，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，90A ∠=o ，

且AB CD ∥，1

2

AB CD =，点F 为线段PC 的中点．

典例分析

板块五.平行与垂直关系综合

证明

E

F

D

C

B

A

P

⑴求证：BF ∥平面PAD ； ⑵求证：BF CD ⊥．

【例6】 （2010年二模·丰台·文·题16）

如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是菱形，SA ABCD ⊥底面，M 为SA 的

中点，N 为CD 的中点．

⑴ 证明：平面SBD ⊥平面SAC ；

⑵ 证明：直线MN SBC 平面‖．

N

M

S

D

C

B

A

【例7】 （2010年二模·朝阳·文·题17）

如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，AC 与BD 的交点为O ．

⑴求证：SO ⊥平面ABCD ；

⑵已知E 为侧棱SC 上一个动点． 试问对于SC 上任意一点E ，平面BDE 与平面SAC 是否垂直？若垂直，请加以证明；若不垂直，请说明理由．

O

S

A

B

C

D

E

【例8】 如图，已知PA O ⊥⊙所在的平面，AB 是O ⊙的直径，2AB =，C 是O ⊙上一点，

且AC BC =，PC 与O ⊙所在的平面成45︒角，E 是PC 中点．F 为PB 中点． ⑴求证：EF ABC 面∥；⑵求证：EF PAC ⊥面；⑶求三棱锥B PAC -的体积．

O F

E

C

A

P

【例9】 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，EF ⊥1A D ，EF ⊥AC ，求证：⑴1BD ⊥平

面11A C D ；⑵1//EF BD ．

F

E

A

B

C

D A 1

B 1

C 1

D 1

【例10】 （2010年一模·石景山·文·题17）

如图，已知直三棱柱111ABC A B C -，90ACB ∠=︒，2AC BC ==，14AA =．E 、

F 分别是棱1CC 、AB 中点．

⑴求证：CF ⊥1BB ；

⑵求四棱锥1A ECBB -的体积；

⑶判断直线CF 和平面1AEB 的位置关系，并加以证明．

C 1

B 1

A 1

F

E

C

B

A

【例11】 （2010年二模·西城·文·题17）

如图，已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，侧棱1BB ⊥底面ABCD ，E 是侧棱1CC 的中点．

⑴ 求证：AC ⊥平面11BDD B ； ⑵ 求证：AC ⊥平面1B DE ．

【例13】 如图所示，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，DB BC =， DB AC ⊥，点M 是棱1

BB 上一点．

⑴求证：11B D ∥面1A BD ；

⑵求证：MD AC ⊥．

⑶试确定点M 的位置，使得平面1DMC ⊥平面11CC D D ．

M

D 1

C 1

B 1

A 1

D

C

B

A

【例14】 （2009山东文18）

如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为等腰梯形，AB CD ∥，4AB =

2BC CD ==，12AA =，E ，1E 分别是棱AD ，1AA 的中点．

⑴设F 是棱AB 的中点，证明：直线1EE ∥平面1FCC ； ⑵证明：平面1D AC ⊥平面11BB C C ．

D 1

E

E 1

F

C 1

B 1

A 1

D

C

B

A

【例15】 如图，已知111A B C ABC -是正三棱柱，D 是AC

的中点，11AB ==，

⑴证明：BD ⊥平面11ACC A ，1//AB 平面1BDC ； ⑵求点D 到平面11BCC B 的距离． ⑶证明：11AB BC ⊥．

D C

B

A A 1

B 1

C 1

【例16】 （2006天津）

如图，在五面体ABCDEF 中，点O 是矩形ABCD 的对角线的交点，面CDE 是等边

三角形，棱1

2

EF BC ∥．

⑴证明FO ∥平面CDE ；

⑵设BC ，证明：EO ⊥平面CDF ．

O

F

E

D

C

B

A

【例17】 （2009江苏高三调研）

如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11AB BC BC BC AB BC ⊥⊥=，，，E F G ，，分别

为线段1111AC AC BB ，，的中点，求证：⑴平面ABC ⊥平面1ABC ；⑵EF ∥面11BCC B ；⑶GF ⊥平面11AB C ．

C 1

B 1

A 1

G

F

E C

B A

【例18】 如图，ABC ∆为正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD CE ∥，2CE CA BD ==，M 是EA

的中点，

求证：⑴DE DA =；⑵平面BDM ⊥平面ECA ；⑶平面DEA ⊥平面ECA ．