第25讲 简单的三角恒等变换(达标检测)(学生版) 备战2021年新高考数学考点精讲与达标测试
2021年高考数学 第三章 第4课时 简单的三角恒等变换知能演练轻松闯关 新人教A版
2021年高考数学 第三章 第4课时 简单的三角恒等变换知能演练轻松闯关 新人教A 版1.sin 20°cos 20°cos 50°＝( )A ．2B ．22C ． 2D ．12解析：选D ．sin 20°cos 20°cos 50°＝12sin 40°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12.2．若sin α＝45，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－22cos α＝( ) A ．225B ．－225C ．425D ．－425解析：选A ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－22cos α＝sin αcos π4＋cos α·sin π4－22cosα＝45×22＝225. 3．在△ABC 中，tan B ＝－2，tan C ＝13，则A 等于( )A ．π4B ．3π4C ．π3D ．π6解析：选A．tan A＝tan[π－(B＋C)]＝－tan(B＋C)＝－tan B＋tan C1－tan Btan C＝－－2＋131－（－2）×13＝1.故A＝π4.4.sin（180°＋2α）1＋cos 2α·cos2αcos（90°＋α）等于( )A．－sin αB．－cos αC．sin αD．cos α解析：选D．原式＝（－sin 2α）·cos2α（1＋cos 2α）·（－sin α）＝2sin α·cos α·cos2α2cos2α·sin α＝cos α.5．(xx·浙江杭州调研)已知tan(α＋π4)＝12，且－π2＜α＜0，则2sin2α＋sin 2αcos（α－π4）＝( )A．－255B．－3510C．－31010D．255解析：选A．由tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝12，得tan α＝－13.又－π2＜α＜0，所以sin α＝－10 10.6．设α是第二象限角，tan α＝－43，且sin α2＜cos α2，则cos α2＝________．解析：∵α是第二象限角，∴α2可能在第一或第三象限．又sin α2＜cos α2，∴α2为第三象限角，∴cos α2＜0.∵tan α＝－43，∴cos α＝－35，∴cos α2＝－1＋cos α2＝－55. 答案：－557．若sin x ＋cos x sin x －cos x＝3，tan(x －y )＝2，则tan(y －2x )＝________．解析：由sin x ＋cos x sin x －cos x ＝3，得tan x ＋1tan x －1＝3，即tan x ＝2.则tan(y －x )＝－tan(x －y )＝－2，∴tan(y －2x )＝tan （y －x ）－tan x 1＋tan （y －x ）tan x ＝－2－21－4＝43.答案：438.2cos 5°－sin 25°sin 65°的值为________．解析：2cos 5°－sin 25°sin 65°＝2co s 5°－sin（30°－5°）sin 65°＝2cos 5°－12cos 5°＋32sin 5°cos 25°＝32sin 5°＋32cos 5°cos 25°＝3（sin 30°sin 5°＋cos 30°cos 5°）cos 25°＝3cos 25°cos 25°＝ 3.答案：39．已知tan α＝－13，cos β＝55，α∈(π2，π)，β∈(0，π2)，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．解：由cos β＝55，β∈(0，π2)，得sin β＝255，tan β＝2.∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－13＋21＋23＝1.∵α∈(π2，π)，β∈(0，π2)，∴π2＜α＋β＜3π2，∴α＋β＝5π4.10．求值：1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°⎝⎛⎭⎪⎫1tan 5°－tan 5°.解：原式＝2cos210°2×2sin 10°cos 10°－sin 10°⎝⎛⎭⎪⎫cos 5°sin 5°－sin 5°cos 5°＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos25°－sin25°sin 5°cos 5°＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 10°12sin 10°＝cos 10°2sin 10°－2cos 10°＝cos 10°－2sin 20°2sin 10°＝cos 10°－2sin（30°－10°）2sin 10°＝cos 10°－2⎝⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°2sin 10°＝3sin 10°2sin 10°＝32.[能力提升]1．tan 70°·cos 10°(3t an 20°－1)等于( ) A．1 B．2C．－1 D．－2＝sin 70°cos 70°·cos 10°(3·sin 20°cos 20°－1)＝cos 20°cos 10°sin 20°·3sin 20°－cos 20°cos 20°＝cos 10°·2sin（20°－30°）sin 20°＝－sin 20°sin 20°＝－1.2．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －b C ．若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314，0＜β＜α＜π2，则β等于( )A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3解析：选D ．依题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝3314，又0＜β＜α＜π2，∴0＜α－β＜π2，故cos(α－β)＝1－sin 2（α－β）＝1314， 而cos α＝17，∴sin α＝437，于是sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝437×1314－17×3314＝32. 故β＝π3.3．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且2sin 2α－sin α·cos α－3cos 2α＝0，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4sin 2α＋cos 2α＋1＝________．解析：∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且2sin 2α－sin αcos α－3cos 2α＝0，则(2sin α－3cos α)(sin α＋cos α)＝0，即2sin α＝3cos α.又sin 2α＋cos 2α＝1，∴cos α＝213， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4sin 2α＋cos 2α＋1＝22（sin α＋cos α）（sin α＋cos α）2＋（－sin 2α＋cos 2α）＝268. 答案：2684．若α、β是锐角，且sin α－sin β＝－12，cos α－cos β＝12，则tan(α－β)＝________．解析：∵sin α－sin β＝－12，cos α－cos β＝12，两式平方相加得：2－2cos αcos β－2sin αsin β＝1 2，即2－2cos(α－β)＝12，∴cos(α－β)＝34.∵α、β是锐角，且sin α－sin β＝－12＜0，∴0＜α＜β＜π2.∴－π2＜α－β＜0.∴sin(α－β)＝－1－cos2（α－β）＝－7 4 .∴tan(α－β)＝sin（α－β）cos（α－β）＝－73.答案：－7 35．已知函数f(x)＝1－2sin⎝⎛⎭⎪⎫2x－π4cos x.(1)求函数f(x)的定义域；(2)设α是第四象限角，且tan α＝－43，求f(α)的值．解：(1)函数f (x )要有意义，需满足cos x ≠0，解得x ≠π2＋kπ，k ∈Z ，即f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ≠π2＋kπ，k ∈Z . (2)∵f (x )＝1－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4cos x＝1－2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin 2x －22cos 2x cos x＝1＋cos 2x －sin 2xcos x＝2cos 2x －2sin x cos x cos x＝2(cos x －sin x )，由tan α＝－43得sin α＝－43cos α，又sin 2α＋cos 2α＝1，∴cos 2α＝925.∵α是第四象限的角，∴cos α＝35，sin α＝－45，∴f (α)＝2(cos α－sin α)＝145. 6．(选做题)已知0＜α＜π2＜β＜π，tanα2＝12，cos(β－α)＝210. (1)求sin α的值；(2)求β的值．解：(1)∵tanα2＝12， ∴tan α＝2tanα21－tan 2 α2＝2×121－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝43，由⎩⎨⎧sin αcos α＝43，sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin α＝45(sin α＝－45舍去)．(2)由(1)知cos α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35，又0＜α＜π2＜β＜π，∴β－α∈(0，π)，而cos(β－α)＝210， ∴sin(β－α)＝1－cos 2（β－α）＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2102＝7210，于是sin β＝sin[α＋(β－α)]＝sin αcos(β－α)＋cos αsin(β－α) ＝45×210＋35×7210＝22.精品文档实用文档 又β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴β＝3π4.28397 6EED 滭35625 8B29 謩d 20529 5031 倱39921 9BF1 鯱j,39113 98C9 飉4634732 87AC 螬36796 8FBC 込uD。
2021年高考数学 3.6 简单的三角恒等变换练习
2021年高考数学 3.6 简单的三角恒等变换练习 (25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(xx·长治模拟)已知cos,α∈(0,2π),则sin =( )【解析】选A.角是的2倍,所以因为α∈(0,2π),所以∈(0,),所以sin=2.化简: =()A.sin2αB.tan2αC.sin2D.tan2【解题提示】用二倍角公式化简,α是的二倍.【解析】选D.原式=故选D.3.(xx·长沙模拟)函数f(x)=sin x-cos(x+)的值域为()A.[-2,2]B.[-, ]C.[-1,1]D.[-, ]【解析】选B.f(x)=sin x-cos x+sin x= (sin x-cos x)= sin(x-).x∈R,所以x-∈R,所以f(x)∈[-,],故选B.4.(xx·哈尔滨模拟)设函数f(x)=sin(2x+)+cos(2x+),则()A.y=f(x)在(0, )内单调递增,其图象关于直线x=对称B.y=f(x)在(0, )内单调递增,其图象关于直线x=对称C.y=f(x)在(0, )内单调递减,其图象关于直线x=对称D.y=f(x)在(0, )内单调递减,其图象关于直线x=对称【解析】选D.因为f(x)=sin(2x+)+cos(2x+)=sin(2x++)=cos2x,所以f(x)在(0, )内单调递减,且图象关于x=对称.【加固训练】(xx·郑州模拟)已知函数f(x)=sin(-x)-cos(x+),x∈R,则f(x)()A.周期为π,且图象关于点(,0)对称B.最大值为2,且图象关于点(,0)对称C.周期为2π,且图象关于点(-,0)对称D.最大值为2,且图象关于x=对称【解析】选B.f(x)=sin(-x)-cos(x+)因为x∈R,所以x-∈R,所以-1≤sin(x-)≤1,则f(x)的最大值为2.因为ω=1,所以周期T==2π.当x-=kπ(k∈Z)时,f(x)图象关于某一点对称,所以当k=0时,求出x=,即f(x)图象关于(,0)中心对称,故选B.5.(xx·临沂模拟)已知函数f(x)=sin x+2cos2,设,则a,b,c的大小关系是()A.a<b<cB.c<a<bC.b<a<cD.b<c<a【解题提示】先化简函数f(x)的解析式,再利用其单调性比较大小.【解析】选B.f(x)=1cos xsin x3sin x2sin(x)23+π+=+=+因为函数f(x)在[0,]上单调递增,所以,而c==2sin +=2sin +=f(0)< ,所以c<a<b.【误区警示】解答本题易误选A,出现错误的原因是不化简函数解析式,直接由自变量的大小判断a,b,c的大小.6.(xx·郑州模拟)设函数f(x)= cos(2x+φ)+sin(2x+φ)(|φ|<),且其图象关于直线x=0对称,则()A.y=f(x)的最小正周期为π,且在(0, )上为增函数B.y=f(x)的最小正周期为π,且在(0, )上为减函数C.y=f(x)的最小正周期为,且在(0,)上为增函数D.y=f(x)的最小正周期为,且在(0,)上为减函数【解析】选B.f(x)= cos(2x+φ)+sin(2x+φ)=2[cos(2x+φ)+sin(2x+φ)]=2cos(2x+φ-),因为ω=2,所以T==π,又函数图象关于直线x=0对称,所以φ-=kπ(k∈Z),即φ=kπ+ (k∈Z),又|φ|<,所以φ=,所以f(x)=2cos 2x,令2kπ≤2x≤2kπ+π(k∈Z),解得:kπ≤x≤kπ+ (k∈Z),所以函数的递减区间为[kπ,kπ+ ](k∈Z),又(0, )[kπ,kπ+](k∈Z),所以函数在(0, )上为减函数,则y=f(x)的最小正周期为π,且在(0, )上为减函数,故选B.7.(xx·赤峰模拟)已知函数f(x)= sin 2x+cos 2x-m在[0, ]上有两个零点x1,x2,则tan的值为()【解析】选D.因为f(x)= sin 2x+cos 2x-m=2(sin 2x+cos 2x)-m=2sin(2x+)-m,因为x∈[0, ],所以2x+∈[,],所以-≤sin(2x+)≤1,所以-1≤2sin(2x+)≤2,因为f(x)= sin 2x+cos 2x-m在[0, ]上有两个零点x1,x2,所以直线y=m与y=sin 2x+cos 2x在[0, ]上有两个交点,如图:所以x1+x2=,所以故选D.二、填空题(每小题5分,共15分)8.函数y=sin42x-cos42x的最小正周期是.【解析】y=sin42x-cos42x=(sin22x+cos22x)(sin22x-cos22x)=-cos 4x,所以最小正周期T=答案:9.(xx·长春模拟)函数f(x)=2sin的最大值为.【解析】因为f(x)=2x x x13sin cos sin222231cos x1222sin(x),6=-+-=-+π=+所以f(x)max=1.答案:1【加固训练】(xx ·咸阳模拟)函数y=4cos2+1,x ∈[-π,π]的最小值是 .【解析】y=因为x ∈[-π,π],所以,所以ymin=3.答案:310.(xx ·南宁模拟)设a=sin 14°+cos 14°,b=sin 16°+cos 16°,c=.则a,b,c 按从小到大的顺序排列为 .【解析】a=sin 14°+cos 14°=sin 59°,b=sin 16°+cos 16°=sin 61°,c==sin 60°.因为59°<60°<61°,所以sin 59°<sin 60°<sin 61°,所以a<c<b.答案:a<c<b(20分钟 40分)1.(5分)(xx ·铜陵模拟)已知α为第二象限角,sin α+cos α=,则cos 2α=()【解析】选A.因为sin α+cos α=,所以(sin α+cos α)2=,所以2sin αcos α=-,即sin 2α=-.又因为α为第二象限角且sin α+cos α=>0,所以2k π+ <α<2k π+ (k ∈Z),所以4k π+π<2α<4k π+ (k ∈Z),所以2α为第三象限角,所以cos 2α=【一题多解】本题还可用如下方法求解:sin α+cos α=两边平方,得1+2sin αcos α=,所以2sin αcos α=-.因为α为第二象限角,所以sin α>0,cos α<0,所以sin α-cos α=由得所以cos 2α=2cos2α-1=-.【加固训练】(xx ·六安模拟)已知2sin θ=1+cos θ,则tan 等于( )A.2B.C.或不存在D.不存在【解析】选C.当1+cos θ=0时,tan 不存在.当1+cos θ≠0时,sinsin cos 2sin cos sin 122222tan .21cos 2cos cos cos 2cos cos 22222θθθθθθθ=====θθθθθ+θ 2.(5分)(xx ·上海高考)设常数a 使方程sin x+cos x=a 在闭区间[0,2π]上恰有三个解x1,x2,x3,则x1+x2+x3= .【解析】设f(x)=sin x+cos x=2sin(x+),因为x∈[0,2π],所以x+∈[,2π+],根据方程恰有三个解,结合三角函数图象易得x1=0,x2=,x3=2π,所以x1+x2+x3=.答案:3.(5分)(xx·西安模拟)设当x=θ时,函数f(x)=sin x-2cos x取得最大值,则cosθ=.【解题提示】用辅助角公式求解,注意辅助角φ的正、余弦值.【解析】f(x)=sin x-2cos x=sin(x+φ),其中tanφ=-2,当x+φ=2kπ+时,函数f(x)取得最大值,即θ=2kπ+-φ.所以cosθ=cos(-φ)=sinφ,又因为tanφ=-2,φ在第四象限,所以sinφ=-,即cosθ=-.答案:-4.(12分)(xx·保定模拟)已知函数f(x)=sin cos +cos 2-1.(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间.(2)求函数f(x)在上的最小值.【解析】(1)f(x)=sin cos + -1=sin x+cos x-=sin(x+)-.所以函数f(x)的最小正周期为2π.由2kπ+≤x+≤2kπ+,k∈Z,得2kπ+≤x≤2kπ+.则函数f(x)的单调递减区间是[2kπ+,2kπ+],k∈Z.(2)由≤x≤,得≤x+≤.则当x+=,即x=时,f(x)取得最小值【加固训练】已知函数f(x)=cos 4x-2sin xcos x-sin4x.(1)求f(x)的最小正周期.(2)求f(x)的单调区间.(3)若x∈[0,],求f(x)的最大值及最小值.【解析】(1)f(x)=(cos 2x-sin 2x)(cos 2x+sin 2x)-sin 2x=cos 2x-sin 2x=cos (2x+),所以最小正周期T==π.(2)由2kπ-π≤2x+≤2kπ,k∈Z,得kπ-π≤x≤kπ-,k∈Z,所以函数f(x)的单调增区间为[kπ-π,kπ-π](k∈Z).由2kπ≤2x+≤2kπ+π,k∈Z.得kπ-π≤x≤kπ+π,k∈Z,所以函数f(x)的单调减区间为[kπ-π,kπ+π](k∈Z).(3)因为0≤x≤,所以≤2x+≤,所以-1≤cos (2x+)≤,所以-≤f(x)≤1.所以当x=0时,f(x)有最大值为1,当x=π时,f(x)有最小值为-.5.(13分)(能力挑战题)某居民小区内建有一块矩形草坪ABCD,AB=50米,BC=25米,为了便于居民平时休闲散步,该小区物业管理公司将在这块草坪内铺设三条小路OE,EF和OF,考虑到小区整体规划,要求O是AB 的中点,点E 在边BC 上,点F 在边AD 上,且OE ⊥OF,如图所示.(1)设∠BOE=α,试将△OEF 的周长l 表示成α的函数关系式,并求出此函数的定义域.(2)经核算,三条路每米铺设费用均为400元.试问如何设计才能使铺路的总费用最低?并求出最低总费用.【解题提示】(1)由题意可知∠OFA=α,利用直角三角形中边角的关系列式,结合图形求定义域.(2)利用换元法求最值,要注意α的范围.【解析】(1)在Rt △BOE 中,OE=,在Rt △AOF 中,OF=.在Rt △OEF 中,EF=当点F 在点D 时,角α最小,α=,当点E 在点C 时,角α最大,α=,所以l=定义域为[,].(2)设t=sin α+cos α,α∈[,],所以()))225t 150501,501,t 1t 12+⎡⎤==∈⎣⎦--l 所以当α=时, lmin=50(+1),总费用最低为20 000(+1)元.' 21021 521D 初36649 8F29 輩[33523 82F3 苳 s-25124 6224 戤33077 8135 脵>@<。
三角恒等变换(试题部分)
4.3三角恒等变换探考情悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题例如考向关联考点两角和与差的三角函数1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式,会用二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.2021浙江,18,14分两角差的余弦公式任意角的三角函数的定义、诱导公式★★☆2021浙江,16,14分二倍角公式解三角形2021浙江,16,14分二倍角公式正弦定理简单的三角恒等变换能利用两角和与差的三角函数公式以及二倍角公式进行简单的三角恒等变换.2021浙江,18,14分二倍角公式三角函数的性质★★★2021浙江,10,6分三角恒等变换分析解读 1.对本节内容的考查仍以容易题和中等难度题为主.2.主要考查两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,以及运用上述公式进行简单的恒等变换(例:2021浙江,10).3.对三角恒等变换的考查往往与解三角形、向量知识综合在一起.4.预计2021年高考试题中,三角恒等变换仍是考查的重点,复习时应高度重视.破考点练考向【考点集训】考点一两角和与差的三角函数1.(2021浙江台州中学一模,2)计算:sin5°cos55°-cos175°sin55°的结果是()A.-12B.12C.-√32D.√32答案D2.(2021浙江杭州二中期中,15)假设α满足sin(α+20°)=cos(α+10°)+cos(α-10°),那么tanα=.答案 √3考点二 简单的三角恒等变换1.(2021课标全国Ⅱ理,10,5分)α∈(0,π2),2sin 2α=cos 2α+1,那么sin α=( )A.15B.√55C.√33D.2√55答案 B2.(2021浙江镇海中学期中,7)sin (π6-α)=-√23,那么cos 2α+√3sin 2α=( )A.109B.-109C.-59D.59答案 A3.(2021届山东夏季高考模拟,14)cos (α+π6)-sin α=4√35,那么sin (α+11π6)= .答案 -454.(2021届浙江镇海中学期中,18)f(x)=sin x 2·(cos x 2+sin x 2)+a 的最大值为√22.(1)求实数a 的值;(2)假设f (α+π4)+f (α-π4)=√23,求√2sin (2α-π4)+11+tanα的值. 解析 此题考查三角恒等变换以及三角函数式的求值;考查学生运算求解的能力;考查了数学运算的核心素养.(1)f(x)=sin x 2cos x 2+sin 2x 2+a=12(2sin x 2cos x 2)+12(1-cos x)+a=12sin x-12cos x+a+12=√22sin (x -π4)+a+12,当x=2kπ+3π4(k ∈Z)时,sin (x -π4)=1, f(x)取得最大值为√22+a+12,结合条件,可知a=-12.(2)√2sin (2α-π4)+11+tanα=sin2α-cos2α+11+sinαcosα=2sinαcosα+sin 2α-cos 2α+sin 2α+cos 2αcosα+sinαcosα=2sin αcos α①,由(1)知f(x)=√22sin (x -π4),那么f (α+π4)=√22sin α, f (α-π4)=-√22cos α,结合条件,可知sin α-cos α=23, 又因为sin 2α+cos 2α=1,所以2sin αcos α=59②,由①②得√2sin (2α-π4)+11+tanα=59.炼技法 提能力 【方法集训】方法1 三角函数式的化简方法1.tan α=2 018tan π2 018,那么sin (α+2 017π2 018)sin (α+π2 018)=( )A.-1B.1C.-2 0172 019D.2 0172 019答案 C2.化简(sin θ2-cos θ2)√2+2cosθ(0<θ<π)= .答案 -cos θ3.(2021届浙江绍兴一中期中,18)函数f(x)=cos x(msin x+cos x),且满足f (π4)=1.(1)求m 的值;(2)假设x ∈[0,π4],求f(x)的最大值和最小值,并求出相应的x 的值.解析 此题考查三角恒等变换以及三角函数式的化简、三角函数最值的求法;考查数学运算求解的能力;考查了数学运算的核心素养.(1)f (π4)=cos π4(msin π4+cos π4)=√22(√22m +√22)=1⇒m=1.(2)f(x)=cos x(sin x+cos x)=12sin 2x+12cos 2x+12=√22sin (2x +π4)+12,因为x ∈[0,π4],所以2x+π4∈[π4,3π4],因此当2x+π4=π4或2x+π4=3π4时, f(x)min =1,此时x=0或x=π4.当2x+π4=π2时, f(x)max =√2+12,此时x=π8.方法2 三角函数式的求值方法1.(2021浙江台州中学一模,15)α,β为锐角,tan α=43,cos(α+β)=-√55,那么cos 2α= ,tan(α-β)= .答案 -725;-2112.(2021安徽江南十校联考改编,14)sinα·cosα1+3cos 2α=14,且tan(α+β)=13,其中β∈(0,π),那么β的值为 .答案3π43.(2021届浙江慈溪期中,16)α∈(0,π2)且tan 2α=43,那么tan (α+π4)tan (α-π4)的值等于 .答案 -9方法3 利用辅助角公式解决问题的方法1.(2021浙江诸暨期末,18)函数f(x)=-2√3sin 2x+2sin xcos x. (1)求函数f(x)在区间[0,π2]上的值域;(2)设α∈(0,π),f (α2)=12-√3,求cos α的值.解析 (1)f(x)=-2√3·1−cos2x2+sin 2x =sin 2x+√3cos 2x-√3 =2sin (2x +π3)-√3,∵x ∈[0,π2],∴2x+π3∈[π3,4π3], ∴sin (2x +π3)∈[-√32,1],∴f(x)∈[-2√3,2-√3].(2)∵f(α2)=2sin(α+π3)-√3=12-√3,∴sin(α+π3)=14.又∵α∈(0,π),∴α+π3∈(π3,4π3),∴α+π3必在第二象限,∴cos(α+π3)=-√154,∴cosα=cos[(α+π3)-π3]=cos(α+π3)cosπ3+sin(α+π3)sinπ3=-√154×12+14×√32=√3-√158.2.(2021浙江“七彩阳光〞联盟期初联考,18)f(x)=2√3cos2x+sin2x-√3+1(x∈R).(1)求f(x)的单调增区间;(2)当x∈[-π4,π4]时,求f(x)的值域.解析由题可知f(x)=sin2x+√3(2cos2x-1)+1=sin2x+√3cos2x+1=2sin(2x+π3)+1.(1)令2kπ-π2≤2x+π3≤2kπ+π2,k∈Z,即2kπ-5π6≤2x≤2kπ+π6,k∈Z,∴kπ-5π12≤x≤kπ+π12,k∈Z,∴函数f(x)的单调增区间为[kπ-5π12,kπ+π12](k∈Z).(2)∵x∈[-π4,π4],∴2x+π3∈[-π6,5π6],∴sin(2x+π3)∈[-12,1],∴f(x)∈[0,3].3.(2021届浙江湖州、衢州、丽水三地联考,18)平面向量a=(√32sinx,cosx),b=(cos x,0),函数f(x)=|2a+b|(x∈R).(1)求函数f(x)图象的对称轴;(2)当x∈(0,π2)时,求f(x)的值域.解析此题考查平面向量的模的求法、三角恒等变换、辅助角公式的应用;考查学生运算求解的能力;考查了数学运算的核心素养.(1)2a+b=(√3sin x+cos x,2cos x),f(x)=|2a+b|=√(√3sinx+cosx)2+(2cosx)2=√2sin(2x+π6)+4(x∈R).由2x+π6=kπ+π2,k∈Z,得x=kπ2+π6,k∈Z,故函数f(x)图象的对称轴为直线x=kπ2+π6,k∈Z.(2)因为x∈(0,π2),所以2x+π6∈(π6,7π6),所以sin(2x+π6)∈(-12,1],可得f(x)∈(√3,√6],即f(x)的值域为(√3,√6].【五年高考】A组自主命题·浙江卷题组(2021浙江,10,6分)2cos2x+sin2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),那么A=,b=.答案√2;1B组统一命题、省(区、市)卷题组考点一两角和与差的三角函数1.(2021课标全国Ⅲ理,4,5分)假设sinα=13,那么cos2α=()A.89B.79C.-79D.-89答案B2.(2021课标全国Ⅱ,9,5分)假设cos(π4-α)=35,那么sin2α=()A.725 B.15 C.-15 D.-725答案 D 3.(2021江苏,13,5分)tanαtan (α+π4)=-23,那么sin (2α+π4)的值是 .答案√2104.(2021课标全国Ⅰ文,15,5分)α∈(0,π2),tan α=2,那么cos (α-π4)= .答案3√1010考点二 简单的三角恒等变换1.(2021课标全国Ⅲ文,4,5分)sin α-cos α=43,那么sin 2α=( )A.-79B.-29C.29D.79答案 A2.(2021四川,11,5分)cos 2π8-sin 2π8= .答案√22C 组 教师专用题组考点一 两角和与差的三角函数1.(2021课标Ⅰ,2,5分)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=( ) A.-√32B.√32C.-12 D.12答案 D2.(2021重庆,9,5分)假设tanα=2tanπ5,那么cos(α-3π10)sin(α-π5)=()A.1B.2C.3D.4答案C3.(2021江苏,5,5分)假设tan(α-π4)=16,那么tanα=.答案754.(2021江苏,8,5分)tanα=-2,tan(α+β)=17,那么tanβ的值为. 答案3考点二简单的三角恒等变换1.(2021山东文,4,5分)cos x=34,那么cos2x=()A.-14B.14C.-18D.18答案D2.(2021四川,12,5分)sin15°+sin75°的值是.答案√623.(2021江苏,16,14分)向量a=(cos x,sin x),b=(3,-√3),x∈[0,π].(1)假设a∥b,求x的值;(2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.解析(1)因为a=(cos x,sin x),b=(3,-√3),a∥b,所以-√3cos x=3sin x.假设cos x=0,那么sin x=0,与sin2x+cos2x=1矛盾,故cos x≠0.于是tan x=-√33.又x∈[0,π],所以x=5π6.(2)f(x)=a·b=(cos x,sin x)·(3,-√3)=3cos x-√3sin x=2√3cos(x+π6).因为x∈[0,π],所以x+π6∈[π6,7π6],从而-1≤cos(x+π6)≤√32.于是,当x+π6=π6,即x=0时,f(x)取到最大值3;当x+π6=π,即x=5π6时,f(x)取到最小值-2√3.【三年模拟】一、选择题(每题4分,共12分)1.(2021届浙江杭州二中开学考,3)cos(π6-α)=23,那么cos(5π3+2α)的值为()A.59B.19C.-19D.-59答案C2.(2021浙江绍兴一中新高考调研卷五,5)△ABC,有关系式tan C(sin2B-sin A)=cos2B+cos A成立,那么△ABC为()A.等腰三角形B.∠A=60°的三角形C.等腰三角形或∠A=60°的三角形D.等腰直角三角形答案C3.(2021届浙江五校十月联考,9)在△ABC中,sinAsinB +cos C=0,tan A=√24,那么tan B=()A.√2B.2√2C.√23D.√22答案D二、填空题(每空3分,共12分)4.(2021届浙江名校协作体开学联考,12)设函数f(x)=cos2x-sin x,那么f(5π6)=,假设f(x)≥0,那么实数x的取值范围是.答案0;[2kπ-7π6,2kπ+π6](k∈Z)5.(2021届浙江之江教育联盟联考,14)函数f(x)=sin2x-sin2(x-π6),x∈R,那么f(x)的最小正周期为,单调递增区间为.答案π;[-π6+kπ,π3+kπ](k∈Z)三、解答题(共90分)6.(2021届浙江金丽衢十二校联考,18)设函数f(x)=sin x+cos x,x∈R.(1)求f(x)·f(π-x)的最小正周期;(2)求函数g(x)=sin3x+cos3x的最大值.解析此题考查三角恒等变换以及三角函数的性质;考查学生运算求解的能力;考查数学运算的核心素养.(1)f(x)·f(π-x)=(sin x+cos x)(sin x-cos x)=-cos2x.所以最小正周期T=2π2=π.(2)g(x)=sin3x+cos3x=(sin x+cos x)(1-sin xcos x),令sin x+cos x=t,那么t∈[-√2,√2],所以sin x·cos x=t2-12,所以g(t)=t(1−t2-12)=t·3−t22=3t-t32,g'(t)=3−3t22,即g(t)在[-√2,-1]上单调递减,在[-1,1]上单调递增,在[1,√2]上单调递减,所以g(t)max=g(1)=1.7.(2021浙江三校联考,18)函数f(x)=6cos2ωx2+√3sinωx-3(ω>0)的图象上相邻两对称轴之间的距离为4.(1)求ω的值及f(x)的单调增区间;(2)假设f(x0)=6√35,且x0∈(23,143),求f(x0+1)的值.解析(1)f(x)=3cosωx+√3sinωx=2√3sin(ωx+π3).由题意得T=8,所以ω=2π8=π4 ,所以f(x)=2√3sin(πx4+π3).令-π2+2kπ≤πx4+π3≤π2+2kπ,k∈Z,解得-103+8k≤x≤23+8k,k∈Z.所以f(x)的单调增区间为[-103+8k,23+8k],k∈Z.(2)由(1)知f(x0)=2√3sin(πx04+π3)=6√35,即sin(πx04+π3)=35,因为x0∈(23,14 3),所以πx04+π3∈(π2,3π2),所以cos(πx04+π3)=-45.所以f(x0+1)=2√3sin(πx04+π4+π3)=2√3[sin(πx04+π3)cosπ4+cos(πx04+π3)sinπ4]=2√3×(35×√22-45×√22)=-√65.8.(2021浙江杭州高级中学期中,18)函数f(x)=cos2x+√3cos xcos(x+π2).(1)求函数f(x)的最大值及取得最大值时x的值;(2)假设f(x0)=-110,x0∈(π12,π3),求cos2x0的值.解析(1)f(x)=-sin(2x-π6)+12.易知当sin(2x-π6)=-1时,f(x)取得最大值,此时2x-π6=-π2+2kπ,k∈Z,故x=-π6+kπ,k∈Z,所以当x=-π6+kπ,k∈Z时,f(x)max=32.(2)因为f(x0)=-sin(2x0-π6)+12=-110,所以sin(2x0-π6)=35.因为x0∈(π12,π3 ),所以2x0-π6∈(0,π2),故cos(2x0-π6)=45.所以cos2x0=cos[(2x0-π6)+π6]=cos(2x0-π6)cosπ6-sin(2x0-π6)sinπ6=4√3-310.9.(2021浙江高考数学仿真卷(二),18)函数f(x)=-√3sin2x-2cos2x+1.(1)求函数f(x)的振幅和单调递增区间;(2)在△ABC中,C为锐角,满足sin2C+2sin2A=1,假设f(C)=12,求cos2A的值.解析(1)f(x)=-√3sin2x-cos2x=-2sin(2x+π6),∴f(x)的振幅为2.令π2+2kπ≤2x+π6≤3π2+2kπ(k∈Z),那么π6+kπ≤x≤2π3+kπ(k∈Z).∴f(x)的单调递增区间为[π6+kπ,2π3+kπ](k∈Z).(2)∵sin 2C+2sin 2A=1,∴sin 2C=1-2sin 2A=cos 2A=sin (π2+2A),∴2C=π2+2A 或2C+2A+π2=π,所以C-A=π4或C+A=π4.∵C 为锐角,∴2C+π6∈(π6,7π6),∵f(C)=12, ∴-2sin (2C +π6)=12,∴sin (2C +π6)=-14,∴2C+π6∈(π,7π6), ∴C ∈(5π12,π2), ∴C-A=π4,此时cos (2C +π6)=-√154,∴cos 2A=cos [2(C -π4)]=cos (2C -π2)=sin 2C=sin [(2C +π6)-π6]=sin (2C +π6)cos π6-cos (2C +π6)sin π6=-14×√32-(-√154)×12=√15-√38.10.(2021浙江高考信息优化卷(一),18)函数f(x)=2√3sin ωxsin (ωx +π2)-2sin 2ωx+1(ω>0),且f(x)的最小正周期为π.(1)求ω的值以及f(x)在区间[0,π3]上的值域;(2)假设f(α)=2√55,且α∈[π6,π2],求cos 2α的值.解析 (1)f(x)=2√3sin ωxcos ωx+cos 2ωx=√3sin 2ωx+cos 2ωx=2sin (2ωx +π6),∵T=2π2ω=π,∴ω=1, ∴f(x)=2sin (2x +π6),∵x ∈[0,π3],∴2x+π6∈[π6,5π6],∴sin(2x+π6)∈[12,1],∴f(x)∈[1,2].(2)易知f(α)=2sin(2α+π6)=2√55⇒sin(2α+π6)=√55,∵α∈[π6,π2],∴2α+π6∈[π2,7π6],∴cos(2α+π6)=-2√55,∴cos2α=cos[(2α+π6)-π6]=cos(2α+π6)cosπ6+sin(2α+π6)sinπ6=√5-2√1510.11.(2021届浙江Z20联盟开学联考,18)函数f(x)=cos2x+√3sin xcos x.(1)求f(π3)的值;(2)假设f(α2)=1310,α∈(0,π3),求cosα的值.解析此题考查简单的三角恒等变换;考查学生运算求解的能力;考查数学运算的核心素养.(1)因为f(x)=cos2x+√3sin xcos x=1+cos2x2+√32sin2x=12+sin(2x+π6),所以f(π3)=12+sin(2π3+π6)=12+sin5π6=12+12=1.(2)由f(α2)=1310,α∈(0,π3),得sin(α+π6)=45,cos(α+π6)=35,所以cosα=cos(α+π6-π6)=cos(α+π6)cosπ6+sin(α+π6)·sinπ6=3√3+410.。
备战2021高考理数热点题型和提分秘籍 专题20 简单的三角恒等变换(解析版)
专题二十 简洁的三角恒等变换【高频考点解读】1.把握二倍角的正弦、余弦、正切公式．2.能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简洁的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).【热点题型】题型一 已知三角函数值求值例1、已知角A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，OM →＝(sin B ＋cos B ，cos C )，ON →＝(sin C ，sin B －cos B )，OM →·ON →＝－15.(1)求tan2A 的值；(2)求2cos 2A2－3sin A －12sin A ＋π4的值．(2)∵tan A ＝－34，∴2cos 2A2－3sin A －12sin A ＋π4＝cos A －3sin A cos A ＋sin A ＝1－3tan A1＋tan A＝1－3×－341＋－34＝13.【提分秘籍】对于条件求值问题，即由给出的某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变角”即使“目标角”变换成“已知角”．若角所在象限没有确定，则应分状况争辩，应留意公式的正用、逆用、变形运用，把握其结构特征，还要留意拆角、拼角等技巧的运用．【举一反三】已知α∈(π2，π)，且sin α2＋cos α2＝62.(1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈(π2，π)，求cos β的值．【热点题型】题型二 已知三角函数值求角例2、如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边做两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点，已知A 、B 两点的横坐标分别为210，255.(1)求tan(α＋β)的值； (2)求α＋2β的值．又∵α、β为锐角， ∴0＜α＋2β＜3π2，∴α＋2β＝3π4.【提分秘籍】(1)已知某些相关条件，求角的解题步骤： ①求出该角的范围；②结合该角的范围求出该角的三角函数值．(2)依据角的函数值求角时，选取的函数在这个范围内应是单调的． 【举一反三】已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)相互垂直，其中θ∈(0，π2)．(1)求sin θ和cos θ的值；(2)若sin(θ－φ)＝1010，0<φ<π2，求φ的值．【热点题型】题型三 正、余弦定理的应用例3、在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －ab .(1)求sin Csin A的值；(2)若cos B ＝14，b ＝2，求△ABC 的面积S .【解析】 (1)由正弦定理，设a sin A ＝b sin B ＝csin C＝k ，【提分秘籍】(1)利用正弦定理，实施角的正弦化为边时只能是用a 替换sin A ，用b 替换sin B ，用c 替换sin C . sin A ，sin B ，sin C 的次数要相等，各项要同时替换，反之，用角的正弦替换边时也要这样，不能只替换一部分；(2)以三角形为背景的题目，要留意三角形的内角和定理的使用．像本例中B ＋C ＝60°；(3)在求角的大小肯定要有两个条件才能完成：①角的范围；②角的某一三角函数值．在由三角函数值来推断角的大小时，肯定要留意角的范围及三角函数的单调性．【举一反三】在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 所对的边，且3a ＝2c sin A . (1)确定角C 的大小；(2)若c ＝7，且△ABC 的面积为332，求a ＋b 的值．解：(1)由3a ＝2c sin A ，依据正弦定理，sin C ＝c sin A a ＝32，又0<C <π2，则C ＝π3.【热点题型】题型四 解三角形与实际问题例4、如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点．现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船马上前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D 点需要多长时间？又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC ＝203(海里)，在△DBC 中，由余弦定理得 CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos ∠DBC ＝300＋1200－2×103×203×12＝900，∴CD ＝30(海里)，则需要的时间t ＝3030＝1(小时)．即该救援船到达D 点需要1小时.【提分秘籍】应用解三角形学问解决实际问题需要下列四步：(1)分析题意，精确 理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等；(2)依据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关学问正确求解； (4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案． 【举一反三】如图所示，上午11时在某海岛上一观看点A 测得一轮船在海岛北偏东60°的C 处，12时20分测得船在海岛北偏西60°的B 处，12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5 km 的E 港口，假如轮船始终匀速直线前进，问船速为多少？在△ABE 中，由余弦定理，得BE 2＝AB 2＋AE 2－2AB ·AE ·cos30°＝163＋25－2×433×5×32＝313，故BE ＝313. ∴船速v ＝BEt ＝31313＝93 (km/h)．故该船的速度为93 km/h. 【高考风向标】1．（2022·全国卷）直线l 1和l 2是圆x 2＋y 2＝2的两条切线．若l 1与l 2的交点为(1，3)，则l 1与l 2的夹角的正切值等于________．2．（2022·全国卷）若函数f (x )＝cos 2x ＋a sin x 在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2是减函数，则a 的取值范围是________．3．（2022·福建卷）已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12.(1)若0<α<π2，且sin α＝22，求f (α)的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．【解析】方法一：(1)由于0<α<π2，sin α＝22，所以cos α＝22.所以f (α)＝22×⎝⎛⎭⎫22＋22－12＝12.4．（2022·四川卷）已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是其次象限角，f ⎝⎛⎭⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值． 【解析】(1)由于函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ， 由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z.所以，函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z.5．（2022·天津卷）已知函数f (x )＝cos x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3cos 2x ＋34，x ∈R. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在闭区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值和最小值．(2)由于f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，－π12上是减函数，在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π4上是增函数，f ⎝⎛⎭⎫－π4＝－14，f ⎝⎛⎭⎫－π12＝－12，f ⎝⎛⎭⎫π4＝14，所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值为14，最小值为－12. 6．（2022·北京卷）如图1-2，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17.(1)求sin ∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长．图1-27．（2022·福建卷）在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，则△ABC 的面积等于________．【答案】23 【解析】 由BC sin A ＝AC sin B ，得sin B ＝4sin 60°23＝1，∴B ＝90°，C ＝180°－(A ＋B )＝30°，则S △ABC ＝12·AC ·BC sin C ＝12×4×23sin 30°＝23，即△ABC 的面积等于2 3.8．（2022·湖南卷）如图1-5所示，在平面四边形ABCD 中，AD ＝1，CD ＝2，AC ＝7.图1-5(1)求cos∠CAD的值；(2)若cos∠BAD ＝－714，sin∠CBA＝216，求BC的长．9．（2022·四川卷）如图1-3所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高度是46 m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，3≈1.73)10．（2021·四川卷）设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是________．11．（2021·重庆卷）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2＋b2＋2ab＝c2.(1)求C；(2)设cos Acos B＝3 25，cos（α＋A）cos（α＋B）cos2α＝25，求tan α的值．【解析】(1)由于a2＋b2＋2ab＝c2，所以由余弦定理有cos C＝a2＋b2－c22ab＝－2ab2ab＝－22.故C＝3π4.(2)由题意得（sin αsin A－cos αcos A）（sin αsin B－cos αcos B）cos2α＝25，12．（2021·重庆卷）4cos 50°－tan 40°＝( ) A. 2 B.2＋32C. 3 D ．2 2－1【随堂巩固】1．已知sin θ2＝45，cos θ2＝－35，则角θ所在的象限是( )A ．第一象限B ．其次象限C ．第三象限D ．第四象限解析：sin θ＝2sin θ2cos θ2＝2×45×(－35)<0.cos θ＝cos 2θ2－sin 2θ2＝925－1625＝－725<0，∴θ是第三象限角．答案：C2．已知sin α＝55，则cos4α的值是( ) A.425 B ．－725C.1225D ．－18253．若－2π<α<－3π2，则1－cos α－π2的值是( )A ．sin α2B ．cos α2C ．－sin α2D ．－cos α24．已知θ为其次象限角，sin(π－θ)＝2425，则cos θ2的值为( )A.35B.45 C ．±35D ．±455．已知x ∈(π2，π)，cos 2x ＝a ，则cos x ＝( )A.1－a2B ．－1－a2C.1＋a2D ．－1＋a2解析：依题意得cos 2x ＝1＋cos 2x 2＝1＋a 2；又x ∈(π2，π)，因此cos x ＝－1＋a2. 答案：D6．若cos α＝－45，α是第三象限角，则1＋tanα21－tanα2＝( )A ．－12B.12 C ．2D ．－27．已知cos 2α＝14，则sin 2α＝________.解析：sin 2α＝1－cos 2α2＝38.答案：388．sin 2B1＋cos 2B －sin 2B ＝－3，则tan 2B ＝________. 解析：sin 2B 1＋cos 2B －sin 2B＝2sin B cos B2cos 2B ＝tan B ＝－3.∴tan2B ＝2tan B 1－tan 2B ＝34.答案：349．设α是其次象限角，tan α＝－43，且sin α2<cos α2，则cos α2＝________.10．化简：2sin(π4－x )＋6cos(π4－x )11．求3tan 10°＋14cos 210°－2sin 10°的值．解：原式＝3sin 10°＋cos 10°cos 10°2cos 20°sin 10°＝2sin 10°＋30°2cos 20°sin 10°cos 10°＝2sin 40°sin 20°cos 20°＝2sin 40°12sin 40°＝4.12．已知函数f (x )＝3sin2x －2sin 2x . (1)求函数f (x )的最大值； (2)求函数f (x )的零点的集合．解：(1)由于f (x )＝3sin 2x －(1－cos 2x ) ＝2sin(2x ＋π6)－1，所以，当2x ＋π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝k π＋π6，k ∈Z时，函数f (x )取得最大值1.。
简单的三角恒等变换-高考数学复习
cos 2β＝1－2 sin θ cos θ.所以2 cos 2α＝ cos 2β.
所以4 cos 22α－ cos 22β＝（2 cos 2α－ cos 2β）（2 cos 2α＋ cos 2β）
＝0.
目录
高中总复习·数学
三角恒等变换的综合应用
【例5】 已知3 sin α＝2 sin
2 －1.
2−
2× ×
sin2
2sincos
所以 2
＝
＝
3
2
2
2 −si
＋cos2
2×（ ）
5
4
5
（）
2
＝12.
目录
高中总复习·数学
2. 已知函数 f （ x ）＝4 cos x cos
π
（ x ＋ ）－
6
3.
（1）求 f （ x ）的单调递增区间；
解： f （ x ）＝4 cos x cos
13
所以 sin β＝ sin [（β＋α）－α]＝ sin （β＋α） cos α－ cos （β
＋α） sin
12 3
5
4
16
α＝ × － × ＝ .
13 5
13 5
65
目录
高中总复习·数学
（2）求
sin2
2
＋cos2
解：因为 cos
的值.
3
α＝ ，
5
sin
4
α＝ ，
5
4 3
5 5
目录
高中总复习·数学
2. 证明三角恒等式的基本方法
（1）从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简；
（2）左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子；
第25讲 倍角公式及简单的三角恒等变换
课时小结
课后练习
解：tan(α＋β)＝1t－antαan＋αttaannββ＝1－17＋17×13 13＝12， tan(α＋2β)＝tan(α＋β＋β) ＝1t－antaαn＋αβ＋＋βttaannββ＝1－21＋12×13 13＝1， 而 tan α＝17＜1，tan β＝31＜1， 所以 0＜α＜π4，0＜β＜π4，所以 0＜α＋2β＜34π， 所以 α＋2β＝π4.
(3)给值求值问题的求解，其关键是明确变换的目 标，根据目标灵活选择凑角和运用公式．
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
课后练习
【变式探究】
1．(1)sin110°－sin 830°的值为_______. (2)已知1si－n αcocoss2αα＝1，tan(β－α)＝－13，则 tan(β－2α)的值为 _______.
sin2α2＝__________ ；cos2α2＝__________；tan2α2＝__________；
tanα2＝__________＝ __________ .
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
课后练习
2．三角恒等变换 (1)三角函数求值 ①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特 殊角，进而求出三角函数值． ②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系． (2)三角函数化简 三角函数化简的几种常用思路： ①角的变换：观察各角之间的和、差、倍、半关系，减少角的种类， 化异角为同角． ②函数名称的变换：观察、比较名称上的差异，采用切化弦或弦化切 等手段，实现异名化同名．
＝22csoins22αα22＝tan4α.
答案：D
复习目标
课前预习
考点14 三角恒等变换-备战2021年浙江新高考数学一轮复习考点一遍过
考点14 三角恒等变换【命题解读】1.记住三角恒等变换常用公式；2．能够利用三角函数公式进行简单的三角函数式的化简、求值和证明． 3.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握正弦、余弦、正切二倍角的公式. 【命题预测】1. 考查利用同角三角函数的基本关系和两角和的正切公式求值，考查计算能力，属于基础题；2．考查两角和与差的正弦公式，考查诱导公式及同角间的三角函数关系，化简变形求值是解题的基本方法； 3.考查三角函数的综合应用和解三角形，要灵活运用三角函数的基本性质、恒等变换；4.主要以选择填空题为主，解答题也会与正余弦定理结合考查，预计2021年高考中，仍会对本节内容进行重点考查. 【复习建议】一、两角和与差的三角函数公式 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）()C αβ-：cos()αβ-=cos cos sin sin αβαβ+（2）()C αβ+：cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-（3）()S αβ+：sin()αβ+=sin cos cos sin αβαβ+（4）()S αβ-：sin()αβ-=sin cos cos sin αβαβ-（5）()T αβ+：tan()αβ+=tan tan π(,,π,)1tan tan 2k k αβαβαβαβ++≠+∈-Z（6）()T αβ-：tan()αβ-=tan tan π(,,π,)1tan tan 2k k αβαβαβαβ--≠+∈+Z2．二倍角公式（1）2S α：sin2α=2sin cos αα（2）2C α：cos2α=2222cos sin 12sin 2cos 1αααα-=-=-（3）2T α：tan 2α=22tan πππ(π,)1tan 224k k k αααα≠+≠+∈-Z 且3．公式的常用变形（1）tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ±=±；tan tan tan tan tan tan 11tan()tan()αβαβαβαβαβ+-=-=-+-（2）降幂公式：21cos 2sin 2αα-=；21cos 2cos 2αα+=；1sin cos sin 22ααα= （3）升幂公式：21cos 22cos αα+=；21cos 22sin αα-=；21sin 2(sin cos )ααα+=+；21sin 2(sin cos )ααα-=-（4）辅助角公式：sin cos a x b x +22)a b x ϕ=++，其中2222cos a ba b ϕϕ==++tan b aϕ=二、简单的三角恒等变换1．降幂公式与半角公式2．公式的常见变形（和差化积、积化和差公式） （1）积化和差公式：1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=++-；1sin sin [cos()cos()]2αβαβαβ=-+--；1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ=++-；1cos sin [sin()sin()]2αβαβαβ=+--.（2）和差化积公式：sin sin 2sincos22αβαβαβ+-+=；sin sin 2cossin22αβαβαβ+--=；cos cos 2coscos22αβαβαβ+-+=；cos cos 2sinsin22αβαβαβ+--=-.考向一 三角恒等式的化简与证明三角恒等变换是指依据三角函数的有关公式、定理，对三角函数式进行某种变形的过程，凡三角问题几乎都要通过三角恒等变换来解决.具体步骤如下：(1)发现差异——观察角、名、形三方面的差异；(2)寻找联系——根据式子的结构特征，找出差异间的联系； (3)合理转化——选取恰当的公式，进行恒等变形，促使差异转化.典例1 8π16π32πcoscos cos 777⋅⋅=______. 【答案】18【解析】 【分析】先利用诱导公式转化为π2π4πcos cos cos 777-⋅⋅，再分子分母同乘π2sin 7，利用二倍角的正弦公式求解. 【详解】8π16π32ππ2π4πcoscos cos cos cos cos 777777⋅⋅=-⋅⋅ππ2π4π2π2π4π2sin cos cos cos 2sin cos cos7777777ππ2sin 4sin77⋅⋅⋅⋅⋅=-=- 4π4π8π2sin cos sin 1777ππ88sin 8sin77⋅=-=-=.故答案为：18【点睛】本题主要考查二倍角公式的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于基础题.考向二 三角恒等变换的应用 解题技巧：讨论三角函数的性质一般要把三角函数化为y ＝A sin (ωx ＋φ)，y ＝A cos (ωx ＋φ)，y ＝A tan (ωx ＋φ)的形式才能进行讨论.典例1 若关于x 的方程21sin 3cos 4m x x m -+=+有意义，则m 的取值范围为_______． 【答案】7,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】先根据辅助角公式，由正弦函数的性质，求出sin 32sin [2,2]3x x x π⎛⎫+=+∈- ⎪⎝⎭，推出21224m m --≤≤+，求解即可得出结果.【详解】sin 32sin [2,2]3x x x π⎛⎫+=+∈- ⎪⎝⎭，则21224m m --≤≤+，即21920442147204440m m m m m m m m --⎧-=≤⎪++⎪-+⎪+=≥⎨++⎪+≠⎪⎪⎩，即90447044m m m m -⎧≤⎪+⎪+⎪≥⎨+⎪≠-⎪⎪⎩，解得74m ≥-，故7,4m ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭． 故答案为：7,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查分式不等式的解法，考查正弦函数的性质，以及辅助角公式，属于常考题型．考向三 利用“齐次式”求值方法指导：题目中出现正切值，或者求正切值，可化简为“齐次式”求解,弦化切思想应用于以下两方面：（1）弦的分式齐次式：当分式是关于角θ弦的n 次分式齐次式，分子分母同时除以cos n θ，可以将分式由弦化为切；（2）弦的二次整式或二倍角的一次整式：先化为角θ的二次整式，然后除以22cos sin θθ+化为弦的二次分式齐次式，并在分子分母中同时除以2cos θ可以实现弦化切．典例1 已知tan 3α=，则2sin 2sin 1cos 2ααα--的值为______．【答案】16- 【解析】 【分析】根据三角函数的基本关系式和倍角公式，化简为“齐次式”，代入即可求解. 【详解】因为tan 3α=，可得22222222sin cos sin sin 2sin 2sin cos sin cos 2sin 1cos 22sin cos ααααααααααααα---==- 2tan 2312tan 236αα--===-⨯【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式，以及正弦与余弦的倍角公式的化简求值，其中解答中熟记三角函数的倍角公式和基本关系式，化简为“齐次式”求解是解答的关键，着重考查运算与求解能力.考向四 辅助角公式的应用辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中φ满足：①φ与点(a ，b )同象限；②tan φ＝b a (或sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝aa 2＋b2)．典例1 函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cosx ＋1的最小正周期是________，单调递减区间是________．[答案] π [3π8＋k π，7π8＋k π](k ∈Z ) [解析]由题意知，f (x )＝12sin2x ＋12(1－cos2x )＋1＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋32，所以最小正周期T ＝π.令π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π(k ∈Z )，得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈Z )，故单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8＋k π，7π8＋k π(k ∈Z )．题组一 基础过关 1．已知,,22ππαβ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，若tan ,tan αβ是方程24350x x -+=的两根，则αβ+=（ ）A ．3π-或23πB ．3π-C ．23π D ．56π 2．已知0<α<2π<β<π，又sin α＝35，cos(α＋β)＝－45，则sin β＝( )．A ．0B ．0或2425C ．2425D ．0或－24253．已知3sin 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．23 B ．13C ．23-D ．13-4．已知锐角α满足3cos 5α=，则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．7-B ．7C ．17D ．17-5.已知向量(sin ,2),(1,cos )a b θθ=-=，且a b ⊥，则2sin 2cos θθ+的值为（ ）A ．1B ．2C ．12D ．36.已知()()()sin sin cos f x x x x x =-∈R ，则（ ）A ．()f x 2B ．()f x 在区间ππ,48⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数 C ．()f x 的图象关于直线π4x =对称 D ．()f x 在[)0,2πx ∈内有4个极值点7.已知π3π,22a ⎛⎫∈⎪⎝⎭，4sin 5α，则πtan 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝______.8.已知1sin 62πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos 3πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭_________. 题组二 能力提升1．若3sin 2sin 703παα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则tan α=（ ） A ．23B 23C ．3D 32.π23sin =33⎛⎫--⎪⎝⎭αα，则πsin 26⎛⎫+= ⎪⎝⎭α______________. 3.已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且4cos 5α=. （1）求tan α的值； （2）求2sin sin 22αα+的值.4.已知α，β为锐角，4tan 3α=，()5cos αβ+= （1）求cos2sin 2αα+的值； （2）求()tan βα-的值.5.已知函数22()cos 2sin cos sin f x x x x x =+- （1）求()f x 的最小正周期；（2）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的最大值，最小值.（3）求f (x )的单调递减区间.6.已知函数()cos2sin cos xf x x x=+.（1）求()f x 的定义域；（2）求()f x 在区间02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值；（3）求()f x 的单调递减区间.题组三 体验真题1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知 π()0,α∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α= A 5 B ．23 C ．13 D 52.【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ= A ．–2 B ．–1 C ．1 D ．23.【2020年高考江苏】已知2sin ()4απ+=23，则sin 2α的值是 ▲ ． 4.【2020年高考北京】若函数()sin()cos f x x x ϕ=++的最大值为2，则常数ϕ的一个取值为________．5．【2020年高考浙江】已知tan 2θ=，则cos2θ=_______，πtan()4θ-=_______． 6．【2020年高考江苏】将函数πsin(32)4y x =﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是 ▲ ．7．【2019年高考江苏】已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 ▲ . 8．【2018年高考全国II 卷理数】已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则sin()αβ+=__________． 9．【2019年高考浙江】设函数()sin ,f x x x =∈R .（1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值；（2）求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++的值域．10．【2018年高考浙江】已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P （3455-，-）． （1）求sin （α+π）的值；（2）若角β满足sin （α+β）=513，求cos β的值．题组一1.【答案】C【解析】【分析】根据韦达定理可得tan ,tan αβ的和与积关系, 再根据,,22ππαβ⎛⎫∈-⎪⎝⎭判断,αβ的范围.再代入两角和的正切公式求解,判断αβ+的大小即可.【详解】因为tan ,tan αβ是方程24350x x -+=的两根可得tan tan 43,αβ+= tan tan 5αβ⋅=.所以tan ,tan αβ均为正数,又,,22ππαβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,故,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以()tan tan 43tan 31tan tan αβαβαβ++===--⋅又()0,αβπ+∈.故23παβ+=. 故选：C【点睛】本题主要考查了两角和的正切公式的运用,包括根据正切值范围求解角度范围的方法等.属于中等题型. 2.【答案】C【解析】试题分析：因为 30,sin 25παα<<=，所以 24cos 1sin 5αα=-=．因为434cos()cos cos sin sin cos sin 555αβαβαβββ+=-=-=-，所以3cos sin 14ββ=-，因为22cos sin 1ββ+=，所以223(sin 1)sin 14ββ-+=，整理可得225sin 24sin 0ββ-=，因为2πβπ<<，所以sin 0β≠，所以24sin 25β=．故C 正确． 考点：1两角和差公式；2同角三角函数关系式．3.【答案】D【解析】【分析】 由诱导公式得3cos 33πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，再由余弦的二倍角公式即可得解. 【详解】 由题意3sin sin cos 6323ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即3cos 33πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ 则22231cos 2cos 22cos 1213333πππααα⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+-=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：D.【点睛】本题考查了诱导公式及余弦的二倍角公式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.4.【答案】A【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系求出tan α的值，再利用两角和的正切公式可求得tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【详解】由于锐角α满足3cos 5α=，则24sin 1cos 5αα，sin 4tan cos 3ααα∴==， 因此，41tan 13tan 7441tan 13πααα++⎛⎫+===- ⎪-⎝⎭-. 故选：A.【点睛】本题考查利用同角三角函数的基本关系和两角和的正切公式求值，考查计算能力，属于基础题.5.【答案】A 【解析】【分析】由a b ⊥，转化为0a b ⋅=，结合数量积的坐标运算得出tan 2θ=，然后将所求代数式化为222222sin cos cos sin 2cos 2sin cos cos sin cos θθθθθθθθθθ++=+=+，并在分子分母上同时除以2cos θ，利用弦化切的思想求解．【详解】由题意可得 sin 2cos 0a b θθ⋅=-=，即 tan 2θ=．Ⅰ222222sin cos cos 2tan 1sin 2cos 1cos sin 1tan θθθθθθθθθ+++===++， 故选A ．【点睛】本题考查垂直向量的坐标表示以及同角三角函数的基本关系，考查弦化切思想的应用，一般而言.6.【答案】D【解析】【分析】利用二倍角公式，结合辅助角公式把函数的解析式化成正弦型函数解析式形式，然后根据正弦型函数的最值、单调性、对称性等性质，结合导数性质逐一判断即可.【详解】()2111sin sin cos cos 2sin 2222f x x x x x x =-=--12π2224x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 选项A ：函数()f x 的最大值是2122+，故本选项错误； 选项B ：当ππ,48x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，π24t x =+单调递增，且ππ,42t ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭， 而此时1222y t =-在ππ,42t ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭上单调递减， 故函数()y f x =在ππ,48x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭上单调递减，故本选项错误； 选项C ：令ππ2π()42x k k Z +=+∈，解得ππ()28k x k Z =+∈， 不存在整数k 使得πππ284k +=，故本选项错误； 选项D ：'π()224f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 令ππ2π()42x k k Z +=+∈，解得ππ()28k x k Z =+∈， 当0k =，1，2，3时，极值点满足题干要求，正确，【点睛】本题考查了正弦型函数的性质，考查了二倍角公式、辅助角公式的应用，考查了极值的性质，考查了数学运算能力.7.【答案】1 7 -【解析】【分析】由题可求得4tan3α=-，再利用和的正切公式即可求出.【详解】因为3,22ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4sin5α，所以,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3cos5α=-，则4tan3α=-，则41tan tan134tan4471tan tan143παπαπα-++⎛⎫+===- ⎪⎝⎭-+.【点睛】本题考查同角三角函数的关系，考查和的正切公式的应用，属于基础题.8.【答案】1【解析】【分析】由条件利用诱导公式化简所给式子的值，可得结果．解：1sin 62πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则 cos 36πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ cos cos 33311cos cos sin sin 126666662πππθθππππθθ⎛⎫⎛⎫∴-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为1.【点睛】 本题主要考查两角差的余弦、同角基本关系式的应用，属于基础题．题组二1.【答案】A【解析】【分析】由两角和的正弦公式化简，并引入锐角β，cos 7β=，3sin 7β=，已知条件化为sin()1αβ-=，这样可得22k παβπ=++，k Z ∈，代入tan α，应用切化弦公式及诱导公式可得结论．【详解】 由已知3sin 2sin 73sin 2sin cos cos sin 70333πππααααα⎛⎫⎛⎫-+=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2sin 37αα=3177αα=，设cos 7β=3sin 7β=，且β为锐角， 3cos sin sin cos sin()177ααβαβααβ=-=-=， ∴22k παβπ-=+，k Z ∈，即22k παβπ=++，k Z ∈，tan tan 2tan 22k ππαβπβ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin cos 2327sin 33cos 27πββπββ⎛⎫+ ⎪⎝⎭====--⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 故选：A ．【点睛】 本题考查两角和与差的正弦公式，考查诱导公式及同角间的三角函数关系，化简变形求值是解题的基本方法．2.【答案】59-【解析】【分析】 π23sin =33⎛⎫-- ⎪⎝⎭αα为π2sin +=33⎛⎫ ⎪⎝⎭α， 利用诱导公式及二倍角公式求解.【详解】π23cos sin =33αα⎛⎫-- ⎪⎝⎭1323(cos )sin 23ααα+-=,312sin 2αα+=π2sin +=33α⎛⎫∴ ⎪⎝⎭， ππππsin 2sin 2()cos 2()6323ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2252(139=⋅-=- 故答案为：59-【点睛】本题主要考查了两角和差的正余弦公式，诱导公式，二倍角公式，属于中档题. 3.【答案】（1）34；（2）5350. 【解析】【分析】 （1）由已知利用同角三角函数基本关系式求得sin α，再由商的关系求得tan α；（2）直接利用二倍角的正弦公式、降次公式求解.【详解】（1）Ⅰ0,2a π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且4cos 5α=，Ⅰ23sin 1cos 5αα=-=， 则sin 3tan cos 4ααα==； （2）Ⅰ3sin 5α=，4cos 5α=， Ⅰ21cos sin sin 22sin cos 22ααααα-+=+4134535225550-=+⨯⨯=. 【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、二倍角公式.4.【答案】（1）1725；（2）211. 【解析】【分析】 （1）利用二倍角的正弦余弦公式将原式化为2222cos sin 2sin cos cos sin αααααα-+=+，分子分母同除以2cos α，从而可得结果；（2）先根据二倍角正切公式得tan2α，再由()()tan tan 2βααβα⎡⎤-=+-⎣⎦，利用两角差的正切公式得结果.【详解】（1）cos2sin 2αα+22cos sin 2sin cos αααα=-+2222cos sin 2sin cos cos sin αααααα-+=+221tan 2tan 1tan ααα-+=+16811793162519-+==+. （2）因为α，β为锐角，4tan 3α=，()5cos αβ+= 所以()()225sin 1cos 5αβαβ+=-+=，()tan 2αβ+=-， 22422tan 243tan 21tan 7413ααα⨯===--⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以()()()()tan tan 22tan tan 21tan tan 211αβαβααβααβα+-⎡⎤-=+-==⎣⎦++. 【点睛】应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.5.【答案】（1）π；（22，最小值是1-ⅠⅠ3Ⅰ5,,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. 【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦和余弦公式和辅助角法，将函数转化为()224f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再利用周期公式求解.（2）根据0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得到52,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，再利用正弦函数的性质求解. （3）由正弦函数的单调性，令3222242k x k πππππ+≤+≤+求解. 【详解】 （1）函数22()cos 2sin cos sin f x x x x x =+-， cos 2sin 2224x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭. 所以()f x 的最小正周期为22T ππ==； （2）因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以522,,sin 24444x x ππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫+∈+∈⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦， 所以()f x 2，最小值是1-.（3）令3222242k x k πππππ+≤+≤+， 解得588k x k ππππ+≤≤+， 所以f (x )的单调递减区间是5,,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查三角函数的性质以及三角恒等变换，还考查了运算求解的能力，属于中档题.6.【答案】（1）|,4x x k k Z ππ⎧⎫≠-∈⎨⎬⎩⎭；（2）1；（3）()32,244k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. 【解析】【分析】（1）由分母不为零得到sin cos 0x x +≠2sin 04x π⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭求解. （2）利用二倍角公式和辅助角法，将函数转化为()2cos 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再利用余弦函数的性质求解. （3）由（2）知()2cos 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用余弦函数的性质，令 224k x k ππππ≤+≤+求解. 【详解】（1）因为sin cos 0x x +≠2sin 04x π⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭，解得4x k ππ+≠，所以()f x 的定义域是|,4x x k k Z ππ⎧⎫≠-∈⎨⎬⎩⎭（2）因为()22cos2cos sin sin cos sin cos x x x f x x x x x-==++cos sin x x =-2cos 4x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 又0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以3,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，22cos 4x π⎡⎛⎫+∈⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦， 所以()f x 区间02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值是1；（3）令 224k x k ππππ≤+≤+，解得 32244k x k ππππ-≤≤+， 所以()f x 的单调递减区间.是()32,244k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【点睛】本题主要考查函数定义域的求法，二倍角公式，辅助角法以及三角函数的性质，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.题组三1.【答案】A【解析】3cos28cos 5αα-=，得26cos 8cos 80αα--=，即23cos 4cos 40αα--=，解得2cos 3α=-或cos 2α=（舍去）， 又25(0,),sin 1cos 3ααα∈π∴=-=. 故选：A ．【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.2.【答案】D 【解析】2tan tan 74πθθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，tan 12tan 71tan θθθ+∴-=-， 令tan ,1t t θ=≠，则1271t t t +-=-，整理得2440t t -+=，解得2t =，即tan 2θ=. 故选：D ．【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题.3.【答案】13【解析】22221sin ()(cos )(1sin 2)4222παααα+=+=+ 121(1sin 2)sin 2233αα∴+=∴= 故答案为：13【点睛】本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.4.【答案】2π（2,2k k Z ππ+∈均可） 【解析】因为()()()()22cos sin sin 1cos cos sin 1f x x x x ϕϕϕϕθ=++=+++， ()22cos sin 12ϕϕ++=，解得sin 1ϕ=，故可取2ϕπ=. 故答案为：2π（2,2k k Z ππ+∈均可）. 【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题.5.【答案】35；13 【解析】2222222222cos sin 1tan 123cos 2cos sin cos sin 1tan 125θθθθθθθθθ---=-====-+++， tan 1211tan()41tan 123πθθθ---===++， 故答案为：31,53- 【点睛】本题考查二倍角余弦公式以及弦化切、两角差正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 6.【答案】524x π=- 【解析】3sin[2()]3sin(2)6412y x x πππ=-+=- 72()()122242k x k k Z x k Z πππππ-=+∈∴=+∈ 当1k =-时524x π=-. 故答案为：524x π=- 【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题.7．【答案】210 【解析】由()tan 1tan tan tan 2tan 1πtan 13tan 1tan 4αααααααα-===-++⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，得23tan 5tan 20αα--=， 解得tan 2α=，或1tan 3α=-. πππsin 2sin 2cos cos 2sin 444ααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭)2222222sin cos cos sin sin 2cos 2=22sin cos αααααααα⎫+-=+⎪+⎝⎭ 2222tan 1tan =2tan 1ααα⎫+-⎪+⎝⎭， 当tan 2α=时，上式22222122==22110⎛⎫⨯+-⨯ ⎪+⎝⎭ 当1tan 3α=-时，上式22112()1()2233[1()13⨯-+---+ 综上，π2sin 24α⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 【名师点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题.由题意首先求得tan α的值，然后利用两角和的正弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可.8．【答案】12- 【解析】因为sin cos 1+=αβ，cos sin 0+=αβ，所以()()221sin cos 1,-+-=αα 所以11sin ,cos 22==αβ， 因此()22111111sin sin cos cos sin cos 1sin 1.224442+=+=⨯-=-+=-+=-αβαβαβαα【名师点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查考生分析问题、解决问题的能力，考查的核心素养是数学运算.9．【答案】（1）π2θ=或3π2；（2）33[122-+. 【解析】（1）因为()sin()f x x θθ+=+是偶函数，所以，对任意实数x 都有sin()sin()x x θθ+=-+，即sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x θθθθ+=-+，故2sin cos 0x θ=，所以cos 0θ=．又[0,2π)θ∈， 因此π2θ=或3π2． （2）2222ππππsin sin 124124y f x f x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ ππ1cos 21cos 21336212sin 222222x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭ 3π123x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 因此，函数的值域是33[1,1]22-+． 【名师点睛】本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力.10．【答案】（1）45；（2）56cos 65β=-或16cos 65β=-. 【解析】（1）由角α的终边过点34(,)55P --得4sin 5α=-， 所以4sin(π)sin 5αα+=-=. （2）由角α的终边过点34(,)55P --得3cos 5α=-， 由5sin()13αβ+=得12cos()13αβ+=±. 由()βαβα=+-得cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++，所以56cos 65β=-或16cos 65β=-. 【名师点睛】本题主要考查三角函数的定义、诱导公式、两角差的余弦公式，考查考生分析问题、解决问题的能力，运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.求解三角函数的求值问题时，需综合应用三角函数的定义、诱导公式及三角恒等变换.（1）首先利用三角函数的定义求得sin α，然后利用诱导公式，计算sin （α+π）的值;（2）根据sin （α+β）的值，结合同角三角函数的基本关系，计算cos()+αβ的值，要注意该值的正负，然后根据()βαβα=+-，利用两角差的余弦公式，通过分类讨论，求得cos β的值.。
2021年高中数学新教材必修第一册5.5.2《简单的三角恒等变换》课时练习(含答案)-
2021年高中数学新教材必修第一册5.5.2《简洁的三角恒等变换》课时练习（含答案）1、2021年新教材必修第一册5.5.2《简洁的三角恒等变换》课时练习一、选择题在中，，，则〔〕A.或 B. C. D.已知向量，，且，则等于〔〕A.-0.8B.-3C.3D.0.8已知,则〔〕A．B．C．D．若为锐角，且满足，，则的值为〔〕A．B．C．D．若sinαsinβ=1，则cos(α－β)的值为( )A.0B.1C.±1D.－1若sinx＋cosx=cos(x ＋φ)，则φ的一个可能值是( )A.－B.－C.D.在△ABC中，假如sinA=2sinCcosB，那么这个三角形是( )A．直角2、三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．不确定sin4-cos4等于( )A.-B.-C.D.已知sinα－cosα=－，则sin2α的值等于( )A. B．－C．－D.若函数f(x)=(1＋tanx)cosx,0≤x，则f(x)的最大值是()A．1B．2C.＋1D.＋2n二、填空题sin20°cos70°+sin10°sin50°=_________．若π＜α＜π，sin2α=－，求tan________________在△ABC中，若cosA=，则sin2＋cos2A等于________．设p=3、cosαcosβ，q=cos2，则p与q的大小关系是________．三、解答题已知f〔x〕=－+，x∈〔0，π〕．〔1〕将f〔x〕表示成cosx 的多项式；〔2〕求f〔x〕的最小值．求证：．已知函数f(x)=(a＋2cos2x)·cos(2x＋θ)为奇函数，且f()=0，其中a∈R，θ∈(0，π)．(1)求a，θ的值；(2)若f=－，α∈(，π)，求sin的值．如下图，由半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD为半圆的直径，O为半圆的圆心，AB=1，BC=2，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN，其底边MN⊥BC4、.(1)设∠MOD=30°，求三角形铁皮PMN的面积；(2)求剪下的三角形铁皮PMN的面积的最大值．n参考答案答案为：D解析：依据题意,,,为锐角，,应选D.答案为：C解析：由已知，，又，故，所以.答案为：B解析：由，所以，由三角函数的基本关系，可得，所以，又，应选B．答案为：B解析：由于锐角，,,故,故,故应选B.答案为：B解析：由于sinαsinβ=1，－1≤sinα≤1，－1≤sinβ≤1，所以或者解得于是cos(α－β)=cosαcosβ＋sinαsinβ=1.答案为：A 解析：对比公式特征知，cosφ=，5、sinφ=－，故只有－合适.答案为：C.解析：在△ABC中，sinA=sin[π－(B＋C)]=sin(B＋C)．由于sinA=2sinCcosB，所以sin(B＋C)=2sinCcosB，即sinBcosC＋cosBsinC=2sinCcosB，n所以sinBcosC－cosBsinC=0，即sin(B－C)=0.又－180°＜B－C＜180°，所以B－C=0，即B=C，所以△ABC是等腰三角形．答案为：B；解析:原式=·=-=-cos=-.答案为：C.解析：由sinα－cosα=－，(sinα－cosα)2=6、1－2sinαcosα=1－sin2α=，所以sin2α=－.答案为：B.解析：f(x)=(1＋tanx)cosx=cosx=sinx＋cosx=2sin.∵0≤x，∴≤x ＋π，∴当x＋=时，f(x)取到最大值2.．答案为：－；解析：在△ABC 中，=－，所以sin2＋cos2A=sin2＋cos2A=cos2＋cos2A=＋2cos2A－1=－.答案为：p≤q；解析：由于p－q===≤0，所以p≤q.解：〔1〕f〔x〕==cos2x+cosx=2cos2x+cosx－1．〔2〕∵f〔x〕=2〔cos7、x+〕2－，且－1≤cosx≤1，n∴当cosx=－时，f〔x〕取得最小值－．证明：左边======右边，原题得证．解：(1)由于f(x)=(a ＋2cos2x)cos(2x＋θ)是奇函数，而y1=a＋2cos2x为偶函数，所以y2=cos(2x＋θ)为奇函数．又θ∈(0，π)，得θ=，所以f(x)=－sin2x·(a＋2cos2x)．由f=0，得－(a＋1)=0，即a=－1.(2)由(1)得f(x)=－sin4x，由于f=－sinα=－，即sinα=，又α∈，从而cosα=－，所以有sin=sinαcos＋cos8、αsin=.解：(1)由题意知OM=AD=BC=×2=1，∴MN=OMsin∠MOD ＋AB=1×＋1=，BN=OA＋OMcos∠MOD=1＋1×cos30°=1＋=，∴S△PMN=MN·BN=××=，即三角形铁皮PMN的面积为；n(2)设∠MOD=x,0＜x≤，则MN=OMsinx＋CD=sinx＋1，BN=OMcosx＋OA=cosx ＋1，∴S△PMN=MN·B N=(sinx＋1)·(cosx＋1)=(sinxcosx＋sinx＋cosx＋1)．令t=sinx＋cosx=sin(x＋)，由于0＜x≤，所以＜x＋9、≤，则有≤sin(x＋)≤1，所以1≤t≤，且t2=(sinx＋cosx)2=1＋2sinxcosx，所以sinxcosx=，故S△PMN=(＋t＋1)=(t2＋2t＋1)=(t ＋1)2，而函数y=(t＋1)2在区间[1，]上单调递增，故当t=时，y取最大值，即ymax=(＋1)2=，即剪下的三角形铁皮PMN的面积的最大值为.。
5.5.2-简单的三角恒等变换 2025年高考数学知识点题型及考项复习
+ cos
2
sin
2
2
−
2
,
= cos
cos
2
2
+ sin
sin ，
2
2
即 sin
2
所以sin
即tan
2
2
π
4
2
− cos
2
− cos
cos
2
= 1或tan
2
2
= 0或cos
2
故 =
π
4
=
2
2
= 0,
− sin
2
= 0,
= 1，又， ∈ 0, π
故 = 或 = .
cos = ± 1 −
π−
所以cos
2
=
5 2
13
=
π−
,则底角为
,由题意可知sin
2
12
π−
± ，所以cos
13
2
26 5 26
或
.
26
26
=
sin
2
=
1−cos
2
5
,所以
13
=
12
=
1±13
2
,
sin 4
6.化简：
1+cos 4
⋅
cos 2
1+cos 2
cos
⋅
1+cos
的交点，则( ABD
)
图5.5.2-1
2021年高考数学一轮复习 3.6简单的三角恒等变换课时达标训练 文 湘教版
2021年高考数学一轮复习 3.6简单的三角恒等变换课时达标训练 文 湘教版一、选择题1.设a ＝cos 6°－sin 6°，b ＝2sin 13°cos 13°，c ＝，则有（ ）A.a ＞b ＞cB.a ＜b ＜cC.b ＜c ＜aD.a ＜c ＜b【解析】a ＝sin 24°，b ＝sin 26°，c ＝sin 25°，∵sin 24°＜sin 25°＜sin 26°，∴a ＜c ＜b. 【答案】D2．已知A 、B 为直角三角形的两个锐角，则sin A ·sin B ( )A ．有最大值12和最小值0B ．有最小值12，无最大值C ．既无最大值也无最小值D ．有最大值12，无最小值解析： ∵A ＋B ＝π2，∴B ＝π2－A ，∴sin A sin B ＝sin A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝sin A cos A ＝12sin 2A .∵0＜A ＜π2，∴2A ∈(0，π)．∴0＜sin 2A ≤1.∴sin A sin B 有最大值12，无最小值．答案： D3．函数xx x x x x f cos sin 4πsin cos sin 22)(-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=是（ ）A.周期为的偶函数B.周期为的非奇非偶函数C.周期为的偶函数D.周期为的非奇非偶函数解析： 函数xx x x x x f cos sin 4πsin cos sin 22)(-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=，当且仅当，即时有意义，∴函数一定是非奇非偶函数，又，且无意义的点出现的周期为，故选B. 答案： B4．若cos α＝－，α是第三象限的角，则2tan12tan1αα-+＝( )A.－B.C.2D.－2【解析】∵cos α＝－且α是第三象限的角，∴sin α＝－，2154531cos sin 12sin 2cos sin 12sin 2cos 2sin 2cos 2sin 2cos 2sin2cos2sin 2cos2cos2sin2cos2cos2sin2cos2tan12tan 1222-=-=+=-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+=-+=-+∴ααααααααααααααααααααααα【答案】A5．(xx·上海模拟)函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2－2cos 2x －m 在 [0，]上有零点，则实数m 的取值范围是( ) A. ［－1,1］ B. ［1，］ C. ［－1，］ D. ［－，1］6.在斜三角形ABC 中，sin A ＝－cos B ·cos C ，且tan B ·tan C ＝1－，则角A 的值为（)A. B. C. D.【解析】由题意知，sin A ＝－cos B ·cos C ＝sin （B ＋C) ＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ，在等式－cos B ·cos C ＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C 两边同除以cos B ·cos C 得tan B ＋tan C ＝－，又tan （B ＋C)＝＝－1＝－tan A ， 即tan A ＝1，所以A ＝. 【答案】A二、填空题7．(2011·天津模拟)若锐角α、β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝________.解析： 由(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，可得tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，即tan(α＋β)＝ 3.又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝π3.答案： π38．若＝2 013，则＝ .【解析】θθθθθ2tan sin cos 12tan 2cos 122+-=+()()θθθθθθθθθθθθθθtan 1tan 1tan 1)tan 1(1tan tan 1tan 2tan 11tan 2tan sin cos cos sin 22222222-+=-++=-+-+=+-+= ＝2 013.【答案】2 0139．设α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2，且53sin α＋5cos α＝8，2sin β＋6cos β＝2，则cos(α＋β)的值为________．【解析】 由53sin α＋5cos α＝8得，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35.又β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2， 由已知得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π3＝22， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫β＋π3＝－22.∴cos(α＋β)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋（α＋β）＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π3＝－210.【答案】 －21010.设α∈，函数f (x)的定义域为［0，1］，且f (0)=0,f (1)=1，当x≥y 时，f = f (x)sin α+(1-sin α)f(y)，则f = ;f = . 解析： ∵f = f = f (1)sin α+(1-sin α) f (0)=sin α,∴f = f = f sin α+(1-sin α) f (0)=sin 2α,∴f = f = f (1)sin α+(1-sin α) f =sin α-sin 2α,又f = f = f sin α+(1-sin α) f =3sin 2α-2sin 3α,∴sin α=(3-2sin α)sin 2α,∴sin α=0或sin α=或sin α=1, ∵α∈,∴sin α=,∴f =, f =. 答案： 三、解答题11．已知函数y ＝sin α＋cos α－4sin αcos α＋1. (1)求y 的最大、最小值；(2)若2sin 2α＋sin 2α1＋tan α＝k ，π4＜α≤π2，把y =f (k )的取值范围．解析： （1）设[]2,24πsin 2cos sin -∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=αααt，且()22sin cos 12sin cos t αααα=+=+，∴，∴221922,2,248y t t t t ⎛⎫⎡⎤=-+=--+∈- ⎪⎣⎦⎝⎭ max min 29,228x y y y =-===--；（2）∵k ＝2sin 2α＋sin 2α1＋tan α＝2sin 2α＋2sin αcos α1＋sin αcos α＝2sin αsin α＋cos αcos α＋sin αcos α＝2sin αcos α，∴(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋k . ∵π4＜α≤π2，∴sin α＋cos α＞0.∴sin α＋cos α＝1＋k . ∴y ＝1＋k －2k ＋1.由于k ＝2sin αcos α＝sin 2α，π4＜α≤π2，∴0≤k ＜1.∴f (k )＝1＋k －2k ＋1(0≤k ＜1)． ∴()41'22121kf k k k+=-=++，由∴恒成立，即在定义域上单调递增∴即的取值范围是12. (xx·南京29中月考)(1)设0<α<π，π<β<2π，若对任意的x ∈R ，都有关于x 的等式cos(x ＋α)＋sin(x ＋β)＋cos x ＝0恒成立，试求α，β的值；(2)在△ABC 中，三边a ，b ，c 所对的角依次为A ，B ，C ，且2cos 2C ＋sin 2C ＝3，c ＝1，S △ABC ＝，且a >b ，求a ，b 的值.13．已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos B 2，12与向量n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，cos B 2共线，其中A 、B 、C 是△ABC 的内角．(1)求角B 的大小；(2)求2sin 2A ＋cos(C －A )的取值范围.解析： (1)∵向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos B 2，12与向量n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，cos B 2共线，∴cos B 2cos B 2＝14.∴cos B 2＝±12.又0＜B ＜π，∴0＜B 2＜π2，cos B 2＝12.∴B 2＝π3，即B ＝2π3. (2)由(1)知A ＋C ＝π3，∴C ＝π3－A .∴2sin 2A ＋cos(C －A )＝2sin 2A ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2A＝1－cos 2A ＋12cos 2A ＋32sin 2A ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π6. ∵0＜A ＜π3，∴－π6＜2A －π6＜π2.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1. ∴1＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2， 即2sin 2A ＋cos(C －A )的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2.-31091 7973 祳26095 65EF 旯22077 563D 嘽22161 5691 嚑 *234132 8554 蕔37258 918A 醊23585 5C21 尡 534941 887D 衽。
第25讲+简单的三角恒等变换(考点串讲课件)-2025年高考数学大一轮复习核心题型讲与练
2sin80°
6
＝
＝
＝
＝ ，故选C.
3cos10°
3cos10°
3cos10°
2 3cos10°
6
4. [2024广东阳江模拟]已知α∈(0，π)，若 3 ( sin α＋ sin 2α)＋ cos α－ cos 2α＝0，
则 sin
A.
2
2
π
(α－ )＝(
12
)
C
B.
3
(1)已知正切函数值，选正切函数.
π
2
(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数.若角的范围是(0， )，选正、余弦函
数
π
2
π
2
皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦函数较好；若角的范围为(－ ， )，选正弦
函
数较好.
注意
所选函数尽量在确定的角的范围内单调，即一个函数值只对应一个角，避免
产生多解.
2. 准确缩小角的范围也是求解的关键.常见的缩小角范围的方法：一是灵活运用
5
2
2 5
3π
.因为β∈[π， ]，所以α＋β∈
5
2
cos (β－α)＝－
1 − sin2 （
3 10
− ） ＝－
，所
10
以
cos (α＋β)＝ cos [2α＋(β－α)]＝ cos 2α cos (β－α)－ sin 2α·sin
(－
3 10
5
10
2
5π
7π
)－ ×
＝ .又α＋β∈( ，2π)，所以α＋β＝ .
π
(α＋ )·sin
4
π
4
π
2021年高考数学(理)复习学与练：4.5 三角恒等变换(精讲)(学生版)
或差的关系．
(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)
α＋β α－β α＋β α－β α－β
βα
－β，β＝ 2 － 2 ，α＝ 2 ＋ 2 ， 2 ＝(α＋2)－(2＋β)等． 1
【变式探究】 (2020·哈尔滨三中模拟) 已知 cos(75°＋α)＝3，则 cos(30°－2α)的值为________。
＝
；
(3)tan 2α＝
．
3．辅助角公式
b
a
asin α＋bcos α＝ a2＋b2sin(α＋φ)(其中 sin φ＝ a2＋b2，cos φ＝ a2＋b2.)
【特别提醒】
1．公式的常用变式
tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)； 2sin αcos α 2tan α
【方法技巧】公式的一些常用变形
(1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β；
(2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β； αα
(3)1±sin α＝(sin 2±cos 2)2；
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4
高考复习·学与练
2sin αcos α 2tan α (4)sin 2α＝sin2α＋cos2α＝tan2α＋1 ；
高频考点三 三角函数式的变换
1
π
【例３】（2020·河北省石家庄质检）已知 tan θ＋tan θ＝4，则 cos2(θ＋4)＝( )
1
1
A.2
B.3
1
1
C. 4
D.5
【方法技巧】
(1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时，“所求角”一
2021高三数学北师大版(文)：简单的三角恒等变换含解析
编 辑：__________________
时 间：__________________
第2课时 简单的三角恒等变换
(对应学生用书第74页)
⊙考点1三角函数式的化简
1．三角函数式的化简要遵循“三看”原则
2．三角函数式化简的方法
(1)弦切互化、异名化同名、异角化同角、降幂或升幂．
①已知正切函数值、则选正切函数．
②已知正、余弦函数值、则选正弦或余弦函数．若角的范围是 、则选正、余弦皆可；若角的范围是(0、π)、则选余弦较好；若角的范围为 、则选正弦较好．
提醒：求解此类问题时、一定要注意所求角的范围及解题过程中角的范围．
1.(20xx·安徽六安二模)若sin 2α＝ 、sin(β－α)＝ 、且α∈ 、β∈ 、则α＋β的值是()
(2)在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律、根号中含有三角函数式时、一般需要升次．
(1)化简： ＝________.
(2)已知cos ＝ 、θ∈ 、则sin ＝________.
(3)已知α为第二象限角、且tanα＋tan ＝2tanαtan －2、则sin ＝________.
A. B.
C. D. 或
(2)已知α、β∈(0、π)、且tan(α－β)＝ 、tanβ＝－ 、则2α－β的值为________．
(1)C(2)－ π[(1)∵α、β为钝角、sinα＝ 、cosβ＝－ 、
∴cosα＝－ 、sinβ＝ 、
∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝ ＞0.
又α＋β∈(π、2π)、∴α＋β∈ 、
cosα＝cos ＝－ 、sinα＝－ 、sin 2α＝ .
简单的三角恒等变换(学生版)
简单的三角恒等变换学习过程知识点1： 各个公式熟练掌握诱导公式，两角和差的正弦、余弦、正切公式。
知识点2 ：三角恒等变换主要包括：①角的变换——异角变同角②名的变换——异名化同名③式的变换——幂的升降等典型例题例题1、 求证αββαβαβα2222tan tan 1cos sin )sin()sin(-=-+．例题2、 已知：sin β＝ｍ·sin (2α＋β)，求证：tan (α＋β)＝m m -+11t anα例题3、 求tan 70°＋tan 50°－3tan 50°tan 70°的值.例题4、若A 、B 、C 是△ABC 的内角，cosB ＝12, sinC ＝35, 求cosA 的值.简单的三角恒等变换（基础训练）1． 若51124παπ<<，sin2α=－45，求tan 2α________________ 2． 已知sinθ=35-，73<<2ππθ，则tan 2θ的值为___________． 3． 已知3sin +cos = 225αα-，且5<<32παπ，则cot 4α的值为____________． 4．已知α为钝角、β为锐角且4sin 5α=，sinβ= 1213，则cos 2αβ-的值为____________． 5、设5π＜θ＜6π，cos2θ=a ，则sin 4θ的值等于________________6．化简1+sin2cos 21+sin2cos 2θθθθ-+7、求证：2sin （4π－x ）·sin （4π+x ）=cos2x ．8、求sin15°，cos15°，tan15°的值简单的三角恒等变换（强化训练）1、①化简：sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ＝ ②化简：＝. 2、12sin 702sin170-︒︒的值等于３、3cos 5α=-，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，12sin 13β=-，β是第三象限角，则=-)cos(αβ（ ） A 、3365- B 、6365 C 、5665 D 、1665- ４、已知()()tan 3,tan 5αβαβ+=-=，则()tan 2α的值为（ ）A 47-B 47C 18D 18- ５、求证：2212sin cos 1tan cos sin 1tan a a a a a a -⋅-=-+６、设－3π＜α＜52π-，化简1cos()2a π--简单的三角恒等变换（提高训练）１、βα,都是锐角，且5sin 13α=，()4cos 5αβ+=-，则βsin 的值是（ ） A 、3365 B 、1665 C 、5665 D 、6365 ２、)4,43(ππ-∈x 且3cos 45x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭则cos2x 的值是（ ） A 、725- B 、2425- C 、2425 D 、725３、 函数44sin cos y x x =+的值域是（ ）A []0,1B []1,1-C 13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦４、求证：4sinθ·2cos 2θ=2sinθ+sin2θ．５、设25sin2x+sinx －24=0，x 是第二象限角，求cos 2x的值６、已知sinα=1213，sin （α+β）=45，α与β均为锐角，求cos 2β三角恒等变换测试题一、选择题1．设2132tan131cos50cos6sin 6,,,221tan 132a b c -=-==+则有（）A .a b c >>B .a b c <<C .a c b <<D .b c a <<2．函数221tan 21tan 2xy x -=+的最小正周期是( )A ．4πB ．2πC ．πD ．2π3．sin163sin 223sin 253sin313+=（ ）A ．12- B ．12 C ．32- D ．324．已知3sin(),45x π-=则sin 2x 的值为（ ）A .1925 B .1625 C .1425 D .7255．若(0,)απ∈，且1cos sin 3αα+=-，则cos 2α=( ) A ．917 B ．179± C ．179-D ．317 6．函数x x y 24cos sin +=的最小正周期为（ ）A ．4πB ．2π C ．π D ．2π 二、填空题1．已知在ABC ∆中，3sin 4cos 6,4sin 3cos 1,A B B A +=+=则角C 的大小为 ．2．计算：oo o oo o 80cos 15cos 25sin 10sin 15sin 65sin －＋的值为_______． 3．函数22sincos()336x x y π=++的图象中相邻两对称轴的距离是 ． 4．函数)(2cos 21cos )(R x x x x f ∈-=的最大值等于 ． 5．已知)sin()(ϕω+=x A x f 在同一个周期内，当3π=x 时，)(x f 取得最大值为2，当 0=x 时，)(x f 取得最小值为2-，则函数)(x f 的一个表达式为______________．三、解答题1. 求值：（1）000078sin 66sin 42sin 6sin ； （2）00020250cos 20sin 50cos 20sin ++。
高考数学一轮复习专题4.3简单的三角恒等变换(测)(2021年整理)
（浙江专版）2019年高考数学一轮复习专题4.3 简单的三角恒等变换（测）编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（浙江专版）2019年高考数学一轮复习专题4.3 简单的三角恒等变换（测））的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
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第03节简单的三角恒等变换班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题:本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【2018年全国卷Ⅲ文】函数的最小正周期为（ )A。
B. C。
D。
【答案】C2。
【2018届浙江省台州市高三上期末】已知为锐角，且，则A. B。
C. D。
【答案】D【解析】，故选D。
3.【2017山东，文4】已知，则A. B。
C. D.【答案】D【解析】由得，故选D.4.已知，则（）A． B． C． D．【答案】B5.【2018届黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学三模】已知,则=（ )A. B。
C. D.【答案】B【解析】分析:首先根据差角公式将题中所给的式子拆开,化简得到,之后将其平方，求得，利用正弦的倍角公式求得结果.详解：因为，所以，将式子两边平方得，所以,故选B.6。
已知，且满足,则值（）A． B．－ C． D．【答案】C【解析】，整理可得,解得或．因为，所以．．故C正确．7．【2018河北内丘中学8月】若，则（）A。
B. C。
D.【答案】C【解析】由题意可得: ，据此整理可得：，则：.本题选择C选项。
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第25讲 简单的三角恒等变换（达标检测）
[A 组]—应知应会
1．（2020•赤峰模拟）1tan15(tan15︒-
=︒ )
A ．
B ．
C ．-
D ．4
2．（2020•赣州模拟）若cos78m ︒=，则sin(51)(-︒= )
A ．
B ．
C D
3．（2019秋•临沂期末）若θ( ) A ．2tan θ B ．2tan θ- C ．2tan θ- D ．2tan θ
4．（2019秋•沙坪坝区校级期末）
sin53sin 23cos30(cos23︒-︒︒=︒ )
A ．1
B ．12
C
D 5．（2019秋•丽水期末）若1cos sin 4x y +=
，则2sin sin x y -的取值范围是( ) A ．[1-，2] B ．5[,1]4- C ．7[,1]16- D ．9[,1]16
- 6．（2020•来宾模拟）若tan()34
πα+=-，则2sin 2cos (αα-= ) A ．35 B ．25- C ．1- D ．3
7．（2020•宜宾模拟）已知(0,)2
πα∈，且223sin 5cos sin 20ααα-+=，则sin 2cos2(αα+= ) A ．1 B ．2317- C ．2317-或1 D ．1-
8．（2020•陕西二模）已知
sin 2cos 5sin 2cos αααα+=-，则21cos sin 2(2αα+= ) A ．25- B ．3 C ．3- D ．25
9．（2020•沈阳三模）被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”在生产和科
研实践中得到了非常广泛的应用，0.618就是黄金分割比m 的近似值，黄金分割比还可以表示成
2sin18︒(= )
A ．4
B 1
C ．2
D 1-
10．（2020•长治模拟）cos75cos15︒-︒的值是 ．
11．（2020•武昌区模拟）给出以下式子：
①tan 25tan3525tan35︒+︒︒︒； ②2(sin35cos25cos35cos65)︒︒+︒︒； ③1tan151tan15+︒-︒
的式子的序号是 ．
12．（2019秋•费县期末）若tan 3α=，则sin 2tan()
4α
π
α+的值为 ． 13．（2020春•郑州期末）已知3sin()65x π+=-，则25sin ()sin()36
x x ππ---的值 ． 14．（2020春•徐汇区校级期中）设x ，(0,)y π∈，且满足222222sin cos cos cos sin sin 1sin()
x x x y x y x y -+-=+，则x y -= ．
15．（2020春•启东市校级月考）化简000001cos201sin10(tan5)2sin 20tan5
+--的值为 ． 16．（2020春•驻马店期末）化简求值： （Ⅰ）sin 70sin50cos10︒+︒︒
； （Ⅰ）4cos50tan40︒-︒．
17．（2020春•皇姑区校级期中）化简求值：
（1）
sin(900)sin(270)cos(270)tan(720)tan(450)tan(810)sin()x x x x x x x ︒-︒+︒-︒-︒-︒--； （2）
1tan5tan10tan5tan101tan5tan10tan5tan10+︒+︒-︒︒-︒-︒-︒︒．
18．（2020春•河南月考）已知(0,)απ∈，且75sin(
)cos()22ππαα-++=．
（1）求cos sin + （2）求33sin 5cos 4sin 2cos αααα
-+值．
19．（2020春•揭阳期末）已知3sin()cos()tan()cos()222()sin(2)tan()sin()f πππααπαααπααπαπ-
-++=
-----． （1）化简()f α；
（2）若α是第三象限角，且31cos()25πα-=，求()f α．
20．（2020春•平城区校级月考）已知4sin 2cos 63sin 5cos 11
θθθθ-=+，求下列各式的值， （1）22252sin cos 3cos sin cos θθθθθ
+-； （2）214sin cos 2cos θθθ-+．
[B 组]—强基必备
1．（2019•南京四模）在ABC ∆中，若222cos cos cos 1A B C ++<，sin B ，则2(tan 2)sin 2A C -的最小值为 ．。