复变函数柯西积分公式

C
z0
D

C
f (z) dz 将接近于 z z0

C
f ( z0 ) dz . ( 减小) z z0

C
1 f ( z0 ) dz 2 if ( z0 ). dz f ( z0 ) C zz z z0 0
4
二、柯西积分公式
定理 设f ( z )在简单(或复合)闭曲线C上及所围 区域D内解析, 则对任意z0 D,皆有
C2

K
f ( z ) f ( z0 ) dz z z0

f ( z ) f ( z0 ) z z0
K
ds

ds 2 π . R
K
[证毕]
6
三、典型例题
例1 计算I e z
z
C

dz , 其中C为 i
C1 O
y
2 (1) | z | 1; (2) | z | 2.
f (z) f (z) 则 C z z0 dz K z z0 dz f ( z0 ) f ( z ) f ( z0 ) K z z0 dz K z z0 dz
2 if ( z0 )
K
C1
C
z0 R
K
D
f ( z ) f ( z0 ) dz z z0
解： e z 在复平面上处处解析
x
i 2
(1) I 0 (?).
C2Biblioteka Baidu
i
(2) I 2 i e


2
2 i ( i ) 2 .
7
sin z 例2 计算I C z 2 1 dz , 其中C为 | z | r 1.
解：被积函数有奇点 i 和 -i.
y C C1 O C2
相同点： (1) 均是沿围线的积分，且围线内只有一个奇点； (2) 被积函数均为分式； (3) 积分值均跟 2 i 有关 。
2
积分值等于被积函数中的分子在使分母为零的点处 的函数值与2 i的乘积。
设D 单连通, f ( z )在D内 解析, z0 D, C 是D内围绕 z0的一条闭曲线,
f (z) f ( z ) 一般 则 在z0不解析. dz 0. C zz z z0 0
C
z0
D

C
f (z) dz f ( z0 ) 2 i z z0
3
C： | z z0 |
由 f ( z ) 的连续性,
函数 f ( z )在 C 上 的值将随 着 的缩小而逐渐接近于 它在圆心 z0 处的值,
提示：应用柯西积分公 式计算 .
9
四、小 结
如果f ( z )在简单(或复合)闭曲线C 上及所围区域 D内解析, 则

C
f (z) dz 0. z z0

C
f (z) dz f ( z0 ) 2 i z z0
10
柯西积分公式
定理 设f ( z )在简单(或复合)闭曲线C上 及所围区域D内解析, 则对任意z0 D,皆有
i
i
x
I
f (z)
C1
sin z sin z dz dz 2 2 C2 z 1 z 1
(sin z ) /( z i ) (sin z ) /( z i ) dz dz C1 C2 zi zi
si ni si n ( i ) 2 i 2 i 2 si ni . ii ii
推论2 若f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y )在区域D内 解析，则u和v在D内具有任意阶连续偏导数.
它从理论上揭示了解析函数的又一重要特征.
( n)
8
例3
1 求积分I 2 i
sin z dz . z z 4
1 解 I 2 i
si nz dz si nz z 0 0. z z 4
cos z 例4 计算I C z( z 2) dz , 其中C为 (1) | z | 1; ( 2) | z | 3.
f (z) f ( z0 ) dz . 2 i C z z0
证
1
因为 f ( z ) 在 z0 连续,
( ) 0,
C
则 0,
z0
D
当 z z0 时,
f ( z ) f ( z0 ) .
5
设以 z0 为中心, 半径为 R ( R ) 的正向圆周K : z z0 R全在 C 的内部,
定理6 设f ( z )在简单(或复合)闭曲线C 上及 所围区域D内解析, 则他在D内具有任意阶导 数，且对任意z0 D, 都有
f
( n)
n! ( z0 ) 2 i

f (z) ( z z0 )
n 1
C
dz
( n 1,2, ).
13
推论1 设f ( z )在简单(或复合)闭曲线C 上及 所围区域D内解析, 则f 中n为自然数。
z2 dz 2 i , 3 ( z 2) | z 2| 1
经思索、观察，它可写成
2 [( z )'']z 2 z dz 2 i 3 ( z 2) 2! | z 2| 1 2
12
提问：当f (z)满足一定条件时，会有
f ( n ) ( z0 ) f (z) dz 2 i n 1 ( z z0 ) n! | z z0 | R
3.4 柯西积分公式
一、 问 题 的 提 出 二、 柯 西 积 分 公 式
三、 典
四、 小
型
例
结
题
1
一、问题的提出
回忆 上节课的两个结果
y
2z 1 z 1 dz 2 i z

C1

C2
2z 1 z dz 2 i z 1
C1
o
1
C2 x
C1 , C2分别是以0， 1为圆心的两个相互外离的正向圆周.
f (z) f ( z0 ) dz . 2 i C z z0
11
1
4.3
高阶导数公式
在以前的讨论中我们曾不止一次的看到：新东 西的发现常常属于勤于观察、善于观察的人。
( z 2 )' 2z, (sin z )' cos z, (cos z )' sin z
提问：解析函数的导数仍是解析函数？