1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质(1)

C
0 5
C
1 5
C
2 5
C
3 5
C
4 5
C
5 5
1 5 10 10 5 1
第6行-
C
0 6
C
1 6
C
2 6
C
3 6
C
4 6
C
5 6
C
6 6
1 6 15 20 15 6 1
(a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6 (a+b)n
C10 C11
C
0 2
C12
C
2 2
含x的项等于( )
A.210 B.120 C.461 D.416
课堂练习
1、已知
a x
x 2
的9 展开式中x3的系数
为 9 ，则常数a的值是_______
4
2、在(1-x3)(1+x)10的展开式中x5的系数是（
）
A.-297 B.-252 C. 297 D. 207
3、(x+y+z)9中含x4y2z3的项的系数是 _4_._已_知__(_1_+_x2_)n展开式中含x-2的项的系数为12，求n.
5.求值：
(1)1
C
1 5
22
C
2 5
24
C
3 5
26
C
4 5
28
C
5 5
210
(2)310 39 C110 38 C120 37 C130 36 C140 35 C150
34 C160 33 C170 32 C180 3C190
3）若 (a b)n的展开式中的第十项和第十一项的
19 二项式系数最大，则n=
；
3、在(a＋b)10展开式中，二项式系数最大的 项是( A ).
A 第6项 C 第6项和第7项
B 第7项 D 第5项和第7项
4、(1-x2)9 展开式中系数最大的项是 T5=126x8 ，
系数最小的项是 T6= -126x10 ， 二项式系
变式引申：填空
1） 230 3 除以7的余数是
2）5555 15 除以8的余数是
； 。
例5、求 1.9975 精确到0.001的近似值。
课堂练习：
1.
C
1 n
2C
2 n
4C
3 n
2
n1
C
n n
等于
（）
A. 3n B. 3n 1 C. 3n 1 D. 3n 1
2
2
2．在
x2
3x
2
5
的展开式中x的系数为（
11 121
C03 C13
C32
C
3 3
C
0 4
C14
C
2 4
C
3 4
C
4 4
1 33 1 1 4641
C05 C15 C52
C
3 5
C
4 5
C
5 5
1 5 10 10 5 1
C06
C16
C62
C
3 6
C64 C56 C66
1
Cn0 Cn1 Cn2 … Cnr … Cnn
6 15 20 15 6 1
A 第２项 B 第３项 C 第４项 D 第５项
2、若（a+b）n的展开式中，第三项的二项式 系数与第五项的二项式系数相等， 则n=____6______
课堂练习：
a+b 1）已知 C155 a, C195 ，b 那么 C1160=
；
2）(a b)9 展开式中, 二项式系数最大值C94 =C；95
m n
C m1 n
Cm n 1
Cnm
C nm n
c) 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等
第1行———
C
10C
1 1
第2行——
C
0 2
C
1 2
C
2 2
第3行—-
C
0 3
C
1 3
C
2 3
C
3 3
第4行—
C
0 4
C
1 4
C
2 4
C
3 4
C
4 4
对称
11 121 1 33 1 1 4641
第5行--
问题：从图中你能得出哪些性质？
11 121 1 33 1 1 46 41 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
a) 表中每行两端都是1
b) 除1外的每一个数都等于它肩上两个数的和
1C
101C
1 1
C1
0 2
C 22
1 2
1C1
2 2
C1
0 3
C3
1 3
3C3
2 3
1C
3 3
a
n
k
b
k
Cnnbn
（1）C
m n
C nm n
（2）C
m n
C m 1 n
Cm n 1
（3）二项式系数是前增后减，中间项取得最大
（4） 奇数项与偶数项的二项式系数之和相等
C
0 n
C
1 n
C
n n
2n
∴
C
0 n
+C
2 n
+C
4 n
+
Cn1
C
3 n
+C
5 n
+
2n1
练习： 1、在(a＋b)６展开式中，与倒数第三项二 项式系数相等是( B )
C
k n
a
nk
b
k
Cnnbn
取a 1, b 1得
C
0 n
Cn1
+Cn2
1k Cnk
1n Cnn 0
∴
C
0 n
+Cn2
+C
4 n
+
Cn1
C
3 n
+Cn5
+
2n1
性质4 奇数项的二项式系数之和等于偶数的二项式系数之和.
a b
n
C
0 n
a
n
C
1 n
a
n
1b1
+
二项式系数的性质
C
k n
A .83 B.84 C.85
D.86
例2、在 (
x
2 x2
)8的展开式中，
1）系数的绝对值最大的项是第几项？
2）求二项式系数最大的项；
3）求系数最大的项；
4）求系数最小的项。
练习： (1)求（x+2y）7展开式中系数最大的项；
(2)求（x-2y）7展开式中系数最大的项。
例3 求证: 32n2 8n 9 (n N *)能被 64 整除.
3、二项展开式的二项式系数
Cn0 , Cn1 ,Cn2 ,
,
C
n n
4、如何求最大系数？
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
(a+b)1 (a+b)2 (aFra Baidu bibliotekb)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6
C10 C11
C
0 2
C
1 2
C
2 2
C30
C
1 3
C32 C33
C
0 4
C
1 4
C
2 4
且最大 当n为奇数时C，n2
最大
n1
Cn2 =
（4）
C
0 n
C
1 n
C
n n
2n
例1、若(
x+
1 24 x
)n 展开式中前三项系数成等差数列，
求（1）展开式中含x的一次幂的项；
（2）展开式中所有x 的有理项；
（3）展开式中系数最大的项。
练习：( 2 3 3)100的展开式中，无理项的个数
是（ B ）
5.已知（10+xlgx）5的展开式中第4项为106，求x的值.
1.3.2“杨辉三角” 与二项式系数的性
质(二)
一般地，(a b)n 展开式的二项式系数
C
0 n
,
C
1 n
,
C
n n
有如下性质：
（1）
C
m n
C nm n
（对称性）
（2）
C
m n
C m1 n
Cm n 1
n
（3）当n为偶数时C，n2 n1
C140 C4441 C6642
4C
3 4
1C
4 4
C1
0 5
C5
1 5
C110052
1C0
3 5
C5
4 5
1C
5 5
C1
0 6
C661
C1562
C2063
1C5
4 6
C6
5 6
C1
6 6
例如：2+1=3
4+6=10
因为：C21 +C22 = C32 = 3 C41 +C42 = C52 = 10
C
C
3 4
C
4 4
C
0 5
C
1 5
C
2 5
C53
C
4 5
C
5 5
C
0 6
C
1 6
C
2 6
C
3 6
C
4 6
C
5 6
C
6 6
11 121 1 33 1 1 46 41 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
二项式系数表
《 杨辉 三角
详
解
九 章
杨
算
辉
法
》
记
载
的
表
以上二项式系数表,早在我 国南宋数学家杨辉1261年所著的《 详解九章算法》一书里就已经出现了，这个表称为杨辉三角， 杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪 （约公元11世纪）已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于11 世纪。杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右，由此可见我国 古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的。
d).当n为偶数如2、4、6时，中间一项最大 当n为奇数如1、3、5时，中间两项最大
f（r）
20 15
6 1
On n
2
n为偶数； 如n=6
f（r）
35 30
20
10
n为奇数； 如n=7
O r
3 n4
2
7
n
①关于r=n/2对称
②r=3和r=4时取得最大值
a b
n
C
0 n
a
n
Cn1a n1b1 +
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
11 121 13 31 14 6 41 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
……
1、二项式定理
a b
n
C
0 n
a
n
C
1 n
a
b n1 1
+
Cnk a nkbk
Cnnbn
2、二项展开式的通项公式
Tr 1
C
r n
a
n
r
b
r
数最大的项是 126x8
-126x10 .
例3： (1 2x)n的展开式中第6项与第7项的系
数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最
大的项。
变式引申：
1、(x y)7的展开式中，系数绝对值最大的项是（ ）
A.第4项 B.第4、5项 C.第5项 D.第3、4项
2、若
(x3
1 x2
)n
展开式中的第6项的系数最大，则不
）
A．160
B．240
C．360
D．800
3.求(1 x) (1 x)2 (1 x)16
的展开式中 x3 项的系数.
4．已知(1 x) (1 x)2 L (1 x)n
a0 a1x a2 x2 L an xn , a1 a2 an1
29 n(n N, n 1), 那么(1 y)6的展开式中含 y n项的系数是 .
证明： ∵
例4 今天是星期五，那么 8100 天后是星期几？
8100 （ 7 1 ）100
C10007100 C110那07么99 31000 天后C1r007100r
C1909071是星C11期0000 几？ （7 C1000799 C19090） 1
余数是1， 所以是星期六