高考数学一轮复习 第五章 数列 5.3 等比数列及其前n项和(理)
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(1)通项公式的推广:an=am·qn-m(m,n∈N*). (2)对任意的正整数m,n,p,q,若m+n=p+q,则______
am·an =______. 特a别p·地a,q 若m+n=2p,则_________.
am·an=ap2
(3)若等比数列前n项和为Sn,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m仍成等
答案:2n-1
【规律方法】等比数列运算的思想方法 (1)方程思想:设出首项a1和公比q,然后将通项公式或 前n项和公式转化为方程(组)求解. (2)整体思想:当所给条件只有一个时,可将已知和所求 结果都用a1,q表示,寻求两者联系,整体代换即可求.
(3)利用性质:运用等比数列性质,可以化繁为简、优化 解题过程. 易错提醒:在使用等比数列的前n项和公式时,如果不确 定q与1的关系,一般要用分类讨论的思想,分q=1和q≠1 两种情况.
第三节 等比数列及其前n项和
【知识梳理】
1.等比数列的有关概念
(1)定义:
①文字语言:从______起,每一项与它的前一项的___都
等于___一个常数第.2项
比
②符号同语言:______(n∈N*,q为非零常数).
a n1 q an
(2)等比中项:如果a,G,b成等比数列,那么_G_叫做a与b
__. qk
【特别提醒】 1.等比数列的概念的理解 (1)等比数列中各项及公比都不能为零. (2)由an+1=qan(q≠0),并不能断言{an}为等比数列,还 要验证a1≠0. (3)等比数列中奇数项的符号相同,偶数项的符号相同.
2.等比数列{an}的单调性
(1)满足 (2)满足 (3)当
a q a 0
1 1
1q时00 ,, 1或 ,或 {an}a0 aq1为1q常01 0, ,数1时时列,,{.{aan}n}是是递递减增数数列列..
(4)当q <aq 10时1 0 ,, {an}为摆动数列.
【小题快练】
链接教材 练一练
1.(必修5P54习题2.4A组T8改编)在3与192中间插入两
.
S3 2
S3
【解析】S3,S6-S3,S9-S6成等比数列,
则(S6-S3)2=S3·(S9-S6),
由
S6 1
知S6= 1 S3,
则 S 3 2=S3·(S92-S6),
所以14 SS3 29= S3,所以
答案: 3
S9 3 .
4
S3 4
3
4
感悟考题 试一试
3.(2016·开封模拟)已知{an}为正项等比数列,Sn是它
的等比中项.即:G是a与b的等比中项⇔a,G,b成等比数
列⇒G2=___. ab
2.等比数列的有关公式
(1)通项公式:an=_a_1q_n_-_1 .
(2)前n项和公式:Sn=
_n_a_1，q1，
a
1
1 qn
a1
a nq
___1___q_______1___q ____，q1.
3.等比数列的性质
比数列,即(S2m-Sm)2=_S_m_(_S_3m_-_S_2_m)_(m∈N*,公比q≠-1). (4)数列{an}是等比数列,则数列{pan}(p≠0,p是常数)
也是_____数列. 等比
(5)在等比数列{an}中,等距离取出若干项也构成一个
等比数列,即an,an+k,an+2k,an+3k,…为等比数列,公比为
个数,使它们同这两个数成等比数列,则这两个数
为
.
【解析】设该数列的公比为q,由题意知, 192=3×q3,q3=64,所以q=4. 所以插入的两个数分别为3×4=12,12×4=48. 答案:12,48
2.(必修5P62习题2.5B组T2改编)设等比数列{an}的前
n项和为Sn,若 S 6 1 , 则 S 9 =
.
【解析】方法一:各项均为正数的等比数列{an}中
a10a11=a9a12=…=a1a20,
则a1a20=e5,
lna1+lna2+…+lna20=ln(a1a20)10=lne50=50.
方法二:各项均为正数的等比数列{an}中 a10a11=a9a12=…=a1a20, 则a1a20=e5, 设lna1+lna2+…+lna20=S, 则lna20+lna19+…+lna1=S,2S=20ln(a1a20)=100,S=50. 答案:50
考向一 等比数列的性质及基本量的计算
【典例1】(1)(2015·全国卷Ⅱ)等比数列{an}满足
a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7= ( )
A.21
B.42
C.63
D.84
(本题源自A版必修5P51例3)
(2)(2016·石家庄模拟)设{an}是公比大于1的等比数
列,Sn为数列{an}的前n项和.已知S3=7,且a1+3,3a2,a3+4
构成等差数列,则an=
.
【解题导引】(1)根据a3+a5+a7与a1+a3+a5的联系求解. (2)将已知条件转化为a2的方程组,求得a2,再利用S3=7 求得公比q,进而求解.
【规范解答】(1)选B.设等比数列的公比为q,则 a1+a1q2+a1q4=21, 又因为a1=3,所以q4+q2-6=0, 解得q2=2,a3+a5+a7=(a1+a3+a5)q2=42.
a1+a4=9,a2a3=8,则数列{an}的前n项和等于
.
【解析】a1 a1q 3 9， ⇒a1=1,q=2,
所以Sn=
a
1
2
q=32n-81.
1 2n
答案:2n-1
1 2
5.(2014·广东高考)若等比数列{an}的各项均为正数,
且a10a11+a9a12=2e5,则lna1+lna2+…+lna20=
(解2得)由a2已=2知.设得数:列aa1 1{aa3n2}的2a3a公3 7比，4为q3,a2由. a2=2,
可得a1= 2 ,a3=2q.
又S3=7,可q 知 +2+2q=7,即2q2-5q+2=0,解得q1=2,q2= .
由题意得q>1,q2 所以q=2,所以a1=1.
1 2
故数列{an}的通项为an=2n-1.
的前n项和,若a1=16,且a4与a7的等差中项为 ,则S5的 9
值为 ( )
8
A.29
B.31
C.33
D.35
【解析】选B.由题可得a4+a7= 9 ×2,即a1q3+a1q6= 9 ,
百度文库
8
4
解得q= 1 (由于数列是正项等比数列,负值舍去),故S5=
2
a1 1 q5 31. 1q
4.(2015·安徽高考)已知数列{an}是递增的等比数列,
am·an =______. 特a别p·地a,q 若m+n=2p,则_________.
am·an=ap2
(3)若等比数列前n项和为Sn,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m仍成等
答案:2n-1
【规律方法】等比数列运算的思想方法 (1)方程思想:设出首项a1和公比q,然后将通项公式或 前n项和公式转化为方程(组)求解. (2)整体思想:当所给条件只有一个时,可将已知和所求 结果都用a1,q表示,寻求两者联系,整体代换即可求.
(3)利用性质:运用等比数列性质,可以化繁为简、优化 解题过程. 易错提醒:在使用等比数列的前n项和公式时,如果不确 定q与1的关系,一般要用分类讨论的思想,分q=1和q≠1 两种情况.
第三节 等比数列及其前n项和
【知识梳理】
1.等比数列的有关概念
(1)定义:
①文字语言:从______起,每一项与它的前一项的___都
等于___一个常数第.2项
比
②符号同语言:______(n∈N*,q为非零常数).
a n1 q an
(2)等比中项:如果a,G,b成等比数列,那么_G_叫做a与b
__. qk
【特别提醒】 1.等比数列的概念的理解 (1)等比数列中各项及公比都不能为零. (2)由an+1=qan(q≠0),并不能断言{an}为等比数列,还 要验证a1≠0. (3)等比数列中奇数项的符号相同,偶数项的符号相同.
2.等比数列{an}的单调性
(1)满足 (2)满足 (3)当
a q a 0
1 1
1q时00 ,, 1或 ,或 {an}a0 aq1为1q常01 0, ,数1时时列,,{.{aan}n}是是递递减增数数列列..
(4)当q <aq 10时1 0 ,, {an}为摆动数列.
【小题快练】
链接教材 练一练
1.(必修5P54习题2.4A组T8改编)在3与192中间插入两
.
S3 2
S3
【解析】S3,S6-S3,S9-S6成等比数列,
则(S6-S3)2=S3·(S9-S6),
由
S6 1
知S6= 1 S3,
则 S 3 2=S3·(S92-S6),
所以14 SS3 29= S3,所以
答案: 3
S9 3 .
4
S3 4
3
4
感悟考题 试一试
3.(2016·开封模拟)已知{an}为正项等比数列,Sn是它
的等比中项.即:G是a与b的等比中项⇔a,G,b成等比数
列⇒G2=___. ab
2.等比数列的有关公式
(1)通项公式:an=_a_1q_n_-_1 .
(2)前n项和公式:Sn=
_n_a_1，q1，
a
1
1 qn
a1
a nq
___1___q_______1___q ____，q1.
3.等比数列的性质
比数列,即(S2m-Sm)2=_S_m_(_S_3m_-_S_2_m)_(m∈N*,公比q≠-1). (4)数列{an}是等比数列,则数列{pan}(p≠0,p是常数)
也是_____数列. 等比
(5)在等比数列{an}中,等距离取出若干项也构成一个
等比数列,即an,an+k,an+2k,an+3k,…为等比数列,公比为
个数,使它们同这两个数成等比数列,则这两个数
为
.
【解析】设该数列的公比为q,由题意知, 192=3×q3,q3=64,所以q=4. 所以插入的两个数分别为3×4=12,12×4=48. 答案:12,48
2.(必修5P62习题2.5B组T2改编)设等比数列{an}的前
n项和为Sn,若 S 6 1 , 则 S 9 =
.
【解析】方法一:各项均为正数的等比数列{an}中
a10a11=a9a12=…=a1a20,
则a1a20=e5,
lna1+lna2+…+lna20=ln(a1a20)10=lne50=50.
方法二:各项均为正数的等比数列{an}中 a10a11=a9a12=…=a1a20, 则a1a20=e5, 设lna1+lna2+…+lna20=S, 则lna20+lna19+…+lna1=S,2S=20ln(a1a20)=100,S=50. 答案:50
考向一 等比数列的性质及基本量的计算
【典例1】(1)(2015·全国卷Ⅱ)等比数列{an}满足
a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7= ( )
A.21
B.42
C.63
D.84
(本题源自A版必修5P51例3)
(2)(2016·石家庄模拟)设{an}是公比大于1的等比数
列,Sn为数列{an}的前n项和.已知S3=7,且a1+3,3a2,a3+4
构成等差数列,则an=
.
【解题导引】(1)根据a3+a5+a7与a1+a3+a5的联系求解. (2)将已知条件转化为a2的方程组,求得a2,再利用S3=7 求得公比q,进而求解.
【规范解答】(1)选B.设等比数列的公比为q,则 a1+a1q2+a1q4=21, 又因为a1=3,所以q4+q2-6=0, 解得q2=2,a3+a5+a7=(a1+a3+a5)q2=42.
a1+a4=9,a2a3=8,则数列{an}的前n项和等于
.
【解析】a1 a1q 3 9， ⇒a1=1,q=2,
所以Sn=
a
1
2
q=32n-81.
1 2n
答案:2n-1
1 2
5.(2014·广东高考)若等比数列{an}的各项均为正数,
且a10a11+a9a12=2e5,则lna1+lna2+…+lna20=
(解2得)由a2已=2知.设得数:列aa1 1{aa3n2}的2a3a公3 7比，4为q3,a2由. a2=2,
可得a1= 2 ,a3=2q.
又S3=7,可q 知 +2+2q=7,即2q2-5q+2=0,解得q1=2,q2= .
由题意得q>1,q2 所以q=2,所以a1=1.
1 2
故数列{an}的通项为an=2n-1.
的前n项和,若a1=16,且a4与a7的等差中项为 ,则S5的 9
值为 ( )
8
A.29
B.31
C.33
D.35
【解析】选B.由题可得a4+a7= 9 ×2,即a1q3+a1q6= 9 ,
百度文库
8
4
解得q= 1 (由于数列是正项等比数列,负值舍去),故S5=
2
a1 1 q5 31. 1q
4.(2015·安徽高考)已知数列{an}是递增的等比数列,