苏教版数学高一 必修1学业测评2.函数的单调性

学业分层测评

(建议用时：45分钟)

学业达标]

一、填空题

1．如图2-2-2是定义在闭区间－5,5]上的函数y＝f(x)的图象，根据图象，y ＝f(x)的单调递增区间为________，单调递减区间为________．

图2-2-2

【解析】增区间为(－2,1)，(3,5)，减区间为(－5，－2)，(1,3)．

【答案】(－2,1)，(3,5)(－5，－2)，(1,3)

2．定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有f(a)－f(b)

a－b

＞0，

则必有________．(填序号)

①函数f(x)先增后减；

②函数f(x)先减后增；

③函数f(x)是R上的增函数；

④函数f(x)是R上的减函数．

【解析】由f(a)－f(b)

a－b

＞0知，当a＞b时，f(a)＞f(b)；当a＜b时，f(a)＜f(b)，

所以函数f(x)是R上的增函数．

【答案】③

3．函数f(x)是定义域上的单调递减函数，且过点(－3,2)和(1，－2)，则|f(x)|<2的自变量x的取值范围是________．

【解析】由题意可知：当x∈(－3,1)时，－2

【答案】(－3,1)

4．函数f(x)＝|x|与g(x)＝x(2－x)的递增区间依次为________．

【解析】f(x)＝|x|＝

⎩⎪

⎨

⎪⎧x，x≥0，

－x，x<0，

因此递增区间为0，＋∞)，函数g(x)＝x(2－x)为二次函数，开口向下，对称轴为x＝1，因此递增区间为(－∞，1]．【答案】0，＋∞)，(－∞，1]

5．函数f(x)＝x2－2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，则实数a的取值范围为________．

【解析】函数f(x)＝x2－2(a－1)x＋2的单调递减区间为(－∞，a－1]．要使函数在区间(－∞，4]上是减函数，需有(－∞，4]⊆(－∞，a－1]，所以a－1≥4，∴a≥5.

【答案】5，＋∞)

6．已知函数y＝ax2＋bx－1在(－∞，0]上是单调函数，则y＝2ax＋b的图象不可能是________．(填序号)

【解析】因为函数y＝ax2＋bx－1在(－∞，0]上是单调函数，所以：

①当a＝0，y＝2ax＋b的图象可能是(1)；②当a＞0时，－b

2a≥0⇔b≤0，y

＝2ax＋b的图象可能是(3)；③当a＜0时，－b

2a≤0⇔b≤0，y＝2ax＋b的图象可能是(4)．故y＝2ax＋b的图象不可能是(2)．

【答案】(2)

7．已知f(x)是定义在区间－1,1]上的增函数，且f(x－3)＜f(2－x)，则x的取值范围是________．

【解析】由题意，得

⎩⎪

⎨

⎪⎧－1≤x－3≤1，

－1≤2－x≤1，

x－3＜2－x，

解得1≤x ＜52，故满足条件的x 的取值范围是1≤x ＜5

2. 【答案】

⎩

⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪

1≤x ＜

52 8．若f (x )＝ax ＋1

x ＋2在区间(－2，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________.

【导学号：37590030】

【解析】 f (x )＝

ax ＋1x ＋2

＝

ax ＋2a ＋1－2a

x ＋2

＝a ＋

1－2a x ＋2

在区间(－2，＋∞)上是

增函数，结合反比例函数性质可知1－2a <0，∴a >12，则a 的取值范围是⎝ ⎛⎭

⎪⎫

12，＋∞.

【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫

12，＋∞

二、解答题 9．已知函数f (x )＝

2x －1

x ＋1

. (1)求f (x )的定义域； (2)证明函数f (x )＝

2x －1

x ＋1

在1，＋∞)上是单调增函数． 【解】 (1)由题意知x ＋1≠0， 即x ≠－1.

所以f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)． (2)证明：任取x 1，x 2∈1，＋∞)，且x 1

2x 2－1x 2＋1

－2x 1－1x 1＋1

＝(2x 2－1)(x 1＋1)－(2x 1－1)(x 2＋1)(x 2＋1)(x 1＋1)

＝

3(x 2－x 1)(x 2＋1)(x 1＋1)

.

∵x10.

又∵x1，x2∈1，＋∞)，

∴x2＋1>0，x1＋1>0.

∴f(x2)－f(x1)>0，

∴f(x2)>f(x1)．

∴函数f(x)＝

2x－1

x＋1

在1，＋∞)上是单调增函数．

10．作出函数f(x)＝x2－6x＋9＋x2＋6x＋9的图象，并指出函数f(x)的单调区间．

【解】原函数可化为f(x)＝|x－3|＋|x＋3|＝

⎩⎪

⎨

⎪⎧－2x，x≤－3，

6，－3

2x，x>3.

图象如图所示．

由图象知，函数的单调区间为(－∞，－3]，3，＋∞)．

其中单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为3，＋∞)．

能力提升]

1．函数f(x)＝x2－2mx－3在区间1,2]上单调，则m的取值范围是________．【解析】f(x)的对称轴为x＝m，要使f(x)在1,2]上单调，则m不能在区间1,2]内部，∴m≥2或m≤1.

【答案】(－∞，1]或2，＋∞)

2．已知函数y＝f(x)在R上是减函数，A(0，－2)，B(－3,2)在其图象上，则不等式－2