概率论与数理统计答案 第一章习题

至少有2个次品的概率
p(2)
200
pk
k2
k2002
4k00
1100 200 k
1250000
简单的方法是利用其逆事件, 少于2个次品,即恰有1个次品 或没有次品,从而 p(2) 1 ( p0
p1
)
1
1210000
41001119090 1250000
10. 在11张卡片上分别写上probability这11个字母,从中任意连抽7
n(1) 490001111000 故恰有90个次品的概率 p(1) n(1) / n 49000111100源自文库 1250000
(2)恰有k个次品的概率
pk
nk
/
n
4k00
1100 200 k
1250000, k 0,1,,200
至少有2个次品,则可能是2个,3个,…,200个次品,按加法定理
则事件B表示“从甲袋中取出一只红球放入乙袋”
事件A表示“从甲袋取一只球放入乙袋,再从乙袋中取一只白
球P(”B).
n
n m
,
P(B)
n
m m
,
P(A| B)
N
N
1 M
1
,
P(
A|
B)
N
N M
1
.
按全概率公式 P(A)=P(B)P(A|B)+P(B)P(A|B)
P(
A)
n
n m
N
N 1 M
1
n
m m
解 法一:用等可能概型.
(1)基本事件是从10只产品中取2只,不分顺序有
120
10 9 1 2
45
种取法,
8只正品中取2只,
有
8 2
8 1
7 2
28 种取法,故
p1=28/45
.
(2) 2只次品中取2只,只有1种取法,故 p2=1/45.
(3)不分顺序, 8只正品中取1只, 2只次品中取1只,有82=16种取法, 故 p3=16/45.
2
2
26. (1)设有4个独立工作的元件1,2,3,4.它 们的可靠性分别为p1,p2,p3,p4,将它们按右 图的方式联接(称为并串联系统);
2
3
1
4
(2)设有5个独立工作的元件1,2,3,4,5.它们 的可靠性均为p,将它们按右图的方式联接(称 为桥式系统);试分别求这两个系统的可靠性.
1
2
3
0.0000024
法二:利用条件概率和乘法公式
设a,b,i,l,i,t,y分别表示从11张卡片中抽出写有该字母的卡片的事件.
则 P(ability)=P(a)P(b|a)P(i|ab)P(l|abi)P(i|abil)P(t|abili)P(y|abilit)
=
1 11
2 10
2 9
1 1
8
7
1 6
=4p3-4p4+p5+2p2-p4-2p3+p5 =2p2+2p3-5p4+2p5
1
2
法二:设B1=A1A2,B2=A4A5,B3=A1A3A5,B4=A2A3A4,
3 4
5
P(B)=P(B1)+P(B2)+P(B3)+P(B4) 则 B=B1∪B2∪B3∪B4. -P(B1B2)-P(B1B3)-P(B1B4)-P(B2B3)-P(B2B4)-P(B3B4) +P(B1B2B3)+P(B1B2B4)+P(B1B3B4)+P(B2B3B4)-P(B1B2B3B4)
= P(A1)[P(A2)P(A3)+P(A4)-P(A2)P(A3)P(A4)] = p1p2p3+p1p4-p1p2p3p4
(2)设事件B表示桥式系统正常工作.
法一: B=A3(A1A4)(A2A5)+A3(A1A2A4A5)
桥式系统 的可靠性
P(B)=P(A3)P(A1A4)P(A2A5)+P(A3)P(A1A2A4A5)
3桶黑漆和2桶红漆的顾客,能按所定颜色如数得到定货的概率是多少? 解 基本事件是从17桶油漆中任取9桶, 这实际上是组合问题, n 197
取出的9桶油漆中有4桶白漆, 3桶黑漆和2桶红漆的事件A分三步完成:
先种从 取1法0桶,最白后漆从中3桶取红出漆4桶中,有取出1402 桶种,取有法 23,再种从取4法桶,故黑漆nA中 取 140出343桶,23有
4. 设A,B,C是三事件,且 P(A)=P(B)=P(C)=1/4, P(AB)=P(BC)=0 ,
P(AC)=1/8 ,求A,B,C至少有一个发生的概率.
解 所求概率为 P(A∪B∪C) 广义加法定理 =P(A)+ P(B)+ P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)
P(AB)=P(BC)=0
而 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)=0.60.50.4=0.12, P(AB)=P(A)P(B|A)=0.60.5=0.3, 因此 P(ABC)=0.3-0.12=0.18
17. 已知在10只产品中有2只次品,在其中取两次,每次任取一只,作 不放回抽样.求下列事件的概率:(1)两只都是正品;(2)两只都是次品; (3)一只是正品,一只是次品;(4)第二次取出的是次品.
AB=BC=
非负性
由于ABCAB,或ABCBC 0 P(ABC)P(AB) =0
P(ABC)=0
P(A∪B∪C)=3(1/4)-(1/8)=5/8
若 P(A∪B∪C)=P(B∪(A∪C))=P(B)+ P(A∪C)-P(B(A∪C))
P(A∪C)=P(A)+P(C)-P(AC) P(B(A∪C))= P(BA∪BC)=P(BA)+P(BC)-P((BA)(BC))
4
5
解 设事件Ai(i=1,2,3,4,5)表示第i个元件正常工作,
则事件A1,A2,A3,A4,A5相互独立. (1)设事件A表示并串联系统正常工作,则 A=A1((A2A3)A4) 并串联系统的可靠性 P(A)=P(A1((A2A3)A4)) =P(A1)•P((A2A3)A4) =P(A1)[P(A2A3)+P(A4)-P(A2A3A4)]
4 3 12
P(A B) 1 2 6
因此 P(A B) 1 1 1 4 1 4 6 12 12 3
19(1) 设甲袋中装有n只白球,m只红球;乙袋中装有N只白球,M只红
球.今从甲袋中任意取一只球放入乙袋中,再从乙袋中任意取一只球.问
取到白球的概率是多少?
解 设事件B表示“从甲袋中取出一只白球放入乙袋”
件,B表示此人是色盲患者的事件.则
P(
A)
M M
N
,
P(
A)
N M
N
,
P(B|A)=5%, P(B|A)=0.25%,
要求P(A|B) P ( AB ) 而 P(AB)=P(A)P(B|A)
P(B)
P(B)=P(A)P(B|A) +P(A)P(B|A)
P特(A别贝| B,叶M) 斯=N公P时(式A,)PP((PBA(|AAB)))P(PB1(AA5全))%P概12(B率15A公%)式0.2M5%M N0.05M5%0M.005.N0M02N55%N22010.25%
P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB), 而 P(C|AB)=1-P(C|AB)=0.6 故 P(ABC)=0.60.50.6=0.18
法二:由于AB=ABS=AB(C∪C) =(ABC)∪(ABC) , 且ABC与ABC互不相容, 故 P(AB)=P(ABC)+P(ABC), 从而有 P(ABC)=P(AB)-P(ABC),
P(
A)
n
n m
N
N 1 M
1
n
m m
N
N M
1
(n
N(n m) n m)(N M
1)
.
21. 已知男子有5%是色盲患者,女子有0.25%是色盲患者.今从男 女人数相等的人群中随机地挑选一人,恰好是色盲患者,问此人是男 性的概率是多少?
解 先假定男人数为M,女人数为N,求出一般结果.
设从人数为M+N的人群中随机地挑选一人,A表示此人是男人的事
=P(AB)+P(BC)-P(ABC)
仍有P(A∪B∪C) =P(A)+ P(B)+ P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)
5. 在一标准英语字典中有55个由两个不相同的字母所组成的单词.若 从26个英文字母中任取两个字母予以排列,求能排成上述单词的概率.
解 基本事件是从26个英文字母中任取两个不相同的字母排成单词,
4 3
故所求概率P( A) 140 43 23
197
252 2431
0.10366
8. 在1500个产品中有400个次品,1100个正品.任取200个.
(1)求恰有90个次品的概率;(2)求至少有2个次品的概率. 解 基本事件是从1500个产品中取200个, 基本事件总数n= 1250000
(1)从400个次品中取90个, 1100个正品中取110个的事件总数
如果基本事件是从10只产品中取2只,要分顺序,则有 P120 10 9 90 种取法, 第一次取正品,第二次取次品, 有82=16种取法,
第一次取次品,第二次取正品, 有28 =16种取法.
共有16+16=32种取法, 故 p3=32/90=16/45.
(4)第二次取出的是次品,第一次可能取正品,也可能取次品,
= P(A3)[P(A1)+P(A4)-P(A1A4)][P(A2)+P(A5)-P(A2A5)]
+P(A3)[P(A1A2)+P(A4A5)-P(A1A2A4A5)]
P(A)=P(A3)[P(A1)+P(A4)-P(A1)P(A4)][P(A2)+P(A5)-P(A2)P(A5)]
+P(A3)[P(A1)P(A2)+P(A4)P(A5)-P(A1)P(A2)P(A4)P(A5)] =p[p+p-p2][p+p-p2]+(1-p) [p2+p2-p4] =p3(2-p)2+p2(1-p)(2-p2)
N
N M
1
(n
N(n m) n m)(N M
1)
.
16.据以往资料表明,某一3口之家,患某种传染病的概率有以下规律: P{孩子得病}=0.6, P{母亲得病|孩子得病}=0.5, P{父亲得病|母亲及孩子得病}=0.4, 求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率.
解 设事件A={孩子得病},B={母亲得病},C={父亲得病} 已知 P(A)=0.6, P(B|A)=0.5, P(C|AB)=0.4, 要求的是P(ABC). 法一:直接用乘法公式
14 5 = P171
14. 已知P(A)=1/4,P(B|A)1/3,P(A|B)=1/2,求P(A∪B).
解 P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)
故 P( AB) 1 1 1 P ( B ) P ( AB ) 1 12 1
第一次取正品,第二次取次品,有82=16种取法,
第一次取次品,第二次取次品,有21=2种取法,
共有16+2=18种取法, 故 p4=18/90=1/5. 法二:利用条件概率和乘法公式
设 Ai={第i次取出正品}, 则 Ai={第i次取出次品} ( i =1,2)
(1)p1=P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)=
解 设事件B表示“从甲袋中取出一只白球放入乙袋”
则事件B表示“从甲袋中取出一只红球放入乙袋”
事件A表示“从甲袋取一只球放入乙袋,再从乙袋中取一只白
球P(”B).
n
n m
,
P(B)
n
m m
,
P(A| B)
N
N
1 M
1
,
P(
A|
B)
N
N M
1
.
按全概率公式 P(A)=P(B)P(A|B)+P(B)P(A|B)
全概率公式
=P(A1)P(A2|A1)+P(A1)P(A2|A1)=
8 10
2 9
2 10
1 9
1 5
最简单的方法是利用抽签原理直接得到 p4=P(A2)=2/10=1/5.
•19 设甲袋中装有n只白球,m只红球;乙袋中装有N只白球,M只红 球(.今1) 从甲袋中任意取一只球放入乙袋中,再从乙袋中任意取一只球.问 取到白球的概率是多少?
张,求其排列结果为ability的概率.
解 法一: 基本事件是从11张卡片中任意连抽7张进行排列
故基本事件总数为排列数 P171 11 10 9 8 7 6 5
从11张卡片中抽出字母 a b i l i t y
的方式有 1 2 2 1 1 1 1 = 4 种
故所求概率
p
4 P171
1 415800
8 10
7 9
28 45
(2)p2=P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)=
2 1
10 9
1 45
(3)p3=P(A1A2∪A1A2)=P(A1A2)+P(A1A2)
=P(A1)P(A2|A1)+P(A1)P(A2|A1)=
180
2 9
120
8 9
16 45
(4)p4=P(A2)=P(A1A2∪A1A2)=P(A1A2)+P(A1A2)
这实际上是排列问题,故基本事件总数 n A226 所求的55个由两个
不相同的字母组成单词的事件A包含基本事件数 nA= 55 .
故所求概率
P( A)
55 A226
55 26 25
11 130
0.0846
7. 某油漆公司发出17桶油漆,其中白漆10桶,黑漆4桶,红漆3桶,在搬运中
所有标签脱落,交货人随意将这些油漆发给顾客.问一个定货为4桶白漆