趣味数学1

第一节：一、小学数学学科的特点及小学学生的思维特点：（1）小学数学学科的特点：高度的抽象性、严密的逻辑性、应用的广泛性（2）小学生思维的基本特点是：从以具体形象思维为主要形式逐步过渡到以抽象的逻辑思维为主要形式。

二、自然数的定义：自然数是一类等价的有限集合的标记。

注：（1）自然数表示有限集合中的元素的个数（2）零是空集的标记，它表示集合中没有元素。

（3）1是组成自然数的基本单位。

三、基数与序数四、＋，－，×，÷的来历：最早使用现代的“＋”和“－”的是15世纪后20年的德国人，在德累斯顿图书馆的手工卷中可见这两个符号；1631年，英国的奥特雷德在其著作《数学之匙》中第一次使用“×”表示两个数相乘；除法符号所使用的除号“÷”被称为雷恩记号。

五、完全数的概念及性质？1、定义：如果一个数等于它的不包括自身的全部因数之和，这个数就叫做完全数。

2、性质：（1）它们都是三角形数。

例如： 6=1+2+328=1+2+3+4+5+6+7（2）每个都是调和数。

它们的全部因数的倒数之和都是2，因此每个完全数都是调和数。

例如： 1/1+1/2+1/3+1/6=21/1+1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=2（3）可以表示成连续奇立方数之和。

除6以外的完全数，还可以表示成连续奇立方数之和，并规律式增加。

例如：28=1^3+3^3（4）都可以表达为2的一些连续正整数次幂之和，而且它们的数量为连续质数。

例如：6=2^1+2^228=2^2+2^3+2^4（5）完全数都是以6或8结尾。

如果以8结尾，那么就肯定是以28结尾。

（6）各位数字辗转式相加直到变成个位数则一定是1除6 以外的完全数，把它的各位数字相加，直到变成个位数，那么这个个位数一定是1。

例如：28：2+8=10，1+0=1496：4+9+6=19，1+9=10，1+0=1 （7）除6以外的完全数，它们被3除余1、被9除余1、被27除余1。

28/3 商9，余1 ； 28/9 商3，余1； 28/27 商1，余1六、课后复习题（1）在下面的九个数字中间填上几个加号，使计算的结果得99.（相邻的数字可以组成两位数） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 991 +2 -3 +4 +5 -6 +7 + 89=99（答案不唯一）（2）把0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数字填到方框内（每个数字只能用一次），使下面3个等式都成立。

（1）+（7） = （8）（9）－（6） = （3）（2）（0）÷（4）=（5）（3）根据自己的理解，解释为什么不能用0做除数。

答:由a÷0 = ?推出0？= a但是0？=0，所以？不存在。

0÷0 = ? 推出0*？= 0，所以？存在若干个，综上所述，所以0不能做除数。

（4）当水结成冰时体积增加1/11，当冰化成水时，体积要减少几分之几？1－ 1÷（1 +1/11 ）=1/12第二节：一、魔术数、自生数的概念及应用数。

1、魔术数：将自然数N接在每个自然数的右面末尾（例如将3写在25的后面为253）得到的新数，若它能被N整除，那么称N为魔术数。

问：小于130的自然数中有多少个魔术数？9个先考虑一位数的情况：1是魔术数，因为1加在任何自然数的后面，当然能被1整除。

2是魔术数，因为2加在任何自然数的后面，当然能被2整除。

5是魔术数，因为5加在任何自然数的后面，当然能被5整除。

其实这个结果很明了。

将一位的魔术数a加在某个自然数n的后面，等于10n＋a，根据魔术数的定义，10n＋a能被a整除。

因为在10n＋a中，a能被a整除，所以10n也应能被a整除，又因为n任意的，可以与a互质，所以a必能整除10，即一位的魔术数必是10的约数。

同理，k位魔术数一定是10k的约数。

由此可知：两位魔术数有10,20,25,50三位魔术数有100,125,200,250,500. 这样，我们可知小于130的魔术数有9个。

2、自生数：如果一个n位自然数，它的各个数位上的数字的n次方之和等于这个自然数，我们称这个自然数为n位自生数。

153＝1＋2＋3＋4＋…＋16＋17 153＝1！＋2！＋3！＋4！＋5！把153各个数位的数字的三次方相加，和仍然是153. 对于一位数，由于每个一位数的一次方都等于它本身，所以一位数都是自生数。

两位数中，一个自生数都没有。

对于三位数，153 370、371、407；四位自生数3个：1634、8208、947；五位数中，只有3个自生数：54748,92727,93084.六位数中，只有1个自生数：548834；七位数中，只有4个自生数：1741725,4210818,9800817,9926315. 自生数只有有限多个。

二、梅森质数的概念：形如2n－1（n为质数）的数称为梅森质数。

当梅森数是质数时就称为梅森质数，当梅森数是合数时就称为梅森合数。

第一个梅森质数3，第二个梅森质数7，第三个梅森质数31，第四个梅森质数127。

三、哥德巴赫猜想式子的表达：任何大于5的奇数都是三个质数之和四、课后复习题作业1.一辆摩托车和一辆卡车同时从甲乙两地相向而行，两车在途中距乙地20千米处第一次相遇，然后两车继续开行。

卡车到达甲地，摩托车到达乙地后都立即返回，两车又在途中距甲地15千米处第二次相遇，求甲乙之间的距离。

2.下面的算式中的不同汉字各代表0-9中的哪些数字?好啊好＋真是好真是好啊3.请你把87和91写成三个质数之和的形式，把38和48写成两个质数之和的形式。

4.验证两组数（138729，514965，626844）（226848，338727，714963）是金蝉脱壳数组。

地三节一、数的整除特征：如果具有某个条件的数，能被自然数b整除，反过来，能被 b整除的数，都具备这个条件，那么这个条件就叫做能被 b整除的数的特征。

即一个数能被b整除的特征就是能被b整除的充要条件。

（1）能被2或5整除的数的特征是：这个数的末一位数能被2或5整除。

（2）能被4或25整除的数的特征是：这个数的末两位数能被4或25整除。

（3）能被8或125整除的数的特征是：这个数的末三位数能被8或125整除。

（4）能被9或3整除的数的特征是：这个数的各数位上的数的和能被9或3整除。

（5）能被7或11或13整除的数的特征是：这个数的末三位数与末三位以前的数字组成的数的差（或反过来）能被7或11或13整除。

（6）能被11整除的数的特征是：这个数的奇数上的数与偶位上的数的和之差（或反过来）能被11整除。

二、课后复习题1. 判断4376能不能被8整除。

2. 判断846能不能被9整除。

3. 判断1005928能不能被7、11、13整除。

4. 判断6174839能不能被11整除。

三、作业1.从0,3,5,7四个数字选出三个，排成同时被2、3、5整除的三位数。

2.已知七位数92？？427是99的倍数，这个七位数是多少？3.某个七位数1993？？？能够同时被2,3,4,5,6,7,8,9整除，这个七位数是多少？4.一个数乘13后，乘积的最后三位数是123，那么这个整数中最小的是多少？第四节一、孪生质数的定义（找规定范围内的孪生质数）定义：如果两个相邻的奇数都是质数，我们就称这两个质数是孪生质数。

100以内的孪生质数有8对：3,5；5,7；11,13； 17,19；29,31；41,43；59,61；71,73.注：（1）孪生质数的距离是相聚最近两个质数。

（2）.孪生质数分布也不均匀，随着数字的增大越来越稀少。

（3）孪生质数有多少对？是有限多对还是无限多对？它们有什么分布规律？至今尚未解决。

20世纪初，德国数学家兰道推测孪生质数有无数多对，可是一直证明不出来。

（4）除第一对孪生质数外，每对孪生质数的和都能被12整除。

（5）孪生质数公差为2三个质数构成公差为2等差数列3,5,7.（唯一一组，为什么？）三个质数构成公差为4等差数列3,7,11。

更多质数构成的等差数列：5,11,17,23,29。

…二、质数的判别：（1）查表法:古希腊数学家埃拉托塞尼的筛法（100以内的质数表）（2）试除法:判断自然数a是否是质数，可以用2,3,5，…，去试除的方法三、孪生勾股数与孪生弦股数的概念四、课后复习题巩固练习（1）三个质数的和是92，这三个质数的积是多少？（2）有一些同学分一箱子书，若平均每人若干本，还剩下14本；若每人9本，最后一人只能得6本。

共有多少个同学？多少本书？（3）有一些四位数，它的四个数字相乘的积是质数。

你能写出这样的四位数吗？你写出的这些数中有哪些是质数？（4）把199199分解质因数。

（5）求1343的最小的质因数。

第五节一、整数应用的解题思路有一些同学分一箱子书，若平均每人若干本，还剩下14本；若每人9本，最后一人只能得6本。

共有多少个同学？多少本书？分析：若每人9本，最后一人只能得6本，如果加上3本，应该能够分的；而在第一次加上3本，应该能够分的，14+3=17,17是质数，只能分成1和17，所以只能是17个同学。

17×9-3=150（一）整数应用题的一般步骤1.理解题意2.分析3.列式计算4.检验作答（二）整数应用题的一般的解题思路1.综合法综合一般是指在思维过程中把对象的各个部分联合成一个整体。

采用综合法的解题思路，是从已知条件出发，根据数量关系，先选择两个已知数量，提出可以解答的问题；然后把所求出的数量作为新的已知条件，与其他的已知条件搭配，再提出可以解答的问题；这样逐步推导，直到求出应用题所要求的解为止。

2.分析法分析一般是指在思维过程中把整体分解为几个组成部分。

采用分析法的解题思路，是从应用题的问题入手，根据数量关系，找出解决这个问题所需要的两个条件；然后把其中的一个（或两个）未知的条件作为要解的问题，再找出解答这一个（或两个）问题所需要的条件；这样逐步逆推直到所找的数量在应用题中都是已知的为止。

例1.自行车装配车间要装配690辆自行车，已经装了8天，每天装配45辆，由于改进了技术，剩下的任务6天就完成了，这6天平均每天装配多少辆？实际问题中，在思考问题时，经常使用的是分析综合法。

即用分析法时，也要注意应用题的已知条件，要考虑哪些已知数量搭配在一起可以解决所求的问题，因此分析中也有综合，分析离开了综合就失去了依据；用综合法思考时，要随时考虑为了最终的问题需要哪些已知条件，因此综合中也有分析，综合离开了分析就失去了目标。

练习1.希望小学五年级有学生92人，在一次农业劳动中，男生的一半和8名女生去摘扁豆，又派12名女生去摘黄瓜，剩下的学生平整土地。

已知平整土地的男生和女生人数相等。

这个班男生和女生各多少人？（三）整数应用题的特殊的解题思路1.转化法（题目中给出两个相关联的量，用一个未知量去代替另一个未知量）例1.东光供销社从城里买了4500千克化肥，用了一辆汽车和一辆大车装运，汽车装的重量是大车的3倍还多100千克，求两车各装运多少千克？练2.用两台水泵抽水，小水泵抽6小时，大水泵抽8小时，一共抽水312立方米。