算法与分析平时作业 - 答案

平时作业

1、给定下述二分搜索算法，请判断算法的正确性，指出错误算法的产生原因。

a) int BinarySearch(Type a[], const Type& x, int l, int r){

while (r >= l){

int m = (l+r)/2;

if (x == a[m]) return m;

if (x < a[m]) r = m-1;

else l = m+1;

}

return -1;

}

答：正确

b) int BinarySearch(Type a[], const Type& x, int l, int r){

while (r >= l){

int m = (l+r)/2;

if (x == a[m]) return m;

if (x < a[m]) r = m+1;

else l = m-1;

}

return -1;

}

答：错误

if (x < a[m]) r = m+1; 当查找的元素在中间元素的左边时，右指针应该为m-1位置，修改成if (x < a[m]) r = m+1; else l = m+l

c) int BinarySearch(Type a[], const Type& x, int l, int r){

while (r > l){

int m = (l+r)/2;

if (x == a[m]) return m;

if (x < a[m]) r = m-1;

else l = m+1;

}

return -1;

}

答：错误。

while (r > l) 要考虑到数组只有一个元素的情况所以应该是 r>=l ;

2、O(1)空间子数组环卫算法：设a[0:n-1]是一个n维数组，k（1≤k ≤n-1）是一个非负整数。试设计一个算法将子数组a[0 : k-1]与a[k+1 : n-1]换位。要求算法在最坏情况下耗时O(n)，且只用O(1)的辅助空间。

答：最简单的方法就是循环(n-k-1)次，将a 数组的末尾数字插入到a[0]之前。

具体做法：

(1) 首先开辟一个额外空间temp 用于存放每一次a 数组的末尾数据。

(2) temp <- a[n-1]

(3) 将a[0: n-2] 每个数据都依次向后移动一位赋值给a[1: n-1]。

(4) a[0] <- temp

(5) 循环执行(2) -(4) 步 (n-k+1)次。

代价分析： 时间代价—— O((n-1)*(n-k+1)) 即O(n^2)数量级；空间代价： O （1）

3、定义： 给定一个自然数n ，由n 开始依次产生半数集set(n)中的元素如下：

1）()n set n ∈；

2）在n 的左边加上一个自然数，但该自然数不能超过最近添加的数的一半；

3）按此规则进行处理，直至不能再添加新的自然数为止。

例如 (){6,16,26,126,36,136}set n =。其中共有6个元素。

半数集问题：对于给定的n ，求半数集set(n) 中元素的个数。

答：半数集set(n)中元素个数的求解是个递归的过程。设set(n)中的元素个数为f(n)，则显然有递归表达式：f(n)=1+∑f(i)，i=1,2……n/2。即半数集set(n)元素个数f(n)=1+f(1)+f(2)+...+f(floor(n/2)). 用递推法求解。C 语言代码如下：

#include

#include

int main(){

int n;

int i,j,s;

int buf[106];

char *in="input.txt",*out="output.txt";

FILE *ip,*op;

if((ip=fopen(in,"r"))==NULL)return 1;

if((op=fopen(out,"w"))==NULL)return 2;

fscanf(ip,"%d",&n);

fclose(ip);

buf[1]=1;

buf[2]=2;

buf[3]=2;

for(i=4;i*2<=n;i++){

s=1;

for(j=1;j<=i/2;j++){

s+=buf[j];

}

buf[i]=s;

}

s=1;

for(j=1;j<=n/2;j++){

s+=buf[j];

}

fprintf(op,"%d",s);

fclose(op);

/* system("pause");*/

return 0;

}

4、设计一个算法，找出由n个数组成的序列的最长单调递增子序列的长度。答：#include #define m 10

//快速排序

void QuickSort(int R[],int s,int t) {

int i=s,j=t; int tmp;

if(s

tmp=R[s];

while(i!=j) {

while(j>i&&R[j]>=tmp) j--;

R[i]=R[j];

while(i

R[j]=R[i];

}

R[i]=tmp;

QuickSort(R,s,i-1);

QuickSort(R,i+1,t);