3振动系统的运动微分方程
第3章 多自由度机械振动系统 作业答案
⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ p1 ( t ) ⎤ ⎢x ⎥ = ⎢ p t ⎥ − k3 ⎥ ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢ 2 ( )⎥ k3 + k 4 ⎥ ⎦⎢ ⎣ x3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ p3 ( t ) ⎥ ⎦ 0
d ∂T ∂T ∂U ∂D ( )− + + = Qi i ∂qi ∂qi ∂q i dt ∂q
2、拉格朗日法：
1 1 2 12 + m2 x 2 T = m1 x 2 2
U=
1 2 1 1 2 ⎤ k1 x1 + k2 (2 x2 − x1 ) 2 = ⎡ (k1 + k2 ) x12 + 4k2 x1 x2 + 4k2 x2 ⎣ ⎦ 2 2 2
Dr. Rong Guo
School of automotive studies, tongji university
⎡ k1r 2 K =⎢ 2 ⎣ − k1r
⎡3 2 ⎢ 2 Mr ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0
⎤ ⎥ ( k1 + k2 ) r 2 ⎦ − k1r 2
− k1r 2 ⎤ ⎡θ1 ⎤ ⎡0 ⎤ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ θ 2 ⎦ ⎣0 ⎦ ( k1 + k2 ) r 2 ⎦ ⎣
⎤ ⎤ ⎡ k1r 2 ⎥ ⎡θ ⎥ ⎢ 1 ⎥ + ⎢ 3 −k r 2 θ Mr 2 ⎥ ⎣ 2 ⎦ ⎣ 1 ⎥ ⎦ 2
x1 2l + k1 x1 2l + m2 x2l = 0 ⎧m1 ⎨ ⎩m2 x2l + k2 ( 2 x2 − x1 ) 2l = 0 x1 + m2 x2l + 2k1 x1 = 0 ⎧2m1 ⎨ x2 − 2k2 x1 + 4k2 x2 = 0 ⎩ m2 ⎡ 2m1 ⎢ 0 ⎣ m2 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ 2k1 ⎢ ⎥ + ⎢ −2 k m2 ⎥ x 2 ⎦⎣ 2⎦ ⎣ 0 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡0 ⎤ ⎢ x ⎥ = ⎢0 ⎥ 4k 2 ⎥ ⎦⎣ 2⎦ ⎣ ⎦
第五六讲两自由度系统的振动
s in(02t
2
)
A(1) 1
,
A(2) 1
,
1,
2
由运动的初始条件确定。
3、系统对初始激励的响应
将（5）式写出以下形式：
x1(t) x2 (t)
C1 sin(01t C1r1 sin(01t
1) 1)
C2 sin(02t 2 ) C2r2 sin(02t 2
J1
0
0 J2
12
k1
k k 2
2
k 2
k 2 k
3
1
2
M1 (t ) M 2 (t)
多自由度系统的角振动与直线振动在数学描述上相同
如同在单自由度系统中做过的那样，在多自由度系统中 也将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的。
)
将 x10，x20，x10，x20 代入得：
其中C1、C2分别表 示A1(1)、A1(2)
C1
1 r2 r1
r2 x10 x20
2
r2 x10 x20
2 01
2
C2
1 r2 r1
x20 r1x10 2
x20 r1x10 2
量
量
若系统有 n 个自由度，则各项皆为 n 维
17
3.2 两自由度系统的自由振动
1、固有频率求解
有上一讲可知系统的
x1
k1
k2
m1
运动微分方程为：：
x2
k3
m2
m1x1 (k1 m2x2 k2 x1
大学 机械振动 课后习题和答案
试举出振动设计、系统识别和环境预测的实例。
如果把双轴汽车的质量分别离散到前、后轴上去，在考虑悬架质量和非悬架质量两个离散质量的情况下，画出前轴或后轴垂直振动的振动模型简图，并指出在这种化简情况下，汽车振动有几个自由度?设有两个刚度分别为1k ，2k 的线性弹簧如图T —所示，试证明：1)它们并联时的总刚度eq k 为：21k k k eq +=2)它们串联时的总刚度eq k 满足：21111k k k eq +=解：1)对系统施加力P ，则两个弹簧的变形相同为x ，但受力不同，分别为：1122P k x P k x=⎧⎨=⎩ 由力的平衡有：1212()P P P k k x =+=+故等效刚度为：12eq P k k k x ==+ 2)对系统施加力P ，则两个弹簧的变形为： 1122P x k Px k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，弹簧的总变形为：121211()x x x P k k =+=+ 故等效刚度为：122112111eq k k P k x k k k k ===++求图所示扭转系统的总刚度。
两个串联的轴的扭转刚度分别为1t k ，2t k 。
解：对系统施加扭矩T ，则两轴的转角为： 1122t t T k T k θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩系统的总转角为：121211()t t T k k θθθ=+=+，12111()eq t t k T k k θ==+ 故等效刚度为：12111eq t t k k k =+两只减振器的粘性阻尼系数分别为1c ，2c ，试计算总粘性阻尼系数eq c1)在两只减振器并联时，2)在两只减振器串联时。
解：1)对系统施加力P ，则两个减振器的速度同为x ，受力分别为：1122P c x P c x =⎧⎨=⎩ 由力的平衡有：1212()P P P c c x =+=+故等效刚度为：12eq P c c c x ==+ 2)对系统施加力P ，则两个减振器的速度为：1122P x c Px c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，系统的总速度为：121211()x x x P c c =+=+ 故等效刚度为：1211eq P c x c c ==+一简谐运动，振幅为，周期为，求最大速度和加速度。
第三部分 多自由度系统的振动
q t uη(t) u r t
r
r 1
n
u11 u12 u1n u u u 21 22 2n 1 (t ) 2 (t ) n (t ) un1 un 2 unn
(r )
1
r
u
(r )
r u
( r )T
Mu( r )
正则振型
主振型 正则化因子
组成正则振型矩阵
u u
(1)
u
(2)
u
(n )
第三部分 多自由度系统的振动 4 对多自由度系统振动求响应 求解的基本步骤： (4)用正则振型矩阵进行坐标变换（方程组解耦）
q t uη t 令 代入无阻尼自由振动系统，并用uT左乘方程
2 r t 2 rrr t r r t Nr (t )
r 1,2,, n
(5)按单自由度相关方法求各正则坐标下的响应 各正则坐标下单自由度自由振动系统，对初始条件的 响应 1）原坐标下的初始条件变换为正则坐标下的初始条件
η0 u q0 T η0 u Mq0 ,
u( s )T Ku(r ) 0
(r s )
u( r )T Ku(r ) r2
M r u Mu
T
K r uT Ku 12 2 2 Λ 2 n
1 1 I 1
第三部分 多自由度系统的振动 4 对多自由度系统振动求响应 求解的类型： 无阻尼振动系统对初始条件的响应 无阻尼振动系统对任意激励的响应 有阻尼振动系统对各种激励的响应 （简谐激励、周期激励、任意激励）
3振动系统的运动微分方程
W ( j) Qj q j
若主动力为有势力，须将势能U表示为广义坐 标的函数。
4. 建立拉氏方程并加以整理，得出n个二阶常微 分方程。 5. 求出上述一组微分方程的积分。
Mechanical and Structural Vibration
3.2 拉格朗日运动方程 例 图示系统，摆的支点在水平方向受到弹性约束，其总刚 度为 k ，摆的质量为 m ，摆长为 l 。试用拉格朗日方程求出系 统的运动方程。 解： （1）选择x及 为广义坐标 （2）动能及势能
拉格朗日方程
d T T V Q i d t q q q i i i
( i 1 , 2 , , n )
图刚体微幅运动
计算拉格朗日方程中各项导数
d T T m x ; 0 d t x x
Mechanical and Structural Vibration
第二类拉格朗日方程
L L 代入拉氏方程： d ( ) 0( j 1,2, , k ) d t q q j j
d L L ( ) 0 d t x x
例 题
d L Ltural Vibration
第3章 振动系统的运动微分方程
3.2 拉格朗日（Lagrange）运动方程
Mechanical and Structural Vibration
3.2 拉格朗日运动方程
3.2.3 完整的保守系统的拉格朗日运动方程
拉格朗日方程提供了解决有限自由度完整系统运动的一个普遍 的简单而又统一的方法。
3.2 拉格朗日运动方程
d T T I ; 0 O d t
V k ( x a ) a k ( x a ) a k ( y a ) a k ( y a ) a 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4
第4章 振动系统的运动微分方程
[
]
两边对时间求导数
3 &x & & mx&& = mgx − 2k (2 x + λ s ) x 2
注意到在静平衡位置满足 所以微分方程为
mg = 2kλ s
3 m&& + 4kx = 0 x 2
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Theory of Vibration with Applications
4.1 牛顿定律和普遍定理
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4.2 拉格朗日（Lagrange）运动方程 拉格朗日（Lagrange）
4.2.4 完整的保守系统的拉格朗日运动方程
例4-5 图示系统，摆的支点在水平方向受到弹性约束，其总 刚度为k，摆的质量为m，摆长为l。试用拉格朗日方程求出系 统的运动方程。 解： （1）选择x及θ 为广义坐标。 （2）动能及势能
4.1.4 普遍定理的综合应用
在有限路程中主动力的功为
∑ Wx0 − x = −mg ( x0 − x) +
1 2 k (2 x0 + λ s ) − (2 x + λ s ) 2 2
[
]
由动能定理的积分形式
T − T0 = ∑Wx0 − x
1 3 2 1 2 2 & ⋅ mx − T0 = − mg ( x 0 − x ) + k (2 x 0 + λ s ) − (2 x + λ s ) 2 2 2
∑ (F
n i =1
Theory of Vibration with Applications
x i δ xi
+ F y i δ y i + Fz i δ z i = 0
简谐振动的微分方程
dt m 2E
dx 1 kx2
2E
2E dt m
令： x 2E cos
k
则：dx 2E sin d
k
∴
dx
2E sin d
k
2E d
1 kx2
1 cos2
k
2E
∴
∴ 即 其中：
2E d
2E dt
k
m
d
k dt
m
d
k m
dt
k m
t
0
x
2E cos( k
k m
t
0
)
把 代入 x
l
kl
m
y
2mg
mg2l ky0l 0
y0 k
轻杆偏离 时，系统的转动方程为：
m(2l)2 mg 2l cos k( y0 y)l cos
当 角很小时，cos≈1 ，因此
4ml 2 mg 2l k( y0 y)l kyl kl l kl 2
∴ k 0 ∴该系统的运动是简谐运动。
A
x02
2 0
2
②确定初相: 先由 cos x0 确定φ的两个可能值；
A
再由 sin 0 的符号决定φ。 A
各种复杂的振动的振幅和初相位 都由初始条件决定。
[补充例题1] 如图所示，一弹簧振子放置在光滑的水平面上。已知弹簧
的劲度系数 k=1.60N/m，物体的质量m=0.40kg。
将物体从平衡位置向右移到x=0.10m处后并给
cos x0
A ∴
0.1 2 和 sin 0 0
0.1 2 2
A
x 0.1
2
cos(2t
π )(m)
振动系统的运动微分方程题解
习 题3-1 复摆重P ，对质心的回转半径为C ρ，质心距转动轴的距离为a ，复摆由水平位置无初速地释放，列写复摆的运动微分方程。
解:系统具有一个自由度，选复摆转角ϕ为广义坐标，原点及正方向如如题4-1图所示。
复摆在任意位置下，根据刚体绕定轴转动微分方程 O O M J =ϕ其中)(22a gP J C O +=ρ 得到复摆运动微分方程为 ϕϕρcos )(22Pa a gP C =+ 或0cos )(22=-+ϕϕρga a C3-2均质半圆柱体，质心为C ，与圆心O 1的距离为e ，柱体半径为R ，质量为m ，对质心的回转半径为C ρ，在固定平面上作无滑动滚动，如题3-2图所示，列写该系统的运动微分方程。
解：系统具有一个自由度，选θ为广义坐标。
半圆柱体在任意位置的动能为：222121ωC C J mv T +=用瞬心法求C v ： 2222*2)cos 2()(θθθ Re R e CC v C -+== θω =2C C m J ρ=故2222221)cos 2(21θρθθ Cm Re R e m T +-+=系统具有理想约束，重力的元功为题3-1图题3-2图θθδd mge W sin -= 应用动能定理的微分形式W dT δ=θθθρθθd mge m Re R e m d C sin 21)cos 2(2122222-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+ θθθθθθθθθθρd mge d mRe d mRe d R e m C sin sin cos 2)(2222-=+-++ 等式两边同除dt ，θθθθθθθθθθρ sin sin cos 2)(2222mge mRe mRe R e m C -=+-++ 0≠θ ，等式两边同除θ故微分方程为0sin sin )cos 2(2222=+++-+θθθθρθmge mRe Re R e m C ①若为小摆动θθ≈sin ，1cos ≈θ，并略去二阶以上微量，上述非线性微分方程可线性化，系统微摆动的微分方程为0])[(22=++-θθρge r R C要点及讨论（1）本题也可以用平面运动微分方程求解。
机械振动 课后习题和答案 第三章 习题和答案
3.1 如图所示扭转系统。
设12122;t t I I k k ==1．写出系统的刚度矩阵和质量矩阵；2．写出系统的频率方程并求出固有频率和振型，画出振型图。
解：1)以静平衡位置为原点，设12,I I 的转角12,θθ为广义坐标，画出12,I I 隔离体，根据牛顿第二定律得到运动微分方程：111121222221()0()0t t t I k k I k θθθθθθθ⎧++-=⎪⎨+-=⎪⎩ ，即：1112122222122()00t t t t t I k k k I k k θθθθθθ⎧++-=⎪⎨-+=⎪⎩所以：[][]12212220,0t t t t t k k k I M K k k I +-⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦系统运动微分方程可写为：[][]11220M K θθθθ⎧⎫⎧⎫⎪⎪+=⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭………… (a)或者采用能量法：系统的动能和势能分别为θθ=+2211221122T E I I θθθθθθθ=+-=++-222211212121221121111()()2222t t t t t t U k k k k k k求偏导也可以得到[][],M K由于12122;t t I I k k ==，所以[][]212021,0111t M I K k -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦2)设系统固有振动的解为： 1122cos u t u θωθ⎧⎫⎧⎫=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，代入（a ）可得：[][]122()0u K M u ω⎧⎫-=⎨⎬⎩⎭………… (b)得到频率方程：22121211222()0t t t t k I k k k I ωωω--==--即：224222121()240t t I k I k ωωω=-+=解得：21,222ω==所以：1ω=2ω= ………… (c)将（c ）代入（b ）可得：112121211122(22220(22t t t t t t k k I k I u u k k k I I ⎡⎤±--⎢⎥⎧⎫⎢⎥=⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎢⎥--⎢⎥⎣⎦解得：11212u u =-；12222u u =令21u ，得到系统的振型为：-0.70710.70713.2 求图所示系统的固有频率和振型。
3振动系统的运动微分方程
机械与结构振动
Mechanical and Structural Vibration Mechanical and Structural Vibration
制作与设计 贾启芬
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第3章 振动系统的运动微分方程
3.1 牛顿定律和普遍定理 3.2 拉格朗日运动方程 3.3 刚度影响系数 作用力方程 3.4 柔度影响系数 位移方程
1 δ 13 k1 1 δ 23 = k δ 33 11 k1
1 k1 1 1 + k1 k 2 1 1 + k1 k 2
1 1 + k1 k 2 1 1 1 + + k1 k 2 k 3 1 k1
Mechanical and Structural Vibration
K =K
Mechanical and Structural Vibration
T
第3章 振动系统的运动微分方程
3.4 柔度影响系数 位移方程
Mechanical and Structural Vibration
3.4 柔度影响系数 位移方程
在单自由度的弹簧—质量系统中，若弹簧常数是 ， 在单自由度的弹簧 质量系统中，若弹簧常数是k，则 质量系统中
画出各物块的受力图根据平衡条件， 画出各物块的受力图根据平衡条件，有
k11 = k1 + k 2，k 21 = −k 2，k 31 = 0
Mechanical and Structural Vibration
3.3 刚度影响系数 作用力方程
同理， 同理，令 x1 = 0，x 2 = 1，x 3 = 0
&& && && m11 x1 + m12 x 2 + ⋅L+ m1n x n + k 11 x1 + k 12 x 2 +L+ k 1n x n = 0 m x + m x +L+ m x + k x + k x +L+ k x = 0 21 &&1 22 &&2 2 n &&n 21 1 22 2 2n n LL mn1 x1 + mn 2 x 2 +L+ mnn x n + k n1 x1 + k n 2 x 2 +L+ k nn x n = 0 && && &&
机械振动 课后习题和答案 第二章 习题和答案
2.1 弹簧下悬挂一物体，弹簧静伸长为δ。
设将物体向下拉，使弹簧有静伸长3δ，然后无初速度地释放，求此后的运动方程。
解：设物体质量为m ，弹簧刚度为k ，则：mg k δ=，即：n ω==取系统静平衡位置为原点0x =，系统运动方程为： δ⎧+=⎪=⎨⎪=⎩00020mx kx x x （参考教材P14）解得：δω=()2cos n x t t2.2 弹簧不受力时长度为65cm ，下端挂上1kg 物体后弹簧长85cm 。
设用手托住物体使弹簧回到原长后无初速度地释放，试求物体的运动方程、振幅、周期及弹簧力的最大值。
解：由题可知：弹簧的静伸长0.850.650.2()m =-= 所以：9.87(/)0.2n g rad s ω=== 取系统的平衡位置为原点，得到：系统的运动微分方程为：20n x x ω+=其中，初始条件：(0)0.2(0)0x x =-⎧⎨=⎩ （参考教材P14） 所以系统的响应为：()0.2cos ()n x t t m ω=-弹簧力为：()()cos ()k n mg F kx t x t t N ω===-因此：振幅为0.2m 、周期为2()7s π、弹簧力最大值为1N 。
2.3 重物1m 悬挂在刚度为k 的弹簧上并处于静平衡位置，另一重物2m 从高度为h 处自由落到1m 上而无弹跳，如图所示，求其后的运动。
解：取系统的上下运动x 为坐标，向上为正，静平衡位置为原点0x =，则当m 有x 位移时，系统有： 2121()2T E m m x =+ 212U kx =由()0T d E U +=可知：12()0m m x kx ++= 即：12/()n k m m ω=+系统的初始条件为：⎧=⎪⎨=-⎪+⎩2020122m gx k m x gh m m （能量守恒得：221201()2m gh m m x =+） 因此系统的响应为：01()cos sin n n x t A t A t ωω=+其中:ω⎧==⎪⎨==-⎪+⎩200021122n m g A x k x m g ghk A k m m即：ωω=-2()(cos )n n m g x t t t k2.4 一质量为m 、转动惯量为I 的圆柱体作自由纯滚动，圆心受到一弹簧k 约束，如图所示，求系统的固有频率。
振动理论伍-习题
分别代入特征值，得到主振型矩阵为
1.000 1.000 1.000 A 2 . 295 1 . 377 0 . 645 3.929 1.037 0.1220
0 0 21.6508m M P A T MA 0 3 . 9243 m 0 0 0 1.4303 m
系统的势能
1 1 1 1 2 V k1 x1 k 2 ( x2 x1 ) 2 k3 ( x3 x2 ) k 4 ( x4 x3 ) 2 2 2 2 2
d T T V ( ) Qi i q i q i dt q
i 1,2,3,4
计算拉格朗日方程中的各项导数如下： 多自由度系统习题
EJ1 3EJ
EJ 2 2EJ
EJ3 EJ
x1
x2 x3 为相对地面的坐标。
求出系统的固有频率和按模态质量为一归一化后振型矩阵。 多自由度系统习题
解：由材料力学知，当悬臂梁自由端无转角时，其等效刚度为
12 EJ k 3 由此可将题图等效为右图所示的质量弹簧系统，其中 l
12EJ1 k1 2 h13
1 应用拉格朗日方程导出题1图所示系统的运动微分方程。
解：取各质量偏离其平衡位置的x1、x2、x3、x4为广义坐标。即 系统的动能
q i xi i 1,2,3,4 1 1 1 1 2 2 2 2 4 T m1 x1 m2 x2 m3 x3 m4 x 2 2 2 2
归一化振型的第i列为 A
i N
1 Mi
Ai
0.8361 0.2149 0.5049 1 AN 0 . 4927 0 . 6848 0 . 5390 m 0.8432 0.5278 0.1017
机械振动运动学3两自由度系统振动2
图3.7系统的主振型
根据给定的初始条件，可得：
故机械振动系统的响应为：
x1 0.4cos
k m k m
t 0.8cos1.581
k m k m
t
x 2 0.4cos
3.2.4 振动特性的讨论 （1）运动规律
t 0.4cos1.581
t
两自由度系统无阻尼自由振动是由两个简谐振动合成的。机 械系统的自由振动一般是一种非周期的复杂运动。 （2）频率和振型 两自由度系统有两个不同数值被称为主频率的固有频率 。任 何瞬间的各点位移之间具有一相对比值，即具有确定的振动形态 这就是主振型。
为第一主振型，即对应于频率
的振幅比；
为第二主振型，即对应于频率
振幅
的振幅比。
与 之间有两个确定的比值。并称为振幅比。
振幅比称为机械振动系统的主振型，也可称为固有振型。 第一主振动为：
第二主振动为：
表示 A 1 1和A2 1的符号相同。 则表示第二主振动中两个质点的位相反。
【例3-3】均质细杆质量为 m,长为 l，由两个刚度系数皆为 k 的 弹簧对称支承，如图3-5所示。试求此振动系统的固有频率和固 有振型。
由振动的四个初始条件来决定。
假设初始条件为：t=0时，
。经过整理，
上式就是机械振动系统在上述初始条件下的响应。
利用主坐标解耦的方法求解系统响应的基本步骤为：
（1）求出原振动方程的固有频率和振幅比，得到振型矩阵； （2）求出主坐标下的响应； （3）利用反变换式得出原广义坐标下的响应； （4）利用初始条件确定常系数。
磨床磨头系统就可以简化为图3.1
（d）所示的支承在进刀拖板上的两 自由度系统。 两自由度系统振动
图3.1 两自由度振动系统及其动力学模型
振动力学—多自由度系统
k k2 1 2 1 1 1 2 2 T 1 U k1 x1 k2 ( x1 x2 ) k3 x2 {x1 , x2 } 2 2 2 2 k2 k2 x1 1 T x Kx k2 k3 x2 2
0 x1 1 T x Mx m2 x2 2
3.1引言
二自由度系统的是最简单的多自由度系统，力 学直观性比较明显，系统的运动微分方程的求解相 对简单。 本节以二自由度系统为例，介绍多自由度系统 求解中遇到的某些问题和解决的思路。 3.1.1 二自由度运动微分方程 3.1.2 不同广义坐标下的运动微分方程 3.1.3 解除耦合的方法
3.1引言
系统的能量耗散函数
c c 1 2 1 1 2 1 1 c2 ( x1 x2 ) 2 c3 x2 {x1 , x2 }T 1 2 D c1 x 2 2 2 2 c2 c2 x1 1 T x Cx c2 c3 x2 2
mL2 0
1 mgL kL2 0 2 mL 2 kL2
1 0 2 mgL kL 2 kL
2
3.1引言
3.1.2 不同广义坐标下的运动微分方程 以汽车的二自由度振动模型为例，选取不同的广义坐标 建立运动微分方程，观察方程耦合的情况。同时找出不同广 义坐标下运动微分方程之间的关系。
3.1引言
⑶取广义坐标为yA、yB 。yC和可用 yA和yB表示为 L1 ( yB y A ) L2 L1 yC y A y A yB L L L
，
yB y A 1 1 y A yB L L L
机械振动学 第五章_两自由度系统振动(讲)
第五章两自由度系统振动§5-1 概述单自由度系统的振动理论是振动理论的基础。
在实际工程问题中，还经常会遇到一些不能简化为单自由度系统的振动问题，因此有必要进一步研究多自由度系统的振动理论。
两自由度系统是最简单的多自由度系统。
从单自由度系统到两自由度系统，振动的性质和研究的方法有质的不同。
研究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统振动特性的基础。
所谓两自由度系统是指要用两个独立坐标才能确定系统在振动过程中任何瞬时的几何位置的振动系统。
很多生产实际中的问题都可以简化为两自由度的振动系统。
①汽车动力学模型：图3.1两自由度汽车动力学模型§5-2 两自由度系统的自由振动一、系统的运动微分方程②以图3.2的双弹簧质量系统为例。
设弹簧的刚度分别为k 1和k 2，质量为m 1、m 2。
质量的位移分别用x 1和x 2来表示，并以静平衡位置为坐标原点，以向下为正方向。
(分析)在振动过程中的任一瞬间t ，m 1和m 2的位移分别为x 1及x 2。
此时，在质量m 1上作用有弹性恢复力()12211x x k x k -及，在质量m 2上作用有弹性恢复力()122x x k -。
这些力的作用方向如图所示。
应用牛顿运动定律，可建立该系统的振动微分方程式：()()⎭⎬⎫=-+=--+00122221221111x x k x m x x k x k xm （3.1）令2212121,,m k c m k b m k k a ==+=则（3.1）式可改写成如下形式：()()⎭⎬⎫=-+=--+00122221221111x x k x m x x k x k xm⎭⎬⎫=+-=-+00212211cx cx xbx ax x（3.2） 这是一个二阶常系数线性齐次联立微分方程组。
(分析)在第一个方程中包含2bx -项，第二个方程中则包含1cx -项，称为“耦合项”（coupling term ）。
这表明，质量m 1除受到弹簧k 1的恢复力的作用外，还受到弹簧 k 2的恢复力的作用。
振动学基础(复习)
第十五章振动学基础§15-1简谐振动【基本内容】一、简谐振动的动力学描述1、谐振动的受力特征谐振动的动力学定义：振动系统在与位移大小成正比，而方向相反的回复力作用下的运动称为简谐振动。
kxf-=, k为比例系数。
2、简谐振动的微分方程222=+xdtxdωmk=ω3、简谐振动的判据判据一kxf-=动力学判据判据二运动学判据判据三)cos(φω+=tAx运动方程4、简谐振动实例单摆小角度摆动、复摆、扭摆二、简谐振动的运动学描述1、谐振动的数学表达式——运动方程谐振动的运动学定义：位移按余弦规律移随时间变化的运动是谐振动。
)cos(φω+=tAx)cos()sin(2φωωφωω+-=+-=tAatAv2、简谐振动的三个特征量角频率、频率、周期——由振动系统的性质决定。
角频率：mk=ω周期：ωπ2=T频率：T1=ν振幅A ——表示振动物体离开平衡位置的最大距离。
振幅A 和初相ϕ由初始条件决定：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=-)(0012202x v tg v x A ωϕω 度ω（1（2（3（4123、谐振动的机械能：2222121ωmA kA E E E p K ==+=弹簧振子的动能和势能按正弦或余弦的平方随时间作周期性变化，其周期为谐振周期的一半；当动能最大时，势能最小；当动能最小时，势能最大；但机械能保持恒定不变。
【典型例题】【例15-1】半径为R 的木球静止浮于水面上时，其体积的一半浸于水中，求： （1）木球振动的微分方程；22222)31(dtxd m g R x x R =--ρπ平衡位置时：ρπ33421R m ⋅=，故 0)31(232222=-+Rx x R g dt x d 此即木球的运动微分方程。
当R x <<时，0322→R x02322=+x R gdtx d 木球作简谐振动g R T R g 3222,23πωπω===【例15-2】 弹簧下挂g m 1000=的法码时，弹簧伸长cm 8。
结构振动理论3-隔振原理
所以有： ( )2 1 1
n
Td
又因为 (n )2 g / s
则
s
g
2
(1 1 Td
)
由已知条件：
360* 2 12 rad / s Td 0.2
60
可得
s
9.8
(12 )2
(1
1) 0.2
0.0414 m
4.14cm
单自由度系统的定常强迫振动
Base Isolation Technique
(t )dt
1dt 1 ＝1
由此可得
lim
0
(t
)
(t
)
单位脉冲响应:零初始条件下,系统对单位冲量产生的瞬态响应。
单自由度系统非定常响应
函数具有如下的重要性质和功能：
（1）筛选性
积分中值定理
(t ) f (t)dt lim 1/ f (t)dt lim 1/ f ( ) f ( )
传到基础上的力幅与机器上作用的简谐力幅之比称为力传递率：
FT F0
1 (2 )2
X
(1 2)2 (2 )2 Y T
可见力隔振与运动隔 振的原理是统一的。
单自由度系统的定常强迫振动
三.反馈控制隔振
1/s k2 m
F (k1x& k2&x&) m&x& k(x xg ) F
k1
4
0
0.1
时间内作用的效果，可以把它
t t
f(t)
看成是 一系列冲量微元之和 。
t 时刻冲量微元 f ( )d
作用下系统的响应为 h(t ) f ( )d t
0
t
d
结构动力学哈工大版课后习题解答
第一章 单自由度系统1.1 总结求单自由度系统固有频率的方法和步骤。
单自由度系统固有频率求法有：牛顿第二定律法、动量距定理法、拉格朗日方程法和能量守恒定理法。
1、 牛顿第二定律法适用范围：所有的单自由度系统的振动。
解题步骤：（1） 对系统进行受力分析,得到系统所受的合力；（2） 利用牛顿第二定律∑=F x m,得到系统的运动微分方程；（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。
2、 动量距定理法适用范围：绕定轴转动的单自由度系统的振动。
解题步骤：（1） 对系统进行受力分析和动量距分析；（2） 利用动量距定理J ∑=M θ,得到系统的运动微分方程；（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。
3、 拉格朗日方程法：适用范围：所有的单自由度系统的振动。
解题步骤：（1）设系统的广义坐标为θ，写出系统对于坐标θ的动能T 和势能U 的表达式；进一步写求出拉格朗日函数的表达式：L=T-U ； （2）由格朗日方程θθ∂∂-∂∂∂LL dt )( =0，得到系统的运动微分方程； （3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。
4、 能量守恒定理法适用范围：所有无阻尼的单自由度保守系统的振动。
解题步骤：（1）对系统进行运动分析、选广义坐标、写出在该坐标下系统的动能T 和势能U 的表达式；进一步写出机械能守恒定理的表达式 T+U=Const （2）将能量守恒定理T+U=Const 对时间求导得零,即0)(=+dtU T d ，进一步得到系统的运动微分方程；（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。
1.2 叙述用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。
用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法有两个：衰减曲线法和共振法。
方法一：衰减曲线法。
求解步骤：（1）利用试验测得单自由度系统的衰减振动曲线，并测得周期和相邻波峰和波谷的幅值i A 、1+i A 。
振动力学答案
k1
k1k 2 k1 k2
k 2 ，
k3
k1k 2 k1 k2
，
k
k1k2k4 k2k3k4 k1k2k4
k1k3 k2k3 k1k2 k1k4 k2k4
p2
k1k2k4 k2k3k4 k1k2k4
m(k1k3 k2k3 k1k2 k1k4 k2k4 )
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振幅。 解：列出平衡方程可得：
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W
k(st
x)
Q g
w2e sin wt
W g
x
W x kx Q w2esin(wt )
g
g
x kg x Q w2esin(wt ) WW
所以：
Pn
kg W
h Q w2e W
W
又因为
kst即k
W st
将结果代入B
h
4.875cos4.875
当 x =0 时 ， 振 幅 最 大 ， 此 时 t=0.03s 。 当
t=0.03s 时，x=0.005m）
代入初始条件，得
C1
x0
0, C2
nx0 x0 pd
x0 pd
0.006 ，得
x C2ent sin pd t 物体达到最大振幅时，有
x nC2ent sin pd t C2ent pd cos pd t 0 既得 t = 0.30 s 时，物体最大振幅为 x 0.006 e0.490.3 sin(4.875 0.3) 0.528 cm
撞后一起作自由振动。已知 k =48020 N/m，c
=1960 Ns/m，问重
物在碰撞后多少时
间达到最大振幅?
第3章 振动系统的运动微分方程题解
资料范本本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载第3章振动系统的运动微分方程题解地点：__________________时间：__________________说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容习题题3-1图3-1 复摆重P，对质心的回转半径为，质心距转动轴的距离为a，复摆由水平位置无初速地释放，列写复摆的运动微分方程。
解:系统具有一个自由度，选复摆转角为广义坐标，原点及正方向如如题4-1图所示。
复摆在任意位置下，根据刚体绕定轴转动微分方程其中得到复摆运动微分方程为或3-2均质半圆柱体，质心为C，与圆心O1的距离为e，柱体半径为R，质量为m，对质心的回转半径为，在固定平面上作无滑动滚动，如题3-2图所示，列写该系统的运动微分方程。
题3-2图解：系统具有一个自由度，选为广义坐标。
半圆柱体在任意位置的动能为：用瞬心法求：故系统具有理想约束，重力的元功为应用动能定理的微分形式等式两边同除，，等式两边同除故微分方程为①若为小摆动，，并略去二阶以上微量，上述非线性微分方程可线性化，系统微摆动的微分方程为要点及讨论（1）本题也可以用平面运动微分方程求解。
系统的受力图与运动分析图如图（b）所示。
列写微分方程上述方程包含，，，，五个未知量，必须补充运动学关系才能求解。
建立质心坐标与广义坐标之间的关系，所以运动学方程式⑤⑥与方程②③④联立，消去未知约束力，，就可以得到与式①相同的系统运动微分方程。
因为在理想约束的情况下，未知约束力在动能定理的表达式中并不出现，所以用动能定理解决已知力求运动的问题更简便、直接。
（2）本题也可用机械能守恒定律求解。
系统的动能选半圆柱体中心O1所在平面为零势面，系统的势能由两边对时间求导数，即可得到与式①相同的运动微分方程。
3-3 均质杆AB，长l，质量为m，沿光滑墙面滑下，如题3-3图所示。
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∂V = k1 ( x + a1θ ) + k 2 ( x − a2θ ) ∂x
∂V = k3 ( y + a3θ ) + k 4 ( y − a4θ ) ∂y
3.2 拉格朗日运动方程
d ∂T & ∂T = 0 & = I Oθ&; dt ∂θ ∂θ
3.2 拉格朗日运动方程
应用拉氏方程解题的步骤： 应用拉氏方程解题的步骤： 判定质点系的自由度数 ， 1. 判定质点系的自由度数n，选取适宜的广义 坐标。必须注意：不能遗漏独立的坐标， 坐标。必须注意：不能遗漏独立的坐标，也不能 有多余的（不独立）坐标。 有多余的（不独立）坐标。 计算质点系的动能T， 2. 计算质点系的动能 ，表示为广义速度和 广义坐标的函数。 广义坐标的函数。
3.2 拉格朗日运动方程
1 1 & 2 + y 2 ) + I Oθ& 2 & 系统的动能为 T = m( x 2 2
系统的势能为
V = 1 1 1 1 k1 ( x + a1θ) 2 + k 2 ( x − a 2 θ) 2 + k 3 ( y + a 3 θ) 2 + k 4 ( y − a 4 θ) 2 2 2 2 2
& I Oθ& + (k1a1 − k 2 a2 ) x + (k3 a3 − k 4 a4 ) y + (k1a12
Mechanical and Structural Vibration
+
2 k 2 a2
+
2 k3 a3
+
2 k 4 a4 )
θ =0
图 刚体微幅运动
第二类拉格朗日方程
例 题
已知：弹性系数为k 滑块质量为m 例 已知：弹性系数为 ，滑块质量为 1,水平面 光滑单摆长l 摆锤质量为m 光滑单摆长 ，摆锤质量为 2 ，试列出该系统的运 动微分方程。 动微分方程。 解：系统为二自由度保守系 为广义坐标， 统。取x , ϕ为广义坐标，x 轴 原点位于弹簧自然长度位 逆时针转向为正。 置， ϕ 逆时针转向为正。
3.2 拉格朗日运动方程 图示系统，摆的支点在水平方向受到弹性约束， 例 图示系统，摆的支点在水平方向受到弹性约束，其总刚 度为k，摆的质量为m， 摆长为l。 度为 ， 摆的质量为 ， 摆长为 。 试用拉格朗日方程求出系 统的运动方程。 统的运动方程。 解： （1）选择x及θ 为广义坐标 ）选择 及 （2）动能及势能 ）
Mechanical and Structural Vibration
3.1 牛顿定律和普遍定理
3.1.2 质点系动能定理的微分形式
设质点系由n个质点组成 ， 其在理想约束的条件下， 设质点系由 个质点组成， 其在理想约束的条件下 ， 质点 个质点组成 系动能的微分等于作用在质点系的主动力的元功之和。 系动能的微分等于作用在质点系的主动力的元功之和。有
若主动力为有势力，须将势能U表示为广义坐 若主动力为有势力，须将势能 表示为广义坐 标的函数。 标的函数。 建立拉氏方程并加以整理，得出n个二阶常微 4. 建立拉氏方程并加以整理，得出 个二阶常微 分方程。 分方程。 求出上述一组微分方程的积分。 5. 求出上述一组微分方程的积分。
Mechanical and Structural Vibration
&& m&&C = ∑ Fx , m&&C = ∑ Fy , J C ϕ = ∑ M C ( F )} x y
上式称为刚体平面运动微分方程。 上式称为刚体平面运动微分方程。 应用以上方程可求解平面运动刚体动力学的两类问题 。
Mechanical andபைடு நூலகம்Structural Vibration
3.1 牛顿定律和普遍定理
Mechanical and Structural Vibration
第二类拉格朗日方程
2 & & v B = ( x + l ϕ cos ϕ ) 2 & + ( lϕ sin ϕ ) 2
例 题
& & = x 2 + l 2ϕ 2 + & & 2 x lϕ cos ϕ
系统动能： 系统动能：
T = 1 m1 x 2 + 1 m2 v B 2 = 1 m1 x 2 + 1 m2 ( x 2 + l 2ϕ 2 + 2 xlϕ cos ϕ ) & & & & & & 2 2 2 2 = 1 ( m1 + m2 ) x 2 + 1 m2l 2ϕ 2 + m2 xlϕ cos ϕ & & & & 2 2
∂xi ∂yi ∂zi +Y + Zi ) i ∂qj ∂qj ∂qj
广义力
经推导得 d ∂ T − ∂ T = Q j
& d t ∂q j ∂q j
( j = 1,2, L , k )
拉格朗日第二类动力学方程，简称拉格朗日方程。 拉格朗日第二类动力学方程，简称拉格朗日方程。
Mechanical and Structural Vibration
& m&& + mlθ& + kx = 0 x & m&& + mlθ& + mgθ = 0 x
两式相减得到 mgθ = kx 得到运动方程
mg & + l θ& + gθ = 0 k
图 摆振系统
Mechanical and Structural Vibration
3.2 拉格朗日运动方程 图示的刚体由四根拉伸弹簧支承， 例 图示的刚体由四根拉伸弹簧支承，被限 制在图示平面内运动。 图示位置为平衡位置。 制在图示平面内运动 。 图示位置为平衡位置 。 且质量为m，转动惯量I 且质量为 ，转动惯量 O。试导出微幅运动微 分方程。 分方程。 解：取刚体质心O点偏离平衡位置的x、y和 刚体绕质心的转角θ为广义坐标，即
Mechanical and Structural Vibration
3.1 牛顿定律和普遍定理
3.1.1 质点的运动微分方程
牛顿第二定律， 牛顿第二定律，质点在惯性坐标系中的运动微分方程有 以下几种形式
m d2r dt
2
= ΣF
d2x d2 y d2z m 2 = ΣFx , m 2 = ΣFy , m 2 = ΣFz dt dt dt
& & m&& + ml cosθθ&2 − ml sin θθ 2 + kx = 0 x & && ml cosθ&& + ml 2θ& − mlxθ sin θ + mg sin θ = 0 x
d ∂L ∂L ( )− =0 & dt ∂q j ∂q j ( j = 1,2,L , k )
这就是摆的运动方程。 当微幅振动时，取cosθ ≈1，sinθ = 0，并可略去高阶项， 则可简化为
目录
Mechanical and Structural Vibration
第3章 振动系统的运动微分方程
3.1 牛顿定律和普遍定理
Mechanical and Structural Vibration
3.1 牛顿定律和普遍定理
3.1.1 质点的运动微分方程 3.1.2 质点系动能定理的微分形式 3.1.3 刚体平面运动微分方程 3.1.4 普遍定理的综合应用
& 动能： T = m[ x + (l cos θ )θ&] 2 + m[(l sin θ )θ&] 2 1 2 1 2
1 2 势能：V = kx + mgl (1 − cos θ) 2
图 摆振系统
（3）广义外力为零
Mechanical and Structural Vibration
3.2 拉格朗日运动方程 （4）运动方程 ）
拉格朗日方程提供了解决有限自由度完整系统运动的一个普遍 的简单而又统一的方法。 的简单而又统一的方法。
如果作用于质点系的力是有势力， 如果作用于质点系的力是有势力， 引入拉格朗日函数： 引入拉格朗日函数：
L = T −U
( j =1,2,L, k)
d ∂L ∂L ( )− =0 & dt ∂qj ∂qj
∂V = k1 ( x + a1θ )a1 − k 2 ( x − a2θ )a2 + k3 ( y + a3θ )a3 − k 4 ( y − a4θ )a4 ∂θ
代入拉格朗日方程，得系统运动微分方程为
m&& + (k1 + k 2 ) x + (k1a1 − k 2 a2 )θ = 0 x m&& + (k3 + k 4 ) y + (k3 a3 − k 4 a4 )θ = 0 y
拉格朗日方程
d ∂T dt ∂qi &
∂T ∂V − ∂q + ∂q = Qi i i
(i = 1, 2, L, n)
图刚体微幅运动
计算拉格朗日方程中各项导数
d ∂T ∂T x =0 = m&&; & dt ∂x ∂x
d ∂T ∂T = m&&; y =0 ∂y & dt ∂y