第三章复变函数积分

G E A 1 A 1 A 2 A 2 F F A 3 A 3 A 4 A 4 G G A 4 A 4 A 3 A 3 H H A 2 A 2 A 1 A 1 I I E .
C E A 1 A 1 I I E , C 1 A 2 F F A 3 A 3 H H A 2 , C 2 A 4GG A 4.
为终点的曲线C上的积分记成 f (z)dz, 因为 积分值可能与积分路径有关, 所以记 C f (z)dz.
§3.2 Cauchy积分定理
1 Cauchy积分定理 2 复合闭路定理 3 典型例题
3.2.1 Cauchy积分定理
定理3-2 (柯西-古莎定理) 如果f (z)是单连 通区域 D上的解析函数，则对D内的任何一条
PyQx vyux
注意1
从例2.3看到,
积分
Re(z)dz 和
C
C
zd z ,
都是从相同的起点到相同的终点, 沿着三条不
相同的路径进行, 但是 Re(z)dz 积分值不同, C
z d z 积分值相同. 是否可以讨论积分与积分 C
路径的关系?
注意2 一般不能将函数f (z)在以为起点, 以
R e z 1 , d z id t,
Rezdz
1
tdt
1
1 idt
1
i.
C
0
0
2
1
1
Czdz0tdt0(1it)idt
y
i
1i
y x2
o
x
1
i.
例3.4
计算
C
z2dz, Ci 如图所示：
C2
解：
C1
C 1:zx,y 0 ,x:1 1 1
1
z2dz1x2dx2;
C1 1
3
C 2:zei,
C
k 1
f ( z )dz , Ck
C C1
C2
C3
其中 C和 Ck(1k n)取正向.
D
,
C2 只包含
G
2z z2
1dz z
C12z2z1zdzC22z2z1zdz
y
1111
d z d z d z d z
C 1z1 C 1z C 2z1 C 2z
C1
C2
•
•
o1
x
0 2 i 2 i 0 4i.
(1) 从原点到 1+i 的直线段；
(2) 抛物线 y=x2 上从原点到 1+i 的弧段；
(3) 从原点沿x轴到1, 再从1到 1+i 的折线.
解 (1) 积分路径的参数方程为 z ( t) t it( 0 t 1 ) ,
R e z t, d z ( 1 i) d t,
y
i
1i
Rezdz
在公共边界(辅助线)上, 积分两次, 方向 相反, 积分值之和等于0. 所以
f(z)dz0. CC1 C2
f(z )d z f(z )d z f(z )d z 0 ,
C
C 1
C 2
f(z)d z f(z)d z f(z)d z.
C
C 1
C 2
当 n 为其它值时，可同样证明.
3.2.3 典型例题
其中， zkzkzk1
k1,2, ,n.
令
max 1kn
zk
.
y
z0
1
2
z1
z2
o
Z
C zn1
k zk z k 1
x
如果分点的个数无限增多，并且极限
n
li m 0Snli m 0k1 f(k)zk
存在, 则称该极限值为函数 f ( z ) 在曲线C上的积分,
并记作C f (z)dz, 即 n Cf(z)dzli m 0k1f(k)zk.
t2 2
2i 3
t3
1
0
12i; 23
zdz 1(tit2)1 (2it)dt
C
0
1[(t2t3)i3t2]d ti. 0
(3) 积分路径由两段直线段构成
x轴上直线段的参数方程为 z(t) t(0 t 1 ),
R e z t, d z d t,
1到1+i直线段的参数方程为 z ( t) 1 i( t 0 t 1 ),
例3.7
计算积分
G
2 z
z
2
1 z
d
z
,
其中G为包含圆周
z 1 在内的任意分段光滑正向简单闭曲线.
解 显然函数 2z 1
f (z) z2 z 在复平面有两个奇点0和1, 并且G 包含了这两个奇点.
y
•
o1
•
x
G
在G内作两个互不包含也互不相交的正向
圆周C1和C2, 使得C1只包含奇点0,
奇点1.
k1
k1
其中, s k 是 z k 与 z k 1 两点之间弧段的长度.
根据积分定义，令 0, 即得性质(5).
3.1.4 积分的计算
例3.1 设 C是复平面上以z0为起点, z为终 点的分段光滑(或可求长)曲线，则
C1dzzz0.
解 根据积分的定义
n
n
C 1 d zli m 0k 1 zkli m 0k 1(zkzk 1)
:0z2dz e2iieid
C2
0
i
e3id
1e3i
2.
0
30 3
z2dz 0
C
可见，积分与路径无关仅与起点和终点有关。
z 2 d z x 2 y 2 d x 2 x y d y i2 x y d x x 2 y 2 d y
CC
C
M
N
P
Q
M yN x uy(v)x
如果C是闭曲线，经常记作 C f(z)dz.
当C是实轴上的区间 a , b , 方向从a到b, 并且
f ( z ) 为实值函数，那么这个积分就是定积分.
3.1.2 积分存在的条件及积分性质
定理3-1 设C是分段光滑(或可求长)的有向
曲线， f( z ) u ( x ,y ) i v ( x ,y )在C上连续，则
根据
பைடு நூலகம்
复合闭路定理
定理3-3 设 C , C1 , C 2 ,
, C n是多连通区域D内
的简单闭曲线, C1 , C 2 ,
, C n 都在C 的内部,它们
互不包含也互不相交, 并且以 C , C1 , C 2 ,
,Cn 为
边界的闭区域含于D内. 如果 f (z)是 D上的解析
函数, 那么
n
f ( z )dz
f(z ) d zf(z ) d zf(z ) d z ;
C
C 1
C 2
(5) 设曲线C的长度为L, 函数f (z)在C上满足
f(z) M, 则 Cf(z)d zCf(z)d sM L .
事实上,
估值不等式
n
n
f(k)zk f(k)zk
k1
k1
n
n
f (k ) sk M sk ML,
函数, 那么
n
f(z)dz f(z)dz,
C
k1 Ck
C
C1
C2 C3
其中C和Ck(1kn)取正向.
D
证明 不妨设n=2. 作两条辅助线 A1A2,A3A4(如图).
CE
G
A4
A1 A2 F A3
C2
H C1 I
D
这样由 E A 1 A 2 F A 3 A 4 G A 4 A 3 H A 2 A 1 I E 作为边界G ,
第3章 复变函数的积分
本章介绍复变函数的积分概念，解析 函数积分的主要性质. 重点是Cauchy积分 定理、Cauchy积分公式、高阶导数公式.
§3.1 复变函数的积分
1 积分的概念 2 积分存在条件及性质 3 积分的计算
3.1.1 积分的概念
定义3.1 设 C是复平面上以z0为起点, Z为终 点 有向简单连续曲线，f ( z ) 是C上的复变函数.
例3.6
计算积分
zi
1
1 z(z2
1)
dz.
2
解 z(z2 11)1 z1 2z1 iz1 i.
因为 1 和 1 都在 z i 1 上解析, 所以
z z i
2
根据Cauchy积分定理得
zi
1
z(
1 z2
1)
dz
zi11z12z1i12z1idz
2
2
1dz1 1dz1 1dz
闭曲线C, 都有
f (z)dz 0.
C
C D
说明: 该定理的主要部分是 Cauchy 于1825 年建立的, 它是复变函数理论的基础.
1
例3.5
计算积分
z
1
2z
dz. 3
解 因为函数 f (z) 1 2z 3
在 z 1上解析, 所以根据Cauchy积分定理, 有
1
dz 0. z 1 2z 3
在C上依次取分点
z0,z1, ,zk 1,
y
z k , ,z n 1 ,z n Z ,
把曲线C分割为n个小段.
z0
(如图)
o
z1 z2
Z
C zn1
zk z k 1
x
在每个小弧段 z k 1 z k k 1 ,2 , ,n 上任取
一点 n (k 1 ,2 , ,n ),做和数
n
Sn f(k)zk, k1
0
当 n0时 ,
y
z
C
(z
1 z0)n1
dz
i
2π d
0
2i;
z0 r
当 n0时 ,
o
x
C (z1z0)n1dzrin0 2π(co snisin n)d0 .
所以 zz0r(z1z0)n1dz02,i,
n0, n0.
重要结论：积分值与圆周的中心、半径无关.
例3.3 计算积分C Re zdz 与 C z d z , 其中C为
zi1z 2zi1zi
2zi1zi
2
2
2
0
1
1 dz 1 2i i.
2 zi 1 z i
2
2
这里用到了
例3.2
1
2 i, n 0,
zz0 r ( z z0 )n1 dz 0,
n 0.
积分值与圆周的中心、半径无关.
3.2.2 复合闭路定理
定理3-3 设 C ,C 1 ,C 2 , ,C n 是多连通区域D内 的简单闭曲线, C 1,C 2, ,C n都在C 的内部,它们 互不包含也互不相交, 并且以 C ,C 1 ,C 2 , ,C n为 边界的闭区域含于D内. 如果 f (z)是 D上的解析
定理3-1’ 设光滑曲线 C : z z ( t ) x ( t ) i y ( t ) ( t ) ,
z ( ) 是起点, z ( ) 是终点，则
Cf(z)d zf[z(t)]z(t)d t.
C f ( z )i du z[ x ( v t [ C) x , u( y dt ( ) xt , ) y ] x ( vt d( ) t ] yx ) ( t iv ) [ C x v( u dt [ x) , x y ( t ( u) t , d) ] y yy ( t ( ) t ] ) y d ( t t ) d t . u [ x ( t ) ,y ( t ) ] i v [ x ( t ) ,y ( t ) ] x ( t ) i y ( t ) d t f[z(t)]z(t)dt.
1
t(1i)dt
1(1 i);
C
0
2
o
zdz1(1i)2tdt(1i)2
1
tdt
i.
C
0
0
x
1
y
(2) 积分路径的参数方程为
i
z(t) t i2 t (0 t 1 ),
R e z t ,d z ( 1 2 t i ) d t , o
1i
y x2 x
1
C
Rezdz
1
0t(12it)dt
G
例3.8
计算积分
G
ez dz,
z
其中G 由正向圆周
y
z 2 和负向圆周 z 1 组成.
C1
解 显然C1和C2围成一 ez
个圆环域. 函数 f ( z ) z
C2 o1
2x
在此圆环域及其边界上解析, 并且圆环域的边界
构成复合闭路, 所以根据
li m 0(zz0)zz0.
例3.2
计算积分
C
(z
1 z0 )n1
dz
(n是整数),
其中C是圆周: zz0r(r0)
y
的正向. 解 积分路径的参数方程为
z
z0 r
z z 0 rie( 0 2 π ), o
x
C
(z1z0)n1dz
2π irie
0 rn1ei(n1)
d
rin
2πeind,
C f (z)dz 存在，并且
n
n
f(k)zk [u(k,k)xkv(k,k)yk]
k1
k1
n
i[v(k,k)xku(k,k)yk]
k1
C f(z)dz CudxvdyiCvdxudy.
C f(z)dz CudxvdyiCvdxudy
从形式上可以看成
C f(z)dzC(uiv )d (xid y) C u d x id v x id u y v d y C u d x v d y iC v d x u d y .
围成单连通区域.
f (z)在G 所围的区域内解析, 由
定理3-2 (柯西-古莎定理) 设f (z)是单连 通区域 D上的解析函数，则对D内的任何一条
简单闭曲线C, 都有
f ( z )dz 0.
C
C D
说明: 该定理的主要部分是 Cauchy 于1825 年建立的, 它是复变函数理论的基础.
G f(z)dz0.
复变函数的积分具有如下一些性质.
(1 ) f(z)d z f(z)d z;
C
C
(2 )C k f(z)d z k C f(z)d z(k是复常数);
( 3 ) C [ f ( z ) g ( z ) d z ] C f ( z ) d z C g ( z ) d z ;
(4) 设C1的终点是C2的起点, C=C1+C2, 则