工程结构抗震设计第三章.pptx
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Pdt xg d， m=1， tt-
t
d
xt
t
t-
地震作用下的质点位移分析
x(t)
0t
dxt
1
0t
x g
(
)e
(t
)
sin
(t
)d
上式就是非齐次微分方程的特解 称为杜哈默（Duhamel）积分。
五、基本运动方程的全解
x(t)
e t
x 0 cos
t
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x 0
x0
sin
t
1
0t
x g
2．单自由度体系
单质点体系
单质点体系只作单向振动时，就形成一个单自由 度体系。
二、运动方程
地基水平运动时单质点弹性体系运动方程的推导。
x(t) m
mxg t
D
I
S
xg(t) （a）
（b）
地面位移引起的运动
取质点m作为隔离体
惯性力： I m [xg t xt ] 弹性恢复力： S k xt
3 S a(g )
2
=0
0.05
1
0.10
0
T (s )
0
1
2
3
4
El Centro地震S a 反应谱曲线
由上图可见
(1) 谱值随阻尼比增加减小
(2) 谱值随周期增加先急剧增加，后逐渐减小
三、地震系数与动力系数
F
mS a
mg
xg t max
g
Sa Gk
xg t max
1．地震系数k
k xg (t ) max g
越大振幅衰 减越快
2．自振周期与自振频率
（1）无阻尼
周期 频率 圆频率 （2）有阻尼
T 2 2 m k f =1 T
=2 T =2 f
周期 圆频率
T= 2 1 2
比较
< ， T > T
（3）阻尼比
临界阻尼比：=1时， = 0，结构不发生振动 临界阻尼系数： c cr 2m 2 km 阻尼比：结构的阻尼系数与其临界阻尼系数之比
(
)e
(t
)
sin
(t
)d
第三节 单自由度弹性体系的水平地震 作用及其反应谱
一、水平地震作用的基本公式
质点上的惯性力
I(t) m( xg (t) x(t)) kxt cxt
阻尼力相对于弹性恢复力是可忽略的微量，则
I(t)=k x(t)
或
x(t)=I(t)/k= I(t)
式中为杆件的柔度。惯性力可理解为一种反应地震
三、地震反应的计算方法
1．拟静力法，或称等效荷载法 1）振型分解反应谱法 2）底部剪力法
2．直接动力法，又称时程分析法
第二节 单自由度弹性体系的地震反应分析
一、单自由度体系
1．单质点体系 动力分析时将结构全部质量集中于一点，用无重 量弹性杆支承的体系。
（a）单层房屋及其简化体系
（b）水塔及其简化体系
=c/2 m= c/cr
（4）在实际结构中，=0.01~0.1，可近似取 =
即忽略阻尼的影响。
自振周期
T 2 m k
自振周期与结构自身的质量和刚度有关：
m↗，T↗； k↗，T↘。
四、强迫振动
1．瞬时冲量及其引起的自由振动 瞬时冲量：质点上荷载P 作用时间dt
Pt
xg t
P
t dt xt
t
（a） 瞬时冲量及其引起的自由振动
F=mSa
二、地震反应谱 地震反应谱：单自由度弹性体系地震反应与其自振 周期的关系曲线。 Sa与T 的关系曲线称加速度反应谱。 计算流程：
1．给定 xg ，0，Ti
2．计算at 3．确定Sa= atmax 4．绘制坐标点SaTn，0，Ti 5．设定新的Ti值，重复步骤2~4。
加速度反应谱计算示意图
阻尼力： D c xt
根据达朗伯尔原理，则
或 m[ xg (t) x(t)] c x(t) k x(t) 0
mx(t) cx(t) kx(t) mxg (t)
上式就是地震作用下质点的运动微分方程。
简化
x(t) 2 x(t) 2 x(t) xg (t)
式中
k m
c c 2m 2 km
t
d
xt
t
t-
（b） 地震作用下的质点位移分析
由动量定理：冲量等于动量的增量
Pdt=mv mv0
若假设体系初始处于静止状态，v0=0，则
v=Pdt / m
xg t
当x0=0和 x0 Pdt / m
x(t ) e t Pdt sin t m
2．杜哈默积分 瞬时冲量： xg d
dx(t ) e (t ) xg ( ) sin (t )d
影响的等效荷载。将动力问题转变为静力问题。
质点绝对加速度
at
x g
t
xt
k m
xt
2
xt
将地震反应xt的表达式代入
at 0t xg e t sin t d
质点最大绝对加速度
Sa
at max
2
T
0t xg
e
2 T
t
sin
2
T
t d
max
水平地震作用的绝对最大值为
常系数二阶非齐次微分方程，全解=齐次解+特解。
三、自由振动
1．自由振动方程
x(t) 2 x(t) 2 x(t) 0
对一般结构，阻尼较小（即1），通解：
x(t ) e t ( A cos t B sin t )
式中
1 2
A、B——待定常数，由运动初始状态确定。
若t =0时，体系初始位移为x(0)， 初始速度为 x(0)
工程结构抗震设计
第三章 结构地震反应分析与抗震验算
第一节 概 述
一、地震反应
地震在结构中引起的振动，包括内力、变形和位移。
二、影响地震反应的因素
1．地震地面运动特性 地震地面运动的三要素： （1）地震动强度：地面运动加速度峰值大小 （2）地震动频谱特征：地震波主要周期 （3）地震动持续时间：
2．建筑结构动力特性 （1）自振周期：质量、刚度 （2）阻尼：
k仅与烈度有关。烈度每增加一度，k值增加一倍。
2．动力系数
Sa
xg (t ) max
是质点最大反应加速度比地面最大加速度放大的倍数。 把Sa代入上式
2
T
1 xg (t ) max
| 0t xg ( )e
2 (t ) T
sin
2
T
(t
)d
|max
与T之间的曲线为谱曲线。
3．标准反应谱 定义：对大量地震反应谱曲线进行分析、统计求出的 具有代表性的平均反应谱曲线，来作为设计的依据。
A x(0)
x(0) x(0)
B
单自由度体系自由振动位移
xt
e
t
x0
cos
t
x 0
x0
sin
t
当无阻尼，即=0，代入上式得无阻尼自由振动位移
xt x0cost x0 sint
xt
=0
0.05 0.2 x0
a. 无阻尼
振幅始终不变 t b. 有阻尼
振动逐渐衰减
单自由度体系自由振动曲线
形状：取决于场地条件、震级、震中距等。
一般，场地越软，震中距越远，曲线的峰值越向右移，
t
d
xt
t
t-
地震作用下的质点位移分析
x(t)
0t
dxt
1
0t
x g
(
)e
(t
)
sin
(t
)d
上式就是非齐次微分方程的特解 称为杜哈默（Duhamel）积分。
五、基本运动方程的全解
x(t)
e t
x 0 cos
t
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x 0
x0
sin
t
1
0t
x g
2．单自由度体系
单质点体系
单质点体系只作单向振动时，就形成一个单自由 度体系。
二、运动方程
地基水平运动时单质点弹性体系运动方程的推导。
x(t) m
mxg t
D
I
S
xg(t) （a）
（b）
地面位移引起的运动
取质点m作为隔离体
惯性力： I m [xg t xt ] 弹性恢复力： S k xt
3 S a(g )
2
=0
0.05
1
0.10
0
T (s )
0
1
2
3
4
El Centro地震S a 反应谱曲线
由上图可见
(1) 谱值随阻尼比增加减小
(2) 谱值随周期增加先急剧增加，后逐渐减小
三、地震系数与动力系数
F
mS a
mg
xg t max
g
Sa Gk
xg t max
1．地震系数k
k xg (t ) max g
越大振幅衰 减越快
2．自振周期与自振频率
（1）无阻尼
周期 频率 圆频率 （2）有阻尼
T 2 2 m k f =1 T
=2 T =2 f
周期 圆频率
T= 2 1 2
比较
< ， T > T
（3）阻尼比
临界阻尼比：=1时， = 0，结构不发生振动 临界阻尼系数： c cr 2m 2 km 阻尼比：结构的阻尼系数与其临界阻尼系数之比
(
)e
(t
)
sin
(t
)d
第三节 单自由度弹性体系的水平地震 作用及其反应谱
一、水平地震作用的基本公式
质点上的惯性力
I(t) m( xg (t) x(t)) kxt cxt
阻尼力相对于弹性恢复力是可忽略的微量，则
I(t)=k x(t)
或
x(t)=I(t)/k= I(t)
式中为杆件的柔度。惯性力可理解为一种反应地震
三、地震反应的计算方法
1．拟静力法，或称等效荷载法 1）振型分解反应谱法 2）底部剪力法
2．直接动力法，又称时程分析法
第二节 单自由度弹性体系的地震反应分析
一、单自由度体系
1．单质点体系 动力分析时将结构全部质量集中于一点，用无重 量弹性杆支承的体系。
（a）单层房屋及其简化体系
（b）水塔及其简化体系
=c/2 m= c/cr
（4）在实际结构中，=0.01~0.1，可近似取 =
即忽略阻尼的影响。
自振周期
T 2 m k
自振周期与结构自身的质量和刚度有关：
m↗，T↗； k↗，T↘。
四、强迫振动
1．瞬时冲量及其引起的自由振动 瞬时冲量：质点上荷载P 作用时间dt
Pt
xg t
P
t dt xt
t
（a） 瞬时冲量及其引起的自由振动
F=mSa
二、地震反应谱 地震反应谱：单自由度弹性体系地震反应与其自振 周期的关系曲线。 Sa与T 的关系曲线称加速度反应谱。 计算流程：
1．给定 xg ，0，Ti
2．计算at 3．确定Sa= atmax 4．绘制坐标点SaTn，0，Ti 5．设定新的Ti值，重复步骤2~4。
加速度反应谱计算示意图
阻尼力： D c xt
根据达朗伯尔原理，则
或 m[ xg (t) x(t)] c x(t) k x(t) 0
mx(t) cx(t) kx(t) mxg (t)
上式就是地震作用下质点的运动微分方程。
简化
x(t) 2 x(t) 2 x(t) xg (t)
式中
k m
c c 2m 2 km
t
d
xt
t
t-
（b） 地震作用下的质点位移分析
由动量定理：冲量等于动量的增量
Pdt=mv mv0
若假设体系初始处于静止状态，v0=0，则
v=Pdt / m
xg t
当x0=0和 x0 Pdt / m
x(t ) e t Pdt sin t m
2．杜哈默积分 瞬时冲量： xg d
dx(t ) e (t ) xg ( ) sin (t )d
影响的等效荷载。将动力问题转变为静力问题。
质点绝对加速度
at
x g
t
xt
k m
xt
2
xt
将地震反应xt的表达式代入
at 0t xg e t sin t d
质点最大绝对加速度
Sa
at max
2
T
0t xg
e
2 T
t
sin
2
T
t d
max
水平地震作用的绝对最大值为
常系数二阶非齐次微分方程，全解=齐次解+特解。
三、自由振动
1．自由振动方程
x(t) 2 x(t) 2 x(t) 0
对一般结构，阻尼较小（即1），通解：
x(t ) e t ( A cos t B sin t )
式中
1 2
A、B——待定常数，由运动初始状态确定。
若t =0时，体系初始位移为x(0)， 初始速度为 x(0)
工程结构抗震设计
第三章 结构地震反应分析与抗震验算
第一节 概 述
一、地震反应
地震在结构中引起的振动，包括内力、变形和位移。
二、影响地震反应的因素
1．地震地面运动特性 地震地面运动的三要素： （1）地震动强度：地面运动加速度峰值大小 （2）地震动频谱特征：地震波主要周期 （3）地震动持续时间：
2．建筑结构动力特性 （1）自振周期：质量、刚度 （2）阻尼：
k仅与烈度有关。烈度每增加一度，k值增加一倍。
2．动力系数
Sa
xg (t ) max
是质点最大反应加速度比地面最大加速度放大的倍数。 把Sa代入上式
2
T
1 xg (t ) max
| 0t xg ( )e
2 (t ) T
sin
2
T
(t
)d
|max
与T之间的曲线为谱曲线。
3．标准反应谱 定义：对大量地震反应谱曲线进行分析、统计求出的 具有代表性的平均反应谱曲线，来作为设计的依据。
A x(0)
x(0) x(0)
B
单自由度体系自由振动位移
xt
e
t
x0
cos
t
x 0
x0
sin
t
当无阻尼，即=0，代入上式得无阻尼自由振动位移
xt x0cost x0 sint
xt
=0
0.05 0.2 x0
a. 无阻尼
振幅始终不变 t b. 有阻尼
振动逐渐衰减
单自由度体系自由振动曲线
形状：取决于场地条件、震级、震中距等。
一般，场地越软，震中距越远，曲线的峰值越向右移，