小学奥数试题集与答案

小学奥数试题集与答案 Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT

小学奥数试题集与答案

称球问题

［专题介绍］

称球问题是一类传统的趣味数学问题，它锻炼着一代又一代人的智力，历久不衰。下面几道称球趣题，请你先仔细考虑一番，然后再阅读解答，想来你一定会有所收获。

［经典例题］

例1 有4堆外表上一样的球，每堆4个。已知其中三堆是正品、一堆是次品，正品球每个重10克，次品球每个重11克，请你用天平只称一次，把是次品的那堆找出来。

解：依次从第一、二、三、四堆球中，各取1、2、3、4个球，这10个球一起放到天平上去称，总重量比100克多几克，第几堆就是次品球。

例2 有27个外表上一样的球，其中只有一个是次品，重量比正品轻，请你用天平只称三次（不用砝码），把次品球找出来。

解：第一次：把27个球分为三堆，每堆9个，取其中两堆分别放在天平的两个盘上。若天平不平衡，可找到较轻的一堆；若天平平衡，则剩下来称的一堆必定较轻，次品必在较轻的一堆中。

第二次：把第一次判定为较轻的一堆又分成三堆，每堆3个球，按上法称其中两堆，又可找出次品在其中较轻的那一堆。

第三次：从第二次找出的较轻的一堆3个球中取出2个称一次，若天平不平衡，则较轻的就是次品，若天平平衡，则剩下一个未称的就是次品。

例3 把10个外表上一样的球，其中只有一个是次品，请你用天平只称三次，把次品找出来。

解：把10个球分成3个、3个、3个、1个四组，将四组球及其重量分别用A、B、C、D表示。把A、B两组分别放在天平的两个盘上去称，则

（1）若A=B，则A、B中都是正品，再称B、C。如B=C，显然D中的那个球是次品；如B＞C，则次品在C中且次品比正品轻，再在C中取出2个球来称，便可得出结论。如B＜C，仿照B＞C的情况也可得出结论。

（2）若A＞B，则C、D中都是正品，再称B、C，则有B=C，或B＜C（B＞C不可能，为什么）如B=C，则次品在A中且次品比正品重，再在A中取出2个球来称，便可得

出结论；如B＜C，仿前也可得出结论。

（3）若A＜B，类似于A＞B的情况，可分析得出结论。

练习有12个外表上一样的球，其中只有一个是次品，用天平只称三次，你能

找出次品吗

第十四讲填符号组算式

小朋友们，你听过“江南四大才子”之一祝枝山的故事吗

他写得一手好字。有一次过年，一个人请祝枝山写了一张条幅：“今

年正好晦气全无财帛进门。”主人一看：“今年正好晦气，全无财帛进门。”差一点气昏过去，大骂祝枝山是个“大混蛋”。祝枝山不慌不忙，

笑嘻嘻地说：“你听我念：‘今年正好，晦气全无，财帛进门。’这是

多么好的好彩。”主人一听，马上转怒为喜。

古人的断句，体现了标点符号的作用。数学中的运算符号也能发挥类似的作用。

典型例题

例【1】在下面4 个4 中间，添上适当的运算符号＋、－、×、÷和（），组成3 个不同的算式，使得数都是2。

4 4 4 4 ＝2

4 4 4 4 ＝2

4 4 4 4 ＝2

分析由题意，可以在4 之间添加运算符号和括号，而题中没有一个运算符号，而只能采用逐一试验的方法，找到正确答案。

解如果在第1 个4 后面添＋号，后3 个4 不能得到2；如果第1 个4 后面是一号，4－2＝2，很容易想到：（4＋4）÷4＝2。所以4

－（4＋4）÷4＝2。

如果第1 个4 后面是×号，4×4＝16，由于16÷8＝2。容易想

到：4×4÷（4＋4）＝2。

如果第1 个4 后面是÷号，4÷4＝1，由于1＋1＝2，容易得到：

4÷4＋4÷4＝2。

例【2】在批改作业时，张老师发现小明抄题时丢了括号，但结果是正确的。请你给小明的算式添上括号：

4＋28÷4－2×3－1＝4

分析根据题意，错误的算式是丢了括号。只能按先乘除，再加减的运算顺序来计算。因此括号添在乘除法的两侧是毫无意义的，所添的括号要能够改变运算顺序。所以，括号应添在含有加减运算的两边。

解从左往右看，在4＋28 两侧试添括号，计算得32，再除以

4 得8。小明的算式就变为8－2×3－1＝4。如果把括号加在8－2 的

两侧，计算结果大于4，只能把括号加在3－1 的两侧。很容易得到：8－2×（3－1）＝4。正确的算式应为：

（4＋28）÷4－2×（3－1）＝4

例【3】在下面的数字之间添上运算符号，使等式成立。

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ＝6

分析由题意，有8 个地方要添运算符号，用逐一试验的方法很难找到答案。分析写成的结果，由于60＝2×30＝3×20＝4×15

＝5×12＝6×10，因此可以把算式中的数分成两个部分，使两个部分

的乘积等于60。在分的过程中，应先考虑较大的数，再考虑较小的数。

解把7□8□9 分成一组，在它们之间添加号和减号，可得7＋8－9＝6。剩下的1□2□3□4□5□6 为一组，添上运算符号，结果

要得10。再看较大的数4□5□6，可得4＋5－6＝3。于是得到1＋2

×3＋4＋5－6＝10。所以正确算式为（11＋2×3＋4×5－6）×（7

＋8－9）＝60。

想一想：如果把6□7□8□9 分成一组呢

例【4】在下面算式适当的地方添上加号，使等式成立。

8 8 8 8 8 8 8 8 ＝1000

分析在8 个8 之间的适当的地方添上加号，运算符号是确定的，关键要选择添加号的位置。可以考虑在加数中凑出一个较接近1000 的数是888，再考虑余下的5 个8 怎样安排就行了。

解8 8 8 8 8＋888＝1000，余下的5 个8 可以

拿出2 个8 组成88，得到8 8 8＋88＋888＝1000。

因为1000－（88＋888）＝24，剩下的8 8 8 只要再相加就

行了，答案是：8＋8＋8＋88＋888＝1000。

例【5】在下面式子的适当地方添上＋、－、×，使等式成立。

1 2 3 4 5 6 7 8＝1

分析这题等号左边的数字较多，而等号右边的得数是最小

的自然数1。可以考虑在等号左边最后一个数字8 前面添“一”号，

这时等 1 2 3 4 5 6 7－8＝1；再考虑式应为1 2

3 4 5 6 7＝9；可考虑在7 前面添＋号，等式应为1 2 3

4 5 6＋7＝9；用前面的方法，只要让1 2 3 4 5 6＝2，

考虑1 2 3 4 5－6＝2；这时让1 2 3 4 5＝8 就行了，考

虑1 2 3 5＋5＝8。则只需1 2 3 4＝3 即可，1＋2×3－4＝3。

解1＋2×3－4＋5－6＋7－8＝1

小结

根据题目给定的条件和要求添运算符号和括号，没有固定的法则。解决这类问题，一般的方法有试验法、凑整法、逆推法。如果题中的数字较简单，可以采用试验的方法，找到答案，如例1、例2；如果题中结果较大，可以把数字先分组，然后每组再试验，如例3。

凑整法常用于题中数字较多、结果较复杂的时候。这时要先凑出一个与结果较接近的数，然后再对算式中算式的数字做适当的安排，即增加或减少，使等式成立，如例4、例5。

最短路线

在日常生活、工作中，经常会遇到有关行程路线的问题。比如：邮递员送

信，要穿遍所有的街道，为了少走冤枉路，需要选择一条最短的路线；旅行者希望寻求最佳旅行路线，以求能够走最近的路而达到目的地，等等。这样的问题，就是我们所要研究学习的“最短路线问题”。

典型例题

例[1] 假如直线AB 是一条公路，公路两旁有甲乙两个村子，如

下图1。现在要在公路上修建一个公共汽车站，让这两个村子的人到汽车站的路线之和最短。问：车站应该建在什么地方

甲甲

A B A B

乙乙图1 图2分析如果只考虑甲村的人距离公路AB 最近，只要由甲村向公路AB 画一条垂直线，交AB 于C 点，那么C 点是甲村到公路AB 最

近的点，但是乙村到C 点就较远了。

反过来，由乙村向公路AB 画垂线，交AB 于D 点，那么D 点

是乙村到公路AB 最近的点。但是这时甲村到公路AB 的D 点又远了。

因为本题要求我们在公路AB 上取的建站点，能够兼顾甲村和乙村的人到这个车站来不走冤枉路（既路程之和最短），根据我们的经验：两个地点之间走直线最近，所以，只要在甲村乙村间连一条直线，这条直线与公路AB 交点P，就是所求的公共汽车站的建站点了（图2）。

解用直线把甲村、乙村连起来。因为甲村乙村在公路的两侧，所以这条连线必与公路AB 有一个交点，设这个交点为P，那么在P

点建立汽车站，就能使甲村乙村的人到汽车站所走的路程之和最短。

例[2] 一个邮递员投送信件的街道如图3 所示，图上数字表示

各段街道的千米数。他从邮局出发，要走遍各街道，最后回到邮局。问：走什么样的路线最合理全程要走多少千米

1 2 4 2 1

3

分析选择最短的路线最合理。那么，什么路线最短呢一笔画

路线应该是最短的。邮递员从邮局出发，还要回到邮局，按一笔画问题，就是从偶点出发，回到偶点。因此，要能一笔把路线画出来，必须途径的各点全是偶点。但是图中有8 个奇点，显然邮递员要走遍所有街道而又不走重复的路是不可能的。要使邮递员从邮局出发，仍回到邮局，必须使8 个奇点都变成偶点，就是要考虑应在哪些街道上重复走，也就是相当于在图上添哪些线段，能使奇点变成偶点。如果有不同的添法，就还要考虑哪一种添法能使总路程最短。

为使8 个奇点变成偶点，我们可以用图4 的4 种方法走重复的路

1 2 4 2 1 1 2 4 2 1

线。

图4 中添虚线的地方，就是重复走的路线。重复走的路程分别为：（a）3×4=12（千米）

（b）3×2＋2×2=10（千米）

（c）2×4=8（千米）

（d）3×2＋4×2=14（千米）

当然，重复走的路程最短，总路程就最短。从上面的计算不难找出最合理的路线了。

解邮递员应按图4（c）所示的路线走，这条路重复的路程最短，所以最合理。全程为：

（1＋2＋4＋2＋1）×2＋3×6＋2×4

=20＋18＋8

=46（千米）

例[3] 图5 中的线段表示的是小明从家到学校所能经过的所有街道。小明上学走路的方向都是向东或向南，因为他不想偏离学校的方向而走冤枉路。那么小明从家到学校可以有多少条不同的路线

北

小明家

学校分析为了叙述的方便，我们在各交叉点标上字母（见图6）。

A B F

E F

小明家

D E F

我们从小明家出发，顺序往前推。由于从小明家到A、B、C、D 各

处都是沿直线行走，所以都只有一种走法。我们分别在交叉点处标上“1”。而从小明家到E 处，就有先到A 或先到D 的两种走法，正好

是两个对角上标的数1+1 的和。从小明家到F 点，则有3 条路线，又

正好是两个对角上标的数1+2 的和。

标在各交叉点的数，就是依次顺序推出的到各交叉点能有多少种不同的路线的数。从中我们可以看出，每个格内上右角与下左角两个

对角上的数的和，正好等于下右角上的数。

解从小明家到学校有13 条不同的路线。如图7 所示。

北

小明家

A B C

1 1

1

1 2 3 4

D E F G H

4

2 5 9 13

M N K

学校

图7

小结寻找最短路线，不应该走“回头路”。要按照一定的逻辑次序来排列可能路线，既要做到不重复数，也不漏数。对比较复杂的图形，可以借助图表来寻找路线。

知识要点：用火柴棒摆成的算式，是很有趣的算式，随着火柴棒的移动，它可以使数字、算法都发生

想不到的变化。通过火柴棒的移动，使原来不相等的

算式成为正确的算式，你感兴趣吗

[ 例1 ] 移动一根小棒，使下面的等式成立。

分析：左边结果21，右边是1，所以通过火柴棒的移动，使左边变小，右边变大。我们试着把“＋”变为“－”，多出的这根火柴棒使“1”变成“7”，等式成立。

也可以把“14”十位上的“1”移到等号的右边，使等式成立。

[ 例2 ] 移动一根小棒，使下面的等式成立。

分析：只能移动1 根火柴棒，因此数字不能改变，我们只好移动加减号，使左边变成得数，右边变成算式。我们试着把“=”变为“－”，多出的这根火柴棒使“－”变成“=”，等式成立。

[ 例3 ] 你能移动两根小棒，使下面的等式成立吗

分析：等式右边结果是8，可使左边变成9-1或7+1，9-1算式难以出现9，可选择7+1，这样经移动算式变为：

[ 例4 ] 移动两根小棒，使下面的等式成立。

分析：四个1 相加，结果是141，和太大了，因此要想办法使和变小，加数变大，这样把141 后面“1”拿到前面加数中任何一个“1”的前面，等式就成立。

[ 例5 ] 试一试最少移动几根小棒，使下面的等式成立。

分析：四个11 相加，结果是224，和太大了，因此要想办法使加数变大，这样分别把两个11 里面都拿一个“1”到前面加数中，变成两个“111”，这样等式就成立了。

第四讲最大数和最小数问题六月一日，“小天使”儿童快餐店迎来了28位前来就餐的小朋友。

快餐店的老板准备了一份精美的礼品送给其中年龄最小的小朋友。

谁的年龄最小呢

当每个小朋友报出自己的年龄后，老板发现，其中有10 岁的，也有9 岁、8 岁、7 岁、6 岁的，最小的是5 岁。但是5 岁的小朋友有4 位。按照这4 位小朋友生日的先后，还能找到一个最小的，因此老板要他们各自报出自己的生日。结果如下：

小雨 2 月8 日

豆豆 5 月2 日

苗苗8 月16 日

慧慧12 月9 日

把这4 位小客人的生日一比，很容易知道，慧慧是28 位小朋友当中最小的。

慧慧得到老板送的大蛋糕。她把这块大蛋糕分成了28 份，让大家和她一起品尝。

也许有的同学会问：“如果这4 个小朋友中有两个生日是同一天，那怎么办呢”

是不是谁生日的数字大就是谁大呢哪些是通过比数字的大小得到最大最小数通过下面的一些例题与方法，我们将会得到这方面的知识。

典型例题

例[ 1] 用2，4，6，8 这4 个数字组成一个最大的四位数。

分析用这4 个数字组成4 位数有很多个，但最大的只有一个。要使组成的四位数最大，应当遵循一条原则：用较大的数占较高的数位。

解用2，4，6，8 组成的最大的四位数是8642。

例[ 2] 从十位数80 中划去5 个数字，使剩下的5 个数

字（先后顺序不改变）组成的五位数最小。这个五位数最小的五位数是多少

分析在10 个数字中划去5 个数字，还剩5 个数字组成五位数。要使这个五位数最小，应当用最小的数去占最高位（万位），第2 小的占千位……

但是，10 个数字中最小的2 不能放在万位上（想一想，为什么）。

这样，万位上的数只能在剩下的第2 小的数中选，应选6。万位确定后，千位在剩下的数中选最小的2。

而题目中要求剩下的5 个数字的先后顺序不改变，所以，百位、十位、个位上的数字只能是最后三个数字9，8，0。

解划去4 个7 和万位上的8。剩下的数组成的最小五位数是62980。

例[ 3] 钱袋中有1 分、2 分、5 分3 种硬币。甲从袋中取出3 枚，乙从袋中取出2 枚，取出的5 枚硬币仅有2 种面值，并且甲取出的3 枚硬币面值的和比乙取出的2 枚硬币面值的和少3 分，那么取出的钱数的总和最多是多少分

分析因为乙只取2 枚硬币，而2 枚硬币的钱数最多是5×2=10（分）。而甲取出的3 枚硬币的和比乙取出的2 枚硬币的和少3 分。因此，最多只有10－3=7（分）。两者合起来就是取出的钱数的总和的最大值。

解10＋7=17（分）

例[ 4] 一把钥匙只能开一把锁。现在有4 把钥匙4 把锁，但不知哪把钥匙开哪把锁，最多要试多少次就能配好全部的钥匙和锁分析开第1 把锁，从最坏的情况考虑，试了3 把钥匙还未成功，则第4 把不用再试了，他一定能打开这把锁。同样的道理，开第2 把锁最多试2 次，开第3 把锁最多试1 次，最后剩下的一把钥匙一定能打开剩下的第4 把锁，不用再试。

解最多（也就是按最不凑巧的情况考虑）要试的次数为3＋2 ＋1=6（次）。

例[ 5] 把1、2、3、4、5、6、7、8 填入下面算式中，使得数最

大。

□□□□－□□×□□这个最大得数是多少

分析要使得数最大，被减数（四位数）应当尽可能大，减数（□□×□□）应当尽可能小。由例[ 1] 的原则，可知被减数为8765。下

面要做的是把1、2、3、4 分别填入□□×□□的4 个“□”中，使

乘积最小。要使乘积最小，乘数和被乘数都应当尽可能小。也就是说，它们的十位数都要尽可能小。因为

12×34=408 而14×23=322，13×24=312（最小）

解8765－13×24=8453

小朋友们，回到我们开头提的故事，那么我们发现，不是所有的比较大小都只看数字，而是同时要考虑其他因素，慧慧生日数字大，证明她出生晚，所以她最小，同样的理由，如果这4 位小朋友在同一

天生日，那么谁出生的时间最晚那么谁就最小。

小结用不同的数字组成多位数，要使组成的数最大，应当用较大的数占较高的数位；要使组成的数最小，应当

用较小的数占较高的数位。

其中列举比较法是获得最大数或最小数的常用方法。

解决“最大（最小）问题”，有时需要考虑最不利（最不凑巧）的情况，比如，“锁与钥

匙配对”的问题。

有这样一条规律一定要记住：两个整数的和一定，那么当它们相

等时，乘积最大。

第五讲算式迷

小朋友们你猜过算式迷吗算式迷是由一些数字与算式构成的。日本人形象地称之为“虫食算”，即算式中一些数字被虫子咬去了。要想猜出算式迷，也得先分析这些数字和算式构成的“谜面”，再运用一些推理方法找到“谜底”。

典型例题

例【1】将数字0、1、3、4、5、6 填入下面的内，使等式成立，每个空格只填入一个数字，并且所填的数字不能重复。

×＝ 2 ＝÷

分析先看×＝2，乘积是个两位数，个位数是2，所给的数字0，1，3，4，6 中只有3×4 的个位数是2，前面几个可以填出来，

3×4＝12，余下的0，5，6 要组成一个两位数除以一个一位数，商是12 的除法算式，只能

是60÷5。

解

3 ×

4 ＝ 1 2 ＝ 6 0 ÷5

例【2】将数字1～9 分别填在下面9 个方格中，使算式成立。

+=

（1）

-=

（2）

=

×

（3）分析算式（1）、（2）是加减算式。可填的数字较多。而算式（3）是乘法算式，要考虑数字1～9 中，哪两个数字的积等于另一个数字，

所以先从乘法算式填起。

1．乘法算式（3）中可以先填成2×3＝6，余下的数字再分别填入（1）、（2）中。

1＋4＝5，剩下的7，8，9 不能组成（2）式。

1＋7＝8，剩下的4，5，9 能组成9－5＝4，或9－4＝5。

1＋8＝9，剩下的1，7，8 能组成8－7＝1，或8－1＝7。

2．乘法算式（3）也可以填成2×4＝8，那么：

1＋5＝6，剩下的3，7，9 不能组成（2）式。

1＋6＝7，剩下的3，5，9 不能组成（2）式。

3＋6＝9，剩下的1，5，7 不能组成（2）式。