2019届人教(武汉)九年级数学下册课件：专题28 正方形、梯形中的相似问题

【解析】(1)∵四边形 ABCD 是正方形，∴AD＝AB，∠EAF＝∠ABG＝90°.∵点 E，G 分别 1 AF BG 1 是边 AD，BC 的中点，AF＝ AB，∴ ＝ ＝ .∴△AEF ∽△BAG.∴∠AEF＝∠BAG.∵∠BAG＋ 4 AE AB 2 ∠EAO＝90°，∴∠AEF＋∠EAO＝90°.∴∠AOE＝90°.∴EF⊥AG. AF 1 AE 1 AF AE (2)成立．理由如下：根据题意，得 ＝ .∵ ＝ ，∴ ＝ .又∵∠EAF＝∠ABG，∴ BG 2 AB 2 BG AB △AEF∽△ BAG.∴∠ AEF＝∠BAG. ∵∠BAG＋∠ EAO＝90°，∴∠AEF ＋∠EAO＝ 90°.∴∠ AOF ＝90°，∴EF⊥AG. (3)过点 O 作 MN∥AB ，交 AD 于点 M，交 BC 于点 N，则 MN⊥AD，MN ＝AB＝4.∵P 是正方 形 ABCD 内一点，当 S △PAB＝S△ OAB 时，点 P 在线段 MN 上．易知，当 P 为 MN 的中点时，△PAB 1 的周长最小，此时 PA＝PB，PM＝ MN＝2.连接 EG，PA，PB，则 EG∥AB，EG＝AB＝4.∴△AOF 2 OF AF 1 AM OF 1 1 2 2 2 2 26 ∽△GOE.∴ ＝ ＝ .∵MN∥AB，∴ ＝ ＝ .∴AM＝ AE＝ .∴PA＝ PM ＋AM ＝ ，∴ OE EG 4 EM OE 4 5 5 5 4 26 △PAB 周长的最小值为 2PA＋AB＝ ＋4. 5
2
3．如图，在正方形ABCD中，点E，G分别是边1AD，BC的中点，
4
AF＝ AB.
(1)求证：EF⊥AG； (2)当点F，G分别在射线AB，BC上同时向右、向上运动，且点G的
运动速度是点F的运动速度的2倍时，EF⊥AG是否仍然成立？
(3)正方形ABCD的边长为4，P是正方形ABCD内一点，当S△PAB＝ S△OAB，求△PAB周长的最小值．
第二十七章
27.3
专题28
相
似
似
位
正方形、梯形中的相似问题
武汉专版· 九年级 下册
பைடு நூலகம்
1．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CB至点
F，使CF＝CA，连接AF，∠ACF的平分线分别交AF，AB，BD于点
E，N，M，连接EO.试猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明．
【解析】CN＝2EM. 证明：∵四边形 ABCD 是正方形，∴AC⊥BD ，OA＝OC. ∵CF＝CA ，CE 1 1 是∠ACF 的平分线，∴ CE⊥AF，AE＝FE.∴EO 为△AFC 的中位线．∴EO∥FC，OE＝ CF ＝ CA 2 2 EM OE 2 ＝ OC.∴ ＝ ＝ .∴ CM＝ 2EM.∵ CE 平分∠ ACF，∴∠OCM ＝∠ BCN.∵∠NBC ＝∠COM ＝ MC BC 2 CM OC 90°，∴△CBN∽△COM.∴ ＝ ，∴CN＝ 2CM，∴CN＝2EM. CN BC
4．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC 3 ，AD＝6，AB＝2 ，∠A
＝90°，∠C＝60°，DH⊥BC于H，点E、 21 F分别在边AD、CD上，
且∠EHF＝60°，EF＝ ，BF与EH交于点K，求FK的长度．
【解析】如图，连接 AH，分别过点 F、K、E 作 CB 的垂线，垂足分别为 P、Q、M.由题意， AD 易知四边形 DHBA 为矩形．在 Rt△ADH 中，DH＝2 3，AD＝6，∴ ＝ 3. ∴∠DAH＝30°.∵ DH ∠DHC＝90°，∠C＝60°，∴∠CDH＝30°.∴∠CDH＝∠DAH.∵∠ EHF＝∠AHD＝60°，∴∠ FH DH FH EH FHD＝∠EHA.∴△FHD∽△EHA.∴ ＝ ，即 ＝ .∵∠EHF＝∠AHD，∴△FHE∽△DHA.∴∠ EH AH DH AH EF AD EFH＝90°， ＝ ＝ 3.∵EF＝ 21，∴FH＝ 7，EH＝2 7.∴DE＝ EH2－DH2＝4.∴AE ＝6 FH DH 1 3 3 1 13 －4＝2.∴DF＝ AE＝1.在△CDH 中，由 FP∥DH，易求得 FP＝ ，PH＝ .∴BP＝ .∴BF＝7. 2 2 2 2 KQ EM 2 3 3 2 3 2 3 KQ ∵KQ∥EM，∴ ＝ ＝ ＝ .设 KQ＝x，HQ＝ x，则 BQ＝6－ x.∵FP∥KQ，∴ ＝ HQ HM 4 2 3 3 FP x BQ ， 即 ＝ BP 3 3 2 6－ 2 3 x 18 3 18 3 BK KQ 12 7 7 49 3 .解得 x＝ ， 即 KQ＝ .∴ ＝ ＝ .∴FK＝ BF＝ ×7＝ . 19 19 BF FP 19 19 19 19 13 2
5．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC、BD交于点P，且CD2
＝DP· DB.
(1)求证：∠BAC＝∠CBD； (2)如图②，若PE∥CD交AD于点E，EF⊥BC于点F.
①求证：∠PFC＝∠CPD；
②若BP＝2，PD＝1，求PF的长．
【解析】(1)由 CD ＝DP·DB，易证△CDP∽△BDC，可得∠DCP＝∠CBD.又∵AB∥CD，∴ ∠DCP＝∠BAC，∴∠BAC＝∠CBD. PE AE (2)①如图②，延长 EP 交 BC 于点 G，由 PE∥CD，得△APE∽△ ACD，∴ ＝ .同理可得 CD AD PG BG AE BG ＝ ，又∵CD∥GE∥AB，∴ ＝ ，∴PE＝PG.∵EF⊥BC，∴∠ EFG＝90°，∴PF＝PG.∴ CD BC AD BC ∠PFC＝∠PGF，又∵PG∥CD，∴∠PGF＝∠BCD.由①知∠BCD＝∠CPD，∴∠PFC＝∠CPD. CG PG ②设 PG＝PF ＝a，由①易证△CPG∽△PBF，则 ＝ ，即 BF·CG＝a2.∵∠CPD＝∠PFC， PF BF ∠CPD＝∠PBF＋∠PCB，∠PFC＝∠PBF＋∠BPF，∴∠BPF＝∠PCB.可证△PBF∽△CBP，∴BP2 BG BP 2 3 2 3 ＝BF·BC.∵ ＝ ＝2，∴BC＝3CG.∴BP2＝BF·BC＝3BF·CG＝3a2.∴a＝ .∴PF＝ . CG PD 3 3
2．如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连接DE，过点
B作BF⊥DE，垂足为F，BF分别交ACHG 于点H，交CD于点G.若点G为
GF
CD的中点，求
的值．
【解析】设 CG＝a，∵G 为 CD 的中点，∴CG＝GD＝a，CD＝2a.∵四边形 ABCD 为正方形， ∴BC＝ CD，∠BCD＝∠ECD＝90 °.∴∠CBG ＋∠BGC＝90 °.又∵ BF⊥DE，∴∠ FGD＋∠EDG ＝ 90°.又∵∠BGC＝∠FGD，∴∠CBG＝∠EDG.∴△BGC≌△DEC.∴CG＝CE＝a.∴DE＝BG＝ 5a. GF DG 5 BH AB ∵易证：△DGF∽△DEC，∴ ＝ .∴GF＝ a.又∵AB∥CG，∴△ABH∽△CGH.∴ ＝ ＝2. EC DE 5 GH CG 5 HG 5 ∵BH＋HG＝ 5a，∴HG＝ a.∴ ＝ . 3 GF 3