【2019年整理】概率论四种收敛性

P{| X E ( X ) | }
D( X )

2
当方差已知时，车贝晓夫不等式给出了r.v X与它 的期望的偏差不小于 的概率的估计式 . 如取
P{| X E ( X ) | 3 } 0.111 2 9 可见，对任给的分布，只要期望和方差 2存在，
2
即估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率不 小于8/9 .
例3：在每次试验中，事件A发生的概率为 0.75, 利 用车贝晓夫不等式求：n需要多么大时，才能使得在 n次独立重复试验中, 事件A出现的频率在0.74~0.76之 间的概率至少为0.90?
解：设X为n 次试验中，事件A出现的次数， 则 X~B(n, 0.75)
n n n
则称随机变量序列 {Yn } 依概率收敛于随机变量Y，
P Y 简记为 Yn
Yn与 Y 的绝对误差小于任意小的正数 依概率收敛表示：
的概率将随着n增大而愈来愈大，直至趋于1
五、r-阶收敛
设对随机变量Yn及Y 有E Yn , E Y 定义4：
r r
其中r 0为常数，如果
2
事件{|X-E(X)|< }的概率越大，即随机变量X 集
中在期望附近的可能性越大.
由车贝晓夫不等式可以看出，若 2 越小，则
特别地，若D(X)=0，则对任意 0, 恒有P{ X EX } 0 因此P{ X EX } 0,即P{ X EX } 1, 所以方差为0的随机变量 是常数
W 记为Fn ( x ) F ( x)
三、依分布收敛
设随机变量 Yn ( n 1, 2, ) 和随机变量Y 定义2：
的分布函数分别为Fn ( x )( n 1,2,)和F ( x ), 若在 的所有连续点 x 上都有
n
lim Fn ( x ) F ( x )
则称随机变量序列 {Yn } 依分布收敛于随机变量Y， 简记为
r
P Yn Y ;
【证明】 由马尔可夫引理有，对任意 0, 有
P ( Yn Y ) E Yn Y
r
r
r 又因为Yn Y , 则由定义有：
lim E | Yn Y |r 0
n
所以
n
lim P{| Yn Y | } 0
P 即： Y Y n
x
dF ( x )

x
x
r r

-
dF ( x )
r
1
r

x dF ( x )
=
E X
r
r
引理的特殊情况： 取r=2，并以X-E(X)代替X得车贝晓夫不等式
P( X )
E X
r
r
2
【定理】(车贝晓夫不等式)设随机变量X有2阶中心矩，E X-E(X) , 则对任意 0有
, n)相互独立，且方差有限
1 n 1 n 证明 lim P X i E ( X i ) 1 n n i 1 n i 1
1 n 证明：设随机变量Z X X i , n i 1
n 1 n 1 1 n E (Z) E ( X ) E ( X i ) E ( X i )= E(X i ) n i 1 n n i 1 i 1 n 1 n 1 1 D(Z) D( X ) D( X i ) 2 D( X i ) 2 n i 1 n n i 1 由车贝晓夫不等式，
lim E | Yn Y | 0
r n
r 则称{Yn } r阶收敛于Y，并记为Yn Y
特别的有
1-阶收敛又称为平均收敛， 2-阶收敛又称为均方收敛。 均方收敛一定平均收敛
六、以概率1收敛（几乎处处收敛）
定义5：设有随机变量序列{Yn ( )}和随机变量
Y ( ) ，若
P{ : lim Yn ( ) Y ( )} 1
P{| X E ( X ) | }
D( X )

2
P{| X E ( X ) | } 1
D( X )

2
例1： 设电站供电网有10000盏电灯，夜晚每盏灯开 灯的概率均为0.7，假定灯的开、关是相互独立的，使 用车贝晓夫不等式估计夜晚同时开着的灯数在6800到 7200盏之间的概率。 解 令X表示在夜晚同时开着的灯数目，
第三章
3.1四种收敛性
主要内容 车贝晓夫不等式
几乎处处收敛 依概率收敛 依分布收敛
r-阶收敛
一、车贝晓夫不等式
【引理】(马尔可夫不等式)设随机变量X有r阶绝对矩， E X ,
则对任意 0有
r
P( X )
E X
r
r
【证明】设X的分布函数为F ( x ), 则有：
P( X )
在车贝晓夫不等式中取
0.01 n，则
X P (0.74 0.76) = P{ |X-E来自百度文库X)| <0.01n} n 0.1875n 1875 D( X ) 1 1 1 2 2 0.0001n n (0.01n)
1875 依题意，取 1 0.9 n
解得
1875 n 18750 1 0.9
因为D( Xi ) K ,所以上式： 1 n 1 n 1 1 n P X i E ( X i ) 1 2 2 D( X i ) n i 1 n i 1 n i 1 1 nK K 1 2 2 1 . 2 n n
例题11-2-1(2001，数一）
1、设变量X的方差为2，根据切比雪夫不等式估计 P ( X E (X) 2) ______
解；在车贝晓夫不等式中，令 2，由已知D(X) 2 D(X) 2 1 所以P ( X E (X) 2) 2 2 2 2
证明： 已知Xi ( i 1, 2,
D( X
i 1
n
i
)
P( Z E( Z ) ) 1 P
D( Z )
2
1 n , 代入Z X X i ,即： n i 1
1 n 1 n 1 1 n X i E ( X i ) 1 2 2 D( X i ) n i 1 n i 1 n i 1
则X服从n=10000，p=0.7的二项分布，这时
E ( X ) np 7000, D( X ) npq 2100.
由车贝晓夫不等式可得:
P{6800 X 7200} 2100 P{| X 7000 | 200} 1 0.95． 2 200
例2：已知正常男性成人血液中 ，每一毫升白细 胞数平均是7300，标准差是700 . 利用切比雪夫不 等式估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概 率.
L Yn Y
依分布收敛表示：当n充分大时，Yn 的分布函数
Fn ( x ) 收敛于Y 的分布函数 F ( x ), 它是概率论中
较弱的一种收敛性.
四、依概率收敛
定义3：设随机变量序列{Yn ( )}和随机变量Y(ω)，若对 任意实数 0, 有 lim P{| Y Y | } 1 或 lim P{| Yn Y | } 0
P Yn Y ; P Yn Y ;
L Yn Y .
(2) 若 Yn Y ，则
r
。
P Y Y ，则 (3) 若 n
几乎处处收敛 依概率收敛 依分布收敛 r —阶收敛 依概率收敛 依分布收敛 几乎处处收敛和r-阶收敛之间不存在推导关系
(2) 若 Yn Y ，则
解：设每毫升白细胞数为X 依题意，E(X)=7300,D(X)=7002 所求为 P(5200 X
9400) = P(-2100 X-E(X) 2100)
= P{ |X-E(X)|
P(5200 X
9400)

2100}
由车贝晓夫不等式
D( X ) P{ |X-E(X)| 2100} 1 (2100)2 1 8 700 2 1 ( ) 1 9 9 2100
E(X)=0.75n, 所求为满足 的最小的n .
D(X)=0.75×0.25n=0.1875n
X P (0.74 0.76) 0.90 n
X P (0.74 0.76) 可改写为 n P(0.74n< X<0.76n )
=P(-0.01n<X-0.75n< 0.01n) = P{ |X-E(X)| <0.01n}
2 P X E( X )
从而P ( X E ( X ) ) D( X )
2
P( X E( X ) ) 1
D( X )
2
P( X E( X ) )
D( X )
2
D( X )
P( X E( X ) ) 1
n
或简记为
P { lim Yn Y } 1
n
则称随机变量序列 {Yn }以概率1（或几乎处处）
a.s. 简记为： Y Y 收敛于随机变量Y ， n
下面定理揭示了四种收敛之间的关系。 定理 4.2 设随机变量序列 {Yn } 和随机变量 Y
a.s. Y Y ，则 (1)若 n
1 n 1 n K X i E ( X i ) lim lim P （ 1 ) 1 2 n n i 1 n n i 1 n
又由概率性质P 1
1 n 1 n lim P X i E ( X i ) 1 n n i 1 n i 1
P( X E( X ) ) D( X )
2
【证明】设X的分布函数为F ( x ), 则有： DX ( x E ( X ))2dF ( x )

x E ( X )

( x E ( X ))2dF ( x )

x E ( X )

2 dF ( x )
3
则 r.v X取值偏离E(X)超过 3 的概率小于0.111 .
车贝晓夫不等式的用途：
（1）证明大数定律；（2）估计事件的概率。
车贝晓夫不等式只利用随机变量的数学期望及方差就可对的 概率分布进行估计。 从车贝晓夫不等式还可以看出, 对于给定的 >0, 当方差越小 时，事件{|X-E(X)|≥}发生的概率也越小，即X的取值越集中在 E(X)附近．这进一步说明方差确实是一个描述随机变量与其期 望值离散程度的一个量． 当D(X)已知时，车贝晓夫不等式给出了X与E(X)的偏差小于 的概率的估计值．
即n 取18750时，可以使得在n次独立重复试验中,
事件A出现的频率在0.74~0.76之间的概率至少为0.90 .
二、分布函数弱收敛
定义1：对于分布函数列{Fn (x)},如果存在一个非降函数
F ( x )使
n
lim Fn ( x ) F ( x )
在F ( x )的每一个连续点都成立，则称Fn ( x )弱收敛于F ( x )