【2019年整理】概率论四种收敛性
第五章 大数定律和中心极限定理
第三节 中心极限定理
所谓中心极限定理，就是关于大量微小的随机变量之和的极限分布在什么条件下是正态分布的定理. 定义 1 设 { X n } 为一随机变量序列， DX n ， n 1,2, ，若
2
83
n a n lim P(a X i b) P n i 1 n
X
i 1
n
i
n
n
b n b n a n ) ( ). ( n n n
例 1 一加法器同时收到 50 个噪声电压 Vi (i 1,2, ,50 ) ， 设 V i (单位： 微伏)相互独立且均在 [0,10] 上 服从均匀分布，求该加法器上总电压 V
i 1
n
1 n2
c n 0(n ) ，
i 1
n
c
推论 2 (贝努里大数定律) 设 S n 为 n 重贝努里试验中事件 A 出现的次数， p 为 A 在每次 n
证 明 ：令 Xi
1 在第i 次试验中A出现 ， 则 X i ~ B(1, p ) ， i 1,2,, n 且 相 互 独 立 ， 0 在第 i 次试验中 A 不出现
c 0 ，使得 DX n c ， n 1,2, ，则
P 1 n ( X i EX i ) 0 . n i 1
证明：只须验证马尔可夫条件成立即可.由于 { X n } 两两互不相关，故
0
因此马尔可夫条件成立.
n 1 1 D ( Xi) 2 2 n n i 1
DX i
概率论四种收敛性25页PPT
E(X)np7000, D (X)npq2100.
由车贝晓夫不等式可得:
P {6800X7200} P {|X7000|200}12 21 00 00 20.95．
例2：已知正常男性成人血液中 ，每一毫升白细 胞数平均是7300，标准差是700 . 利用切比雪夫不 等式估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概 率.
1( 700 )2 1 1 8
2100
99
即估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率不 小于8/9 .
例3：在每次试验中，事件A发生的概率为 0.75, 利 用车贝晓夫不等式求：n需要多么大时，才能使得在 n次独立重复试验中, 事件A出现的频率在0.74~0.76之 间的概率至少为0.90?
解：设每毫升白细胞数为X 依题意，E(X)=7300,D(X)=7002
所求为 P(5200 X 9400) P(5200X 9400)
= P(-2100 X-E(X) 2100)
= P{ |X-E(X)| 2100}
由车贝晓夫不等式
P{ |X-E(X)| 2100}
1
D( X ) (2100)2
= P{ |X-E(X)| <0.01n}
在车贝晓夫不等式中取 0.01n，则
P(0.74X0.76)= P{ |X-E(X)| <0.01n} n
1
D(X) (0.01n)2
1
0.187n5 0.000n12
1 1875 n
依题意，取 118750.9 n
解得
n 187518750
10.9
即n 取18750时，可以使得在n次独立重复试验中, 事件A出现的频率在0.74~0.76之间的概率至少为0.90 .
概率论中几乎处处收敛和依测度收敛的关系
概率论中几乎处处收敛和依测度收敛的关系概率论中几乎处处收敛和依测度收敛是两个不同的概念，但它们之间存在一定的关系。
几乎处处收敛是指在某个概率空间中，随机变量序列在几乎所有样本点处收敛于一个确定的随机变量，而依测度收敛则是指随着样本容量的增大，随机变量序列趋向于某个随机变量的分布，这种趋向是在概率测度的意义下进行的。
在一些情况下，几乎处处收敛和依测度收敛可能同时出现，比如对于一些收敛速度比较快的随机变量序列，在满足一定的条件下，几乎处处收敛和依测度收敛都会发生。
但是，对于一些收敛速度比较慢的随机变量序列，可能只存在几乎处处收敛或者只存在依测度收敛。
总的来说，在概率论中，几乎处处收敛和依测度收敛都是非常重要的概念，它们的性质和应用都是十分广泛的。
对于随机变量序列的研究和应用，需要综合考虑这两种收敛方式的特点和优缺点，才能做出正确的判断和应用。
- 1 -。
《概率论与数理统计课件》随机变量序列的收敛性
P
定理 4.3.3 若 C 为常数，则 X n C 的充
L
要条件是 X n C ．
21
证明：
必要性已由定理 4.3.2 给出，下证充分性．
记随机变量 X n 的分布函数为 Fn x ．而常数 X C
（退化分布）的分布函数为
F
x
0 1
xC ． xC
22
所以对于任意的 0 ，有
Fn x收敛到一个极限分布函数 Fx 是有实际意义的．现在的 问题是，如何定义分布函数序列 Fn x的收敛性？很自然，由 于 Fn x是实变量函数序列，我们的一个猜想是：对所有的 x ， 要求 Fn x F x, n ．这就是数学分析中的点点收敛．然
下面的定理说明了依概率收敛是一种比按分布收敛更 强的收敛性．
11
P
L
定理 4.3.2 如果 X n X ，则必有 X n X ．
12
证明：
设随机变量 X n 的分布函数为 Fn x ， n 1, 2, 3, ；
随机变量
X
的分布函数为
F x ．为证
Xn
L
X
，只须证明：
对所有的 x ，有
写出随机变量 Yn
n k 1
Xk 2k
的特征函数n t ；⑶
证
明：当 n 时，随机变量序列Yn依分布收敛于随机变量Y ．
33Leabharlann 解：⑴ 由于随机变量Y 服从区间 1, 1 上的均匀分布，因
此 Y 的特征函数为
t eit eit cost i sin t cost i sin t sin t ．
（因为 x x 0）．所以有
再令 x x ，得
概率论中几种收敛及其联系1
概率论中几种收敛及其联系 西北师范大学数学与应用数学专业 甘肃兰州 730070摘要：概率极限理论是概率论的重要组成部分,内容十分丰富,本文仅介绍依概率收敛,平均收敛,依分布收敛,a.s.收敛，完全性收敛以及事件序列的无穷次发生之间的联系.关键词：示性函数 概率 随机变量 收敛 分布函数Abstract : The probability limit theory is an important part of the probability theory, is rich in content, this article describes only the convergence in probability, the averageconvergence, converge in distribution, as convergence, complete convergence, as well as the infinite sequence of events occurred betweenKey words : indicator function probability random variable convergence distribution function首先，为了研究这几种收敛性，我们需要估计概率。
所以首先需要建立必要的概率不等式。
我们以I(A)表示事件A 的示性函数，即有⎩⎨⎧∉∈=.,0;,1)(A A A I ωω那么，显然当B A ⊂时，有).()(B I A I ≤，并且有).()(A EI A P =定理 1 （Chebyshev 不等式）设)(x g 是定义在 [)∞,0 上的非降的非负值函数，如果对随机变量η，有∞<)(ηEg ，那么对任何使得0)(>a g 的0>a ，我们都有.)()()(a g Eg a P ηη≤≥证明：首先，由)(x g 的非降性知 ()()()().a g g a ≥⊂≥ηη 因此()()()()()()()()().a g g I a g g a g g I a I ≥≤≥≤≥ηηηη其中)(A I 是事件A 的示性函数;其中的第二个不等号是由于在事件()()()a g g ≥η上面有()()1≥a g g η由上述不等式立得()()()()()()()()()()()().a g Eg a g g I a g g E a g g EI a EI a P ηηηηηη≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥≤≥≤≥=≥Chebyshev 不等式在以后的证明中有非常重要的作用,所以我们在这里先将其提出. 下面让我们先从较简单的依概率收敛谈起.定义 1 已知随机变量序列{n ξ,N n ∈}与随机变量ξ.如果对0>∀ε，都有.0)|(|lim =≥-∞→εξξn n P那么我们就称随机变量序列{N n n ∈,ξ}依概率收敛到随机变量ξ，记为ξξ−→−Pn其实,依概率收敛的本质是n ξ对ξ的绝对偏差不小于任一给定量的可能性将随着n 增大而减小.或者说,绝对偏差小于任一给定量的可能性将随着增大而接近1,即上式等价于1)(lim =<-∞→εξξn n P .特别当ξ为退化分布时,即()1==c P ξ,则称序列{}n ξ依概率收敛于c ,即c Pn −→−ξ.下面, 我们来引入随机变量序列的另外一种收敛:平均收敛.定义 2 如果{}0;,>n n ξξ是r L 中的随机变量, 其中,0>r {}∞<=rr E L ξξ,并且0→-ξξn E , ()∞→n .则称随机变量序列{}N n n ∈,ξ依r 阶平均收敛到随机变量,ξ记作ξξ−→−rLn 当1=r 时简称为依平均收敛，并记为.ξξ−→−Ln在依概率收敛和平均收敛之间存在如下关系:定理 2 r 阶平均收敛蕴含依概率收敛. 证明:因为0lim =-∞→rn n E ξξ,故对,,0N ∃>∀ε当N n >时,有εξξrrn a E <- .又由Chebyshev 不等式知对任何0>a ，有()rrn n aE a P ξξξξ-≤≥-，故()εξξ<≥-a P n ，因此()0lim =≥-∞→a P n n ξξ.但是,反之不真.反例如下:例1 设概率空间为区间上的几何型概率空间,即有 ()1,0=Ω , () 1.0B F = , L P =. 令()0=ωξ, ()1,0∈∀ω, 而易知,对任何0>ε,当∞→n 时,都有 ()()020→=>≤>-nP P n n ξεξξ,所以ξξ−→−Pn ;但是1≡=-n n E E ξξξ, 所以n ξ不依平均收敛到ξ.在概率极限理论中,研究随机变量序列收敛性的同时当然也要研究相应的分布函数序列的收敛性,下面就让我们来谈一谈依分布收敛.定义3 设{}N n x F n ∈),(是一列定义在R 上的有界非降的左连续函数，如果存在一个定义在上的有界非降的左连续函数).(x F 使得),(),()(lim F C x x F x F n n ∈∀=∞→则称{})(x F n 弱收敛到)(x F 记为),()(x F x F n −→−ω并称)(x F 是{})(x F n 的弱极限。
高等教育：概率论四种收敛性
第三章3・1四种收敛性车贝晓夫不等式2几乎处处收敛3依概率收敛4依分布收敛5r■阶收敛【引理】(马尔可夫不等式)设随机变量X有I•阶绝对矩，EX 「<00,则对任意£ > 0有P(\X\>s)<^4-【证明】设X的分布函数为F(x)，则有:P(\X\>£)= f dF(x) < f x-\rdF(x)1 r00 ir< —-f x dF(x) 』J・8引理的特殊情况： P(|X|> £)<纟甲取一2,并以X ・E(X)代替X 得车贝晓夫不等式 * 【定理】(车贝晓夫不等式)设随机变量X 有2阶中心矩，E[X-E(X)] 则对任意£ > 0有P (|X -E (X )|>^)<^2【证明】设X 的分布函数为尸(兀)，则有：DX = f (X -E(X))2JF(X )>f (x-E(X))2dF(x)\x-E(X)\^> J£2dF(x)= e 2P{\X-E(X)\>e}从而尸(|X - E(X)\ >e)< 代耳 <=^> P(\X 一 E(X)\ <^)>1-2^8 82 <00,P(\X-E(X)\<s)>l-^^ 8由车贝晓夫不等式可以看出，若b?越小，贝!I 事件［\X-E(X)\<£］的概率越大，即随机变量X集中在期望附近的可能性越大.特别地，若D(X)=O,则对任意£>0,恒<P{|X-EX|>g}|0- 因此P{X HE¥} = 0,即P{X = EX} = 1,所以方差为0的随机鑼是常数菱P{\X-E(X)\>当方差已知时，车贝晓夫不等式给出了/X与它的期望的偏差不小于8的概率的估计式・如取£ = 3b2P{IX-E(X)I> 3<r} <— ".1119(7 屋可见，对任给的分布，只要期望和方差亍存蠹则r.v X取值偏离超过3a的概率小于0.1117二车贝晓夫不等式的用途:车贝晓夫不等式只利用随机变量的数学期望及方差就可对的概率分布进行估计。
随机变量序列的几种收敛性及其关系000
本科毕业论文题目：随机变量序列的几种收敛性及其关系学院：数学与计算机学院班级：数学与应用数学2008级八班姓名：***指导教师：丁平仁职称：副教授完成日期：2012 年5月10 日随机变量序列的几种收敛性及其关系摘要：本文主要对随机变量序列的四种收敛性：a.e.收敛、依概率收敛、依分布收敛、r—阶收敛的概念、性质进行阐述；并结合具体实例讨论了它们之间的关系，进一步对概率论中依分布收敛的等价条件和一些依概率收敛的弱大数定律进行了具体的研究.关键字：随机变量序列收敛分布函数目录1.引言 .................................................................... 1 2.a.e.收敛、依概率收敛、依分布收敛、r —阶收敛的概念、性质以及它们之间的关系. 2.1 a.e.收敛的概念及性质 ................................................................................................... 1 2.2 依概率收敛的概念及性质 .............................................................................................. 2 2.3依分布收敛的概念及性质 ............................................................................................... 3 2.4 r —阶收敛的概念及性质 .................................................................................................. 5 3.随机变量序列依分布收敛的等价条件. (6)4.随机变量∑=nk k n 11ξ依概率收敛的一些结果 (9)5.小结. .................................................................. 12 6.参考文献 (12)1.引言：在数学分析和实变函数中“收敛性”极为重要，特别在实变函数中对可测函数列收敛性的讨论。
依概率收敛和殆必收敛
依概率收敛和殆必收敛什么是依概率收敛和几乎必然收敛？在概率论和数学分析中，依概率收敛和几乎必然收敛是两个重要的概念。
它们描述的是随机变量序列的收敛性质。
在本文中，我们将逐步介绍这两个概念，并讨论它们的性质和应用。
首先，我们来定义依概率收敛。
考虑一个序列{X₁, X₂, X₃, ...}，其中Xₙ是一个随机变量。
我们说这个序列依概率收敛到一个随机变量X，如果对于任意的ε>0，有lim Pr( Xₙ-X >ε) = 0，即当n趋向于无穷大时，Xₙ以概率1趋向于X。
依概率收敛的定义可以理解为随着样本量的增加，随机变量序列逐渐“接近”某个固定的随机变量。
这个“接近”的程度由ε来衡量，并且可以任意小。
换句话说，依概率收敛是一种弱收敛性质，它只要求随机变量序列以很高的概率趋近于某个随机变量X。
接下来，我们引入几乎必然收敛的概念。
与依概率收敛类似，我们仍考虑一个随机变量序列{X₁, X₂, X₃, ...}，其中Xₙ是一个随机变量。
我们说这个序列几乎必然收敛到一个随机变量X，如果对于任意的ε>0，有Pr( Xₙ-X >ε，无穷大的n) = 0，即当n趋向于无穷大时，Xₙ以概率1趋向于X。
几乎必然收敛与依概率收敛的不同之处在于，几乎必然收敛要求随机变量序列在几乎所有情况下都趋近于X。
换句话说，只有在一个概率为0的事件集合之外的情况下，随机变量序列才会与X有差距。
因此，几乎必然收敛可以看作是一种强收敛性质，它要求随机变量序列在几乎所有情况下都收敛于某个随机变量X。
接下来，我们来讨论依概率收敛和几乎必然收敛的一些性质和应用。
首先，依概率收敛和几乎必然收敛是收敛的两种不同方式。
依概率收敛只要求序列以高概率趋近于某个随机变量，而几乎必然收敛要求序列在几乎所有情况下都趋近于某个随机变量。
因此，几乎必然收敛是依概率收敛的一种特殊情况，即几乎必然收敛蕴含依概率收敛。
其次，依概率收敛和几乎必然收敛在实际问题中具有广泛的应用。
考研资料——概率论基础知识4
概率论基础知识(4)第四章 随机变量的数字特征 一 数学期望§4.1.1离散型随机变量的数学期望例1：全班40名同学，其年龄与人数统计如下： 该班同学的平均年龄为：若令x 表示从该班同学中任选一同学的年龄，则x 的分布律为于是，x 取值的平均值，即该班同学年龄的平均值为定义1：设x 为离散型随机变量，其分布律为如果级数绝对收敛，则此级数为x 的数学期望（或均值）既为 E(X)，即 E(X)=意义：E(X)表示X 取值的（加权）平均值例2：甲、乙射手进行射击比赛，设甲中的环数位X1，乙中的环数为X2，已知X1和X2的分布律分别为：问谁的平均中环数高？ 解：甲的平均中环数为 E(X 1)=8 0.3+90.1+10 0.6=9.3乙的平均中环数为 E(X 2)=8 0.2+9 0.5+10 0.3=9.1可见E(X 1)> E(X 2)，即甲的平均中环数高于乙的平均中环数。
例3：设 ，求E(X)解：由于，其分布律为，k=0,1,2…,所以例4：一无线电台发出呼唤信号被另一电台收到的概率为0.2，发方每隔5秒拍发一次呼唤信号，直到收到对方的回答信号为止，发出信号到收到回答信号之间需经16秒钟，求双方取得联系时，发方发出呼唤信号的平均数？解：令X 表示双方取得联系时，发方发出呼唤信号的次数。
X 的分布律为于是，双方取得联系时，发方发出的呼唤信号的平均数为由于,求导数将x=0.8代如上式，便得将此结果代入原式便得：（次）§4.1.2连续型随机变量的数学期望绝对收敛，则称此积分为X 的数学期望，记为E(X)，即，例7：设风速V是一个随机变量，且V~U[0,a]，又设飞机的机翼上所受的压力W是风速V的函数：这里a,k均为已知正数。
试求飞机机翼上所受的平均压力E(W)。
W的分布函数为两边求导，使得进而便可求得W的数学期望由此运算过程可以看到，不必求出W的概率密度ƒw(z)，而根据V的概率密度ƒv(v)也可直接求出W 的数学期望值，即§4.1.3随机变量函数的数学期望值1.一维随机变量函数的数学期望定理1：设X为随机变量，Y=g(X),(1)如果X，且级数(2)如果Xƒ(X)，且积分绝对收敛，则有证略求：例8：已知X的分布律为解：例9：设，求解：（令 m=k-2）例10：设，求解：由于X的概率密度为于是例11：国际市场上每年对我国某种商品的需求量为一个随机变量X（单位：吨），且已知，并已知每售出一吨此种商品，可以为国家挣得外汇3万美元，但若售不出去，而屯售于仓库，每年需花费保养费每吨为一万美元，问应组织多少货源可使国家的平均收益达到最大？解：设a为某年准备组织出口此种商品的数量（单位：吨）Y为国家收益，于是Y是X的函数，即其概率密度为令解得 a=3500（吨）但，故E(Y)在a=3500时，E（Y）最大，即组织货源为3500吨时，可是国家的收益达到最大。
《概率论与数理统计课件》 随机变量序列的收敛性(精选)PPT共27页
END
《概率论与数理统计课件》 随机变量序 列的收敛性（精选）
1、合法而稳定的权力在使用得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、权力会使人渐渐失温厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金 子可以 拉着它 的鼻子 走。— —莎士 比
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
随机变量的几种收敛及其相互关系
论文摘要概率是对大量随机现象的考察中显现出来的，而对于大量的随机现象的描述就要采用极限的方法。
概率统计中的极限定理研究的是随机变量序列的某种收敛性，对随机变量收敛性不同定义将导致不同的极限定理，而随机变量的收敛性的确可以有各种不同的定义。
主要讨论了依概率收敛与依分布收敛，r阶收敛与几乎处处收敛，几乎处处收敛与依概率收敛之间的关系。
给出了由依概率收敛推出几乎处处收敛的条件和由依概率收敛推出r阶收敛的条件，从而比较完全地说明了随机变量序列的各种收敛性之间的关系。
本论文将对随机变量的几种收敛作出较为简单扼要的介绍和讨论.论文结构如下：一、随机变量的几种收敛的概念理论；二、随机变量的几种收敛之间的关系；从以上几个方面对随机变量的几种收敛理论简明扼要地分析，说明随机变量序列收敛理论在实际问题中的应用范围之广，在实际生活中的重要性。
关键词：r阶收敛；几乎处处收敛；依概率收敛；依分布收敛。
AbstractThe Probability is the study of a large number of random phenomena emerge, but for a large number of random phenomena should use extreme methods described. Probability and statistics in the limit theorem is asequence of random variables convergence, convergence of random variables with different definitions lead to different limit theorem, and indeed the convergence of random variables can have different definitions. Mainly discussed convergence in probability and convergence in distribution, convergence in order r and almost everywhere convergence, almost sure convergence and convergence in probability relationship. Convergence in probability is given by the launch of almost everywhere convergence of conditions and the convergence in probability by the introduction of r-order convergence conditions, which more completely describes the various random variables convergence relationship. This paper will make the convergence of several random variables is more brief presentations and discussions. Paper is structured as follows: 1. Convergence of random variables the concept of theory; 2. the convergence of several random variables between; From the above aspects of the theory of random variables of several brief analysis of convergence shows that the convergence theory of random variables in the actual problems in the wide range of applications, in real life importance.Keywords: convergence in order r ; almost everywhere or almost surely; convergence in probability; convergence in distribution.目录引言： 41 几种收敛性定义 42 依概率收敛与依分布收敛的关系 53 r阶收敛与几乎处处收敛的关系 114 依概率收敛与r阶收敛的关系 135 几乎处处收敛与依概率收敛和依分布收敛的关系 17总结 19四种收敛性 19四种收敛蕴涵关系 19致谢 21参考文献 22引言：概率论最早产生于17世纪，本来是保险事业的发展而产生的，但是来自于赌博者的请求，却是数学家们思考概率论中问题的源泉。
概率论中的随机过程收敛性判定新方法探讨
概率论中的随机过程收敛性判定新方法探讨概率论中的随机过程是研究随机现象随时间的变化规律的数学模型。
随机过程在应用领域有着广泛的应用，如金融领域的股票价格预测、通信系统的信号传输等。
而对于随机过程的收敛性判定问题一直以来是概率论中的研究热点之一。
本文将介绍一种新的方法来判定随机过程的收敛性，以及探讨其在实际应用中的潜力。
首先，我们需要了解什么是随机过程的收敛性。
在概率论中，收敛是指随着样本数的增加，随机变量或者随机过程逐渐趋近于一个确定的值。
常见的收敛性判定方法有律法大数定律和中心极限定理等。
然而，这些传统的方法在判定某些复杂随机过程的收敛性时存在一定的局限性。
新的方法基于分形维数的概念，它对随机过程的局部特征进行了量化。
分形维数是用来描述某个几何图形的不规则程度的数值，可以用来表征随机过程的动态特性。
通过计算随机过程的分形维数，我们可以判定其收敛性，并且可以得到更细致的分析结果。
具体地说，我们可以通过如下步骤来使用该方法判定随机过程的收敛性：1. 选取合适的观测窗口大小。
观测窗口大小决定了我们对随机过程的采样精度，过小的窗口可能会忽略了一些重要的信息，而过大的窗口则可能会导致计算量很大。
2. 计算观测窗口内的分形维数。
我们可以通过分形理论中的盒子计数方法来计算观测窗口内的分形维数。
盒子计数方法是指将整个观测窗口划分为多个小盒子，并统计随机过程在每个小盒子内的数据点数量。
通过不断调整盒子大小，我们可以得到一系列分形维数。
如果这些分形维数随着盒子大小逐渐趋于一个确定的值，那么我们可以判定随机过程在该观测窗口内收敛。
3. 重复步骤1和步骤2，直到覆盖整个随机过程的时间范围。
通过在不同的观测窗口上重复计算分形维数，我们可以获取随机过程不同时间段的收敛性。
这种基于分形维数的方法相比传统方法更加灵活，能够更准确地刻画随机过程的动态特性。
同时，该方法也可以应用于更广泛的随机过程类型，包括具有非平稳特性或非线性特性的随机过程。
概率与数理统计 5.2 随机变量的收敛性与强大的数定律.ppt
一、概率收敛与分布收敛
Def.
1.
设随机变量序列{X
}
n n1
与随机变量X
0, lim n
P{|
Xn
X
|
}
0
则称随机变量序列
{
X
n
} n 1
依概率收敛于X，记作
P
Xn X
例 1. 设 X ,{Xn} 均为退化分布的随机变量，且
P( X 0) 1, P{X n 1/ n} 1, n 1, 2,L
P{|Xn-c|}= P{Xn c+ }+P{Xnc - }
=1-Fn(c+ -0)+ Fn(c-)
1-1+0=0
定理4. (连续性定理)分布函数列{Fn(x)}弱收敛于 分布函数{F(x)}的充分必要条件为:
{Fn(x)}的特征函数列 n (t) 收敛于F(x)的特征函数 (t).
N 1 nN
:|
Xn ()
X
()
|
1}} k
0
P{ I U { :| Xn () X () | }} 0, 0 N 1 nN
N
P{ U { :| Xn () X () | }} 0, 0
nN
概率的上连续性
N
P{Xn+Yn x} P{Xn x-c+}+P{|Yn-c|>} (1)
P{Xn+Yn x} P{Xn+Yn x,|Yn-c| } P{Xn x-c-,|Yn-c| }
P{Xn x-c-}- P{Xn x-c-,|Yn-c| >}
随机变量的几种收敛及其相互关系
论文摘要概率是对大量随机现象的考察中显现出来的，而对于大量的随机现象的描述就要采用极限的方法。
概率统计中的极限定理研究的是随机变量序列的某种收敛性，对随机变量收敛性不同定义将导致不同的极限定理，而随机变量的收敛性的确可以有各种不同的定义。
主要讨论了依概率收敛与依分布收敛，r阶收敛与几乎处处收敛，几乎处处收敛与依概率收敛之间的关系。
给出了由依概率收敛推出几乎处处收敛的条件和由依概率收敛推出r阶收敛的条件，从而比较完全地说明了随机变量序列的各种收敛性之间的关系。
本论文将对随机变量的几种收敛作出较为简单扼要的介绍和讨论.论文结构如下：一、随机变量的几种收敛的概念理论；二、随机变量的几种收敛之间的关系；从以上几个方面对随机变量的几种收敛理论简明扼要地分析，说明随机变量序列收敛理论在实际问题中的应用范围之广，在实际生活中的重要性。
关键词：r阶收敛；几乎处处收敛；依概率收敛；依分布收敛。
AbstractThe Probability is the study of a large number of random phenomena emerge, but for a large number of random phenomena should use extreme methods described. Probability and statistics in the limit theorem is a sequence of random variables convergence, convergence of random variables with different definitions lead to different limit theorem, and indeed the convergence of random variables can have different definitions. Mainly discussed convergence in probability and convergence in distribution, convergence in order r and almost everywhere convergence, almost sure convergence and convergence in probability relationship. Convergence in probability is given by the launch of almost everywhere convergence of conditions and the convergence in probability by the introduction of r-order convergence conditions, which more completely describes the various random variables convergence relationship.This paper will make the convergence of several random variables is more brief presentations and discussions. Paper is structured as follows:1. Convergence of random variables the concept of theory;2. the convergence of several random variables between;From the above aspects of the theory of random variables of several brief analysis of convergence shows that the convergence theory of random variables in the actual problems in the wide range of applications, in real life importance.Keywords: convergence in order r ; almost everywhere or almost surely; convergence in probability; convergence in distribution.目录引言： (4)1 几种收敛性定义 (4)2 依概率收敛与依分布收敛的关系 (5)3 r阶收敛与几乎处处收敛的关系 (11)4 依概率收敛与r阶收敛的关系 (13)5 几乎处处收敛与依概率收敛和依分布收敛的关系 (17)总结 (19)四种收敛性 (19)四种收敛蕴涵关系 (19)致谢 (21)参考文献 (22)引言：概率论最早产生于17世纪，本来是保险事业的发展而产生的，但是来自于赌博者的请求，却是数学家们思考概率论中问题的源泉。
第五章随机变量的收敛性
当极限分布为点分布时，记为 X n qm c
对应还有：L1收敛（converge to X in L1 ）
lim
n
Xn X 0
if Xn X 0, as , then Xn L1 X
7
其他收敛
依概率收敛
lim
n
Xn X 0
或 lim n
: Xn X 0
随机变量序列 X1, X2..., Xn ，当对任意 0，
CDF
1、如果对每个 0 ，当 n
时，
Xn X
0
则Xn依概率收敛于X ，记为 Xn P X 。 2、如果对所有F的连续点t，有
lim
n
Fn
t
Ft
则Xn依分布收敛于X ，记为 Xn
同教材上
X。
5
两种收敛的定义
当极限分布为点分布时，表示为
依概率收敛：
X c 1, and Xn P X , then Xn Pc
Xn p 1 2, Xn 2 n p 1 p n 1 4n
0.4 Xn 0.6 1
Xn Xn
0.1 0.1
1
4n
1 0.12
1 25 0.7 n
1 25 n 0.7 n 84
17
中心极限定理 (Central Limit Theorem, CLT)
发生的频率 fn A nA n逐渐稳定到概率p 。
那么lim n
fn
A
p?
不对，若
则对于
lim
n
0
fn A p
，总存在 N
0
,当
n
N 时，有
fn
A p 成立
但若取 p , 由于
fn A 0 1 pn 0
依概率收敛和依分布收敛
依概率收敛和依分布收敛
依概率收敛和依分布收敛是概率论中的两个重要概念。
它们描述了随机变量序列的收敛性质，即随着样本量的增加，随机变量序列是否趋于某个确定的极限。
我们来看依概率收敛。
如果一个随机变量序列X1, X2, …, Xn，当n 趋近于无穷大时，对于任意的ε>0，都有P(|Xn-X|>ε)趋近于0，则称Xn依概率收敛于X，记作Xn→pX。
其中，X为随机变量序列的极限，ε为任意正数。
依概率收敛是一种弱收敛，它只要求随机变量序列在概率意义下趋近于极限，而不要求随机变量序列的分布函数趋近于极限分布函数。
因此，依概率收敛的条件比较宽松，适用范围比较广。
接下来，我们来看依分布收敛。
如果一个随机变量序列X1, X2, …, Xn，当n趋近于无穷大时，它们的分布函数Fn(x)依概率收敛于极限分布函数F(x)，则称Xn依分布收敛于X，记作Xn→dX。
其中，X 为随机变量序列的极限，F(x)为极限分布函数。
依分布收敛是一种强收敛，它要求随机变量序列的分布函数趋近于极限分布函数，因此条件比较严格，适用范围比较窄。
总的来说，依概率收敛和依分布收敛都是描述随机变量序列收敛性质的重要概念。
它们在概率论、数理统计等领域中有着广泛的应用，例如在大数定律、中心极限定理、极大似然估计等方面都有着重要
的作用。
依概率收敛 特征函数收敛
依概率收敛特征函数收敛依概率收敛和特征函数收敛是概率论中的两个重要概念，本文将对这两个概念进行详细介绍。
一、依概率收敛依概率收敛是指一个随机变量序列在概率意义下趋于另一个随机变量的过程。
具体来说，若随机变量序列$\{X_n\}_{n\geq1}$和随机变量$X$满足$\lim_{n\rightarrow\infty}P(|X_n-X|>\epsilon) = 0$，则称序列$\{X_n\}_{n\geq1}$依概率收敛于$X$。
其中$\epsilon$为一个正实数。
依概率收敛是指一种弱收敛，即收敛的速度比较缓慢，但是趋向于极限的概率比较大。
与之相对的是依分布收敛，即序列中的所有随机变量都具有相同的分布函数，这种收敛可以由特征函数收敛来推导。
二、特征函数收敛特征函数是概率论中常见的一个概念，一个随机变量的特征函数$\varphi_X(t)$定义为$\varphi_X(t) = E(e^{itX})$。
其中$E$表示期望，$i$为虚数单位，$t\in \mathbb{R}$。
如果随机变量序列$\{X_n\}_{n\geq1}$的特征函数$\varphi_{X_n}(t)$逐点收敛于另一个随机变量的特征函数$\varphi_X(t)$，即$\lim_{n\rightarrow\infty}\varphi_{X_n}(t)=\varphi_X(t)$，则序列$\{X_n\}_{n\geq1}$依分布收敛于$X$。
特征函数的收敛性质可以通过Fourier反演定理来推导。
具体来说，如果一个随机变量的特征函数可计算，那么它的概率密度函数可以通过$f_X(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-itx}\varphi_X(t)dt$来反演得到。
因此，特征函数收敛可以推导出依分布收敛。
三、依概率收敛和特征函数收敛的关系依概率收敛和特征函数收敛是概率论中两个不同的概念，它们之间的关系可以用以下定理来刻画。
概率论--特征函数与极限定理
引进特征函数的目的在于有些问题用分布函 数不好解决，比如计算随机变量的矩以及对立随 机变量和的分布.使用特征函数就会特别方便， 在极限理论的研究中也发挥了很大作用。
如以前我们讲过随机变量X＋Y的分布函数求 法过程比较复杂，实际上经常碰到求 X1+X2+X3+…+Xn 的密度函数，重复使用卷极公式， 非常繁杂。
即
定理三（伯努利大数定律） 设事件 在每次试验中出现的概率为 p, 且
在n次重复独立试验中出现的频率为
即
理论上给出了在大量重复实验下,事件A的 频率依概率收敛于它的概率p.
定理四 (马尔可夫大数定律)
设{
X
k
}是随机变量序列，若
lim
n
1 n2
n
D(
k 1
Xk
)
0
则{X k }服从大数定律。
2. 特征函数的性质
设
是X的特征函数，则
2)特征函数
在R上一致连续
3)特征函数
是非负定的，即对任意实数
及复数
证明
4） 设
是常数，
则
5)随机变量
相互独立，则
此性质可推广至多个
随机变量
相互独立，则
6）设随机变量 则它的特征函数可微分n次，且
特征函数提供了一条求各阶矩的捷径。
7）唯一性定理：分布函数由其特征函数唯一确定。
2、 中心极限定理
定理1（独立同分布的中心极限定理）
设
为一列相互独立相同分布
的随机变量，且具有数学期望和方差，则对于
任意实数 有
其中
为标准正态分布的分布函数。
定理2 （德莫佛—拉普拉斯）
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E(X)=0.75n, 所求为满足 的最小的n .
D(X)=0.75×0.25n=0.1875n
X P (0.74 0.76) 0.90 n
X P (0.74 0.76) 可改写为 n P(0.74n< X<0.76n )
=P(-0.01n<X-0.75n< 0.01n) = P{ |X-E(X)| <0.01n}
P( X E( X ) ) D( X )
2
【证明】设X的分布函数为F ( x ), 则有： DX ( x E ( X ))2dF ( x )
x E ( X )
( x E ( X ))2dF ( x )
x E ( X )
2 dF ( x )
n n n
则称随机变量序列 {Yn } 依概率收敛于随机变量Y，
P Y 简记为 Yn
Yn与 Y 的绝对误差小于任意小的正数 依概率收敛表示：
的概率将随着n增大而愈来愈大，直至趋于1
五、r-阶收敛
设对随机变量Yn及Y 有E Yn , E Y 定义4：
r r
其中r 0为常数，如果
n
或简记为
P { lim Yn Y } 1
n
则称随机变量序列 {Yn }以概率1（或几乎处处）
a.s. 简记为： Y Y 收敛于随机变量Y ， n
下面定理揭示了四种收敛之间的关系。 定理 4.2 设随机变量序列 {Yn } 和随机变量 Y
a.s. Y Y ，则 (1)若 n
2 P X E( X )
从而P ( X E ( X ) ) D( X )
2
P( X E( X ) ) 1
D( X )
2
P( X E( X ) )
D( X )
2
D( X )
P( X E( X ) ) 1
W 记为Fn ( x ) F ( x)
三、依分布收敛
设随机变量 Yn ( n 1, 2, ) 和随机变量Y 定义2：
的分布函数分别为Fn ( x )( n 1,2,)和F ( x ), 若在 的所有连续点 x 上都有
n
lim Fn ( x ) F ( x )
则称随机变量序列 {Yn } 依分布收敛于随机变量Y， 简记为
r
P Yn Y ;
【证明】 由马尔可夫引理有，对任意 0, 有
P ( Yn Y ) E Yn Y
r
r
r 又因为Yn Y , 则由定义有：
lim E | Yn Y |r 0
n
所以
n
lim P{| Yn Y | } 0
P 即： Y Y n
P{| X E ( X ) | }
D( X )
2
P{| X E ( X ) | } 1
D( X )
2
例1： 设电站供电网有10000盏电灯，夜晚每盏灯开 灯的概率均为0.7，假定灯的开、关是相互独立的，使 用车贝晓夫不等式估计夜晚同时开着的灯数在6800到 7200盏之间的概率。 解 令X表示在夜晚同时开着的灯数目，
即估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率不 小于8/9 .
例3：在每次试验中，事件A发生的概率为 0.75, 利 用车贝晓夫不等式求：n需要多么大时，才能使得在 n次独立重复试验中, 事件A出现的频率在0.74~0.76之 间的概率至少为0.90?
解：设X为n 次试验中，事件A出现的次数， 则 X~B(n, 0.75)
则X服从n=10000，p=0.7的二项分布，这时
E ( X ) np 7000, D( X ) npq 2100.
由车贝晓夫不等式可得:
P{6800 X 7200} 2100 P{| X 7000 | 200} 1 0.95． 2 200
例2：已知正常男性成人血液中 ，每一毫升白细 胞数平均是7300，标准差是700 . 利用切比雪夫不 等式估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概 率.
D( X
i 1
n
i
)
P( Z E( Z ) ) 1 P
D( Z )
2
1 n , 代入Z X X i ,即： n i 1
1 n 1 n 1 1 n X i E ( X i ) 1 2 2 D( X i ) n i 1 n i 1 n i 1
1 n 1 n K X i E ( X i ) lim lim P （ 1 ) 1 2 n n i 1 n n i 1 n
又由概率性质P 1
1 n 1 n lim P X i E ( X i ) 1 n n i 1 n i 1
因为D( Xi ) K ,所以上式： 1 n 1 n 1 1 n P X i E ( X i ) 1 2 2 D( X i ) n i 1 n i 1 n i 1 1 nK K 1 2 2 1 . 2 n n
P Yn Y ; P Yn Y ;
L Yn Y .
(2) 若 Yn Y ，则
r
。
P Y Y ，则 (3) 若 n
几乎处处收敛 依概率收敛 依分布收敛 r —阶收敛 依概率收敛 依分布收敛 几乎处处收敛和r-阶收敛之间不存在推导关系
(2) 若 Yn Y ，则
在车贝晓夫不等式中取
0.01 n，则
X P (0.74 0.76) = P{ |X-E(X)| <0.01n} n 0.1875n 1875 D( X ) 1 1 1 2 2 0.0001n n (0.01n)
1875 依题意，取 1 0.9 n
解得
1875 n 18750 1 0.9
lim E | Yn Y | 0
r n
r 则称{Yn } r阶收敛于Y，并记为Yn Y
特别的有
1-阶收敛又称为平均收敛， 2-阶收敛又称为均方收敛。 均方收敛一定平均收敛
六、以概率1收敛（几乎处处收敛）
定义5：设有随机变量序列{Yn ( )}和随机变量
Y ( ) ，若
P{ : lim Yn ( ) Y ( )} 1
, n)相互独立，且方差有限
1 n 1 n 证明 lim P X i E ( X i ) 1 n n i 1 n i 1
1 n 证明：设随机变量Z X X i , n i 1
n 1 n 1 1 n E (Z) E ( X ) E ( X i ) E ( X i )= E(X i ) n i 1 n n i 1 i 1 n 1 n 1 1 D(Z) D( X ) D( X i ) 2 D( X i ) 2 n i 1 n n i 1 由车贝晓夫不等式，
即n 取18750时，可以使得在n次独立重复试验中,
事件A出现的频率在0.74~0.76之间的概率至少为0.90 .
二、分布函数弱收敛
定义1：对于分布函数列{Fn (x)},如果存在一个非降函数
F ( x )使
n
lim Fn ( x ) F ( x )
在F ( x )的每一个连续点都成立，则称Fn ( x )弱收敛于F ( x )
解：设每毫升白细胞数为X 依题意，E(X)=7300,D(X)=7002 所求为 P(5200 X
9400) = P(-2100 X-E(X) 2100)
= P{ |X-E(X)|
P(5200 X
9式
D( X ) P{ |X-E(X)| 2100} 1 (2100)2 1 8 700 2 1 ( ) 1 9 9 2100
例题11-2-1(2001，数一）
1、设变量X的方差为2，根据切比雪夫不等式估计 P ( X E (X) 2) ______
解；在车贝晓夫不等式中，令 2，由已知D(X) 2 D(X) 2 1 所以P ( X E (X) 2) 2 2 2 2
证明： 已知Xi ( i 1, 2,
第三章
3.1四种收敛性
主要内容 车贝晓夫不等式
几乎处处收敛 依概率收敛 依分布收敛
r-阶收敛
一、车贝晓夫不等式
【引理】(马尔可夫不等式)设随机变量X有r阶绝对矩， E X ,
则对任意 0有
r
P( X )
E X
r
r
【证明】设X的分布函数为F ( x ), 则有：
P( X )
2
事件{|X-E(X)|< }的概率越大，即随机变量X 集
中在期望附近的可能性越大.
由车贝晓夫不等式可以看出，若 2 越小，则
特别地，若D(X)=0，则对任意 0, 恒有P{ X EX } 0 因此P{ X EX } 0,即P{ X EX } 1, 所以方差为0的随机变量 是常数
P{| X E ( X ) | }
D( X )
2
当方差已知时，车贝晓夫不等式给出了r.v X与它 的期望的偏差不小于 的概率的估计式 . 如取
P{| X E ( X ) | 3 } 0.111 2 9 可见，对任给的分布，只要期望和方差 2存在，
2
L Yn Y
依分布收敛表示：当n充分大时，Yn 的分布函数
Fn ( x ) 收敛于Y 的分布函数 F ( x ), 它是概率论中
较弱的一种收敛性.
四、依概率收敛