高数 微积分(B) 无穷级数练习题
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2013-2014(2) 大学数学(B) 练习题
第四章 无穷级数
一、选择题
1. 若0lim =∞
→n n u ，则级数
∑∞
=1
n n
u
………………………………………………………（ ）
A. 收敛且和为0
B. 收敛但和不一定为0
C. 发散
D. 可能收敛也可能发散 2. 下列级数发散的是……………………………………………………………………（ ）
A. ∑∞
=12
1
n n B.
∑∞
=12)1(n n
C. ∑
∞
=-2
1
1n n D.
∑∞
=+1
2
)1
(
n n
n 3. 设无穷级数
∑∞
=1
n p
n
收敛，则在下列数值中p 的取值为……………………………（ ）
A. 2-
B. 1-
C. 1
D. 2
4. 若31
lim 1
=+∞→n n n a a ，则级数n n n x a )21(
0∑∞
=+的收敛半径等于…………………………（ ） A.
31 B. 3 C. 32 D. 2
3
5. 幂级数
∑∞
=---1
1
)1()
1(n n
n n
x 的收敛区域是……………………………………………（ ） A. ]2,0( B. )2,0[ C. )2,0( D. ]2,0[
6. 设幂级数
∑∞
=0n n n x a 在3=x 处收敛，则该级数在1-=x 点处………………………（ ） A. 绝对收敛 B. 条件收敛 C. 发散 D. 可能收敛也可能发散 7. 无穷级数
∑∞
=1
!1
n n 的和为…………………………………………………………………（ ） A. e B. 1-e C. 1+e D. 2+e
8. 2
4
1x x -展成x 的幂级数是………………………………………………………………（ ） A.
∑∞
=1
2n n
x
B.
∑∞
=-1
2)
1(n n
n
x C.
∑∞
=2
2n n
x
D.
∑∞
=-2
2)
1(n n n
x
二、填空题
1. 若级数
∑∞
=1
n n
u
收敛于S ，则级数
)(1
1∑∞
=++n n n
u u
收敛于 ．
2. 设a 为常数,若级数
)(1
a u
n n
-∑∞
=收敛，则=∞
→n n u lim ．
3. 部分和数列{}n S 有界是正项级数
∑∞
=1
n n
u
收敛的 条件．
4. 若级数
∑∞
=1ln n x
n
收敛，则x 的取值范围是 ．
5. 若级数
∑∞
=1
n n
u
条件收敛，则级数
∑∞
=1
n n
u
的敛散性为 ．
6. 幂级数∑∞
=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-1n 32)1(n n n n n x x 的收敛半径为 ． 7. 设幂级数
∑∞
=1
n n
n
x a
的收敛半径为2，则级数∑∞
=+1
)1(n n n x na 的收敛区间为 ．
8. =+-+-
⎰dx x x x x )!
3!2!11(6
41
02 ． 三、解答与证明题
1．证明级数
++-++⋅+⋅)
13)(23(1
741411n n 收敛并求其和． 2．判断下列级数的敛散性．
（1）
87
654321+++； （2）
++++++1
143132121n n ； （3）∑∞
=14tan n n π
； （4）∑∞
=-1151n n n ； （5）∑∞
=1
3sin 2n n n
π；
（4）∑∞
=1
!3n n n n n ； （7） +⋅+⋅+⋅+⋅4
4
3322243233223213； （8）n
n n n )1
2(1∑∞
=+； （9）∑∞=133n n n ； （10）∑∞
=-+12)1(2n n
n ． 3．下列级数哪些是绝对收敛的？哪些是条件收敛的？
（1）
∑
∞
=+-1
1
)1(n n n
； （2）∑∞
=12sin n n nx ； （3）∑∞
=--1
12)1(n n n n ． 4．求下列幂级数的收敛半径和收敛域．
（1）∑∞
=-1n n n x ； （2）∑∞
=1
)(n n
nx ； （3）n n n
n x ∑∞=-02)1(． 5．求级数
=--∑∞
=--1
121
12)
1(n n n n x +-+-7
537
53x x x x 的收敛域并求和． 6．利用已知展开式展开下列函数为x 的幂级数并确定收敛域．
（1）2
)(x e x f -=； （2）x x x f -+=11ln )(； （3）2
21)(x x x
x f -+=．