2018届高考数学(文)大一轮复习检测第二章第12讲导数与函数的极值、最值 Word版含答案

第讲导数与函数的极值、最值

,[学生用书])

．函数的极值

函数＝()在点＝的函数值()比它在点＝附近其他点的函数值都小，′()＝；而且在点＝附

，

′()＜

近的左侧

右侧

，

，

则点叫做函数＝()的极小值点

()叫做函数＝()的极小值．

′()＞

函数＝()在点＝的函数值()比它在点＝附近其他点的函数值都大，′()＝；而且在点＝附

，

′()＞

近的左侧

′()＜

右侧

，

()叫做函数＝()的极大值．

则点叫做函数＝()的极大值点

，

极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值．

．函数的最值

()在闭区间[，]上连续的函数()在[，]上必有最大值与最小值．

，

]上单调递增

()若函数()在[

则

，

，

()

，

()

为函数的最大值；若函数()在[

为函数的最小值

则

，

()

]上单调递减

()

为函数的最小值．

，

为函数的最大值

．辨明两个易误点

()求函数极值时，误把导数为的点作为极值点；

()易混极值与最值，注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念．

．明确两个条件

一是′()>在(，)上成立是()在(，)上单调递增的充分不必要条件．二是对于可导函数()，′()＝是函数()在＝处有极值的必要不充分条件．

函数()的定义域为，导函数′()的图象如图所示，则函数()( )

．无极大值点、有四个极小值点

．有三个极大值点、一个极小值点

．有两个极大值点、两个极小值点

．有四个极大值点、无极小值点

[解析] 设′()的图象与轴的个交点从左至右依次为、、、.

当<时，′()>，()为增函数，

当<<时，′()<，()为减函数，则＝为极大值点，同理，＝为极大值点，＝，＝为极小值

点，故选.

()＝－( )

．有极大值－

．有极大值，极小值－

．有极小值

．有极小值－，无极大值

[解析] ′()＝－，′()＝时，＝±.

′()>时，<－或>.

′()<时，－<<，

所以()在(－∞，－)，(，＋∞)上是增函数，在(－，)上是减函数．

所以()极大值＝(－)＝.

()极小值＝()＝－.故选.

函数()＝－＋在[，]上的最大值为，则的值为( )

．．

．．

[解析] ′()＝－，∈[，]，

′()＝时，＝，

′()<时，≤<，′()>时，<≤.

所以()在[，)上是减函数，

在(，]上是增函数．

又()＝，()＝－＋.

所以在[，]上，()＝()＝，

所以＝，故选.

．已知＝是函数()＝＋－的一个极值点，则实数＝．

[解析] ′()＝＋－，由′()＝＋－＝，得＝，经检验满足条件．

[答案]

．函数()＝＋在(，]上的最大值为．

[解析] ′()＝＋>，∈(，]．所以()在(，]上是增函数．所以()＝()＝.

[答案]

函数的极值问题(高频考点)[学生用书]

函数的极值是每年高考的热点，一般为中高档题，三种题型都有．

高考对函数极值的考查主要有以下三个命题角度：

()由图判断函数极值的情况；

()已知函数解析式求极值；

()已知函数极值求参数值或范围．

[典例引领]

()设函数()在定义域上可导，其导函数为′()，若函数＝(－)′()的图象如图所示，则下列结论

中一定成立的是( )

．函数()有极大值()和极小值()

．函数()有极大值(－)和极小值()

．函数()有极大值()和极小值(－)

．函数()有极大值(－)和极小值()

()(·高考山东卷)设()＝－＋(－)，∈.

①令()＝′()，求()的单调区间；

②已知()在＝处取得极大值，求实数的取值范围．【解】()选.由题图可知，当<－时，′()>；当＝－时，′()＝；当－<<时，′()<；当<<时，′()<；当＝时，′()＝；当>时，′()>.由此可得函数()在＝－处取得极大值，在＝处取

得极小值．故选.

()①由′()＝－＋，

可得()＝－＋，∈(，＋∞)．

则′()＝－＝.

当≤时，∈(，＋∞)时，′()>，函数()单调递增；

当>时，∈时，′()>，函数()单调递增，

∈时，函数()单调递减．

所以当≤时，()的单调增区间为(，＋∞)；

当>时，()的单调增区间为，单调减区间为.

②由①知，′()＝.