圆的基础知识与方法,基本经验与技巧

四基梳理

圆的基础知识与方法

基本经验与技巧

四川崇州余首成

一、点与圆之间的位置关系

1、性质：设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离OP = d，则：

①、⇔

d点P在⊙O上；

=r

②、d ＞⇔

r点P在⊙O外部；

③、d ＜⇔

r点P在⊙O内部；

2、判断：怎样判断一个点与圆之间的位置关系？

答：先分别计算出d和r，然后再作大小比较，通过以上关系来判断二者的位置关系。如何去计算d和r呢？一般来说要考虑：一勾股，二相似，三角函数要重视。

二、圆心角、弧、弦三者的“结伴推导”关系

1、定理：在同圆或等圆中，如果两个“圆心角”相等，那么它们“所对的弧”相等，“所对的弦”也相等；

2、推论：在同圆或等圆中，两个“圆心角”、及其它们“所对的弧”、

“所对的弦”，这“三个量”中，只要有“其中一组量”相等，那么剩下来的“其余两组量”也分别对应相等。

3、基本经验：在同圆或等圆中，两个“圆心角”、及其它们“所对的弧”、“所对的弦”，“所对弦的弦心矩”（即：圆心到弦的距离）这“四个量”中，只要有“其中一组量”相等，那么剩下来的“其余三组量”也分别对应相等。

三、垂径定理，垂径定理的推论，以及隐藏其中的“结伴推导”关系

1、垂径定理：垂直于弦的直径，（一定恰好）平分该弦，并且还平分该弦所对的两段弧。

解读1：垂径定理的“已知条件”是“径垂直弦”，且此弦既可以是“直径弦”，又可以是“一般弦”。其中的“径”不必一定指直径，其实质是指“过圆心的直线或线段”。

解读2：“垂直于弦的径”干了“两件大事”，一是“平分弦”，二是“平分两段弧”。简言之，垂径定理的结论会得到：一个弦中点，两个弧中点。

2、垂径定理的推论：平分非直径弦的直径，（一定恰好）垂直该弦，

并且还平分该弦所对的两段弧。

解读1：该推论的“已知条件”是“径平分弦”，且此弦必须是“非直径弦”，不然就要闹笑话。其中的“径”不必一定指直径，其实质是指“过圆心的直线或线段”。

解读2：“平分非直径弦的径”干了“两件大事”，一是“垂直弦”，二是“平分两段弧”。简言之，垂径定理的推论会得到：一个垂直弦，两个平分弧。

解读3：垂径定理、及其推论，会涉及到“四个点”：圆心点、弦中点、两个弧中点，这四个点具有“已知其二，可推另二”的“结伴推导”关系。表述如下：

①、经过“圆心”和“弦中点”的直线，必然垂直该弦，并且还经过该弦所对的“两段弧的中点”；

②、经过“圆心”和“弧中点”的直线，必然垂直“该弧所对的弦”，并且还既经过“该弦中点”，又经过“该弦所对的另一段弧中点”；③、经过“弦中点”和该弦所对其中一段“弧中点”的直线，必然垂直该弦，并且还既经过“圆心”，又经过“该弦所对的另一段弧中点”；

④、经过某弦所对的“两段弧中点”的直线，必然垂直该弦，并且还既经过“圆心”，又经过“该弦中点”；

3、有关经验：垂径定理、及其推论有关的“计算题”，往往会涉及到“四个量”之间的“两个关系”。

解读1：这“四个量”是指：半径、半弦、弓形高、弦心距，“两个

关系”是指：勾股关系和“合成”半径关系。具体而言，“劣弧弓形”的“弓形高”加“弦心距”等于“半径”；而“优弧弓形”的“弓形高”减“弦心距”等于“半径”；

解读2：值得强调的是，计算中不要只关注“勾股定理”，还要考虑“相似形”与“三角函数”，具体问题要学会灵活处理，择易处理。

四、圆心角、圆周角，的相关定理与推论

1、四种常见角的定义：

①、圆心角：顶点在圆心，两边和圆都相交的角，叫做圆心角；

②、圆周角：顶点在圆周，两边和圆都相交的角，叫做圆周角；

③、圆内角：顶点在圆内，两边和圆都相交，或延伸后会与圆相交的角，叫做圆内角；

④、圆外角：顶点在圆外，两边和圆都相交，或延伸后会与圆相交的角，叫做圆外角；

2、某些规定：为了让某些知识之间能丰富联系、融会贯通，特作出以下“数学政策”规定：

①、弧不仅有“长度”，还有“度数”。弧的度数等于，它所对的圆心角的度数；

②、圆周角定理：某弧所对的“圆心角”度数，等于该弧所对的“圆周角”度数的“2倍”；

③、圆周角他说：“圆周角”度数，等于它“所夹”的弧的度数的一

半；右脑法：三个“的”字，味道像“配方”中的三个“的”字。

申述：凡理解了“①和③”的规定，自然能感受“②”的正确性；

或者说，凡理解了“①和②”的正确性，自然能产生“③”的表述；

3、圆周角定理的证明过程，体现了“分类讨论思想”、“转化思想”、“类比构造法”、“类比迁移法”、“对比观察策略”，请同学务必认真体验其间过程，回味反思，以修筑思维之术。

4、圆周角定理的推论：

①、推论1：同弧或等弧，所对的圆周角相等；

②、推论2：直径所对的圆周角是直角，反之，90°的圆周角所对的弦（一定恰好）是直径；

③、推论3：“圆内接四边形”的两组对角都“互补”，并且它的“外角”等于“内对角”；

5、圆的“四种角”的“观察与推导”技巧，右脑口诀：

圆心角与圆周角，观察思路角弧角；

圆内角与圆外角，推导善于看外角；

五、直线与圆之间的位置关系

1、位置关系分类

①、若直线与圆“有两个”公共点，则二者是“相交”关系，此时的直线叫“圆的割线”，公共点叫“交点”；

②、若直线与圆“只有一个”公共点，则二者是“相切”关系，此时的直线叫“圆的切线”，公共点叫“切点”；

③、若直线与圆“没有”公共点，则二者是“相离”关系，此时的直线叫“圆的离线”；

2、从“d与r”的数量关系，来研究直线与圆的位置关系的“判定与性质”

设⊙O的半径为r，圆心O到直线L的距离OH = d，则：

①、⇔

d直线L与⊙O相切；

=r

②、d ＞⇔

r直线L与⊙O相离；

③、d ＜⇔

r直线L与⊙O相交；

3、怎样判断一条直线与圆之间的位置关系？

答：先“过圆心作相关直线的垂线段”，分别计算出d和r，然后再作大小比较，通过以上关系来判断二者的位置关系。如何去计算d和r呢？一般来说要考虑：一勾股，二相似，三角函数要重视。

六、圆的切线的性质定理，与判定定理

1、切线的性质定理：圆的切线（天生下来就专门）垂直于“过切点的”半径。