经济数学-偏微分方程在金融中的应用

偏微分方程概述

如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或是说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，则这类方程称为偏微分方程，该类方程反映有关的未知变量关于时间的导数和关于空间变量的导数之间制约关系的等式.偏微分方程这门学科开创于 1946 年，19 世纪随着数学物理问题研究的繁荣，偏微分方程得到了迅速发展，以物理、力学等各门科学中的实际问题为背景的偏微分方程已经成为应用数学的一个核心内容很多重要的物理、力学等学科的基本方程本身就是偏微分方程，而其他很多学科领域中在建立数学模型时都可以用偏微分方程来描述，或者用偏微分方法来研究.在科技和经济发展中，很多重要的实际课题都需要求解偏微分方程，为相应的工程设计提供必要的数据，保证工程安全可靠且高效地完成任务。

在很多的实际课题中，有不少课题(特别是国防课题)是不能或很难用工程试验的方法来进行研究的(一方面是危险系数大，另一方面是耗费大)，因此就需要尽可能地减少试验的次数或在试验前给出比较准确的预计。随着电子计算机的出现及计算技术的发展，电子计算机成为解决这些实际课题的重要工具。但是有效地利用电子计算机，必须具备如下先决条件：

针对所考虑的实际问题建立合理的数学模型，而这些能精确描述问题的模型大都是通过偏微分方程给出的。对相应的偏微分方程模型进行定性的研究。根据所进行的定性研究，寻求或选择有效的求解方法。编制高效率的程序或建立相应的应用软件，利用电子计算机对实际问题进行模拟。

因此，总体上来说，上述这些先决条件都属于偏微分方程应用的研究范围，这些问题解决的好坏直接影响到使用电子计算机所得结果的精确性及耗费的大小。如果解决得好，就会对整个问题的解决起到事半功倍的效果。

到目前为止，偏微分方程已经在解决有关人口问题、传染病动力学、高速飞行、石油开发及城市交通等方面的实际课题中做出了重大的贡献。

金融一直以来被人们认为是文科专业，但是随着数学的引入，（当然也包括偏微分方程），赋予这一学科极大地生机和活力。下面期权定价理论中偏微分方程的应用为例，简单阐述偏微。

偏微分方程在经融中的应用.

微分方程期权定价理论是微观金融学的重要内容之一，70 年代以前诞生的期权定价公式都不同程度地依赖于标的资产未来价格的概率分布和投资者的风险偏好，而概率分布和投资者的风险偏好是无法观测和正确估计的，从而限制了它在实际中的使用，现代期权定价技术重大突破之一是源于 Black-Scholes(1973)开创的 Black-Scholes 模型该模型假设：

(1)无风险债券的利率 r 为常数，并对所有到期日都相同；

(2)标的资产的价格 S 服从对数正态分布即 dS=Sdt+S dz ，其波动率2σ为常数；

(3)在期权的有效期内无红利支付；

(4) 套期保值无交易成本；

(5)无套利机会；标的资产可以连续交易，可以细分，允许卖空.构造投资组合：在 t 时刻，一单位期权的价格 v ，一标的资产的价格 S ，则通过卖空一单位期权可以购买

S

V ∂∂单位的标的资产故，这一资产组合价值为：S S V V ∂∂-=π。 依上述假设，经过一个无限小的时间段 t ，这一投资组合的价值变化为：

dS S

V dV ∂∂-=πd ，而由机过程伊藤定理有，dt r S V S S )21(d 2222∂∂+∂∂-=σπ，其中2σ是标的资产价格的方差，此时投资组合π式确定性资产，据无

套利假设，该组合的收益变化应该等于其自身的无风险收益变化，即：

d π=πrdt ，整理得：0r 5.0222

2=-∂∂πσV S S 将S S V V ∂∂-=π代入0r -r

r 5.02222=∂∂+∂∂+∂∂V V S V S S S V σ该式即为 Black-Scholes 微分方程.

3 用偏微分方程分析期权定价理论

假设 C (S,t) 表示欧式买入期权价格，则由Black-Scholes 方程，C(S,t)满足：

0r -t

r 5.0t 2222=∂∂+∂∂+∂∂C C S S C S C σ据实际意义，当标的资产价格 S=0 时，期权无价值，故可假设初始条件 C(0,t)=0；标的资产 S →∞， C （S ，t)~S ；期权到期时，即 t=T ，可设定边界条 C(S,t)=max(S-E,0)

（E 为施权价），即得欧式期权买入定价模型方程：

2)，则上述偏微分方程化为热方程：

0r -t

r 5.0t 2222=∂∂+∂∂+∂∂C C S S C S C σ C （S ，t)=0 t=0;

C(S,t)~S S →∞

C(S,t)=max(S-E,0) t=T

这是关于 C (S,t) 的偏微分方程，做如下变

2

2/1,*στ-==T t e E S x ,C=EV(x,τ),

),(e τβταX u V X +=(),)1(4

11-k 21-2+-==k βα），（ 则上述偏微分方程化为热方程：

X

u 22t u ∂∂=∂∂(-∞0) ,e m ax ()0,(u )1(5.0)1(5.0）x k X k e x -+-=其中22/1k σ

r = 由热方程初值问题解的理论知上述方程有基本解：

dS e x S x 04)(u ),(u 2⎰∞+∞---=ττ=dS e e x x k x k τπττ4S)--(x )1(5.015.02e )(21

),(u ⎰∞

+∞--+-=）（=

-+++)d (e 1)1(25.0)1(5.0N k k τ)d (e 2)1-(25.0)1(5.0N k k τ++

代回原变量得：C(S,t)=SN(d1)-Ee r(T-t)N(d2), 其中ρρ

d e N ⎰∞+-=x 2，

t

T t T E S --++=σσ))(5.0r ()/ln(d 21， t T t T t T E S -=--+=σσσ-d ))(5.0-r ()/ln(d 122。 这里 S 为一标的资产当前价格，E 为施权价，C(S,t)表示欧式买入期权价格，2σ 是标的资产价格的波动常数，r 是瞬时无风险利率，τ为期权到期时间，N 为标准正态分布函数，其均值为 0，标准差为

1. 上述参数已知，即可代入公式求出期权价格 C （S ，t ）。

我们知道，弦振动方程，传导方程和拉普拉斯是最经典的三个偏微分方程的模型。当我们把偏微分方程运用于金融中时，主要是利用金融知识列出基本的方程，再进行求解。因为前人已经做了很多工