十字相乘法提高及分组分解典型例题

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因式分解练习十字相乘、分组分解

因式分解 ——十字相乘、分组分解【知识要点】1.十字相乘法（1）二次项系数为1的二次三项式q px x ++2中，如果能把常数项q 分解成两个因式b a ,的积，并且b a +等于一次项系数中p ，那么它就可以分解成()()()b x a x ab x b a x q px x ++=+++=++22 方法总结：将二次三项式2x px q ++分解因式，关键是选择a 和b ，使 q =， p =（1）q 为正数时，a 、b ，且与同号；（2）q 为负数时，a 、b ，其中绝对值（填“较大”或“较小”）因数与p 同号；（3）先把分解成若干组两数之积，选择其中两数之和等于的一组数。

（2）二次项系数不为1的二次三项式c bx ax ++2中，如果能把二次项系数a 分解成两个因数21,a a 的积，把常数项c 分解成两个因数21,c c 的积，并且1221c a c a +等于一次项系数b ，那么它就可以分解成：()=+++=++2112212212c c x c a c a x a a c bx ax ()()221c x a a x a ++。

2．分组分解法（1）定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如22a b a b-+-没有公因式，又不能直接利用分式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。

再提公因式，即可达到分解因式的目的。

例如： 22a b a b -+-=22()()()()()()(1)a b a b a b a b a b a b a b -+-=-++-=-++，这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。

（2）原则：分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但必须使各组之间能继续分解。

（3）有些多项式在用分组分解法时，分解方法并不唯一，无论怎样分组，只要能将多项式正确分解即可。

【典型例题】例1 把下列各式分解因式（1）2914x x ++= （2）212x x --=（3）2812x x ++= （4）2710x x -+=（5）228x x --= （6）2922x x --=（7）2295x x +-= （8）2376x x --=（9）28103x x ++= （10）210275x x ++=二、例1．把下列各式分解因式：（1）232x x ++ （2）276x x -+ （3）2421x x -- （4）2215x x --练习：把下列各式分解因式：（1）298x x ++ （2）2712x x -+ （3）2421a a --+ （4）2328b b --四、例2．把下列各式分解因式：（1）4220x x -- （2）2278a x ax +- （3）22914a ab b -+ （4）32412a a a --+练习：把下列各式分解因式：（1）21118x x ++ （2）22526a a -+ （3）22730a ab b -- （4）2232x xy y -+（5）222256x y x y x -+ （2）278a a +- （3）()()220x y x y +++-你能用十字相乘法分解下列各式吗？（1）223x x -- （2）2257x x +- （3）2321a a -- （4）23145b b +-六、解下列方程（1）220x x --= （2）2560x x +-= （3）23440a a +-= （4）227150b b +-=七、1.用十字相乘法分解因式：(1)2x 2+3x+1； (2)2y 2+y －6； (3)6x 2－13x+6； (4)3a 2－7a －6；(5)6x 2－11xy+3y 2； (6)4m 2+8mn+3n 2； (7)10x 2－21xy+2y 2； (8)8m 2－22mn+15n 2.2．把下列各式分解因式：(1)4n 2+4n －15； (2)6a 2+a －35； (3)5x 2－8x －13； (4)4x 2+15x+9(5)15x 2+x －2； (6)6y 2+19y+10； (7)20－9y －20y 2； (8)7(x －1) 2+4(x －1)(y+2)－20(y+2) 2.例2 把下列各式分解因式（1）bc ac ab a -+-2 （2）bx by ay ax -+-5102 （3）n mn m m 552+--（4）bx ay by ax 3443+++ （5）22144a ab b --- （6）223443ax ay bx cy cx by +-++-例3 把下列各式分解因式（1）22421x xy y --；（2）()()267a b a b +-+-；（3）()()22524x x -+-+（4）()()()()22310a b a b a b a b -+-+-+；（5）()()2224221x y x y y y +-+- （6）222()14()24x x x x +-++【练习】A 组将下列各式分解因式1．221x x +-= 2．2352x x ++=3．232x x +-= 4．221315x x ++=5．2122512x x -+= 6．2310x x +-=7．ax ＋ay －bx －by = 8．x 2－xy －ax ＋ay =9．x 2＋6y －xy －6x = 10．a 2－b 2－a ＋b =11．4x 2－y 2＋2x ＋y = 12．a 2－2ab ＋b 2－c 2 =13．1－x 2－2xy －y 2= 14．x 2－9a 2＋12a －4=15．x 2y ＋3xy 2－x －3y= 16．na 2－2ba 2＋mn －2bm=17．x 3＋3x 2＋3x ＋9= 18．20ax 2＋5xy －8axy －2y 2=19．bx ＋ax ＋by ＋bz ＋ay ＋az= 20．2ax －3bx ＋x －2a ＋3b －1=B 组一、分解因式1．2249y x -3、2a 4－324、a 2(3a ＋1)－b 2(3a ＋1)5、x 2－8x ＋166、a 2b 2－10ab ＋257、－x 4＋2x 2y 2－y4 8、(2x 2＋1)2＋2(2x 2＋1)＋1二、分解因式1、9222+--a b ab 2．x 3＋3x 2－4x －12 3．x 2－b x －a 2＋a b4．m －m 3－mn 2＋2m 2n 5．9ax 2＋9bx 2－a －b 6．a 2－2a ＋4b －4b 2C 组三、分解因式1、(a 2＋b 2)2－4a 2b 22、a 4(x －y)＋b 4(y －x)3、(a 2＋1)2－4a(a 2＋1)＋4a 24.a 2＋2ab ＋b 2－ac －bc5.m 2＋2mn ＋n 2－p 2－2pq －q2 6.(x 2－3)2－4x 27. (x 2－3)2＋(x 2－3)－28.(x 2－2x)2－4(x 2－2x)－5 9.a 4－2a 2b 2－8b 4 10.x 4－6x 3＋9x 2－16四、分解因式（1）y y x x 2422+-- （2）222449c bc b a -+- （3）1724+-x x （4）422411y y x x +-（5）90)242)(32(22+-+-+x x x x （6）如果b a ,是整数，且12--x x 是123++bx ax 的因式，求b 的值.（7）设y kx xy x x 42323---+可分解为一次因式与二次因式之积，求k 的值.（8）已知62-+x x 是多项式162234-+++-+b a x ax x x 的因式，求a 、b 的值.。

专题04 十字相乘法和分组分解法5种压轴题型全攻略(原卷版)

专题04十字相乘法和分组分解法5种压轴题型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一十字相乘法的简单计算】..................................................................................................................1【考点二系数不为1的二次三项式的因式分解】.........................................................................................2【考点三分组分解法的简单计算】..................................................................................................................2【考点四添项减项在因式分解中的应用】......................................................................................................3【考点五十字相乘法和分组分解法的拓展提高】.........................................................................................3【过关检测】. (4)【典型例题】【考点一十字相乘法的简单计算】【例题1】若多项式212x ax -+可分解为()()3x x b -+，则a b +的值为（）A ．11-B ．3-C ．3D ．7【变式1】多项式2514x x +-可因式分解成()()x a bx c ++，其中a 、b 、c 均为整数，求2a c +的值为()A ．12-B ．3C ．3-或12D ．3或12【变式2】已知二次三项式215x kx --能分解成系数为整数的两个一次因式的积，则整数k 的取值有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【变式3】甲、乙两人在因式分解2x ax b ++时，甲看错了a 的值，分解的结果是()()62x x +-，乙看错了b 的值，分解的结果为()()84x x -+，那么b a -的值为（）A ．8-B ．6-C ．4-D ．2【考点二系数不唯一的二次三项式的因式分解】A ．25x y-B ．3x y-C ．3x y+D ．5x y-【变式3】若多项式251712x x +-可因式分解为()()x a bx c ++，其中a 、b 、c 均为整数，则a c -的值是（）A ．1B ．7C ．11D ．1【考点三分组分解法的简单计算】【例题3】将多项式()211a a --+因式分解，结果正确的是（）A ．1a -B ．()()12a a --C ．()21a -D ．()()11a a +-【变式1】把多项式22243x y x y ----因式分解之后，正确的是（）A ．(3)(3)x y x y +---B ．(1)(3)x y x y +--+C ．(3)(1)x y x y +--+D ．(1)(3)x y x y ++--【变式2】用分组分解法将222x xy y x --+分解因式，下列分组不恰当的是（）A ．()()222x x y xy --+B ．()()222x xy y x --+C ．()()222x y xy x ++--D ．()()222x x xy y ---【变式3】用分组分解2222a b c bc --+的因式，分组正确的是（）A ．()()222a b b bc ---B ．()2222a b c ab--+C ．()()2222a b c bc ---D ．()2222a b c bc -+-【考点五十字相乘法和分组分解法的拓展提高】【变式2】已知的值为【变式3】分解因式：()()222211224xxx x ---+．【过关检测】一．选择题1.若多项式235x mx +-分解因式为(7)(5)x x -+，则m 的值是（）A ．2B ．2-C ．12D ．12-2．多项式26x x +-可因式分解成()()x a x b ++，其中a ，b 均为整数，则()2023a b +的值为（）A ．1-B ．1C ．2023-D ．20233．因式分解2x ax b ++，甲看错了a 的值，分解的结果是()()62x x +-，乙看错了b 的值，分解的结果为()()84x x -+，那么2x ax b ++分解因式正确的结果为（）A ．()()34x x +-B ．()()43x x +-C ．()()62x x +-D ．()()26+-x x 4．不论x 为何值，等式()()213x px q x x +-++＝都成立，则代数式3p q -的值为（）A ．-9B ．-3C ．3D ．95．把2212a b ab ---分解因式，正确的分组为（）A ．()2212a b ab -++B ．()()2212a b ab ---C ．()()2212ab a b -+--D ．()2212a b ab---6．已知a +b ＝3，ab ＝1，则多项式a 2b +ab 2﹣a ﹣b 的值为()A ．0B ．1C ．2D ．3二.填空题三、解答题15．阅读下面的材料，解答提出的问题：已知：二次三项式24x x m -+有一个因式是()3x +，求另一个因式及m 的值．解：设另一个因式为()x n +，由题意，得()()243x x m x x n -+=++，()22433x x m x n x n -+=+++，所以343n m n +=-⎧⎨=⎩，解得217m n =-⎧⎨=-⎩．所以另一个因式为()7x -，m 的值为21-．提出问题：(1)已知二次三项式25x x p --有一个因式是()1x -，另一个因式是________；(2)已知二次三项式232x x k +-有一个因式是()5x -，求另一个因式及k 的值．20．分解因式：222332154810ac cx ax c +--．21．分解因式：()()2221ab x x a b +++．22．我们已经学过将一个多项式因式分解的方法有提公因式法和运用公式法，其实因式分解的方法还有分组分解法、拆项法等等．①分组分解法：例如：()()()222222225225()555x xy y x xy y x y x y x y -+-=-+-=--=---+．②拆项法：例如：()()()()()22222321412121213x x x x x x x x x +-=++-=+-=+-++=-+．(1)仿照以上方法，按照要求分解因式：①用分组分解法：22961x x y +-+；②用拆项法：268x x -+；(2)已知：a ，b ，c 为ABC 的三条边，22254610340a b c ab b c --++-=+，求ABC 的周长．。

专题4.3 因式分解-十字相乘与分组分解法(专项训练)(解析版)

专题4.3 因式分解-十字相乘与分组分解法（专项训练）1．（2022春•怀宁县期中）分解因式：①2a（a﹣2b）+4b（2b﹣a）；②x4﹣x3+x2﹣x．【解答】解：①2a（a﹣2b）+4b（2b﹣a）＝2a（a﹣2b）﹣4b（a﹣2b）＝2（a﹣2b）（a﹣2b）＝2（a﹣2b）2；②x4﹣x3+x2﹣x＝x4+x2﹣（x3+x）＝x2（x2+1）﹣x（x2+1）＝（x2+1）（x2﹣x）＝x（x﹣1）（x2+1）．2．（2022春•覃塘区期中）因式分解：（1）a2（a﹣b）+4（b﹣a）；（2）m2+n2﹣2mn﹣1．【解答】解：（1）a2（a﹣b）+4（b﹣a）＝a2（a﹣b）﹣4（a﹣b）＝（a﹣b）（a2﹣4）＝（a﹣b）（a+2）（a﹣2）；（2）m2+n2﹣2mn﹣1＝（m﹣n）2﹣1＝（m﹣n+1）（m﹣n﹣1）．3．（2022春•西湖区校级期中）因式分解（1）﹣2x3+16x2﹣24x；（2）a2﹣b2﹣x2+y2﹣2ay+2bx．【解答】解：（1）﹣2x3+16x2﹣24x＝﹣2x（x2﹣8x+12）＝﹣2x（x﹣2）（x﹣6）；（2）a2﹣b2﹣x2+y2﹣2ay+2bx＝（a2﹣2ay+y2）﹣（b2﹣2bx+x2）＝（a﹣y）2﹣（b﹣x）2＝（a﹣y+b﹣x）（a﹣y﹣b+x）．4．（2022秋•阳城县期末）（1）因式分解：3x﹣12x3．（2）因式分解：m2+9n2+6mn﹣25．【解答】解：（1）3x﹣12x3＝3x（1﹣4x2）＝3x[12﹣（2x）2]＝3x（1+2x）（1﹣2x）；（2）m2+9n2+6mn﹣25＝（m2+6mn+9n2）﹣25＝（m+3n）2﹣52＝（m+3n+5）（m+3n﹣5）．5．（2022秋•射洪市期末）分解因式：（1）25（m+n）2﹣9（m﹣n）2；（2）4a2﹣b2﹣4a+1．【解答】解：（1）25（m+n）2﹣9（m﹣n）2＝[5（m+n）]2﹣[3（m﹣n）]2＝[5（m+n）+3（m﹣n）][5（m+n）﹣3（m﹣n）]＝（5m+5n+3n﹣3n）（5m+5n﹣3m+3n）＝（8m+2n）（2m+8n）＝4（4m+n）（m+4n）；（2）4a2﹣b2﹣4a+1＝（4a2﹣4a+1）﹣b2＝（2a﹣1）2﹣b2＝（2a﹣1+b）（2a﹣1﹣b）．6．（2022秋•青浦区校级期末）因式分解：x2+4y﹣1﹣4y2．【解答】解：x2+4y﹣1﹣4y2．x2﹣（﹣4y+4y2+1）＝x2﹣（1﹣2y）2＝（x﹣2y+1）（x+2y﹣1）．7．（2022秋•武昌区校级期末）分解因式（1）a2﹣b2﹣2a+1；（2）a3b﹣ab．【解答】解：（1）a2﹣b2﹣2a+1＝a2﹣2a+1﹣b2＝（a﹣1）2﹣b2＝（a﹣1+b）（a﹣1﹣b）；（2）a3b﹣ab＝ab（a2﹣1）＝ab（a+1）（a﹣1）．8．（2022秋•嘉峪关期末）分解因式（1）x2﹣16；（2）a﹣a3；（3）4（2a+b）2﹣4（2a+b）+1；（4）y2+2y+1﹣x2．【解答】解：（1）x2﹣16＝x2﹣42＝（x+4）（x﹣4）；（2）a﹣a3＝a（1﹣a2）＝a（1+a）（1﹣a）；（3）4（2a+b）2﹣4（2a+b）+1＝[2（2a+b）﹣1]2＝（4a+2b﹣1）2；（4）y2+2y+1﹣x2＝（y2+2y+1）﹣x2＝（y+1）2﹣x2＝（y+1+x）（y+1﹣x）．9．（2022秋•九龙坡区校级期末）因式分解：（1）m（5﹣m）+2（m﹣5）；（2）x4﹣81x2y2；（3）4x2﹣2x﹣y2﹣y；（4）x2+y2﹣1﹣2xy；（5）m2﹣2mn+n2+6﹣5m+5n．【解答】解：（1）原式＝m（5﹣m）﹣2（5﹣m）＝（5﹣m）（m﹣2）；（2）原式＝x2（x2﹣81y2）＝x2（x+9y）（x﹣9y）；（3）原式＝（4x2﹣y2）﹣（2x+y）＝（2x+y）（2x﹣y）﹣（2x+y）＝（2x+y）（2x﹣y﹣1）；（4）原式＝（x2+y2﹣2xy）﹣1＝（x﹣y）2﹣12＝（x﹣y+1）（x﹣y﹣1）；（5）原式＝（m2﹣2mn+n2）﹣5（m﹣n）+6＝（m﹣n）2﹣5（m﹣n）+6＝（m﹣n﹣2）（m﹣n﹣3）．10．（2022秋•浦东新区校级期末）分解因式：（1）m2﹣n2+6n﹣9；（2）（x+2y）x2+6（x+2y）x﹣7x﹣14y．【解答】解：（1）原式＝m2﹣（n2﹣6n+9）＝m2﹣（n﹣3）2＝（m﹣n+3）（m+n﹣3）；（2）原式＝（x+2y）x2+6（x+2y）x﹣7（x+2y）＝（x+2y）（x2+6x﹣7）＝（x+2y）（x﹣1）（x+7）．11．（2022秋•灵宝市期末）已知ab＝﹣3，a+b＝2，则a2b+ab2的值是（）A．﹣6B．6C．﹣1D．1【答案】A【解答】解：∵ab＝﹣3，a+b＝2，∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝﹣3×2＝﹣6，故选：A．12．（2022秋•新洲区期末）已知x2+3x﹣12＝0，则代数式x3﹣21x+5的值是（）A．31B．﹣31C．41D．﹣41【答案】B【解答】解：∵x2+3x﹣12＝0，∴x2+3x＝12，∴x3+3x2＝12x即x3＝12x﹣3x2，∴x3﹣21x+5＝12x﹣3x2﹣21x+5＝﹣3（x2+3x）+5＝﹣3×12+5＝﹣31．故选：B．13．（2022秋•如东县期末）已知a+b＝1，ab＝﹣6，则a3b﹣2a2b2+ab3的值为（）A．57B．120C．﹣39D．﹣150【答案】D【解答】解：∵a+b＝1，ab＝﹣6，∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝1+24＝25∴a3b﹣2a2b2+ab3＝ab（a2﹣2ab+b2）＝ab（a﹣b）2＝﹣6×25＝﹣150，故选：D．14．（2022秋•南关区校级期末）若△ABC的三边a，b，c满足（a﹣b）（b2﹣2bc+c2）＝0，那么△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．锐角三角形【答案】A【解答】解：（a﹣b）（b2﹣2bc+c2）＝（a﹣b）（b﹣c）2＝0，∴a﹣b＝0或b﹣c＝0，∴a＝b或b＝c，∵a，b，c是△ABC的三边，∴△ABC是等腰三角形，故选：A．15．（2022秋•沙坪坝区校级期末）已知a+b＝﹣3，ab＝7，则多项式a2b+ab2﹣a ﹣b的值为（）A．24B．18C．﹣24D．﹣18【答案】D【解答】解：∵a+b＝﹣3，ab＝7，∴a2b+ab2﹣a﹣b＝（a2b+ab2）﹣（a+b）＝ab（a+b）﹣（a+b）＝（ab﹣1）（a+b）＝（7﹣1）×（﹣3）＝﹣18，故选：D．16．（2022秋•綦江区期末）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分别表示广、爱、我、饶、游、美．现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2分解因式，结果呈现的密码信息可能是（）A．我爱美B．广饶游C．爱我广饶D．美我广饶【答案】C【解答】解：原式＝（x2﹣y2）（a2﹣b2）＝（x﹣y）（x+y）（a﹣b）（a+b）且x﹣y，x+y，a﹣b，a+b四个代数式分别对应爱、我，广，饶，∴结果呈现的密码信息可能是“爱我广饶”．故选：C．17．（2022秋•鹤壁期末）将几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，例如，由图1可得等式：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．将图2所示的卡片若干张进行拼图，可以将二次三项式a2+3ab+2b2分解因式为（）A．（a+b）（2a+b）B．（a+b）（3a+b）C．（a+b）（a+2b）D．（a+b）（a+3b）【答案】C【解答】解：a2+3ab+2b2＝（a+b）（a+2b），故选：C．18．（2022秋•泗水县期末）若x+y＝3，xy＝5，则x2y+xy2的值为．【答案】15【解答】解：∵x+y＝3，xy＝5，∴x2y+xy2＝xy（x+y）＝3×5＝15．故答案为：15．19．（2022秋•朔城区期末）已知x﹣y＝5，xy＝﹣3，则代数式x2y﹣xy2的值为．【答案】﹣15【解答】解：∵x﹣y＝5，xy＝﹣3，∴x2y﹣xy2＝xy（x﹣y）＝﹣3×5＝﹣15．故答案为：﹣15．20．（2022秋•雨花区期末）如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且m＞n（以上长度单位：cm）．观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为．【答案】（2m+n）（m+2n）【解答】解：由图形可知，2m2+5mn+2n2表示所有部分面积之和，整体来看面积为：（2m+n）（m+2n），∴2m2+5mn+2n2＝（2m+n）（m+2n）．故答案为：（2m+n）（m+2n）．21．（2022秋•金乡县期末）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如x2﹣4y2﹣2x+4y，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）；这种分解因式的方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题：（1）分解因式：9x2﹣6xy+y2﹣16；（2）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．【解答】解：（1）9x2﹣6xy+y2﹣16＝（3x﹣y）2﹣42＝（3x﹣y+4）（3x﹣y﹣4）；（2）∵a2﹣ab﹣ac+bc＝0，∴a（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，∴（a﹣b）（a﹣c）＝0，∴a＝b或a＝c，∴△ABC的形状是等腰三角形．22．（2022秋•前郭县期末）下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程解：设x2﹣4x＝y原式＝（y+2）（y+6）+4 （第一步）＝y2+8y+16 （第二步）＝（y+4）2（第三步）＝（x2﹣4x+4）2（第四步）（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的．A．提取公因式B．平方差公式C．两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式（2）该同学在第四步将y用所设中的x的代数式代换，这个结果是否分解到最后？．（填“是”或“否”）如果否，直接写出最后的结果．（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．【解答】解：（1）第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式．故选：C；（2）否，最终结果为（x﹣2）4．故答案为：否，（x﹣2）4；（3）设x2﹣2x＝y，则原式＝y（y+2）+1＝y2+2y+1＝（y+1）2＝（x2﹣2x+1）2＝（x﹣1）4．23．（2022秋•平城区校级期末）如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪，制作成一个无盖的长方体盒子，其中四个小正方形的边长是n，中间长方形的长是3m，宽是m，且m＞n．（1）观察图形，通过计算长方形纸板的面积可以发现代数式3m2+8mn+4n2可以因式分解，请直接写出因式分解的结果：3m2+8mn+4n2＝；（2）若折成的无盖长方体的四个侧面的面积和是16，图中所有裁剪线（虚线部分）长之和是40，试求m2+n2和（m﹣n）2的值．【解答】解：（1）观察图形，发现代数式：3m2+8mn+4n2＝（3m+2n）（m+2n）；故答案为：（3m+2n）（m+2n）；（2）∵无盖长方体的四个侧面的面积和是16，∴2（3mn+mn）＝16，即mn＝2，∵图中所有裁剪线（虚线部分）长之和是40，∴2（m+2n）+2（3m+2n）＝8m+8n＝8（m+n）＝40，即m+n＝5，∵（m+n）2＝m2+2mn+n2，∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝52﹣2×2＝21，（m﹣n）2＝m2+n2﹣2mn＝21﹣2×2＝17．24．（2022秋•怀仁市校级期末）有足够多的长方形和正方形卡片（如图1），分别记为1号，2号，3号卡片．（1）如果选取4张3号卡片，拼成如图2所示的一个正方形，请用2种不同的方法表示阴影部分的面积（用含m，n的式子表示）．①方法1：；方法2：；②请写出（m+n）2，（m﹣n）2，4mn三个代数式之间的等量关系：．（2）若|a+b﹣6|+|ab﹣4|＝0，求（a﹣b）2的值．（3）如图3，选取1张1号卡片，2张2号卡片，3张3号卡片，可拼成一个长方形（无缝隙不重叠），请画出该长方形，根据图形的面积关系，分解因式：m2+3mn+2n2＝．【解答】解：（1）①方法1：图2中阴影部分是边长为（m﹣n），因此面积为（m﹣n）2，方法2：图2阴影部分也可以看作从边长为（m+n）的正方形减去4个长为m．宽为n的长方形面积，因此有（m+n）2﹣4mn，故答案为：（m﹣n）2；（m+n）2﹣4mn；②由①得（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn，故答案为：（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；（2）∵|a+b﹣6|+|ab﹣4|＝0，|a+b﹣6|≥0，|ab﹣4|≥0，∵a+b﹣6＝0，ab﹣4＝0，即a+b＝6，ab＝4，∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝36﹣16＝20．故答案为：20；（3）1张1号，2张2号，3张3号卡片的总面积为m2+2n2+3mn，而1张1号，2张2号，3张3号卡片可以拼成长为（m+2n），宽为（m+n）的长方形，所以有m2+2n2+3mn＝（m+2n）（m+n）．故答案为：m2+2n2+3mn＝（m+2n）（m+n）．25．（2022秋•张店区校级期末）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，请解答下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式；（2）若a+b+c＝7，a2+b2+c2＝23，利用（1）中的结论，则ab+ac+bc ＝．（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（a+2b）（2a+b）长方形，求x+y+z的值．【解答】解：（1）根据大正方形的面积（a+b+c）2等于各小图形面积的和，所以（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．（2）因为（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，a+b+c＝7，a2+b2+c2＝23，所以49＝23+2ab+2ac+2bc，所以ab+ac+bc＝13，故答案为：13．（3）根据题意，得x张边长为a的正方形的面积为xa2，y张边长为b的正方形的面积为yb2，z张边长分别为a、b的长方形的面积为zab，因为（a+2b）（2a+b）＝xa2+yb2+zab＝2a2+2b2+5ab，所以x＝2，y＝2，z＝5，26．（2022秋•辛集市期末）小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张．（1）他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②）．根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是　；（2）如果要拼成一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要2号卡片　张，3号卡片张；（3）当他拼成如图③所示的长方形，根据6张小纸片的面积和等于大长方形的面积可以把多项式a2+3ab+2b2分解因式，其结果是；（4）小刚又选取了2张1号卡片，3张2号卡片和7张3号卡片拼成了一个长方形，则此长方形的周长为　．【解答】解：（1）这个乘法公式是（a+b）2＝a2+2ab+b2，故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）由如图③可得要拼成一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要2号卡片2张，3号卡片3张，故答案为：2，3；（3）由图③可知矩形面积为（a+2b）•（a+b），所以a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b），故答案为：（a+2b）（a+b）；（4）长方形的面积为2a2+3b2+7ab＝（2a+b）（a+3b），∴周长为：2[（2a+b）+（a+3b）]＝6a+8b，故答案为：6a+8b．27．（2022春•田东县期中）先分解因式，再求值（m2+n2）2﹣4m2n2，其中m+n＝4，m﹣n＝7．【解答】解：∵m+n＝4，m﹣n＝7，∴（m2+n2）2﹣4m2n2＝m4+2m2n2+n4﹣4m2n2＝m4﹣2m2n2+n4＝（m2﹣n2）2＝（m+n）2（m﹣n）2＝42×72＝784．28．（2022春•福鼎市期中）如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且m＞n，（以上长度单位：cm）（1）观察图形，发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解，请写出因式分解的结果：（2）若每块小长方形的面积为12cm2，四个正方形的面积和为80cm2，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和．【解答】解：（1）由图形可知，2m2+5mn+2n2＝（2m+n）（m+2n）；（2）依题意得，2m2+2n2＝80，mn＝12，∴m2+n2＝40，∴（m+n）2＝m2+n2+2mn＝40+24＝64，∴m+n＝8，∴图中所有裁剪线段之和为8×6＝48（cm）．29．（2022春•顺德区期中）已知，先因式分解，再求值：a3b+2a2b2+ab3．【解答】解：∵，∴a3b+2a2b2+ab3＝ab（a2+2ab+b2）＝ab（a+b）2＝＝﹣．30．（2022秋•淮北月考）如图，有足够多的边长为a的小正方形（A类），宽为a、长为b的长方形（B类）以及边长为b的大正方形（C类），发现利用图1中的三类图形可以拼出一些长方形来解释某些等式．尝试解决：（1）用图1中的若干个图形（三类图形都要用到）拼成一个正方形，使其面积为（a+b）2，画出图形，并根据图形回答（a+b）2＝．（2）图2是由图1中的三类图形拼出的一个长方形，根据图2可以得到并解释等式：．（3）用图1中的若干个图形（三类图形都要用到）拼成一个长方形，使其面积为a2+4ab+3b2，写出你的拼法，并根据你画的图形分解因式：a2+4ab+3b2．【解答】解：（1）如图1所示：（a+b）（a+b）＝（a+b）2＝a2+2ab+b2，即（a+b）2＝a2+2ab+b2．故答案为：a2+2ab+b2．（2）解：由图可知，长方形的面积为（a+2b）（2a+b），还可以写成2a2+5ab+2b2，∴（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2．故答案为：（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2．（3）解：如图2所示，长方形的长a+3b，宽为a+b，面积为（a+3b）（a+b）＝a2+4ab+3b2，即a2+4ab+3b2＝（a+3b）（a+b）．31．（2021秋•略阳县期末）已知x+y＝3，xy＝2，求2x3y+4x2y2+2xy3的值．【解答】解：∵x+y＝4，xy＝2，∴2x3y+4x2y2+2xy3，＝2xy（x2+2xy+y2），＝2xy（x+y）2，＝2×2×32，＝36．32．（2022秋•鼓楼区校级期中）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，请解答下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式；（2）若a+b+c＝8，a2+b2+c2＝14，利用（1）中的结论，则ab+ac+bc ＝．（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（a+2b）（2a+b）长方形，求x+y+z的值．【解答】解：（1）根据大正方形的面积（a+b+c）2等于各小图形面积的和，所以（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．（2）因为（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，a+b+c＝8，a2+b2+c2＝14，所以64＝14+2ab+2ac+2bc，所以ab+ac+bc＝25，故答案为：25．（3）根据题意，得x张边长为a的正方形的面积为xa2，y张边长为b的正方形的面积为yb2，z张边长分别为a、b的长方形的面积为zab，因为（a+2b）（2a+b）＝xa2+yb2+zab＝2a2+2b2+5ab，所以x＝2，y＝2，z＝5，所以x+y+z＝2+2+5＝9．。

十字相乘法_典型例题

十字相乘法典型例题例1 把下列各式分解因式：(1)1522--x x ； (2)2265y xy x +-．例2 把下列各式分解因式：(1)3522--x x ； (2)3832-+x x ．例3 把下列各式分解因式：(1)91024+-x x ；(2))(2)(5)(723y x y x y x +-+-+；(3)120)8(22)8(222++++a a a a ．例4 分解因式：90)242)(32(22+-+-+x x x x ．例5 分解因式653856234++-+x x x x ．例6 分解因式655222-+-+-y x y xy x ．例7 分解因式：ca (c －a )＋bc (b －c )＋ab (a －b )．例8、已知12624+++x x x 有一个因式是42++ax x ，求a 值和这个多项式的其他因式．(1)22157x x ++ (2) 2384a a -+ (3) 2576x x +- (4)261110y y --(5) 2252310a b ab +- (6) 222231710a b abxy x y -+ (7)22712x xy y -+(8) 42718x x +- (9) 22483m mn n ++ (10)53251520x x y xy --一、选择题1．如果))((2b x a x q px x ++=+-，那么p 等于 ( )A ．abB ．a ＋bC ．－abD ．－(a ＋b )2．如果305)(22--=+++⋅x x b x b a x ，则b 为 ( )A ．5B ．－6C ．－5D ．63．多项式a x x +-32可分解为(x －5)(x －b )，则a ，b 的值分别为 ( ) A ．10和－2 B ．－10和2 C ．10和2 D ．－10和－24．不能用十字相乘法分解的是 ( )A ．22-+x x B ．x x x 310322+-C ．242++x xD ．22865y xy x --5．分解结果等于(x ＋y －4)(2x ＋2y －5)的多项式是 ( )A ．20)(13)(22++-+y x y x B ．20)(13)22(2++-+y x y x C ．20)(13)(22++++y x y x D ．20)(9)(22++-+y x y x 6．将下述多项式分解后，有相同因式x －1的多项式有 ( )①672+-x x ； ②1232-+x x ； ③652-+x x ； ④9542--x x ； ⑤823152+-x x ； ⑥121124-+x x A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个二、填空题7．=-+1032x x __________．8．=--652m m (m ＋a )(m ＋b )． a ＝__________，b ＝__________． 9．=--3522x x (x －3)(__________)．10．+2x ____=-22y (x －y )(__________)．11．22____)(____(_____)+=++a mna ． 12．当k ＝______时，多项式k x x -+732有一个因式为(__________)． 13．若x －y ＝6，3617=xy ，则代数式32232xy y x y x +-的值为__________．三、解答题14．把下列各式分解因式：(1)6724+-x x ； (2)36524--x x ；(3)422416654y y x x +-；(4)633687b b a a --； (5)234456a a a --；(6)422469374b a b a a +-．15．把下列各式分解因式：(1)2224)3(x x --；(2)9)2(22--x x ；(3)2222)332()123(++-++x x x x ；(4)60)(17)(222++-+x x x x ；(5)8)2(7)2(222-+-+x x x x ；(6)48)2(14)2(2++-+b a b a ．16．已知x ＋y ＝2，xy ＝a ＋4，2633=+y x ，求a 的值．。

字相乘法典型例题

十字相乘法典型例题(总4页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--十字相乘法典型例题例1 把下列各式分解因式：(1)1522--x x ； (2)2265y xy x +-．例2 把下列各式分解因式：(1)3522--x x ； (2)3832-+x x ．例3 把下列各式分解因式：(1)91024+-x x ； (2))(2)(5)(723y x y x y x +-+-+；(3)120)8(22)8(222++++a a a a ．例4 分解因式：90)242)(32(22+-+-+x x x x ．例5 分解因式653856234++-+x x x x ．例6 分解因式655222-+-+-y x y xy x ．例7 分解因式：ca (c －a )＋bc (b －c )＋ab (a －b )．例8、已知12624+++x x x 有一个因式是42++ax x ，求a 值和这个多项式的其他因式．把下列各式分解因式：(1)22157x x ++ (2) 2384a a -+ (3) 2576x x +- (4) 261110y y --(5) 2252310a b ab +- (6) 222231710a b abxy x y -+ (7) 22712x xy y -+(8) 42718x x +- (9) 22483m mn n ++ (10) 53251520x x y xy --一、选择题1．如果))((2b x a x q px x ++=+-，那么p 等于 ( )A ．abB ．a ＋bC ．－abD ．－(a ＋b )2．如果305)(22--=+++⋅x x b x b a x ，则b 为 ( ) A ．5 B ．－6 C ．－5 D ．63．多项式a x x +-32可分解为(x －5)(x －b )，则a ，b 的值分别为 ( )A ．10和－2B ．－10和2C ．10和2D ．－10和－24．不能用十字相乘法分解的是 ( )A ．22-+x xB ．x x x 310322+-C ．242++x xD ．22865y xy x --5．分解结果等于(x ＋y －4)(2x ＋2y －5)的多项式是 ( )A ．20)(13)(22++-+y x y xB ．20)(13)22(2++-+y x y xC ．20)(13)(22++++y x y xD ．20)(9)(22++-+y x y x6．将下述多项式分解后，有相同因式x －1的多项式有 ( )①672+-x x ； ②1232-+x x ； ③652-+x x ；④9542--x x ； ⑤823152+-x x ； ⑥121124-+x xA ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二、填空题7．=-+1032x x __________．8．=--652m m (m ＋a )(m ＋b )． a ＝__________，b ＝__________．9．=--3522x x (x －3)(__________)．10．+2x ____=-22y (x －y )(__________)．11．22____)(____(_____)+=++a m na ．12．当k ＝______时，多项式k x x -+732有一个因式为(__________)．13．若x －y ＝6，3617=xy ，则代数式32232xy y x y x +-的值为__________．三、解答题14．把下列各式分解因式：(1)6724+-x x ； (2)36524--x x ； (3)422416654y y x x +-；(4)633687b b a a --； (5)234456a a a --； (6)422469374b a b a a +-．15．把下列各式分解因式：(1)2224)3(x x --； (2)9)2(22--x x ；(3)2222)332()123(++-++x x x x ；(4)60)(17)(222++-+x x x x ；(5)8)2(7)2(222-+-+x x x x ；(6)48)2(14)2(2++-+b a b a ．16．已知x ＋y ＝2，xy ＝a ＋4，2633=+y x ，求a 的值．。

十字相乘法和分组分解法5种压轴题型全攻略—2023-2024学年七年级数学上册(沪教版)(解析版)

十字相乘法和分组分解法5种压轴题型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一十字相乘法的简单计算】 (1)【考点二系数不为1的二次三项式的因式分解】 (2)【考点三分组分解法的简单计算】 (2)【考点四添项减项在因式分解中的应用】 (3)【考点五十字相乘法和分组分解法的拓展提高】 (3)【过关检测】 (4)【典型例题】【考点一十字相乘法的简单计算】【例题1】若多项式212x ax −+可分解为()()3x x b −+，则a b +的值为（）【答案】C 【分析】根据十字相乘法的分解方法和特点可知：3123a b b −=−+=−，．【详解】解：多项式212x ax −+可分解为()()3x x b −+， 3123a b b ∴−=−+=−：，．47b a ∴=−=，．473a b ∴+=−+=．故选：C ．【点睛】本题主要考查十字相乘法分解因式，对常数项的不同分解是解本题的关键.【变式1】多项式2514x x +−可因式分解成()()x a bx c ++，其中a 、b 、c 均为整数，求2a c +的值为( )A ．12−B ．3C ．3−或12D ．3或12【答案】D【分析】根据题意将多项式因式分解，即可得出,,a b c 的值，进而即可求解．【详解】解：∵()()2514()()27=x x x x x a bx c +−=−+++∴2,,7a b c =−=1=或7,1,2a b c ===−∴221412a c +=−+=或2743a c +=−=，故选：D ．【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．【变式2】已知二次三项式215x kx −−能分解成系数为整数的两个一次因式的积，则整数k 的取值有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【分析】把常数项15−分为两个整数相乘，其和即为k −的值，即可确定出整数k 的个数．【详解】解：根据题意得：()()151151153535−=−⨯=⨯−=−⨯=⨯−，可得14k −=，14−，2，2−，解得：14=−k ，14，2−，2，共4个，故选：D ．【点睛】此题考查了因式分解中的十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键．A ．8−B ．6−C ．4−D ．2【答案】A【分析】根据甲分解的结果求出b ，根据乙分解的结果求出a ，然后代入b a −求解即可．【详解】解：∵()()226412x x x x =+−−+， ∴12b =−，又∵()()284432x x x x −+=−−，∴4a =−，∴()1248b a −=−−−=−，故选：A ．【点睛】本题考查十字相乘法分解因式，理解因式分解的定义是正确解答的前提．【考点二系数不唯一的二次三项式的因式分解】【例题2】将2352x x −+在实数范围内因式分解，正确的结果是（）【答案】D【分析】根据十字相乘法分解因式，即可得到答案．【详解】解：2352x x −+∴()()2352132x x x x −+=−−，故选：D ．【点睛】本题考查十字相乘法因式分解，熟记十字相乘法因式分解是解决问题的关键．A ．12−B ．3−C ．3D ．12【答案】A【分析】首先利用十字相乘法将239514x x +−因式分解，继而求得a ，c 的值，代入a+2c 即可得到结果．【详解】解：利用十字相乘法，把239514x x +−多项式因式分解，可得，239514(32)(137)x x x x +−=+− ∵多项式239514x x +−可因式分解成（3x+a ）（bx+c ） ∴ 2a =，13b =，7c =−∴222(7)12a c +=+⨯−=−故选：A ．【点睛】本题考查十字相乘法因式分解的知识，利用十字相乘法对2ax bx c ++（a≠0）型的式子因式分解是把二次项系数a 分解成两个因数a1，a2的积a1⋅a2，把常数项c 分解成两个因数c1，c2的积c1⋅c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项系数b ，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)．解答本题的关键是明确题意，会用十字相乘法分解因式．【变式2】多项式22215x xy y −−的一个因式为（）A ．25x y −B ．3x y −C ．3x y +D ．5x y − 【答案】B【分析】先利用十字相乘法对原多项式进行因式分解，即可得到多项式的因式，由此进行判断即可．【详解】解：∵()()22215253x xy y x y x y −−=+−，∴多项式22215x xy y −−的一个因式为3x y −，故选B ．【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键在于能够熟练掌握十字相乘法．【变式3】若多项式251712x x +−可因式分解为()()x a bx c ++，其中a 、b 、c 均为整数，则a c −的值是（） A ．1 B ．7 C ．11 D ．1【答案】B【分析】将多项式5x2+17x -12a 、b 、c 的值即可．【详解】解：因为5x2+17x -12=（x+4）（5x -3）=（x+a ）（bx+c ），所以a=4，b=5，c=-3，所以a -c=4-（-3）=7，故选：B ．【点睛】本题考查十字相乘法分解因式，掌握十字相乘法是正确分解因式的前提，确定a 、b 、c 的值是得出正确答案的关键．【考点三分组分解法的简单计算】【例题3】将多项式()211a a −−+因式分解，结果正确的是（）A ．1a −B ．()()12a a −−C ．()21a − D ．()()11a a +−【答案】B【分析】先运用完全平方公式展开，然后再合并，最后运用十字相乘法因式分解即可．【详解】解：()211a a −−+=2211a a a −+−+ =232a a −+=()()12a a −−．故选B ．【点睛】本题主要考查了运用完全平方公式计算、十字相乘法因式分解等知识点，掌握运用十字相乘法进行因式分解是解答本题的关键．【变式1】把多项式22243x y x y −−−−因式分解之后，正确的是（）A ．(3)(3)x y x y +−−−B ．(1)(3)x y x y +−−+C ．(3)(1)x y x y +−−+D ．(1)(3)x y x y ++−−【答案】D【分析】根据分组分解法及平方差公式，即可判定．【详解】解：22243x y x y −−−−()()222144x x y y =+−+−+()()2212x y =−−+()()1212x y x y =−++−−− (1)(3)x y x y =++−−故选：D ．【点睛】本题考查了分解因式的方法，熟练掌握和运用分解因式的方法是解决本题的关键．【变式2】用分组分解法将222x xy y x −−+分解因式，下列分组不恰当的是（）A ．()()222x x y xy −−+B ．()()222x xy y x −−+C ．()()222x y xy x ++−−D ．()()222x x xy y −−−【答案】C【分析】利用分组分解法，结合提公因式法，对选项一一进行分析，即可得出答案．【详解】解：A ．222x xy y x −−+()()222x x y xy =−−+()()22x x y x =−−− ()()2x x y =−−，故选项A 分组正确，不符合题意；B ．222x xy y x −−+()()222x xy y x =−−+ ()()222x xy x y =−−−()()2x x y x y =−−− ()()2x y x =−−，故选项B 分组正确，不符合题意；C ．222x xy y x −−+()()222x y xy x =++−−无法进行分组分解，故选项C 分组错误，符合题意；D ．222x xy y x −−+()()222x x xy y =−−−()()22x x y x =−−− ()()2x x y =−−，故选项D 分组正确，不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了分组分解法、提公因式法分解因式，解本题的关键在熟练掌握相关的分解因式的方法．【变式3】用分组分解2222a b c bc −−+的因式，分组正确的是（） A ．()()222a b b bc −−−B ．()2222a b c ab −−+ C ．()()2222a b c bc −−− D ．()2222a b c bc −+− 【答案】D【分析】把二、三、四项作为一组，第一项作为一组，然后根据完全平方公式和平方差公式分解即可．【详解】解：2222a b c bc −−+()2222a b c bc =−+−()22a b c =−−()()a b c a b c =+−−+．故选：D ．【点睛】本题考查了分组分解法分解因式，正确分组是解答本题的关键．【考点四添项减项在因式分解中的应用】【答案】()21(2)x x −+【分析】先把23x 分为22x 与2x ，分组分解，然后提公因式后利用十字相乘法分解．【详解】解：原式32224x x x =++− ()()()2222x x x x =+++−()()222x x x =++−()()()221x x x =++− ()()212x x =−+．故答案为：()21(2)x x −+．【点睛】本题考查了因式分解—十字相乘法等：根据题目特点灵活运用因式分解的方法，解决此题的关键是把23x 分为22x 与2x ，再利用分组分解法分解．【答案】()()222222x x x x +++−【分析】根据添项结合分组分解可进行求解．【详解】解：原式=422444x x x ++−=()22224x x +−=()()222222x x x x +++−；故答案为()()222222x x x x +++−．【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．【答案】22(1)x x ++【分析】先分组，然后根据提公因式法因式分解即可求解．【详解】4322321x x x x ++++4323221x x x x x x x x =++++++++2222=(1)(1)(1)x x x x x x x x ++++++++22=(1)(1)x x x x ++++22=(1)x x ++．故答案为：22(1)x x ++．【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键.【考点五十字相乘法和分组分解法的拓展提高】【答案】()()22x y x y −+−【详解】解：原式()()22224x xy y x y =−−+−+， ()()22(2)x y x y x y =−+−−， ()()22x y x y =−+−．故答案为：()()22x y x y −+−．【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键．【答案】()()()281026x x x x ++++【分析】先进行分组，再计算多项式乘以多项式，然后再利用十字相乘法可进行求解．【详解】解：()()()()135715x x x x +++++()()()()173515x x x x =+++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()228781515x x x x =+++++()()2228228120x x x x =++++()()22810812x x x x =++++ ()()()281026x x x x =++++；故答案为()()()281026x x x x ++++．【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键．【变式2】已知210x x +−=，那么432222023x x x x +−−+的值为【答案】2022【分析】利用因式分解法将原式进行分解，再整体代入即可求解．【详解】∵210x x +−=，∴21x x +=432222023x x x x +−−+43322222023x x x x x x =+++−−+()()()222222023x x x x x x x x =++++−+222023x x =+−+122023=−+2022=故答案为：2022．【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握其运算法则是解题的关键．【变式3】分解因式：()()222211224x x x x −−−+．【答案】()()()()3142x x x x −+−+【分析】先把22x x −看做一个整体对原式利用十字相乘法分解因式得到()()222328x x x x −−−−，据此再利用十字相乘法分解因式即可．【详解】解：()()222211224x x x x −−−+()()222328x x x x ⎡⎤⎡⎤=−−−−⎣⎦⎣⎦()()222328x x x x =−−−−()()()()3142x x x x =−+−+．【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知十字相乘法分解因式是解题的关键．【过关检测】一．选择题1.若多项式235x mx +−分解因式为(7)(5)x x −+，则m 的值是（）A ．2B ．2−C ．12D ．12−【答案】B【分析】利用十字相乘法很容易确定m 的值．【详解】解：多项式235x mx +−分解因式为(7)(5)x x −+，即235(7)(5)x mx x x +−=−+，2235235x mx x x ∴+−=−−，系数对应相等，2m ∴=−，故选：B ．【点睛】本题考查了因式分解的十字相乘法，解题的关键是掌握十字相乘法．2．多项式26x x +−可因式分解成()()x a x b ++，其中a ，b 均为整数，则()2023a b +的值为（） A ．1− B ．1 C ．2023− D ．2023【答案】B【分析】先分解因式，求出a 、b 的值，再结合有理数的乘方进行计算，即可得到答案．【详解】解：()()2632x x x x +−=+−，又多项式26x x +−可因式分解成()()x a x b ++，3a ∴=，2b =−或2a =−，3b =，()()2023202320233211a b =−=+∴=，故选：B ．【点睛】本题考查了因式分解、有理数的乘方，熟练掌握十字相乘法分解因式是解题关键． 3．因式分解2x ax b ++，甲看错了a 的值，分解的结果是()()62x x +−，乙看错了b 的值，分解的结果为()()84x x −+，那么2x ax b ++分解因式正确的结果为（） A ．()()34x x +−B ．()()43x x +−C ．()()62x x +−D ．()()26+−x x 【答案】C【分析】根据甲看错了a 的值可以知道，甲的分解结果中b 的值是正确的，根据乙看错了b 的值可以知道，乙的分解结果中a 的值是正确的，据此即可得到a 、b 的值，进而得到答案．【详解】解：∵甲看错了a 的值，∴()()2262412x ax b x x x x ++=−+=−−，∴12b =−；∵乙看错了b 的值，∴()()2284432x ax b x x x x ++=+−=+−，∴4a =，∴2x ax b ++分解因式正确的结果为：()()241262x x x x +−=+−，故选：C ．【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是正确理解因式分解的定义．4．不论x 为何值，等式()()213x px q x x +−++＝都成立，则代数式3p q −的值为（）A ．-9B ．-3C ．3D ．9【答案】D【分析】已知等式右边利用多项式乘多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出p 与q 的值，即可求出答案．【详解】解：由题意可得()()13x x －＋，=223x x +−， ∴p=2，q=-3，则3p q −=9．故选D ．【点睛】本题考查了因式分解法-十字相乘法，解决本题的关键是熟练的掌握十字相乘法．5．把2212a b ab −−−分解因式，正确的分组为（） A ．()2212a b ab −++ B ．()()2212a b ab −−− C ．()()2212ab a b −+−− D ．()2212a b ab −−− 【答案】A【分析】把后三项为一组，利用完全平方公式计算，再利用平方差公式继续分解因式即可．【详解】解：2212a b ab −−−()2212a b ab=−++()21a b =−+()()11a b a b =++−−．故选：A ．【点睛】本题考查用分组分解法进行因式分解．难点是采用两两分组还是一三分组．本题中后三项正好符合完全平方公式，应考虑后三项为一组．6．已知a +b ＝3，ab ＝1，则多项式a 2b +ab 2﹣a ﹣b 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】A【分析】根据分解因式的分组分解因式后整体代入即可求解．【详解】解：a2b+ab2-a -b=（a2b -a ）+（ab2-b ）=a （ab -1）+b （ab -1）=（ab -1）（a+b ）将a+b=3，ab=1代入，得：原式=0．故选：A ．【点睛】本题考查了因式分解的应用，解决本题关键是掌握分组分解因式的方法．二. 填空题【答案】()()36x y x y −−+【分析】利用十字相乘因式分解即可．【详解】解：原式()22318x xy y =−+− ()()36x y x y =−−+．故答案为：()()36x y x y −−+．【点睛】本题考查因式分解，熟练运用十字相乘法是解题的关键．【答案】22(1)(1)(3)(39)x x x x x x −++−++【详解】解：原式()2332827x x =−+， ()()33127x x =−−，()()()()2211339x x x x x x =−++−++．故答案为：()()()()2211339x x x x x x −++−++．【点睛】本题考查因式分解，解题关键是熟练掌握十字相乘与立方差公式．【答案】()()231a a −+【分析】先提取公因式，再根据十字相乘法进行因式分解即可．【详解】解：2246a a −−()2223a a =−−()()231a a =−+；故答案为：()()231a a −+；【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式：对于形如2x px q ++的二次三项式，若能找到两数a 、b ，使a b q⋅=且a b p +=，那么()()()22x px q x a b x a b x a x b ++=+++⋅=++．【答案】()()241x x −+【分析】原式先提取公因数2，再利用十字相乘法求出解即可．【详解】解：原式()2234x x =−−()()241x x =−+，故答案为：()()241x x −+．【点睛】本题考查了因式分解—十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解题的关键．【答案】()()352x y x y +−【分析】利用十字相乘法分解因式即可．【详解】解：22675x xy y +−()()352x y x y =+−．故答案为：()()352x y x y +−【点睛】本题考查了因式分解，解本题的关键在熟练掌握十字相乘法分解因式．【答案】1【分析】首先利用十字相乘法将2376x x +−因式分解，即可得到a b c 、、的值，从而得到答案．【详解】解：利用十字相乘法将2376x x +−因式分解，得()()2376323x x x x +−=−+，332a b c ∴===−，，，()321a c ∴+=+−=，故答案为：1．【点睛】本题考查十字相乘法分解因式，掌握十字相乘法是正确分解因式的前提，确定a b c 、、的值是得出正确答案的关键．【答案】()()a b a b x +−+【分析】先分组得到()()22a b ax bx −++，再把每组分解，然后提公因式即可．【详解】原式()()()()()()()22a b ax bx a b a b x a b a b a b x =−++=+−++=+−+ 故答案为()()a b a b x +−+【点睛】本题考查了分组分解法：一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式二是分组后能应用公式．【答案】()()212212m n m n −+−−【分析】将多项式第一、二、四项结合，利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解即可．【详解】解：224441m m n −−+()224414m m n =−+−()()22212m n =−−()()212212m n m n =−+−−．故答案为：()()212212m n m n −+−−．【点睛】本题考查因式分解—分组分解法，难点是采用两两分组还是三一分组．正确分组和公式的灵活运用是解题的关键．【答案】2022【分析】利用因式分解法将原式进行分解，再整体代入即可求解．【详解】∵210x x +−=，∴432222023x x x x+−−+43322222023x x x x x x=+++−−+()()()222222023x x x x x x x x=++++−+222023x x=+−+122023=−+2022=故答案为：2022．【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握其运算法则是解题的关键．三、解答题【答案】(1)()4 x−(2)另一个因式为()317x+，k的值为85【分析】（1）设另一个因式为()x n+，由题意得()()()22511x x p x x n x n x n−−=−+=+−−，从而得到n p ⎨=⎩，进行计算即可得到答案；（2）设另一个因式为()3x m +，由题意得：()()()2232533155x x k x x m x m x m +−=−+=+−− ，从而得到1525m m k −=⎧⎨=⎩，进行计算即可得到答案．【详解】（1）解：设另一个因式为()x n +，由题意得：()()251x x p x x n −−=−+，则()()()222511x x p x x n x nx x n x n x n−−=−+=+−−=+−−， 15n n p −=−⎧∴⎨=⎩，解得：44n p =−⎧⎨=−⎩，∴另一个因式为()4x −，故答案为：()4x −；（2）解：设另一个因式为()3x m +，由题意得：()()23253x x k x x m +−=−+，则()()()222325331553155x x k x x m mx x m x m x m+−=−+=−−=+−−， 1525m m k −=⎧∴⎨=⎩，解得：1785m k =⎧⎨=⎩，∴另一个因式为()317x +，k 的值为85．【点睛】本题主要考查了因式分解—十字相乘法，解二元一次方程组，正确设出另一个因式是解题的关键．得到()()2812 62x x x x −+=−−，这就是十字相乘法．利用上述方法解决下列问题：(1)分解因式：2412x x +−；(2)先分解因式，再求值：()()2222223a a a a +−+−，其中2a =．【答案】(1)()()62x x +− (2)()2(311)()a a a +−+，45【分析】（1）根据十字相乘法进行因式分解即可；（2）先运用式子相乘法进行因式分解，再代入求解．【详解】（1）解：()()241226x x x x =+−+−；（2）()()2222223a a a a +−+− ()()222321a a a a =+−++ ()()()2131a a a =−++ 当2a =时，原式()()()221232145=−⨯+⨯+=．【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握十字相乘法进行因式分解是解题的关键．【答案】()()()24311x x x +−+【分析】直接利用十字相乘法和完全平方公式进行因式分解即可得到答案．【详解】解：()()2222442412x x x x +−+−()()22246242x x x x =+−++()()22223221x x x x =+−⨯++ ()()()24311x x x =+−+．【点睛】本题主要考查了利用十字相乘法和完全平方公式分解因式，熟练掌握十字相乘法和完全平方公式是解题的关键．19．把下列各式因式分解：(1)()()22221414x x x x +−++； (2)22616x xy y −−；(3)()()2280x y y x −−−−；(4)22244x xy y z −+−．【答案】(1)4(1)x − (2)(8)(2)−+x y x y(3)(10)(8)x y x y −+−−(4)(2)(2)x y z x y z −−−+【分析】（1）将21x +看出整体，利用完全平方公式分解因式即可，注意分解要彻底；（2）利用十字相乘法分解因式即可；（3）将x y −看成整体，利用十字相乘法分解因式即可；（4）利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可．【详解】（1）解：()()22221414x x x x +−++22(12)x x =+−4(1)x =−；（2）解：22616x xy y −−(8)(2)x y x y =−+；（3）解：()()2280x y y x −−−− ()()2+280x y x y =−−− (10)(8)x y x y =−+−−；（4）解：22244x xy y z −+−22(2)x y z =−−(2)(2)x y z x y z =−−−+．【点睛】本题考查因式分解，解答的关键是利用不同的方法进行因式分解以及整体思想的运用．39．分解因式：2222ac bd ad bc +−−．【答案】()()()c d c d a b −+−【分析】进行分组，对各组进行提取公因式，再用公式法进行分解，最后检查分解是否彻底，即可求解．【详解】解：原式()()2222ac ad bd bc =−+−，2222()()a c d b d c =−+−，22()()c d a b =−−，()()()c d c d a b =−+−．【点睛】本题考查了分组分解方法，以及平方差公式的运用，掌握方法是解题的关键．20．分解因式：222332154810ac cx ax c +−−．【答案】22(23)(165)c x a c −−【分析】先将原式进行分组，再提公因式分解因式即可.【详解】222332154810ac cx ax c +−−2223(3248)(1510)ac ax cx c =−+−222216(23)5(23)a c x c c x =−−−22(23)(165)c x a c =−−．【点睛】本题主要考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力，注意符号的变化．熟练掌握分解因式的方法是解题的关键.21．分解因式：()()2221ab x x a b +++．【答案】()()ax b bx a ++【分析】先利用整式乘法法则展开计算，重新分组可得()()222abx a x ab b x +++，然后利用提公因式法可得()()ax bx a b a bx +++，再利用提公因式法可得()()ax b bx a =++．【详解】原式222abx ab a x b x =+++()()222abx a x ab b x =+++()()ax bx a b a bx =+++()()ax b bx a =++．【点睛】本题考查提公因式法及分组法因式分解，正确找出公因式是解题关键． 22．我们已经学过将一个多项式因式分解的方法有提公因式法和运用公式法，其实因式分解的方法还有分组分解法、拆项法等等．①分组分解法：例如：()()()222222225225()555x xy y x xy y x y x y x y −+−=−+−=−−=−−−+． ②拆项法：例如：()()()()()22222321412121213x x x x x x x x x +−=++−=+−=+−++=−+．(1)仿照以上方法，按照要求分解因式：①用分组分解法：22961x x y +−+；②用拆项法：268x x −+；(2)已知：a ，b ，c 为ABC 的三条边，22254610340a b c ab b c −−++−=+，求ABC 的周长．【答案】(1)①()()3131x y x y +++−，见解析；②()()24x x −−，见解析 (2)14【分析】（1）①仿照例题的方法，根据分组分解法分解因式；②仿照例题的方法，根据拆项法分解因式；（2）仿照例题的方法，根据分组分解法分解因式，根据非负数的性质，求得,,a b c 的值，即可求解．【详解】（1）①()()()222222961961313131x x y x x y x y x y x y +−+=++−=+−=+++−； ②()()()()()2226869131313124x x x x x x x x x −+=−+−=−−=−+−−=−−（2）a ，b ，c 为ABC 的三条边，22254610340a b c ab b c −−++−=+，∴2222446910250a b ab b b c c +−+−++−+=，∴()()()2222350a b b c −++−=−，∴20a b −=，30b −=，50c −=，∴6a =，3b =，5c =，∴ABC 的周长为63514++=．【点睛】本题考查了因式分解以及因式分解的应用，仿照例题的方法因式分解是解题的关键．。

十字相乘法典型例题

十字相乘法典型例题例1 把下列各式分解因式：(1)1522--x x ； (2)2265y xy x +-．例2 把下列各式分解因式：(1)3522--x x ； (2)3832-+x x ．例3 把下列各式分解因式：(1)91024+-x x ；(2))(2)(5)(723y x y x y x +-+-+；(3)120)8(22)8(222++++a a a a ．例4 分解因式：90)242)(32(22+-+-+x x x x ．例5 分解因式653856234++-+x x x x ．例6 分解因式655222-+-+-y x y xy x ．例7 分解因式：ca (c －a )＋bc (b －c )＋ab (a －b )．例8、已知12624+++x x x 有一个因式是42++ax x ，求a 值和这个多项式的其他因式．(1)22157x x ++ (2) 2384a a -+ (3) 2576x x +- (4)261110y y --(5) 2252310a b ab +- (6) 222231710a b abxy x y -+ (7)22712x xy y -+(8) 42718x x +- (9) 22483m mn n ++ (10)53251520x x y xy --一、选择题1．如果))((2b x a x q px x ++=+-，那么p 等于 ( )A ．abB ．a ＋bC ．－abD ．－(a ＋b )2．如果305)(22--=+++⋅x x b x b a x ，则b 为 ( )A ．5B ．－6C ．－5D ．63．多项式a x x +-32可分解为(x －5)(x －b )，则a ，b 的值分别为 ( ) A ．10和－2 B ．－10和2 C ．10和2 D ．－10和－24．不能用十字相乘法分解的是 ( )A ．22-+x x B ．x x x 310322+- C ．242++x x D ．22865y xy x -- 5．分解结果等于(x ＋y －4)(2x ＋2y －5)的多项式是 ( )A ．20)(13)(22++-+y x y x B ．20)(13)22(2++-+y x y x C ．20)(13)(22++++y x y x D ．20)(9)(22++-+y x y x 6．将下述多项式分解后，有相同因式x －1的多项式有 ( )①672+-x x ； ②1232-+x x ； ③652-+x x ； ④9542--x x ； ⑤823152+-x x ； ⑥121124-+x x A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个二、填空题7．=-+1032x x __________．8．=--652m m (m ＋a )(m ＋b )． a ＝__________，b ＝__________． 9．=--3522x x (x －3)(__________)．10．+2x ____=-22y (x －y )(__________)．11．22____)(____(_____)+=++a mna ． 12．当k ＝______时，多项式k x x -+732有一个因式为(__________)． 13．若x －y ＝6，3617=xy ，则代数式32232xy y x y x +-的值为__________．三、解答题14．把下列各式分解因式：(1)6724+-x x ； (2)36524--x x ；(3)422416654y y x x +-；(4)633687b b a a --； (5)234456a a a --； (6)422469374b a b a a +-．15．把下列各式分解因式：(1)2224)3(x x --； (2)9)2(22--x x ；(3)2222)332()123(++-++x x x x ；(4)60)(17)(222++-+x x x x ；(5)8)2(7)2(222-+-+x x x x ；(6)48)2(14)2(2++-+b a b a ．16．已知x ＋y ＝2，xy ＝a ＋4，2633=+y x ，求a 的值．-----精心整理，希望对您有所帮助!。

《分解因式(十字相乘法、分组分解法)》热点专题高分特训(含答案)

分解因式（十字相乘法、分组分解法）（人教版）一、单选题(共14道，每道7分)1.把分解因式，结果正确的是( )A.(x+2)(x+3)B.(x-2)(x-3)C.(x+1)(x+6)D.(x-1)(x-6)答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：分解因式——十字相乘法2.把分解因式，结果正确的是( )A.(x-2)(x+3)B.(x+2)(x-3)C.(x+1)(x-6)D.(x-1)(x+6)答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：分解因式——十字相乘法3.把分解因式，结果正确的是( )A.(x-3)(x+4)B.(x+3)(x-4)C.-(x-3)(x+4)D.-(x+3)(x-4)答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：分解因式——十字相乘法4.把分解因式，结果正确的是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：分解因式——十字相乘法5.把分解因式，结果正确的是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：分解因式——十字相乘法6.把分解因式，结果正确的是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：分解因式——十字相乘法7.把分解因式，结果正确的是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：分解因式——十字相乘法8.把分解因式，结果正确的是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：分解因式——十字相乘法9.把分解因式，结果正确的是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：分解因式——十字相乘法10.把分解因式，结果正确的是( )A.(a-b)(a+b+c)B.(a-b)(a+b-c)C.(a+b)(a-b-c)D.(a+b)(a-b+c)答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：分解因式——分组分解法11.把ab-1+a-b分解因式，结果正确的是( )A.(a+1)(b+1)B.(a-1)(b-1)C.(a+1)(b-1)D.(a-1)(b+1)答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：分解因式——分组分解法12.把分解因式，结果正确的是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：分解因式——分组分解法13.把分解因式，结果正确的是( )A.(1-x-y)(1+x-y)B.(1+x-y)(1-x+y)C.(1-x-y)(1-x+y)D.(1+x-y)(1+x+y)答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：分解因式——分组分解法14.把分解因式，结果正确的是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：分解因式——分组分解法。

十字相乘法公式例题

十字相乘法公式例题1. 分解因式x^2+3x + 2- 解析：对于二次三项式ax^2+bx + c（这里a = 1，b=3，c = 2），用十字相乘法。

将x^2的系数1分解为1×1，常数项2分解为1×2，十字相乘1×2+1×1 = 3（正好等于一次项系数）。

- 所以x^2+3x + 2=(x + 1)(x+2)。

2. 分解因式x^2-5x+6- 解析：a = 1，b=-5，c = 6。

将x^2的系数1分解为1×1，常数项6分解为(-2)×(-3)，十字相乘1×(-3)+1×(-2)= - 5。

- 所以x^2-5x + 6=(x - 2)(x-3)。

3. 分解因式x^2+x - 6- 解析：a = 1，b = 1，c=-6。

把x^2的系数1分解为1×1，常数项-6分解为2×(-3)，十字相乘1×(-3)+1×2=-1。

- 所以x^2+x - 6=(x + 3)(x-2)。

4. 分解因式x^2-3x - 10- 解析：a = 1，b=-3，c=-10。

x^2的系数1分解为1×1，常数项-10分解为(-5)×2，十字相乘1×2+1×(-5)=-3。

- 所以x^2-3x - 10=(x - 5)(x + 2)。

5. 分解因式2x^2+5x+3- 解析：a = 2，b = 5，c = 3。

将2x^2的系数2分解为2×1，常数项3分解为3×1，十字相乘2×1+1×3 = 5。

- 所以2x^2+5x+3=(2x + 3)(x + 1)。

6. 分解因式3x^2-7x+2- 解析：a = 3，b=-7，c = 2。

把3x^2的系数3分解为3×1，常数项2分解为(-2)×(-1)，十字相乘3×(-1)+1×(-2)=-7。

十字相乘法及分组分解法(提高)知识讲解

十字相乘法分解因式经典例题和练习

十字相乘法培优知识点讲解: 一、十字相乘法：（1）．2()x p q x pq +++型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：(1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和．22()()()()()x p q x pq x px qx pq x x p q x p x p x q +++=+++=+++=++因此，2()()()x p q x pq x p x q +++=++例1把下列各式因式分解： (1) 276x x -+ (2) 21336x x ++变式1、22215a b ab --2、422318a b a b --例2把下列各式因式分解：⑴2243a ab b -+ ⑵222()8()12x x x x +-++变式1、22215x xy y -- 2.、2256x xy y +-3、22421x xy y +-4、22712x xy y ++例3把下列各式因式分解：⑴2()4()12x y x y +-+- ⑵2()5()6x y x y +-+-变式1、2()9()14x y x y +-++ 2、2()5()4x y x y ++++3、2()6()16x y x y +++-4、2()7()30x y x y +++-例4 ⑴ 223310x y x y y -- ⑵2234710a b ab b -+变式⑴222(3)2(3)8x x x x +-+- ⑵22(2)(22)3x x x x ----⑶32231848x x y xy -- ⑷222(5)2(5)24x x x x +-+-⑸22(2)(27)8x x x x ++-- ⑹4254x x -+（2）．一般二次三项式2ax bx c ++型的因式分解大家知道，2112212122112()()()a x c a x c a a x a c a c x c c ++=+++．反过来，就得到：2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++例5把下列各式因式分解： (1) 21252x x -- (2) 22568x xy y +-练习：1.把22224954y y x y x --分解因式的结果是________________。

18十字相乘法及分组分解法(提高)知识讲解及其练习含答案

十字相乘法及分组分解法（提高）【学习目标】1. 熟练掌握首项系数为1的形如pq x q p x +++)(2型的二次三项式的因式分解. 2. 基础较好的同学可进一步掌握首项系数非1的简单的整系数二次三项式的因式分解. 3. 对于再学有余力的学生可进一步掌握分数系数；实数系数；字母系数的二次三项式的因式分解.(但应控制好难度) 4. 掌握好简单的分组分解法. 【要点梳理】要点一、十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式2x bx c ++，若存在pq c p q b=⎧⎨+=⎩ ，则()()2x bx c x p x q ++=++要点诠释：（1）在对2x bx c ++分解因式时，要先从常数项c 的正、负入手，若0c >，则p q 、同号(若0c <，则p q 、异号)，然后依据一次项系数b 的正负再确定p q 、的符号（2）若2x bx c ++中的b c 、为整数时，要先将c 分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于b ，直到凑对为止.要点二、首项系数不为1的十字相乘法在二次三项式2ax bx c ++(a ≠0)中，如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积，即12a a a =，常数项c 可以分解成两个因数之积，即12c c c =，把1212a a c c ，，，排列如下：按斜线交叉相乘，再相加，得到1221a c a c +，若它正好等于二次三项式2ax bx c ++的一次项系数b ，即1221a c a c b +=，那么二次三项式就可以分解为两个因式11a x c +与22a x c +之积，即()()21122ax bx c a x c a x c ++=++.要点诠释：（1）分解思路为“看两端，凑中间”（2）二次项系数a 一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.要点三、分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.要点诠释：分组分解法分解因式常用的思路有：方法分类分组方法特点分组分解法四项二项、二项①按字母分组②按系数分组③符合公式的两项分组三项、一项先完全平方公式后平方差公式五项三项、二项各组之间有公因式六项三项、三项二项、二项、二项各组之间有公因式三项、二项、一项可化为二次三项式要点四、添、拆项法把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形.添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法.【典型例题】类型一、十字相乘法1、分解因式：22(1)(6136)x a x a a++--+【答案与解析】解：原式＝()()()212332x a x a a++---()()()()23322332x a x ax a x a=--+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=-++-【总结升华】将a视作常数，就以x为主元十字相乘可解决.举一反三：【变式】分解因式：23345xy y x y++--【答案】解：原式2(34)35(35)(1)y x y x y x y=+-+-=+-+2、分解因式：【思路点拨】该题可以先将()2a a-看作一个整体进行十字相乘法分解，接着再套用一次十字相乘.【答案与解析】解：因为()()()22221214a a a a a a ----=--所以：原式＝[－2][－12]＝22(2)(12)a a a a ----＝()()()()1234a a a a +-+-【总结升华】十字相乘法对于二次三项式的分解因式十分方便，大家一定要熟练掌握. 举一反三：【变式】分解因式：222(3)2(3)8x x x x ----；【答案】解：原式()()223432x x xx =---+()()()()4112x x x x =-+--3、分解下列因式(1)22(1)(2)12x x x x ++++- (2)22(33)(34)8x x x x +-++- 【答案与解析】解：（1）令21x x t ++=，则原式222(1)1212(4)(3)(5)(2)t t t t t t x x x x =+-=+-=+-=+++- 2(2)(1)(5)x x x x =+-++（2）令23x x m +=，原式2(3)(4)820(5)(4)m m m m m m =-+-=+-=+- 222(35)(34)(4)(1)(35)x x x x x x x x =+++-=+-++【总结升华】此两道小题结构都非常有特点，欲分解都必须先拆开，再仔细观察每个式子中都存在大量相同的因式→整体性想法.整体性思路又称换元法，这与我们生活中搬家有些类似，要先将一些碎东西找包，会省许多事. 类型二、分组分解法4、分解因式：222332x xy y x y -++-+【思路点拨】对完全平方公式熟悉的同学，一看见该式，首先想到的肯定是式子中前三项恰好构成2()x y -，第4、5项→3()x y -. 【答案与解析】解：原式2()3()2x y x y =-+-+(1)(2)x y x y =-+-+【总结升华】①熟记公式在复杂背景下识别公式架构很重要；②我们前面练习中无论公式、配方、十字相乘一般都只涉及单一字母，其实代数式学习是一个结构的学习，其中任一个字母均可被一个复杂代数式来替代，故有时要有一些整体性认识的想法. 举一反三：【变式1】分解因式：（1）22a b ac bc -++（2）225533a b a b --+ （3）23345xy y x y ++--【答案】解：（1）原式()()()()()a b a b c a b a b a b c =+-++=+-+；（2）原式()()()()()()()225353553a b a b a b a b a b a b a b =---=+---=-+-；（3）原式233453(1)(1)(5)(1)(35)xy x y y x y y y y x y =++--=+++-=++-. 【变式2】（秋•昌江区校级期末）分解因式：2242244241a b c ab ac bc ++--+-．【答案】解：2242244241a b c ab ac bc ++--+- =()()()2222444241a b ab ac bc c +-+-++- =()()()()222222211b a cb ac c -+-++-=()()222121b a c b a c -++-+-．类型三、拆项或添项分解因式5、（春•吉州区期末）阅读理解：对于二次三项式x 2+2ax+a 2可以直接用公式法分解为（x+a ）2的形式，但对于二次三项式x 2+2ax ﹣8a 2，就不能直接用公式法了．我们可以在二次三项式x2+2ax﹣8a2中先加上一项a2，使其成为完全平方式，再减去a2这项，使整个式子的值不变，于是又：x2+2ax﹣8a2=x2+2ax﹣8a2+a2﹣a2=（x2+2ax+a2）﹣8a2﹣a2=（x+a）2﹣9a2=[（x+a）+3a][（x+a）﹣3]=（x+4a）（x﹣2a）像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．（1）请认真阅读以上的添（拆）项法，并用上述方法将二次三项式：x2+2ax﹣3a2分解因式．（2）直接填空：请用上述的添项法将方程的x2﹣4xy+3y2=0化为（x﹣）•（x﹣）=0并直接写出y与x的关系式．（满足xy≠0，且x≠y）（3）先化简﹣﹣，再利用（2）中y与x的关系式求值．【答案与解析】解：（1）x2+2ax﹣3a2=x2+2ax+a2﹣4a2=（x+a）2﹣4a2=（x+a+2a）（x+a﹣2a）=（x+3a）（x﹣a）；（2）x2﹣4xy+3y2=x2﹣4xy+4y2﹣y2=（x﹣2y）2﹣y2=（x﹣2y+y）（x﹣2y﹣y）=（x﹣y）（x﹣3y）；x=y或x=3y；故答案为：y；3y（3）原式===﹣，若x=y，原式=﹣2；若x=3y，原式=﹣23．【总结升华】此题考查了因式分解﹣添（拆）项法，正确地添（拆）项是解本题的关键．【巩固练习】一.选择题1. （秋·惠民县期末）如果多项式22mx nx --能因式分解为()()32x x p ++，那么下列结论正确的是 ( ).A.m ＝6B.n ＝1C.p ＝-2D.mnp ＝3 2. 若()2230x a b x ab x x +++=--，且b a <，则b 的值为( ). A.5 B.－6 C.－5 D.6 3. 将()()256x y x y +-+-因式分解的结果是( ).A.()()23x y x y +++-B. ()()23x y x y +-++C.()()61x y x y +-++D. ()()61x y x y +++-4．（滨湖区校级期中）把多项式1+a+b+ab 分解因式的结果是（） A ．（a ﹣1）（b ﹣1） B ．（a+1）（b+1） C ．（a+1）（b ﹣1） D ．（a ﹣1）（b+1） 5. 对224293x x y y +--运用分组分解法分解因式，分组正确的是( )A. 22(42)(93)x x y y ++-- B. 22(49)(23)x y x y -+- C. 22(43)(29)x y x y -+- D. 22(423)9x x y y +-- 6．如果3233x x x m +-+有一个因式为()3x +，那么m 的值是（）A. －9B.9C.－1D.1 二.填空题7.（•黄冈模拟）分解因式：2242y xy x --+= ． 8. 分解因式：224202536a ab b -+-= ． 9．5321x x x -+-分解因式的结果是__________. 10. 如果代数式有一因式，则a 的值为_________．11．若3223a ab ab b --+有因式()a b -,则另外的因式是_________. 12. 分解因式：（1）3)32(2-+-+k x k kx ；（2）mn m x m n x -+-+22)2( 三.解答题13. 已知0x y +=，31x y +=, 求2231213x xy y ++的值.14. 分解下列因式：（1）()()128222+---a a a a（2）32344xy xy x y x y -++（3）42222459x y x y y --（4）43226a a a +-15.（•巴南区一模）先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．（1）分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：ax+by+bx+ay=（ax+bx ）+（ay+by ） =x （a+b ）+y （a+b ） =（a+b ）（x+y ） 2xy+y 2﹣1+x 2=x 2+2xy+y 2﹣1=（x+y ）2﹣1 =（x+y+1）（x+y ﹣1）（2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：x 2+2x ﹣3 =x 2+2x+1﹣4=（x+1）2﹣22=（x+1+2）（x+1﹣2） =（x+3）（x ﹣1）请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：（1）分解因式：a2﹣b2+a﹣b；（2）分解因式：x2﹣6x﹣7；（3）分解因式：a2+4ab﹣5b2．【答案与解析】一.选择题1. 【答案】B ；【解析】()()()223233222x x p x p x p mx nx ++=+++=--，∴22,32p p n =-+=-，解得1n =.2. 【答案】B ；【解析】()()23065x x x x --=-+，由b a <，所以6b =-. 3. 【答案】C ；【解析】把()x y +看成一个整体，分解()()()()25661x y x y x y x y +-+-=+-++. 4. 【答案】B ；【解析】解：1+a+b+ab=（1+a ）+b （1+a ） =（1+a ）（1+b ）．故选：B ．5. 【答案】B ；【解析】A 各组经过提取公因式后，组与组之间无公因式可提取，所以分组不合理.B 第一组可用平方差公式分解得()()2323x y x y +-，与第二组有公因式23x y-可提取，所以分组合理，C 与D 各组均无公因式，也不符合公式，所以无法继续进行下去，分组不合理.6. 【答案】A ；【解析】由题意当3x =-时，代数式为零，解得9m =-. 二.填空题7. 【答案】()()22x y x y -+--．【解析】解：2242y xy x --+=()2224y xy x -+- =()24x y --=()()22x y x y -+--．8. 【答案】()()256256a b a b -+--；【解析】原式()224202536a ab b=-+-()()()22256256256a b a b a b =--=-+--9. 【答案】()()()22111x x x x +--+；【解析】原式()()()()()()()23222321111111xxx x x x x x x =-+-=-+=+--+.10.【答案】16；【解析】由题意当4x =时，代数式等于0，解得16a =. 11.【答案】()()a b a b -+；【解析】()()322322a a b ab b a a b b a b --+=---()()2a b a b =-+.12.【答案】()()31kx k x +-+；()()x m x m n --+；【解析】()()2(23)331kx k x k kx k x +-+-=+-+；()()()()22(2)x n m x m mn x m x m n x m x m n +-+-=---=--+⎡⎤⎣⎦.三.解答题13.【解析】解： ()()22231213334x xy y x y x y y ++=+++由0x y +=，31x y +=解得12y =所以，原式21301412⎛⎫=⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭.14.【解析】解：（1）原式()()()()()()22261223a a a a a a a a =----=+-+-；（2）原式()()()()222244222xy y x xxy x y xy x y x y ⎡⎤=-++=+-=++-+⎣⎦；（3）原式()()()()()()2422222245949123231y x x y x x y x x x =--=-+=+-+；（4）()()()4322222626232a a a aaa a a a +-=+-=-+.15.【解析】解：（1）原式=（a+b ）（a ﹣b ）+（a ﹣b ）=（a ﹣b ）（a+b+1）；（2）原式= x 2﹣6x+9-16=（x-3）2﹣16 =（x-3+4）（x-3-4） =（x+1）（x ﹣7）；（3）原式= a 2+4ab ﹣5b 2= a 2+4ab+4b 2﹣9b2 = （a+2b ）2﹣9b 2=（a +2b ﹣3b ）（a+2b +3b ）=（a﹣b）（a+5b）．11。

十字相乘法典型例题

十字相乘法典型例题例1 把下列各式分解因式：(1)1522--x x ； (2)2265y xy x +-．例2 把下列各式分解因式：(1)3522--x x ； (2)3832-+x x ．例3 把下列各式分解因式：(1)91024+-x x ；(2))(2)(5)(723y x y x y x +-+-+；(3)120)8(22)8(222++++a a a a ．例4 分解因式：90)242)(32(22+-+-+x x x x ．例5 分解因式653856234++-+x x x x ．例6 分解因式655222-+-+-y x y xy x ．例7 分解因式：ca (c －a )＋bc (b －c )＋ab (a －b )．例8、已知12624+++x x x 有一个因式是42++ax x ，求a 值和这个多项式的其他因式．(1)22157x x ++ (2) 2384a a -+ (3) 2576x x +- (4) 261110y y --(5) 2252310a b ab +- (6) 222231710a b abxy x y -+(7) 22712x xy y -+(8) 42718x x +- (9) 22483m mn n ++(10) 53251520x x y xy --一、选择题1．如果))((2b x a x q px x ++=+-，那么p 等于 () A ．ab B ．a ＋b C ．－ab D ．－(a ＋b )2．如果305)(22--=+++⋅x x b x b a x ，则b 为 ()A ．5B ．－6C ．－5D ．63．多项式a x x +-32可分解为(x －5)(x －b )，则a ，b 的值分别为 ( )A ．10和－2B ．－10和2C ．10和2D ．－10和－24．不能用十字相乘法分解的是 ( ) A ．22-+x x B ．x x x 310322+- C ．242++x x D ．22865y xy x -- 5．分解结果等于(x ＋y －4)(2x ＋2y －5)的多项式是 ( ) A ．20)(13)(22++-+y x y x B ．20)(13)22(2++-+y x y xC ．20)(13)(22++++y x y xD ．20)(9)(22++-+y x y x6．将下述多项式分解后，有相同因式x －1的多项式有 ( )①672+-x x ； ②1232-+x x ； ③652-+x x ；④9542--x x ； ⑤823152+-x x ； ⑥121124-+x xA ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二、填空题7．=-+1032x x __________．8．=--652m m (m ＋a )(m ＋b )． a ＝__________，b ＝__________．9．=--3522x x (x －3)(__________)．10．+2x ____=-22y (x －y )(__________)．11．22____)(____(_____)+=++a m na ．12．当k ＝______时，多项式k x x -+732有一个因式为(__________)．13．若x －y ＝6，3617=xy ，则代数式32232xy y x y x +-的值为__________．三、解答题14．把下列各式分解因式：(1)6724+-x x ； (2)36524--x x ；(3)422416654y y x x +-；(4)633687b b a a --； (5)234456a a a --； (6)422469374b a b a a +-．15．把下列各式分解因式：(1)2224)3(x x --； (2)9)2(22--x x ； (3)2222)332()123(++-++x x x x ；(4)60)(17)(222++-+x x x x ；(5)8)2(7)2(222-+-+x x x x ；(6)48)2(14)2(2++-+b a b a ．16．已知x ＋y ＝2，xy ＝a ＋4，2633=+y x ，求a 的值．（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。

十字相乘法分解因式经典例题和练习

十字相乘法培优知识点讲解:一、十字相乘法：（1）．2()x p q x pq +++型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：(1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和．22()()()()()x p q x pq x px qx pq x x p q x p x p x q +++=+++=+++=++因此，2()()()x p q x pq x p x q +++=++例1把下列各式因式分解：(1) 276x x -+ (2) 21336x x ++变式1、22215a b ab --2、422318a b a b --例2把下列各式因式分解：⑴2243a ab b -+ ⑵222()8()12x x x x +-++变式1、22215x xy y -- 2.、2256x xy y +-3、22421x xy y +-4、22712x xy y ++例3把下列各式因式分解：⑴2()4()12x y x y +-+- ⑵2()5()6x y x y +-+- 变式1、2()9()14x y x y +-++ 2、2()5()4x y x y ++++ 3、2()6()16x y x y +++- 4、2()7()30x y x y +++- 例4 ⑴ 223310x y xy y -- ⑵2234710a b ab b -+变式⑴222(3)2(3)8x x x x +-+- ⑵22(2)(22)3x x x x ---- ⑶32231848x x y xy -- ⑷222(5)2(5)24x x x x +-+- ⑸22(2)(27)8x x x x ++-- ⑹4254x x -+ （2）．一般二次三项式2ax bx c ++型的因式分解大家知道，2112212122112()()()a x c a x c a a x a c a c x c c ++=+++．反过来，就得到：2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++例5把下列各式因式分解：(1) 21252x x -- (2) 22568x xy y +-练习：1.把22224954y y x y x --分解因式的结果是________________。

十字相乘法-典型例题说课讲解

十字相乘法-典型例题十字相乘法典型例题例1 把下列各式分解因式：(1)1522--x x ； (2)2265y xy x +-．例2 把下列各式分解因式：(1)3522--x x ； (2)3832-+x x ．例3 把下列各式分解因式：(1)91024+-x x ； (2))(2)(5)(723y x y x y x +-+-+；(3)120)8(22)8(222++++a a a a ．例4 分解因式：90)242)(32(22+-+-+x x x x ．例5 分解因式653856234++-+x x x x ．例6 分解因式655222-+-+-y x y xy x ．例7 分解因式：ca (c －a )＋bc (b －c )＋ab (a －b )．例8、已知12624+++x x x 有一个因式是42++ax x ，求a 值和这个多项式的其他因式．把下列各式分解因式：(1)22157x x ++ (2) 2384a a -+ (3) 2576x x +- (4) 261110y y --(5) 2252310a b ab +- (6) 222231710a b abxy x y -+ (7)22712x xy y -+(8) 42718x x +- (9) 22483m mn n ++ (10)53251520x x y xy --一、选择题1．如果))((2b x a x q px x ++=+-，那么p 等于 ( )A ．abB ．a ＋bC ．－abD ．－(a ＋b )2．如果305)(22--=+++⋅x x b x b a x ，则b 为 ( ) A ．5 B ．－6 C ．－5 D ．63．多项式a x x +-32可分解为(x －5)(x －b )，则a ，b 的值分别为 ( )A ．10和－2B ．－10和2C ．10和2D ．－10和－24．不能用十字相乘法分解的是 ( )A ．22-+x xB ．x x x 310322+-C ．242++x xD ．22865y xy x -- 5．分解结果等于(x ＋y －4)(2x ＋2y －5)的多项式是 ( )A ．20)(13)(22++-+y x y xB ．20)(13)22(2++-+y x y xC ．20)(13)(22++++y x y xD ．20)(9)(22++-+y x y x6．将下述多项式分解后，有相同因式x －1的多项式有 ( )①672+-x x ； ②1232-+x x ； ③652-+x x ；④9542--x x ； ⑤823152+-x x ； ⑥121124-+x xA ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二、填空题7．=-+1032x x __________．8．=--652m m (m ＋a )(m ＋b )． a ＝__________，b ＝__________．9．=--3522x x (x －3)(__________)．10．+2x ____=-22y (x －y )(__________)． 11．22____)(____(_____)+=++a mn a ． 12．当k ＝______时，多项式k x x -+732有一个因式为(__________)．13．若x －y ＝6，3617=xy ，则代数式32232xy y x y x +-的值为__________．三、解答题14．把下列各式分解因式：(1)6724+-x x ； (2)36524--x x ； (3)422416654y y x x +-；(4)633687b b a a --； (5)234456a a a --； (6)422469374b a b a a +-．15．把下列各式分解因式：(1)2224)3(x x --； (2)9)2(22--x x ； (3)2222)332()123(++-++x x x x ；(4)60)(17)(222++-+x x x x ；(5)8)2(7)2(222-+-+x x x x ；(6)48)2(14)2(2++-+b a b a ．16．已知x ＋y ＝2，xy ＝a ＋4，2633=+y x ，求a 的值．。

初中数学因式分解-十字相乘与分组分解法(含解析)

初中数学因式分解-十字相乘与分组分解考试要求：知识点汇总：一、十字相乘法十字相乘法：一个二次三项式2ax bx c ++，若可以分解，则一定可以写成1122()()a x c a x c ++的形式，它的系数可以写成12a a 12c c ，十字相乘法就是用试验的方法找出十字线两端的数，其实就是分解系数a ，b ，c ，使得：12a a a =，12c c c =，1221a c a c b +=，2()()()x a b x ab x a x b +++=++若24b ac -不是一个平方数，那么二次三项式2ax bx c ++就不能在有理数范围内分解二、分组分解分组分解法：将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法.例题精讲：一、十字相乘【例 1】分解因式：⑴256x x ++ ⑵256x x -+⑶276x x ++ ⑷276x x -+【解析】 ⑴(2)(3)x x ++；⑵(2)(3)x x --；⑶(1)(6)x x ++；⑷(1)(6)x x --【巩固】分解因式：268x x ++【解析】268(2)(4)x x x x ++=++【巩固】分解因式：278x x +-【解析】278(8)(1)x x x x +-=+-【例 2】分解因式：2376a a --【解析】 2376(32)(3)a a a a --=+-【巩固】分解因式：2383x x --【解析】 2383(31)(3)x x x x --=+-【巩固】分解因式：25129x x +-【解析】 25129(3)(53)x x x x +-=+-【巩固】分解因式：42730x x +-【解析】 4222730(3)(10)x x x x +-=-+【巩固】分解因式：2273320x x --【解析】 2273320(94)(35)x x x x --=+-【例 3】分解因式：212x x +-【解析】 221212(3)(4)x x x x x x +-=-++=+-+【巩固】分解因式：2612x x -+-【解析】 22612(612)(23)(34)x x x x x x -+-=-+-=-+-【例 4】分解因式：2214425x y xy +-【解析】 2214425(16)(9)x y xy x y x y +-=--【巩固】分解因式：22672x xy y -+【解析】 22672(2)(32)x xy y x y x y -+=--【巩固】分解因式：22121115x xy y --【解析】 22121115(35)(43)x xy y x y x y --=-+【例 5】分解因式：⑴2()4()12x y x y +-+-；⑵2212()11()()2()x y x y x y x y +++-+-【解析】 ⑴把x y +看作一个整体，利用十字相乘法分解即可.2()4()12(2)(6)x y x y x y x y +-+-=+++-⑵将,x y x y +-看作整体，则原式[][]4()()3()2()(53)(5)x y x y x y x y x y x y =++-++-=++.【巩固】分解因式：257(1)6(1)a a ++-+【解析】[][]257(1)6(1)53(1)12(1)(23)(23)a a a a a a ++-+=-+++=-+【巩固】分解因式：2(2)8(2)12a b a b ---+【解析】[][]2(2)8(2)12(2)2(2)6(22)(26)a b a b a b a b a b a b ---+=----=----【例 6】分解因式：1a b c ab ac bc abc +++++++【解析】把a 视为未知数，其它视为参数。

十字相乘和分组分解法因式分解-2023年新七年级数学核心知识点与常见题型(沪教版)(解析版)

十字相乘和分组分解法因式分解【知识梳理】一、十字相乘十字相乘法：如果二次三项式2x px q ++中的常数项q 能分解成两个因式a 、b 的积，而且一次项系数p 又恰好是a b +，那么2x px q ++就可以进行如下的分解因式，即：()()()22x px q x a b x ab x a x b ++=+++=++要将二次三项式2x px q ++分解因式，就需要找到两个数a 、b ，使它们的积等于常数项q ，和等于一次项系数p , 满足这两个条件便可以进行如下分解因式，即：22()()()x px q x a b x ab x a x b ++=+++=++．由于把2x px q ++中的q 分解成两个因数有多种情况，怎样才能找到两个合适的数，通常要经过多次的尝试才能确定采用哪种情况来进行分解因式．二、分组分解如何将多项式am an bm bn +++因式分解？分析：很显然，多项式am an bm bn +++中既没有公因式，也不好用公式法．怎么办呢？由于()am an a m n +=+,()bm bn b m n +=+而：()()()()a m n b m n m n a b +++=+．这样就有：()()()()()()am an bm bn am an bm bn a m n b m n m n a b +++=+++=+++=++将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法．说明：如果把一个多项式的项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式．【考点剖析】一．因式分解-十字相乘法等（共22小题）1．（2022秋•静安区校级期中）多项式77x 2﹣13x ﹣30可因式分解成（7x +a ）（bx +c ），其中a 、b 、c 均为整数，求a +b +c 之值为何？（）A ．0B ．10C ．12D ．22【分析】首先利用十字交乘法将77x2﹣13x ﹣30因式分解，继而求得a ，b ，c 的值．【解答】解：利用十字交乘法将77x2﹣13x﹣30因式分解，可得：77x2﹣13x﹣30＝（7x﹣5）（11x+6）．∴a＝﹣5，b＝11，c＝6，则a+b+c＝（﹣5）+11+6＝12．故选：C．【点评】此题考查了十字相乘法分解因式的知识．注意ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解：这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）．2．（2021秋•奉贤区期末）分解因式：x2+3x﹣10＝．【分析】原式利用十字相乘法分解即可．【解答】解：原式＝（x﹣2）（x+5），故答案为：（x﹣2）（x+5）【点评】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键．3．（2022秋•闵行区校级期末）因式分解：（y2﹣y）2﹣14（y2﹣y）+24．【分析】直接利用十字相乘法分解因式得出答案【解答】解：原式＝（y2﹣y﹣2）（y2﹣y﹣12）＝（y﹣2）（y+1）（y﹣4）（y+3）．【点评】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确分解常数项是解题关键．4．（20222x2﹣6x﹣8＝．【分析】原式先提取公因数2，再利用十字相乘法求出解即可．【解答】解：原式＝2（x2﹣3x﹣4）＝2（x﹣4）（x+1），故答案为：2（x﹣4）（x+1）．【点评】本题考查了因式分解—十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解题的关键．5．（2022秋•虹口区校级期中）分解因式：x2﹣7xy﹣18y2＝．【分析】由十字相乘法进行分解因式即可．【解答】解：x2﹣7xy﹣18y2＝（x﹣9y）（x+2y）．故答案是：（x﹣9y）（x+2y）．【点评】本题考查因式分解，熟练掌握十字相乘法分解因式是解题的关键．6．（2022秋•宝山区期末）分解因式：2x2+6xy+4y2．【分析】先提公因式，再用十字相乘法因式分解即可．【解答】解：2x2+6xy+4y2＝2（x2+3xy+2y2）＝2（x+2y）（x+y）．【点评】本题考查了提公因式法与十字相乘法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．7．（2022秋•宝山区期末）分解因式：x2﹣9x+14＝（x+□）（x﹣7），其中□表示一个常数，则□的值是（）A．7B．2C．﹣2D．﹣7【分析】利用十字相乘法因式分解即可．【解答】解：x2﹣9x+14＝（x﹣2）（x﹣7），∴□表示﹣2，故选：C．【点评】本题考查因式分解，熟练掌握利用十字相乘法进行因式分解是解题的关键．8．（2022秋•虹口区校级期中）如果多项式x2﹣5x+c可以用十字相乘法因式分解，那么下列c的取值正确的是（）A．2B．3C．4D．5【分析】∵4＝﹣1×（﹣4），﹣1+（﹣4）＝﹣5，∴可以用十字相乘法因式分解．【解答】解：当c＝4时，x2﹣5x+c＝x2﹣5x+4＝（x﹣1）（x﹣4）．故选：C．【点评】本题主要考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握十字相乘法分解因式的方法是解题关键．9．（2022x2﹣5x﹣6＝．【分析】因为﹣6×1＝﹣6，﹣6+1＝﹣5，所以利用十字相乘法分解因式即可．【解答】解：x2﹣5x﹣6＝（x﹣6）（x+1）．【点评】本题考查十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．10．（2022秋•嘉定区校级期末）因式分解a2﹣a﹣6＝．【分析】根据因式分解就是把一个多项式变形成几个整式的积的形式的定义，利用十字相乘法求解．【解答】解：a2﹣a﹣6＝（a+2）（a﹣3）．故答案为：（a+2）（a﹣3）．【点评】本题考查了因式分解．解题的关键是掌握十字相乘法因式分解．11．（2022秋•闵行区校级期中）因式分解：x2﹣5x﹣24＝．【分析】用十字相乘法因式分解．【解答】解：x2﹣5x﹣24＝（x﹣8）（x+3），故答案为：（x﹣8）（x+3），【点评】本题主要考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握十字相乘法分解因式的方法，根据题意可知a、b是相互独立的，利用多项式相乘法则计算，再根据对应系数相等即可求出a、b的值是解题关键．12．（2021秋•宝山区期末）分解因式：x2+4x﹣21＝．【分析】根据因式分解﹣十字相乘法进行分解即可．【解答】解：x2+4x﹣21＝（x+7）（x﹣3），故答案为：（x+7）（x﹣3）．【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握因式分解﹣十字相乘法是解题的关键．13．（2021秋•普陀区期末）已知关于x的多项式x2+kx﹣3能分解成两个一次多项式的积，那么整数k的值为．【分析】把常数项分解成两个整数的乘积，k就等于那两个整数之和．【解答】解：∵﹣3＝﹣3×1或﹣3＝﹣1×3，∴k＝﹣3+1＝﹣2或k＝﹣1+3＝2，∴整数k的值为：±2，故答案为：±2．【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握因式分解﹣十字相乘法是解题的关键．14．（2022ax4﹣14ax2﹣32a．【分析】首先提取公因式a，再利用十字相乘法分解因式，再结合平方差公式分解因式即可．【解答】解：ax4﹣14ax2﹣32a＝a（x4﹣14x2﹣32）＝a（x2+2）（x2﹣16）＝a（x2+2）（x+4）（x﹣4）．【点评】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确运用公式是解题关键．15．（2022秋•嘉定区校级期中）阅读下列文字，解决问题．先阅读下列解题过程，然后完成后面的题目．分解因式：x4+4解：x4+4＝x4+4x2+4﹣4x2＝（x2+2）2﹣4x2＝（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）以上解法中，在x4+4的中间加上一项，使得三项组成一个完全平方式，为了使这个式子的值保持与x4+4的值保持不变，必须减去同样的一项．这样利用添项的方法，将原代数式中的部分（或全部）变形为完全平方的形式，这种方法叫做配方法．按照这个思路，试把多项式x4+3x2y2+4y4分解因式．【分析】把原式中的第二项的系数1变为4﹣1，化简后三项结合构成完全平方式，剩下的一项写出完全平方式，然后再利用平方差公式即可分解因式．【解答】解：x4+3x2y2+4y4＝x4+4x2y2+4y4﹣x2y2＝（x2+2y2）2﹣x2y2＝（x2+2y2+xy）（x2+2y2﹣xy）．【点评】此题考查学生阅读新方法并灵活运用新方法的能力，考查了分组分解法进行分解因式，是一道中档题．本题的思路是添项构成完全平方式．16．（2021秋•普陀区期末）因式分解：（x2+4x）2﹣（x2+4x）﹣20．【分析】直接利用十字相乘法分解因式得出即可．【解答】解：原式＝（x2+4x﹣5）（x2+4x+4）＝（x+5）（x﹣1）（x+2）2．【点评】本题考查十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．17．（2022秋•虹口区校级期中）分解因式：（a2﹣a）2+2（a2﹣a）﹣8．【分析】先变形，局部逆用完全平方公式，再使用十字相乘法．【解答】解：（a2﹣a）2+2（a2﹣a）﹣8＝（a2﹣a）2+2（a2﹣a）+1﹣9＝（a2﹣a+1）2﹣9＝（a2﹣a+1+3）（a2﹣a+1﹣3）＝（a2﹣a+4）（a2﹣a﹣2）＝（a2﹣a+4）（a﹣2）（a+1）．【点评】本题主要考查运用公式法、十字相乘法进行因式分解，熟练掌握公式法、十字相乘法是解决本题的关键．18．（2021秋•浦东新区期末）分解因式：x2﹣4x﹣12＝．【分析】因为﹣6×2＝﹣12，﹣6+2＝﹣4，所以利用十字相乘法分解因式即可．【解答】解：x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）．故答案为：（x﹣6）（x+2）．【点评】本题考查十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．19．（2022秋•上海期末）分解因式：3x2﹣9x﹣30．【分析】先提取公因式，再利用十字相乘法分解．【解答】解：3x2﹣9x﹣30＝3（x2﹣3x﹣10）＝3（x﹣5）（x+2）．【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握提公因式法和十字相乘法是解决本题的关键．20．（2022秋•徐汇区期末）分解因式：（1）2ab2﹣6a2b2+4a3b2；（2）（x2﹣4x）2﹣5（x2﹣4x）﹣24．【分析】（1）先提取公因式，再利用十字相乘法；（2）先利用十字相乘法，再利用公式法和十字相乘法．【解答】解：（1）2ab2﹣6a2b2+4a3b2＝2ab2（1﹣3a+2a2）＝2ab2（2a﹣1）（a﹣1）；（2）（x2﹣4x）2﹣5（x2﹣4x）﹣24＝（x2﹣4x﹣8）（x2﹣4x+3）＝[（x2﹣4x+4）﹣12]（x﹣3）（x﹣1）＝[（x﹣2）2﹣12]（x﹣3）（x﹣1）＝（x﹣2+2）（x﹣2﹣2）（x﹣3）（x﹣1）．【点评】本题主要考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法是解决本题的关键．21．（2021秋•金山区期末）分解因式：（x2﹣x）2﹣18（x2﹣x）+72．【分析】把（x2﹣x）看成一个整体，利用十字相乘法分解即可．【解答】解：（x2﹣x）2﹣18（x2﹣x）+72＝[（x2﹣x）﹣6][（x2﹣x）﹣12]＝（x2﹣x﹣6）（x2﹣x﹣12）＝（x﹣3）（x+2）（x﹣4）（x+3）．【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握十字相乘法和整体的思想是解决本题的关键．22．（2021秋•奉贤区期末）分解因式：（a2+a）2﹣8（a2+a）+12．【分析】因为﹣2×（a2+a）＝﹣2（a2+a），﹣6×（a2+a）＝﹣6（a2+a），所以可利用十字相乘法分解因式；得到的两个因式，还可以用十字相乘法分解因式．【解答】解：根据十字相乘法，（a2+a）2﹣8（a2+a）+12，＝（a2+a﹣2）（a2+a﹣6），＝（a+2）（a﹣1）（a+3）（a﹣2）．【点评】本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察、体会它实质是二项式乘法的逆过程；并注意一定要分解完全．二．因式分解-分组分解法（共12小题）23．（2022秋•徐汇区期末）分解因式：xy+（x+1）（y+1）（xy+1）．【分析】根据分组法和十字相乘法因式分解即可．【解答】解：xy+（x+1）（y+1）（xy+1）＝xy+（xy+x+y+1）（xy+1）＝xy+[（xy+1）+（x+y）]（xy+1）＝（xy+1）2+（x+y）（xy+1）+xy＝（xy+x+1）（xy+y+1）．【点评】本题考查了分组法进行因式分解，熟练掌握分组法和十字相乘法是解题的关键．24．（2022秋•青浦区校级期末）因式分解：x2+4y﹣1﹣4y2．【分析】首先重新分组，进而利用完全平方公式以及平方差公式分解因式得出答案即可．【解答】解：x2+4y﹣1﹣4y2．x2﹣（﹣4y+4y2+1）＝x2﹣（1﹣2y）2＝（x﹣2y+1）（x+2y﹣1）．【点评】此题主要考查了分组分解法以及公式法分解因式，正确分组是解题关键．25．（2022秋•浦东新区校级期末）分解因式：（1）m2﹣n2+6n﹣9；（2）（x+2y）x2+6（x+2y）x﹣7x﹣14y．【分析】（1）根据平方差公式和完全平方公式解答；（2）用提公因式法和十字相乘法解答．【解答】解：（1）原式＝m2﹣（n2﹣6n+9）＝m2﹣（n﹣3）2＝（m﹣n+3）（m+n﹣3）；（2）原式＝（x+2y）x2+6（x+2y）x﹣7（x+2y）＝（x+2y）（x2+6x﹣7）＝（x+2y）（x﹣1）（x+7）．【点评】本题考查了因式分解，熟悉乘法公式和提公因式法是解题的关键．26．（2022秋•闵行区校级期末）分解因式：2x3﹣2x2y+8y﹣8x．【分析】两两分组：先分别提取公因式2x2，8；再提取公因式2（y﹣x）进行二次分解；最后利用平方差公式再次进行因式分解即可求得答案．【解答】解：原式＝2x2（x﹣y）﹣8（x﹣y）＝2（x﹣y）（x2﹣4）＝2（x﹣y）（x+2）（x﹣2）．【点评】本题考查了平方差公式，分组分解法分解因式，要先把式子整理，再分解因式．对于一个四项式用分组分解法进行因式分解，难点是采用两两分组还是三一分组．27．（2022秋•闵行区校级期中）因式分解：a2﹣6ab+9b2﹣16．【分析】先分成两组，用完全平方公式，再用平方差公式分解因式．【解答】解：原式＝（a2﹣6ab+9b2）﹣16＝（a﹣3b）2﹣42＝（a﹣3b+4）（a﹣3b﹣4）．【点评】本题主要考查了因式分解﹣分组分解法，掌握因式分解﹣分组分解法的方法，先分组，再分解因式，完全平方公式和平方差公式的熟练应用是解题关键．28．（2022秋•青浦区校级期中）因式分解：2ac﹣6ad+bc﹣3bd．【分析】首先将前两项以及后两项提取公因式，进而分解因式得出即可．【解答】解：2ac﹣6ad+bc﹣3bd＝2a（c﹣3d）+b（c﹣3d）＝（c﹣3d）（2a+b）．【点评】此题主要考查了分组分解法分解因式，正确分组得出是解题关键．29．（2022秋•上海期末）分解因式：x2﹣xy+ax﹣ay＝．【解答】解：x2﹣xy+ax﹣ay＝x（x﹣y）+a（x﹣y）＝（x﹣y）（x+a）．故答案为：（x﹣y）（x+a）．【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握分组分解法和提公因式法是解决本题的关键．30．（2022秋•宝山区校级期末）分解因式：b2﹣4a2﹣1+4a．【分析】利用分组分解法，将﹣4a2﹣1+4a分为一组，先利用完全平方公式，再利用平方差公式即可．【解答】解：原式＝b2﹣（4a2+1﹣4a）＝b2﹣（2a﹣1）2＝[b+（2a﹣1）][b﹣（2a﹣1）]＝（b+2a﹣1）（b﹣2a+1）．【点评】本题考查分组分解法分解因式，掌握分组的原则和分组的方法是正确解答的前提，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是解决问题的关键．31．（2022秋•嘉定区校级期末）因式分解：x2﹣4+4y2﹣4xy．【分析】直接将原式分组，再利用完全平方公式以及平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：x2﹣4+4y2﹣4xy＝x2+4y2﹣4xy﹣4＝（x﹣2y）2﹣4＝（x﹣2y+2）（x﹣2y﹣2）．【点评】此题主要考查了分组分解法分解因式，正确运用公式是解题关键．32．（2022秋•徐汇区期末）分解因式：x2+4z2﹣9y2+4xz＝．【分析】先利用完全平方公式，再利用平方差公式．【解答】解：x2+4z2﹣9y2+4xz＝x2+4z2+4xz﹣9y2＝（x+2z）2﹣9y2＝（x+2z+3y）（x+2z﹣3y）．故答案为：（x+2z+3y）（x+2z﹣3y）．【点评】本题主要考查了整式的因式分解，掌握因式分解的公式法是解决本题的关键．33．（2022秋•宝山区期末）分解因式：m2﹣2m+1﹣4n2．【分析】先分组再利用平方差公式．【解答】解：m2﹣2m+1﹣4n2＝（m﹣1）2﹣4n2＝（m﹣1+2n）（m﹣1﹣2n）．【点评】本题主要考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法是解决本题的关键．34．（2022秋•闵行区校级期中）因式分解：x2+9xy+18y2﹣3x﹣9y．【分析】先把多项式按三、二分组，再分别因式分解，最后提取公因式．【解答】解：x2+9xy+18y2﹣3x﹣9y＝（x2+9xy+18y2）﹣（3x+9y）＝（x+3y）（x+6y）﹣3（x+3y）＝（x+3y）（x+6y﹣3）．【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式和十字相乘法是解决本题的关键．三．因式分解的应用（共9小题）35．（2022秋•青浦区校级期末）用合理的方法计算：7.52×1.6﹣2.52×1.6．【分析】先利用提取公因式法，再利用平方差公式因式分解求得答案即可．【解答】解：原式＝（7.52﹣2.52）×1.6＝（7.5+2.5）×（7.5﹣2.5）×1.6＝10×5×1.6＝80．【点评】此题考查因式分解的实际运用，掌握提取公因式法和平方差公式是解决问题的关键．36．（2022秋•黄浦区期中）已知x﹣y＝2，x2+y2＝6，（1）求代数式xy的值；（2）求代数式x3y﹣3x2y2+xy3的值．【分析】（1）根据x2+y2＝（x﹣y）2+2xy，再将已知代入即可；（2）将所求的式子变形为xy（x2﹣3xy+y2），再将x2+y2＝6，xy＝1代入求值即可．【解答】解：（1）∵x2+y2＝（x﹣y）2+2xy，又∵x﹣y＝2，x2+y2＝6，∴6＝4+2xy，∴xy＝1；（2）x3y﹣3x2y2+xy3＝xy（x2﹣3xy+y2），∵x2+y2＝6，xy＝1，∴原式＝1×（6﹣3）＝3．【点评】本题考查因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式的变形形式，提取公因式法因式分解是解题的关键．37．（2022秋•静安区校级期中）已知x2﹣x﹣3＝0，那么x3﹣2x2﹣2x+2022＝．【分析】根据x2﹣x﹣3＝0，得出x2＝x+3，代入求值即可．【解答】解：∵x2﹣x﹣3＝0，∴x2＝x+3，x3﹣2x2﹣2x+2022＝x（x+3）﹣2x2﹣2x+2022＝﹣x2+x+2022＝﹣（x2﹣x﹣3）+2019＝2019，故答案为：2019．【点评】本题主要考查因式分解的应用，熟练掌握因式分解是解题的关键．38．（2022秋•静安区校级期中）n是整数，式子[1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）计算的结果（）A．是0B．总是奇数C．总是偶数D．可能是奇数也可能是偶数【分析】根据题意，可以利用分类讨论的数学思想探索式子[1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）计算的结果等于什么，从而可以得到哪个选项是正确的．【解答】解：当n是偶数时，[1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）＝[1﹣1]（n2﹣1）＝0，当n是奇数时，[1﹣（﹣1）n]（n2﹣1）＝×（1+1）（n+1）（n﹣1）＝，设n＝2k﹣1（k为整数），则＝＝k（k﹣1），∵0或k（k﹣1）（k为整数）都是偶数，故选：C．【点评】本题考查因式分解的应用，解题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解答问题．39．（2022秋•闵行区校级期中）已知a2﹣a﹣1＝0，则代数式a3﹣2a+6＝．【分析】根据已知条件得到a2﹣a＝1，将要求的代数式化简得到a（a2+a）﹣a2﹣2a+6，两次代入求解即可．【解答】解：∵a2﹣a﹣1＝0，∴a2﹣a＝1，a3﹣2a+6＝a3﹣a2+a2﹣2a+6＝a（a2﹣a）+a2﹣2a+6＝a+a2﹣2a+6＝a2﹣a+6，将a2﹣a＝1代入原式＝1+6＝7．故答案为：7．【点评】本题考查因式分解的应用，合理利用已知条件是关键．40．（2022秋•闵行区校级期中）已知a，b，c是三个连续的正整数，a2＝33124，c2＝33856，那么b2＝．【分析】由于a2＝33124，c2＝33856，则利用平方差公式得到（c+a）（c﹣a）＝732，再根据a、b、c是三个连续正整数得到c﹣a＝2①，于是可计算出c+a＝366②，然后由①②可解得c，从而得到b的值．【解答】解：c2﹣a2＝（c+a）（c）＝33856﹣33124＝732，∵a、b、c是三个连续正整数，∴c﹣a＝2，∴c+a＝366，∴c＝184，∴b＝183，∴b2＝33489．故答案为：33489．【点评】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题．41．（2022秋•宝山区校级期中）a，b，c是正整数，且满足①a+b2﹣2c﹣2＝0②3a2﹣8b+c＝0，求abc的最小值（要有过程）．【分析】根据②3a2﹣8b+c＝0，得出c＝8b﹣3a2，代入①a+b2﹣2c﹣2＝0，得出（b﹣8）2＝66﹣6a2﹣a，根据完全平方数得出a，b，c的值即可．【解答】解：∵②3a2﹣8b+c＝0，∴c＝8b﹣3a2，∵a+b2﹣2c﹣2＝0，即a+b2﹣2（8b﹣3a2）﹣2＝0，整理得（b﹣8）2＝66﹣6a2﹣a，∴66﹣6a2﹣a是完全平方数，∴66﹣6a2﹣a的值可能为1，4，9，16，25，36，49，64，∵a为正整数，∴a＝3，可得b＝5或11，c＝13或61，∴abc的最小值为3×5×13＝195．【点评】本题主要考查因式分解的应用，熟练掌握因式分解的知识是解题的关键．42．（2022秋•杨浦区期中）已知：x﹣2y＝8，xy＝5，求代数式x3y+4xy3的值．【分析】首先运用提取公因式法分解因式，再配方，然后代入已知条件计算即可．【解答】解：∵x﹣2y＝8，xy＝5，∴x3y+4xy3＝xy（x2+4y2）＝xy[（x﹣2y）2+4xy]＝5（82+4×5）＝5×84＝420．43．（2022秋•奉贤区期中）根据所学我们知道：可以通过用不同的方法求解长方形面积，从而得到一些数学等式．如图1可以表示的数学等式：（a+m）（b+n）＝ab+an+bm+mn，请完成下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式：．（2）从图3可得（a+b）（a+b+c）＝．（3）结合图4，已知a+b+c＝6，a2+b2+c2＝14，求ab+bc+ac的值．【分析】（1）（2）根据题意利用面积公式计算即可求解；（3）首先根据面积公式得到（a+b+c）（a+b+c）＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，然后利用已知条件即可求解．【解答】解：（1）（a+1）（a+2）＝a2+a+2a+2＝a2+3a+2；故答案为：a2+3a+2；（2）（a+b ）（a+b+c ）＝a2+b2+ab+ab+ac+bc ＝a2+2ab+b2+ac+bc ；故答案为：a2+2ab+b2+ac+bc ；（3）根据题意得；（a+b+c ）（a+b+c ）＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc ，而a+b+c ＝6，a2+b2+c2＝14∴6×6＝14+2ab+2ac+2bc ，∴ab+bc+ca ＝11．【点评】此题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是正确理解题意，然后根据题意求解．【过关检测】一、单选题 1．（2023·上海·七年级假期作业）如果多项式x 2﹣5x +c 可以用十字相乘法因式分解，那么下列c 的取值正确的是（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【分析】根据十字相乘法进行因式分解的方法，对选项逐个判断即可．【详解】解：A 、252x x −+，不能用十字相乘法进行因式分解，不符合题意； B 、253x x −+，不能用十字相乘法进行因式分解，不符合题意；C 、()()25414x x x x −+=−−，能用十字相乘法进行因式分解，符合题意；D 、255x x -+，不能用十字相乘法进行因式分解，不符合题意；故选C【点睛】此题考查了十字相乘法进行因式分解，解题的关键是掌握十字相乘法进行因式分解． 2．（2018秋·上海浦东新·七年级校考阶段练习）把多项式2+x ax bw +分解因式得(+1)(-3)x x ，则a.b 的值分别是（）【答案】A【分析】运用多项式乘以多项式的法则求出（x+1）（x-3）的值，对比系数可以得到a ，b 的值．【详解】∵(x+1)(x−3)=x ⋅x−x ⋅3+1⋅x−1×3=x 2−3x+x−3=x 2−2x−3，∴x 2+ax+b=x 2−2x−3∴a=−2，b=−3.故选A.【点睛】此题考查因式分解的应用，解题关键在于掌握运算法则求出（x+1）（x-3）的值.3．（2021秋·上海·七年级期中）若1a −是25a a m ++的因式，则m 的值是（）A ．4B ．6C ．－4D ．－6【答案】D【分析】利用因式分解与整式乘法的恒等关系计算解答即可．【详解】∵多项式25a a m ++因式分解后有一个因式为1a −， ∴设另一个因式是a k −，即25a a m ++＝()()1a a k −−＝()21a k a k −++，则()15k k m ⎧−+=⎨=⎩，解得：66k m =−⎧⎨=−⎩，故答案为：D ．【点睛】此题考查了因式分解的意义，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．A ．5m =，1n =B ．5m =−，1n =C ．5m =，1n =−D ．5m =−，1n =−【答案】C 【分析】根据十字相乘法的分解方法和特点解答．【详解】解：由x2-4x-m=（x-5）（x-n ），得：-5-n=-4，（-5）（-n ）=-m所以n=-1，m=5．故选：C ．【点睛】本题主要考查十字相乘法分解因式，对常数项的不同分解是解本题的关键．5．（2021秋·上海·七年级期中）多项式3333a b c abc −++有因式（）A ．a b c ++B ．c a b +−C ．222a b c bc ac ab ++−+−D ．bc ac ab −+【答案】B【分析】当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．【详解】原式=33()33()a c b abc ac a c +−+−+=22()[()()]3()a c b a c b a c b ac a c b +−++++−+−=22()[()()3]a c b a c b a c b ac +−++++−=222()[23]a c b a c ac ab ac b ac +−+++++−=222()()a c b a c b ab ac ac +−++++−．故选：B ．【点睛】本题考查了分组分解法分解因式，难点是采用两两分组还是三一分组．本题还需要熟练掌握立方和立方差公式． 6．（2023·上海·七年级假期作业）给出下面四个多项式：①2232x xy y −−；②22x x y y +−−；③76x xy −；④33x y +，其中以代数式x y −为因式的多项式的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【分析】综合提公因式法和公式法，十字相乘法，将四个多项式分解因式，根据分解的结果，逐一判断即可得到答案．【详解】解：①()()223322x y x y x xy y −−=+−； ②()()()()()()()22221x x y y x y x y x y x y x y x y x y +−−=−+−=+−+−=−++； ③()()()()()()()663333222276x x y x x y x y x x y x y xy x xy x y x xy y =−=+−=+−+−++−； ④()()2323x y x y y x xy =++−+，∴以代数式x y −为因式的多项式为①②③，共3个，故选C ．【点睛】本题考查了公因式的确定，先分解因式，再做判断，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．二、填空题7．（2023·上海·七年级假期作业）分解因式：21124x x −+=________．【答案】()()38x x −−【分析】根据十字相乘法可进行因式分解．【详解】解：()()2112438x x x x −+=−−；故答案为：()()38x x −−．【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握十字相乘法因式分解是解题的关键．8．（2023·上海·七年级假期作业）分解因式：256x x −−=________．【答案】()()61x x −+【分析】直接根据十字相乘法分解即可．【详解】256x x −−=()()61x x −+，故答案为()()61x x −+．【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．【答案】241x x −+【分析】原式先提取公因数2，再利用十字相乘法求出解即可．【详解】解：原式()2234x x =−−()()241x x =−+，故答案为：()()241x x −+．【点睛】本题考查了因式分解—十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解题的关键．10．（2022秋·上海·七年级专题练习）分解因式：2x －ay ＋ax －2y ＝________．【答案】()()2x y a −+【分析】首先分组，然后利用提取公因式法分解因式．【详解】解：原式＝()()()()()()22222x ax y ay x a y a x y a +−+=+−+=−+，故答案为：()()2x y a −+．【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解，因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法，因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 11．（2023·上海·七年级假期作业）如图，边长分别为a ，b 的长方形，它的周长为15，面积为10，则2233a b ab +=__________．【答案】225【分析】根据长方形的周长及面积可得出152a b +=，10ab =，将其代入2233a b ab +中即可求出结论．【详解】解：长方形的周长为15，面积为10，152a b ∴+=，10ab =，()22153333102252a b ab ab a b ∴+=+=⨯⨯=．故答案为：225．【点睛】本题考查了因式分解的应用以及长方形的周长及面积，根据长方形的周长及面积找出152a b +=，10ab =是解题的关键．【答案】27x y −−/27y x −−【分析】根据平方差公式将4249y x −分解因式，并变形为()()222277y x x y −−−，即可得出答案．【详解】解：∵()()2224224977y x y x y x =−−+()()222277y x x y ⎡⎤=−+−⎣⎦()()222277y x x y =−−−， ∴与()27x y −之积等于4249y x −的因式为27x y −−．故答案为：27x y −−．【点睛】本题主要考查了分解因式的应用，解题的关键是熟练掌握平方差公式()()22a b a b a b −=+−． 13．（2020秋·上海闵行·七年级期中）分解因式：321024a a a +−=____．【答案】()()122a a a +−【分析】先提出公因式，再利用十字相乘法因式分解，即可求解．【详解】解：()()()32210241024122a a a a a a a a a +−=+−=+−．故答案为：()()122a a a +− 【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法，并根据多项式的特征灵活选合适方法解答是解题的关键．14．（2023秋·上海嘉定·七年级上海市育才中学校考期末）因式分解a 2－a －6＝_____．【答案】(a ＋2)(a －3)【分析】利用公式()()()2x p q x pq x p x q +++=++ 公式进行因式分解. 【详解】解：()()()()226323232a a a a a a −−=+−++−⨯=−+ ，故填（a-3）（a+2）【点睛】本题考查因式分解，基本步骤是一提二套三检查. 15．（2020秋·上海徐汇·七年级上海市徐汇中学校考阶段练习）已知多项式223x mx ++可以分解成两个一次多项式，则整数m 的值是_____________【答案】7±或5±【分析】分别把2和3分解成2个因数的积的形式，共有4种情况，所以对应的m 也有4种情况．【详解】解：221=⨯，313=⨯或13−⨯−，∴①2311m =⨯+⨯或2(3)1(1)⨯−+⨯−，即7m =±，②2131m =⨯+⨯或2(1)1(3)⨯−+⨯−，即5m =±，故答案为：7±或5±．【安静】此题主要考查了分解因式−十字相乘法，解题的关键是要熟知二次三项式的一般形式与分解因式之间的关系：2()()()x m n x mn x m x n +++=++，即常数项与一次项系数之间的等量关系． 16．（2023·上海·七年级假期作业）已知a ，b ，c 是三个连续的正整数，233124a =，233856c =，那么2b =_____．【答案】33489【分析】利用平方差公式得到()()732c a c a +−=，再根据a 、b 、c 是三个连续正整数得到2c a −=，于是可计算出366c a +=，然后可得c ，从而得到b 的值．【详解】解：()()223385633124732c a c a c a −=+−=−=，∵a 、b 、c 是三个连续正整数，∴2c a −=，∴366c a +=，∴184c =，182a =，∴183b =，∴233489b =．故答案为：33489．【点睛】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题．17．（2023·上海·七年级假期作业）23x +______多项式43225101518x x x x −−++的因式（填“是”或“不是”）【答案】是【分析】假设23x +是多项式43225101518x x x x −−++的因式，则只需将多项式43225101518x x x x −−++进行分组，43225101518x x x x −−++可写成4332223812231218x x x x x x x +−−++++，此时两两一组分解因式即可得到结果．【详解】43225101518x x x x −−++，4332223812231218x x x x x x x =+−−++++，32(23)4(23)(23)6(23)x x x x x x x =+−+++++，32(23)(46)x x x x =+−++，∴23x +是多项式43225101518x x x x −−++的因式．故答案为：是【点睛】本题主要考查因式分解的应用，掌握分组分解法是解题的关键． 18．（2022秋·七年级单元测试）已知关于x 的多项式x 2+kx ﹣3能分解成两个一次多项式的积，那么整数k 的值为 _____．【答案】2±【分析】把常数项分解成两个整数的乘积，k 就等于那两个整数之和．【详解】解：∵﹣3＝﹣3×1或﹣3＝﹣1×3，∴k ＝﹣3+1＝﹣2或k ＝﹣1+3＝2，∴整数k 的值为：±2，故答案为：±2．【点睛】本题考查因式分解—十字相乘法，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．三、解答题19．（2022秋·上海·七年级专题练习）因式分解：2244x x a +−+．【答案】(2)(2)x a x a +++−【分析】分组，利用完全平方公式以及平方差公式分解即可求解．【详解】解：2244x x a +−+2244x x a =++−22(2)x a =+−(2)(2)x a x a =+++−．【点睛】本题考查的是因式分解，掌握完全平方公式以及平方差公式是解题的关键．20．（2022秋·上海闵行·七年级校考阶段练习）分解因式2812x x −+：．【答案】()()26x x −−【分析】根据十字相乘法，进行因式分解即可．【详解】解：()()281226x x x x −+=−−．【点睛】本题考查因式分解．熟练掌握十字相乘法因式分解，是解题的关键．21．（2022秋·上海·七年级校考期末）分解因式：()224516x xy y −−．【答案】()()()22454x y x y x xy y −−−−【分析】先直接利用完全平方公式，然后再运用十字相乘法继续因式分解即可．【详解】解：()224516x xy y −− ()()222254x xy y =−− ()()()()22225454x xy y x xy y ⎡⎤⎡⎤=−+−−⎣⎦⎣⎦ ()()22225454x xy y xxy y =−+−− ()()()22454x y x y x xy y =−−−−．【点睛】本题考查了运用平方差公式和十字相乘法进行因式分解；解题的关键是分解因式要彻底．22．（2023秋·上海嘉定·七年级上海市育才中学校考期末）因式分解：4289ax ax a −−．【答案】()()()2331a x x x ++−【分析】先提取公因式a ，再用十字相乘法分解，最后再用平方差公式分解．【详解】解：4289ax ax a −−()4289a x x =−−()()2291a x x +=−()()()2331a x x x ++=−．【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．23．（2022秋·上海·七年级校联考期末）分解因式：23930x x −−．【答案】()()352x x −+．【分析】先提取公因式，再利用十字相乘法继续分解即可．【详解】解：23930x x −−()23310x x =−−()()352x x =−+．【点睛】本题考查了用提公因式法和十字相乘法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．24．（2022秋·上海闵行·七年级校考阶段练习）分解因式：22944a ab b −+−.【答案】()()3232a b a b +−−+【分析】先将多项式分组为()22944a ab b −−+，再分别利用完全平方公式和平方差公式分解即可．【详解】解：22944a ab b −+−()22944b a a b =−−+()292a b =−−()()3232a b a b =+−−−⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()3232a b a b =+−−+．【点睛】本题考查了因式分解-分组分解，熟练掌握完全平方公式和平方差公式，能根据多项式特点进行适当分组是解题关键．25．（2022秋·上海·七年级专题练习）阅读并解答：对于多项式32510x x x −++，我们把2x =代入多项式，。

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教学过程
一、十字相乘法提高
例1、二次项系数不为1的齐次多项式
22672y xy x +- 2322+-xy y x 224715y xy x -+
8622+-ax x a 17836--x x 22151112y xy x --
10)(3)(2-+-+y x y x 344)(2+--+b a b a 222265x y x y x --
例2、已知a 为正整数，试判断a 2
+a 是奇数还是偶数？
例3、已知关于x 的二次三项式2x mx n ++有一个因式(x+5)，且m+n=17，试求m ，n 的值
例4、已知
可因式分解为，其中a ，b ，c 均为整数，则a+b+c 等于（）
A 、-12
B 、-32
C 、38
D 、72
例5、先分解因式，再计算求值
例6、另一个因式为
习题
1、
2、计算：
3、
4、
5、已知,01200520042=+++++x x x x 则.________2006=x
6、24)4)(3)(2)(1(-++++x x x x
四、代数式求值
1、已知3
12=
-y x ，2=xy ，求 43342y x y x -的值。

2、若x 、y 互为相反数，且4)1()2(22=+-+y x ，求x 、y 的值
3、已知2=+b a ，求)(8)(22222b a b a +--的值二、分组分解法
例1、分组后能直接提取公因式
bn bm an am +++ bx by ay ax -+-5102
bc ac ab a -+-2 1+--y x xy
例2、分组后能直接运用公式
ay ax y x ++-22 2
222c b ab a -+-：
y y x x 3922--- yz z y x 2222---
综合练习：1、因式分解（1）3223y xy y x x --+ （2）b a ax bx bx ax -+-+-22
（3）181696222-+-++a a y xy x （4）a b b ab a 4912622-++-
（5）222y yz xz xy x ++-- （6）122222++-+-ab b b a a
（7）)1)(1()2(+---m m y y （8）)2())((a b b c a c a -+-+
2、。

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