华中科技大学 流体力学第三章_1

y x
M
ln x t ln y t ln c
x t y t c
将 t = 0，x = -1，y = -1 代入，得瞬时流线 xy = 1 流线是双曲线。
流管 -- 由流线组成的管状曲面。 流束 -- 流管内的流体。 总流 -- 多个流束的集合。
质点加速度 = 局部加速度 + 对流加速度 质点加速度包括两个部分：
（1）局部加速度（时变加速度）— 特定空间点上速度 对时间的变化率；
（2）对流加速度 — 对应于质点空间位置改变所产生的 速度变化。
t
t+Δt
u x. t t u x x. t t u x. t
在定常流动中，通 过同一空间点的所有流 体质点具有相同的运动 轨迹，而且它们沿着流 线行进，所以染色液体 线或者烟线同时也是流 线和迹线。
在非定常流动中，是否可以演示流线？
v2 v1
v3
v4
设 ds =dxi+dyj+dzk 为流线上 A 点的一微元弧长，
v = ui+vj+wk 为流体质点在 A 点的流速。
对于三元定常流动，
连续性方程
u x

v y

w z
0
对于不可压缩流体的流动( = const.)，
u v w 0 x y z
柱坐标形式：
1 rvr v rvz 0 t r r z
v 1 x x, y y, z z, t t
v 0 ( x, y, z, t )
质点加速度
a lim
v 1 v 0
t
t 0
v lim t 0 t
v v 1 x x, y y, z z, t t v 0 x, y, z, t v v v v t x y z t x y z
，， -- t = t0 时刻质点所在的空间位置坐标，
称为拉格朗日变量，用来指定质点。 t -- 时间变量。
质点位置是 t 的函数，对 t 求导可得速度和加速度： 速度:
x u , , , t t y v , , , t t z w , , , t t
cx cy 例 u 2 2 , v 2 2 , w 0 定常流动 x y x y
例 u = x + t , v = -y + t , w = 0 , 非定常流动
对于定常流动
u u x, y, z , v v x, y, z , w w x, y, z
加速度:
u 2 x 2 ax , , , t t t v 2 y ax , , , t 2 t t w 2 z 2 az , , , t t t
例 已知流体质点位移的拉格朗日表达式为
u xyz u xyz x x ( u ) xyz x
控制体 z
wu x x z v x 2 x 2 x y o
y
x
单位时间内由六个表面净流出的质量流量为：
u v w xyz y z x 单位时间内由于密度变化使控制体内的流体质量改变量为：
u u x, y, z, t , v v x, y, z, t , w w x, y, z, t , p p x, y, z, t , x, y, z, t
x, y, z -- 欧拉变量，指定空间位置。 cx cy 例 u 2 2 , v 2 2 , w0 x y x y 例 u = x + t , v = -y + t , w = 0 欧拉法是常用的方法。
1．迹线、流线与染色线
染色线 -- 相续通过流场同一空间点的
流体质点所连成的曲线。
在水流中的一些特定点连续注入染色液体或
者在气流中的特定点连续施放烟气的方式来演示
流场，染色液体或者烟气所形成的曲线是脉线。
迹线 -- 流体质点的运
动轨迹线。
流线 -- 处处与速度矢量
相切的空间曲线。
v2 v3 v4
v1
因此有
u 0 , t
v 0 , t
w 0 , t
0 , ax ？ 0 , ay ？ 0 , az ？
注意：定常流动时 0 ，但并不一定有 d 0，所以当
v 0 时，流体质点仍可能有加速度。 t
t
dt
z
例 定常运动，局部导数为零， 对流加速度不为零（它就是 流体质点的向心加速度）。 例 定常流动，局部导数为零， 对流导数不为零（当流体 质点通过面积不同的管截 面时其速度是不同的）。
质点导数 -- 质点物理参数对时间的变化率。
物理参数的质点导数 = 局部导数+对流导数
d u v w dt t x y z
例
d u v w dt t x y z dT T T T T u v w dt t x y z
第 3 章 理想流体动力学基础
本章由质量守恒和牛顿第二定律出发，
建立研究理想流体运动的基本方程。
3.1 描述流体运动的两种方法
（1）拉格朗日(Lagrange)法
拉格朗日法通过描述流体质点位置及质点上物理
参数随时间的变化规律来描述流动，是质点--时间 描述法。
质点的空间位置
x x , , , t y y , , , t z z , , , t
x 1 exp t t 1 y 1 exp t t 1 z
求质点速度和加速度的拉格朗日表达式， 解
x u 1 exp t 1 t y v 1 exp t 1 t z w t 0
xyz t 质量守恒要求：
密度变化增加的质量 = 净流入的质量
u v w xyz xyz t y z x
u v w 0 t x y z
例 管道内、渠道内的流动流体可以被当成是一个总流。
2．流量
体积流量 -- 单位时间内通过指定面积的流体体积量。
Q vn dA
A
vn V dA
vn
平均速度
Q V A
质量流量 -- 单位时间内通过指定面积的流体质量。
Qm vn dA
A
3.3 连续性方程
1．系统与控制体
系统 -- 特定流体质点组成的流体团。
v v v v v t x y z t x y z
v v x v y v z v a lim lim t 0 t t 0 t x t y t z t
x ut , y vt , z wt
u a x t 1 exp t v a 1 exp t y t w a 0 z t
（2）欧拉(Euler)法
欧拉法通过描述物理参数在流动区域的空间分布规
律及时间变化规律来描述整个流动，是空间--时间描 述法。
例如，水中的气泡、空气中漂浮的微小水滴
控制体 -- 相对于坐标系不
动的空间体积。
z
控制体
o y
x
控制体的边界面为控制面。
2．微分形式的连续性方程 单位时间内 x 方向流出的流体质量为：
x u x x 2 u x 2 yz x u x u yz x 2 x 2
定常流动 -- 流动参数不随时间变化的流动。
u u x, y, z , v v x, y, z , w w x, y, z ,
p p x, y, z , x, y, z
所有物理参数的局部导数等于零
0 t
非定常流动 -- 流动参数随时间变化的流动。
流速矢量 v 与微元弧长 ds 相平行，因此
v
A ds
dx dy dz u v w
流线一般不可能相交。
流线方程
例 已知流场速度为 u
cx cy , v 2 2 , w0 2 2 x y x y 其中 c 是常数，求流线方程。
dx dy dz u v w dx dy x y dz 0
pa

x
一元流动 -- 流动参数只与一个坐标变量有关。
例 x
二元流动(平面流动和轴对称流动) -- 流动参数与
例
两个坐标变量有关。 x 轴对称流动
cx cy 例 u 2 2 , v 2 2 , w0 x y x y 三元流动(空间流动) -- 流动参数与三个坐标变量有关。
平面流动
3.2 迹线、流线和流管
y
解由
得

x
积分后得： ln x ln c1 ln y 或者 y c1 x 由第二式积分后得到：
z c2
流线是xoy平面上的一族通过原点的直线。
例 3; t , 求 t = 0 时，过点 M (-1，-1) 的流线。
解 由式
dx dy 得 u v dx dy x t y t 积分后得到：
由于下述原因很少采用拉格朗日法： 用拉格朗日法描述流体运动数学相对较复杂； 在大多数实际工程问题中，主要关心特定区域 而不是特定质点的流动参数。 欧拉法是常用的方法。 本课程均采用欧拉法。 拉格朗日法的表达式与欧拉法的表达式可以相 互转换。
（3）质点加速度与质点导数