高一数学 带你走进法向量(法向量的理解与运用)

合集下载
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

带你走进法向量
一、法向量概念理解
如果表示非零向量n 的有向线段所在的直线垂直于平面α,那么称向量n 垂直于平面α,记作α⊥n ,此时,我们把向量n 叫做平面α的法向量. 特别提醒:(1)法向量一定是非零向量,平面的法向量是不唯一的; (2)一个平面的所有法向量一定是平行向量;
(3)向量n 是平面α的一个法向量,向量m 与平面平行或在平面内,则n m 0=;
(4)因为过一点有且只有一个平面与已知直线垂直,所以,已知平面内一点和平面的法向量,则这个平面是唯一确定的. 二、法向量求解步骤
若要求出一个平面的法向量的坐标,一般要建立空间直角坐标系,然后用待定系数法求解.一般步骤:
(1)设出平面的法向量为(,,)x y z =n ;
(2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标111(,,)a b c =a ,222(,,)a b c =b ;
(3)根据法向量的定义建立关于x 、y 、z 的方程组0
0=⎧⎨=⎩
n a n b ;
(4)解方程组,取其中的一个解,即得法向量(通常取其中一个未知数为1或1-).
三、用法向量可以解决的问题 1.直线与平面成角
直线l 与平面α所成的角为θ,是直线l 的方向向量l 与平面α的法向量n 的夹角β(锐角)的余角,故有sin cos θβ==
||||
l n
l n .
注意:求出直线l 的方向向量l 与平面α的法向量n 的夹角β(锐角)并不是直线与平面所成角,应取其余角. 2.平面与平面成角
设1n ,2n 分别是二面角l αβ--的面,αβ的法向量,则12<n ,n >就是所求二面角的平面角或其补角的大小.且有12cos <n ,n >=
12
12|
n n |n ||n .
注意:通过平面的法向量求二面角时,若二面角的两个面的法向量1n 、2n 方向相反时,则二面角的大小等于22<>n ,n ,若两个面的法向量1n 、2n 方向相同时,则二面角大小为
22π-<>n ,n .
3.求点面距离
点面距离的具体求解步骤是: (1)求出该平面的一个法向量;(2)求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量;(3)求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模,即得要求的点面距离.其中设e 是直线l 上的一个单位方向向量,线段AB 在l 上的投影是''A B ,则有|''|||A B AB =e ,是求点到线,点到面的距离问题重要公式. 四、法向量的具体应用
例1如图,四边形PCBM 是直角梯形,90PCB ∠=,PM ∥BC ,1
2PM BC ==,,又1AC =,120ACB AB PC ∠=,⊥,直线AM 与直线PC
所成的角为60.
(1)求证:平面PAC ⊥平面ABC ;
(2)求二面角M AC B --余弦值的大小. 解:(1)∵,,PC AB PC BC AB BC B ⊥⊥=
∴PC ABC ⊥平面,
又∵PC PAC ⊂平面 ∴平面PAC ⊥平面ABC .
(2)在平面ABC 内,过C 作CD CB ⊥,建立空间直角坐标系C xyz -
由题意有1,022A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
,设()()000,0,0P z z >,
则()()000310,1,,,,,0,0,2
2M z AM z CP z ⎛⎫
=-= ⎪
⎪⎝⎭,
由直线AM 与直线PC 所成的解为0
60,得
cos60AM CP AM CP =⋅⋅︒,即200z z =
,解得01z =
∴()310,0,1,,,022CM CA ⎛⎫
==-
⎪ ⎪
⎝⎭
,设平面MAC 的一个法向量为n
{}111,,x y z =, 则11110
1
02
y z y z +=⎧-=,取11x =,得{=n (正方向), 平面ABC 的法向量取为
()0,0,1=m (正方向),
设m 与n 所成的角为θ,则3
cos 7
θ-=
=
⋅m n m n ∴二面角M AC B --的大小为,<>m n 的补角,
故二面角
M AC B --. 评注:设1n ,2n 分别是二面角l αβ--的面,αβ的法向量,则12,<>n n 就是所求二面角的平面角或其补角的大小.何时就是二面角的平面角?何时又是其补角?资料上(包括高考试题的答案上)如是说:由图形不难(显然)得出12,<>n n 就是所求二面角的平面角或其补角的大小,说的含糊其辞,毫无判断依据,让同学们辨别不清,对结果的处理困惑不解,往往导致错误的结果,走入了解题的一个个误区.为了让同学们思维走入清淅
化,能得到一个正确的结果.在此介绍“穿入法”确定法向量的方向求解
二面角.所谓“穿入法”就是穿入二面角l αβ--内部的平面α的法向量1n (如右图所示)方向为正方向,穿出二面角l αβ--的平面β的法向量2n 方向为负方向.根据二面角的定义,只要取二面角两个平面的法
向量中的一个正方向,一个负方向,则两法向量所夹角12,<>n n 即为二面角的平面角,由公式12
1212cos ,||||
<>=
n n n n n n 便可轻松求出.如果两个法向量都取正方向(或负方向),则
12,<>n n 即为所求二面角的补角.
例2如图,是一个直三棱柱(以111A B C 为底面)被一平面所截得到的几何体,截面为ABC .已知11111A B B C ==,11190A B C ∠=,14AA =,12BB =,13CC =.
(1)设点O 是AB 的中点,证明://OC 平面111A B C ; (2)求二面角1B AC A --的大小; 解:(1)以1B 为原点建立空间直角坐标系,
则(014)A ,,,(002)B ,,,(103)C ,,,因为O 是AB 的中点,所以1032O ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
,,, 1102OC ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭,,.
11
x
易知,n (001)=,,是平面111A B C 的一个法向量.
因为OC 0=n ,OC ⊄平面111A B C ,所以OC ∥平面111A B C .
(2)(012)AB =--,
,,(101)BC =,,, 设m ()x y z =,,是平面ABC 的一个法向量,则
则AB 0=m ,BC 0=m 得:20
y z x z --=⎧⎨
+=⎩
取1x z =-=,(121)=-,,m (负方向)
. 显然,l (110)=,,为平面11AAC C 的一个法向量(正方向). 所以,<>m l 大小即为二面角1B AC A --的大小,
而12cos ,2++<>=
==
⨯m l m l m l , 所以二面角1B AC A --的大小是30︒.
评注:用“穿入法”确定法向量方向求解二面角,体现了“数”与“形”的结合,淡化了传
统立体中的“形”到“形”的推理方法,也避免了处理结果中对所求角为二面角还是其补角的判断,从而降低了思维难度,使解题变得程序化,易于接受,是用向量法求二面角的独到之处.。

相关文档
最新文档