函数的单调性知识点和题型归纳

3 ∴ y＝ log1 (x2－4x＋ 3)的单调递减区间为 (3，＋ ∞），
3 单调递增区间为 (－∞， 1)．
注意：《名师一号》 P17 高频考点 例 2 规律方法 求函数的单调区间的常用方法
(1)利用已知函数的单调性， 即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．
(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义． (3)图象法：如果 f (x)是以图象形式给出的，或者 f (x)的
图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间． (4)导数法：利用导数的正负确定函数的单调区间．
例 2.（2）(补充 ) y
2
log 1 x
2
4log 1 x
2
1 答案：增区间： ,
4
1 ；减区间： 0,
4
2
练习 : y log 2 x log 2 x
答案：增区间： 2, ；减区间： 0, 2
（三）利用单调性解（证）不等式及比较大小 例 1.（1）《名师一号》 P17 特色专题 典例 (1) 1 已知函数 f(x)＝log2x＋1－x，若 x1∈(1,2)，x2∈(2，＋ ∞）， 则( ) A．f (x1)<0，f(x2)<0 B．f(x1)<0， f(x2)>0 C．f (x1)>0，f(x2)<0 D．f(x1)>0， f(x2)>0
（ 2）单调性的 判断 方法： 《名师一号》 P17 高频考点 例 2 规律方法
定义法及导数法、图象法、 复合函数的单调性 (同增异减 )、 用已知函数的单调性等
(补充 )单调性的有关结论 1．若 f(x)，g(x)均为增 (减)函数，
则 f (x)＋g(x)仍为增 (减)函数． 2．若 f(x)为增 (减)函数，
简称 ”同增异减 ”
5. 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同； 偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反．
函数单调性的应用 《名师一号》 P17 特色专题
(1)求某些函数的值域或最值． (2)比较函数值或自变量值的大小． (3)解、证不等式． (4)求参数的取值范围或值． (5)作函数图象．
一、知识梳理 《名师一号》 P15 注意：
研究函数单调性必须 先求函数的定义域， 函数的单调区间是 定义域的子集 单调区间 不能并 ！
知识点一 函数的单调性 1.单调函数的定义
2.单调性、单调区间的定义
若函数 f(x)在区间 D 上是 增函数或减函数 ，则称函数 f(x) 在这一区间上具有 (严格的 )单调性， 区间 D 叫做 f(x)的单 调区间 .
答案： √ × √
例 1.（2）《名师一号》 P16 高频考点 例 1（ 1）
(2014 ·北京卷 )下列函数中，在区间 (0，＋∞）上为增函数的
是( )
A．y＝ x＋1 C．y＝2－x
Байду номын сангаас
B． y＝ (x－1)2 D．y＝ (x＋ 1)
答案： A. 例 2.（1）《名师一号》 P16 高频考点 例 1（ 2）
已知函数 f(x)＝ －x2－ 2x＋3，x>0， 则不等式 f (a2－ 4)>f (3a)的解集为 ( )
A．(2,6) B．(－1,4) C．(1,4) D．(－ 3,5)
【规范解答】 作出函数 f(x)的图象， 如图所示，则函数 f (x)在 R 上是 单调递减的．由 f(a2－4)>f(3a)， 可得 a2－ 4<3a，整理得 a2－ 3a－4<0，
∴当 a>0 时， f(x1)－ f(x2)<0，
即 f(x1)<f(x2)，
∴函数 y＝ f(x)在(－ 1，＋ ∞）上单调递增．
同理当 a<0 时， f(x1)－f(x2)>0， 即 f(x1)>f(x2)，
∴函数 y＝ f(x)在(－ 1，＋ ∞）上单调递减．
法二：导数法
注意：《名师一号》 P17 高频考点 例 1 规律方法 1.判断函数的单调性应先求定义域； 2.用定义法判断 (或证明 )函数单调性的一般步骤为：
二、例题分析： （一 ) 函数单调性的判断与证明 例 1.（1）《名师一号》 P16 对点自测 1 判断下列说法是否正确 (1)函数 f(x)＝2x＋ 1 在(－ ∞，＋ ∞）上是增函数． ( )
1 (2)函数 f(x)＝ x在其定义域上是减函数． ( ) (3)已知 f (x)＝ x，g(x)＝－ 2x，则 y＝f (x)－ g(x)在定义域 上是增函数． ( )
f ( x1) f ( x2 ) 0 f(x)在[a，b] 上是减函数． x1 x2
②（x1－x2)[f(x1)－f (x2)]>0f (x)在 [a，b]上是增函数； (x1－ x2)[f (x1)－f(x2)]<0f (x)在[ a， b] 上是减函数．
2、《名师一号》 P16 问题探究 问题 2 单调区间的表示注意哪些问题
注意： 1、《名师一号》 P16 问题探究 问题 1 关于函数单调性的定义应注意哪些问题 (1)定义中 x1， x2 具有任意性 ，不能是规定的特定值． (2)函数的 单调区间必须是定义域的子集 ； (3)定义的两种变式 ： 设任意 x1，x2∈[a，b]且 x1<x2，那么
① f ( x1) f ( x2) 0 f(x)在[ a， b] 上是增函数； x1 x2
1 【规范解答】 ∵函数 f(x)＝log2x＋ 1－x在(1，＋ ∞）上为 增函数，且 f (2)＝ 0，
∴当 x1∈(1,2)时， f(x1)<f(2)＝ 0， 当 x2∈(2，＋ ∞）时， f(x2)>f(2)＝0， 即 f(x1)<0， f(x2)>0.
例 1.（2）《名师一号》 P17 特色专题 典例 (2) x2－ 4x＋ 3， x≤０，
( “分解因式 ”、配方成同号项的和等 )； ③ 依据差式的符号确定其增减性． (2) 导数法 :
设函数 y＝ f(x)在某区间 D 内可导．如果 f ′x（)>0，则 f(x) 在区间 D 内为增函数； 如果 f ′x（)<0，则 f(x)在区间 D 内为 减函数． 注意： (补充 )
（ 1）若使得 f ′x（)=0 的 x 的值只有有限个， 则如果 f ′x（) 0 ，则 f (x)在区间 D 内为增函数； 如果 f ′x（) 0 ，则 f (x)在区间 D 内为减函数．
则－ f (x)为减 (增)函数，如果同时有
f(x)>0，
则 1 为减 (增 )函数， f x 为增 (减)函数． fx
3．互为反函数的两个函数有相同的单调性． 4．y＝f [g(x)]是定义在 M 上的函数，
若 f (x)与 g(x)的单调性相同， 则其复合函数 f[g(x)]为增函数；
若 f (x)、 g(x)的单调性相反， 则其复合函数 f[g(x)]为减函数．
ax 判断函数 f(x)＝x＋ 1在(－ 1，＋ ∞）上的单调性，并证明．
法一：定义法
设－ 1<x1<x2，
则
f(x1)－
f
(x2)
＝x1a＋x11－
ax2 x2＋ 1
ax1x2＋1－ax2x1＋1
＝
x1＋1x2＋ 1
ax1－x2 ＝x1＋ 1x2＋ 1
∵－ 1<x1<x2，
∴x1－ x2<0，x1＋ 1>0，x2＋ 1>0.
2
x1≠x2，都有 f ( x1) f ( x2) 0 成立，则实数 x1 x2
围为 ( ) A． (－∞， 2) C． (－∞， 2]
a 的取值范
【规范解答】 函数 f (x)是 R 上的减函数，
a－2<0，
于是有
1 a－2×２≤2
2－1，
由此解得 a≤183，
13 即实数 a 的取值范围是 －∞， 8 .
即 (a＋1)(a－ 4)<0，解得－ 1<a<4， 所以不等式的解集为 (－ 1,4)． 注意 :本例分段函数的单调区间可以并 !
（四）已知单调性求参数的值或取值范围
例 1.(1)《名师一号》 P17 特色专题 典例 (3)
a 2 x, x 2
已 知函 数 f x
x
1
满 足对 任意 的实 数
1,x 2
变式： 若 f(x)＝x3－ 6ax 在区间 (－2,2)单调递减，
则 a 的取值范围是
[点评 ] f(x)的单调递减区间是 (－2,2) 和 f(x)在(－ 2，2)上单调递减是不同的，应加以区分． 本例亦可用 x＝ ±２是方程 f ′x（)＝ 3x2－ 6a＝0 的两根 解得 a＝ 2. 例 2.(3) （补充） 若函数 f ( x) log 1 ( x3 ax)在( 3, 2) 上单调递减，
1 因为 f (x)在 (－∞，4)上单调递增，所以 a<0，且－ a≥４，解
1
1
得－ 4≤a<0.综上所述－ 4≤a≤ 0.
例 2.(2) （补充）若 f (x)＝x3－ 6ax 的单调递减区间是 (－2,2)， 则 a 的取值范围是 ( ) A． (－∞， 0] B．[ －2,2] C．{2} D．[2，＋ ∞）
[答案 ] C [解析 ] f ′x（)＝ 3x2－ 6a， 若 a≤０，则 f ′x（) ≥，０∴f (x)单调增，排除 A； 若 a>0，则由 f ′x（)＝0 得 x＝ ± 2a，当 x<－ 2a和 x> 2a时， f ′x（)>0，f (x)单调增，当－ 2a<x< 2a时， f(x)单调减， ∴f (x)的单调减区间为 (－ 2a， 2a)，从而 2a＝2， ∴a＝2.
3 令 u＝x2－4x＋3>0.则 x<1 或 x>3. ∴ 函数 y＝ log1 (x2－4x＋ 3)的定义域为
3 (－ ∞，1)∪(3，＋ ∞）． 又 u＝x2－4x＋3 的图象的对称轴为 x＝2，且开口向上， ∴ u＝ x2－4x＋ 3 在 (－ ∞， 1)上是减函数， 在 (3，＋ ∞）上是增函数． 而函数 y＝ log1 u 在(0，＋ ∞）上是减函数，
8、设函数 f x
ax 1
在区间
2,
2x－1，x<1. 作出该函数的图象如图所示．
由图象可知，该函数的单调增区间是 (－∞，1]． 例 2.（1）《名师一号》 P16 高频考点 例 2（ 2） 求函数 y＝ log1 (x2－4x＋ 3)的单调区间．
3
解析 :令 u＝x2－4x＋3， 原函数可以看作 y＝log1 u 与 u＝ x2－4x＋ 3 的复合函数．
取值 —作差 —变形 —判号 —定论， 其中变形为关键， 而变形的方法有因式分解、 配方法等； 3.用导数判断函数的单调性简单快捷，应引起足够的重视
（二）求复合函数、分段函数的单调性区间 例 1.《名师一号》 P16 高频考点 例 2（1） 求函数 y＝ x－ |1 － x| 的单调增区间；
1，x≥１， y＝x－ |1 － x| ＝
单调区间只能用区间表示 ，不能用集合或不等式表示； 如 有多个单调区间应分别写，不能用并集符号 “∪ ”联结 ， 也不能用 “或 ”联结．
知识点二 单调性的 证明 方法： 定义法及导数法 《名师一号》 P16 高频考点 例 1 规律方法
(1) 定义法 : 利用 定义 证明函数单调性的一般步骤是：
① 任取 x1、x2∈ D，且 x1<x2； ② 作差 f(x1)－ f(x2)，并适当变形
2
则实数 a 的取值范围是 （ ） A． [9，12] B． [4，12] C．[4 ，27] D．[9，27]
答案： A 温故知新 P23 第 9 题
若函数 f x log 1 x 2 ax 3a 在区间
2
2, 上单调递减，则实数 a 的取值范围是
《计时双基练》 P217 基础 7
《计时双基练》 P217 基础 8、 10
●高考明方向 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义 ． 2.会 运用基本初等函数的图象分析函数的性质 .
★备考知考情 1.函数的单调性是函数的一个重要性质，是高考的热点 ， 常见问题有：求单调区间，判断函数的单调性，求参数的 取值，利用函数单调性比较数的大小， 以及解不等式等．客 观题主要考查函数的单调性，最值的确定与简单应用． 2.题型多以选择题、填空题的形式出现，若与导数交汇 命题，则以解答题的形式出现 .
例 2.(1) （补充） 如果函数 f(x)＝ax2＋2x－3 在区间 (－∞， 4)上单调递增，则实数 a 的取值范围是 ________．
1 [ 答案 ] [ －4，0]
[ 解析 ] (1)当 a＝0 时， f (x)＝2x－3，在定义域 R 上单调
递增，故在 (－ ∞，4)上单调递增；
1 (2)当 a≠０时，二次函数 f(x)的对称轴为直线 x＝－ a，