反比例函数图像面积问题

图中面积相等的图形有哪些？
y
yk x
O
x
学会寻找图像中的基本构图、寻找单位面积 矩形或三角形、寻找变化中的不变量
拓展.如图，已知点A，C在反比例函数 y 的图象上，点B，D在反比例函数 y b (b
a x
0)
(a

0)
的图象上，AB∥CD∥轴，AB，CD在x 轴的两侧，
AB=3，CD=2，AB与CD的距离为5，
上则平行四边形O’APB的面积为 k
.
探究2 反比例函数与三角形的面积
如图,点P(m,n)是反比例函数
y
k x
图象上
的一点,过点P向x轴作垂线,垂足是点A，则
k
S△PAO=____2____.
y
P(m,n)
OA
x
思考2 图中的这些三角形面积相等吗？
1 2
|k|
y
yk x
O
x
如图,点P(m,n)是反比例函数
y

k x
图象上
的一点,过点P向x轴作垂线,垂足是点A，O’为
y轴上一点，则S△PAO’=____k_2___. y
O’
P(m,n)
OA
x
思考1
如果是向y轴作垂线,垂足是点B，
k
则S△PBO的面积是___2__ . y
结论2： 过双曲线上任意一点作x轴
B P(m,n)
(或y轴）的垂线，所得直 O’
则a-b的值是多少？（2015宁波）
x
A
S 2k
S=2︱K︱ S 4 k
例 1、函数 y 1 和 y 4 在第一象限内的图象
如图，点P是
x y
4
x
图象上一动点，PC⊥x轴于点C，
x
PD⊥y轴于D点，交 y

1
的图象于点A和点B，
x
（1）求出△AOP的面积。
（2）说明 CA 1 AP
3百度文库
BD与BP之间又有怎样的关系？ D
反比例函数图象中的面积问题
y
y
0
x
0
x
探究1 反比例函数与矩形的面积
k 已的象足知图上分(2点点像)别的过P上P是一（P(分m，点点m,,A别那，n过、)n作么点在）BxPm，函轴是分n则,数反别y=轴 S比y向矩y2=的形例xO轴垂 函AkxP、B数线=.y,_垂y轴__作足|_kkx_|垂(分_k_≠线_别0.),垂图为A, B,
则S矩形OAPB OA AP | m | | n || k | (如图所示).
思考
图中的这些矩形面积相等吗？
结论：
y
过双曲线上任意一点作x轴、 y轴的垂线，所得矩形的面 积S为定值，即S=|k|.
yk x
O
x
如图，已知点P(m,n)在函数y= k （k＞0）
x
的图像上，PB⊥y轴，垂足为B，CA在x轴
O
x
角三角形的面积S为定值，
即S=
1 2
|k|
.
探究3
k
任意正比例函数与反比例函数 图象交于A、B两点，那么
y

(k x
0)
△ABC的面积为多少呢？
y
A
C
D
图7
x
B
反比例函数与正比例函数围成的图形面积
变式：任意正比例函数与反比例函数 y＝ k 图像相交，
请分别说出以下图形的面积
x
y
o
P/
P(m,n)
4 y= x
B
P
1 A y=
x
O
C
反比例函数 y k (k>1)和 y 1 上有P、B两
x
x
点,BP∥X轴，O’为x轴上任意一点，S△PBO’=2
求k的值
A O’
例2
：
反比例函数
y
k x
有两个点A(1，
8 ) 和B (4，n)，连结OA、OB
求：⑴反比例函数的解析式；⑵三角形
⊿AOB的面积。