全国高中数学联赛模拟试题

2017年全国高中数学联赛模拟试题04

第一试

（时间：8:00-9:20 满分：120）

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.

1. 集合{,}A x y 与3{1,log (2)}B x 恰有一个公共元为正数1x ，则

A B

．

2.若函数()23log 2

a f x ax x ⎛⎫

=-+ ⎪⎝

⎭

在区间[]1,2上递增，则a 的取值范围是___________.

3.已知02

π

βα≤≤<

，且tan 3tan αβ=，则u αβ=-的最大值为________.

4.在单调递增数列{}n a 中，已知12a =，24a =，且21n a -，2n a ，21n a +成等差数列，2n a ，21n a +，

22n a +成等比数列，1,2,3,

n =.那么，100a =_________.

5. 已知点(1,2,5)P 是空间直角坐标系O xyz -内一定点，过P 作一平面与三坐标轴的正半轴分别交于,,A B C 三点，则所有这样的四面体OABC 的体积的最小值为 ．

6.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边为,,a b c ，5a =，4b =，又知31

cos()32

A B -=

， 则ABC ∆的面积为 ．

7. 已知过两抛物线21:1(1)C x y +=-，22:(1)41C y x a -=-++的交点的各自的切线互相垂直， 则实数a 的值为 ．

8.若整数,a b 既不互质，又不存在整除关系，则称,a b 是一个“联盟”数对；设A 是集

{}1,2,

,2014M =的n 元子集，且A 中任两数皆是“联盟”数对，则n 的最大值

为 ．

二、解答题：本大题共3小题，共56分.

9. （本小题满分16分）设数列{}n a 满足2113

1,,12n n n

a a a n a ++==≥．求证：

（1） 当2n ≥时，n a 严格单调递减．（2） 当1n ≥

时，1|n

n a +=

，这里

2r =-

10. （本小题满分20分）设椭圆22

221(0)y x a b a b

+=>>与抛物线22(0)x py p =>有一个共同

的焦点F ，PQ 为它们的一条公切线，P 、Q 为切点，证明： PF QF ⊥．

11. （本小题满分20分）求证：（1）方程310x x --=恰有一个实根ω，并且ω是无理数； （2）ω不是任何整数系数二次方程20(,,,0)ax bx c a b c Z a ++=∈≠的根．

2017年全国高中数学联赛模拟试题04

加试

（时间：9:40-12:10 满分：180）

一、（本小题满分40分）如图，在锐角ABC ∆ 中，,AB AC D > 、E 分别是边AB 、AC 的中点，ADE ∆ 的外接圆与BCE ∆ 的外接圆交于点P （异于点E ），ADE ∆ 的外接圆与BCD ∆ 的外接圆交于点Q （异于点D ）。求证：AP AQ = .

二、（本小题满分40分）

求所有素数p ，使得12

21

1

p p

k p k

三、（本小题满分50分）

设n 是一个正整数，1212232,,,,,,,,,,,n n n a a a b b b c c c 是4n －1个正实数，使得

2,1,i j i j c a b i j n +≥≤≤．

令22max i i n

m c ≤≤=，证明：22321212(

)(

)(

)2n

n n

m c c c a a a b b b n

n n

+++

+++

+++

+≥．

四、（本小题满分50分）

n 个棋手参加象棋比赛，每两个棋手比赛一局．规定胜者得1分，负者得0分，平

局各得分．如果赛后发现任何m 个棋手中都有一个棋手胜了其余m －1个棋手，也有一个棋手输给了其余m －1个棋手，就称此赛况具有性质P （m ）．对给定的m （m ≥4），求n 的最小值f （m ），使得对具有性质P （m ）的任何赛况，都有所有n 名棋手的得分各不相同．

2017年全国高中数学联赛模拟试题04

第一试参考解答

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.

1. 集合{,}A x y 与3{1,log (2)}B x 恰有一个公共元为正数1x ，则

A B

．

解：由于1x x ，

故1x y ．

由

3log (2)

1x 知1x

，又因为10x ，

所以11

32

x

x

e x

即3log (2)1x x 故只能是11y x ，这样{0,1}A ，3{1,log 2}B ，得3{0,1,log 2}A B

2.若函数()23log 2

a f x ax x ⎛⎫

=-+ ⎪⎝

⎭

在区间[]1,2上递增，则a 的取值范围是___________.

解：（ⅰ）当01a <<时，只需01,12,140.22a a a ≥-⎧⎪<<⎪⎨>⎪⎪⎪⎪⎩，解得1814a <≤.（ⅱ）当1a >时，只需1,10.2

1,1

2a a a

⎧⎪>⎪

⎪⎨≤+>⎪⎪⎪⎩，

解得1a >.

综上，a 的取值范围是()11,1,84⎛⎤

⎥⎦

∞+ ⎝.

3.已知02

π

βα≤≤<

，且tan 3tan αβ=，则u αβ=-的最大值为________.

解：因为02

π

βα≤≤<，tan 3tan αβ=，所以02

π

αβ≤-<

，

()()tan tan tan 1tan tan αβββαββ

-+=--.

所以(

)2

2tan 2tan 1

13tan 3tan ta 3

n β

αββ

ββ

=++≤

-=

，u 的最大值为6π.

4.在单调递增数列{}n a 中，已知12a =，24a =，且21n a -，2n a ，21n a +成等差数列，2n a ，21n a +，

22n a +成等比数列，1,2,3,

n =.那么，100a =_________.

解：因为{}n a 单调递增，10a >，所以0n a >.因为21n a -，2n a ，21n a +成等差数列，2n a ，21n a +，

22n a +成等比数列，所以212122

22221

2n n n

n n n a a a a a a -++++=⎧⎪⎨⋅=⎪⎩.

因为212122n n n a a a -++==，