中国农业大学2014-2015学期研究生数值分析试题

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中国农业大学2014-2015秋季学期研究生《数值分析》试题

一． 填空题

1．*3587.6x =是经四舍五入得到的近似值，则其相对误差≤*r e ___________.

2．设f (x )=a n x n +1 (a n ≠0)，则f [x 0, x 1,…, x n ]=_________ .

3．设0)(≥''x f , 则由梯形公式计算的近似值T 和定积分⎰=b

a dx x f I )(的值的大小 关系为___________.（大于或者小于）

4．已知=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=1,4032A A 则_______. 5．超松弛迭代法（SOR 方法）收敛的必要条件是 .

6．求方程x = cos x 根的牛顿迭代格式是 .

二．序列{y n }满足递推关系 y n =10y n -1-1，（n =1,2,…），若41.120≈=y （三位有效数字），计算到y 10时误差有多大？这个计算过程数值稳定吗？

三．已知f ( x )的如下函数值以及导数值：5)2(,2)1(,3)1(,2)0(=='==f f f f ，

(1) 建立不超过3次的埃尔米特插值多项式)(3x H ，并计算)8.1(3H ；

（2）推导)(3x H 的插值余项；若1)(max )4(2

0≤≤≤x f x ，求)8.1()8.1(3H f -.

用最小二乘法求形如b x a y +=

的经验公式.

五．已知数值积分公式

)5

3(95)0(98)53(95)(1

1f f f dx x f ++-≈⎰-， (1) 证明上面的求积公式是高斯型求积公式；

(2) 试给出计算积分⎰b a dx x g )(的3点高斯型求积公式.

(3) 应用(2)所构造的求积公式计算积分⎰-63

dx e x 的近似值（结果保留4位小数）.

六． 对于方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=-+3221522321321321x x x x x x x x x ，

(1)用三角分解法解此方程组；

(2)讨论用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法求解该线性方程组的敛散性；

(3)取初值0)0(=X ，写出雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法的迭代公式，并迭代2次.

七．给定方程,032=-x e x

(1) 构造一种迭代公式在]4,3[上线性收敛该方程的根（含迭代公式，初值取何值或何区间，迭

代收敛的原因）；

(2) 构造一种二次收敛的不动点迭代公式局部收敛该方程的根（含迭代公式，初值取何值或何

区间，迭代收敛的原因）.

八．设有求解初值问题

00)(),,()(y x y y x f x y =='的龙格—库塔公式

)),(2

,2(1n n n n n n y x f h y h x hf y y +++=+ (1) 证明：该公式至少是二阶公式； (2) 用该公式计算积分⎰22

0x t dt e 在x =0.5, 1处的值.

九．证明：设A 是非奇异阵，线性方程组0≠=b Ax ，且

b b x x A δδ+=+)(

则 b b

A A x x

δδ⋅⋅≤-1. 十．请你设计三种不同类型的算法求75.0的近似值，并评价你提出方法的精确程度.（注：直接按

计算器不算作一种算法）