古典概型在生活中的应用

浅谈古典概型在生活中的应用

【摘要】古典概型古典概型是一种特殊的数学模型,也是一种最基本的概率模型,在概率论中占有相当重要的地位，它概括了许多实际问题，比如遗传问题、出拳游戏问题以及鱼群数目问题.

【关键词】古典概型生活中基本事件

【作者单位】山东枣庄科技职业技术学院

【正文】

古典概型是是概率论发展初期的主要研究对象，使我们可以解决一类随机事件（等可能事件）的概率，而且可以得到概率精确值，同时避免了大量的重复试验.古典概型的特点：⑴所有的基本事件只有有限个；⑵每个基本事件发生的概率相等；⑶不需要通过大量重复的试验，只要通过对一次试验可能出现的结果进行分析即可.古典概型的概率计算公式，P（A）=A包含的基本事件的个数/基本事件的总数.本文结合例题介绍概率论中3个比较著名的古典概型问题,供同学们读者了解古典概率模型及其在生活中的应用.

例1 （遗传问题）每个人的基因都有两份，一份来自父亲，另一份来自母亲.同样地，他的父亲和母亲的基因也有两份.在生殖的过程中，父亲和母亲各自随机地提供一份基因给他们的后代.

以褐色的眼睛为例.每个人的基因都一份基因显示他的眼睛颜色:(1）眼睛为褐色;(2）眼睛不为褐色.如果孩子得到的父母的基因都是“眼睛为褐色”的基因，则孩子的眼睛为褐色，如果孩子得到的父母的基因都是“眼睛不为褐色”的基因，则孩子的眼睛不为褐色（是什么颜色取决于其他的基因）.如果孩子得到的基因中一份为“眼睛为褐色”的，另一份为“眼睛不为褐色”的，则孩子的眼睛不会出现两种可能，而只会眼睛颜色为褐色的情况.生物学家把“眼睛为褐色”的基因叫做显现基因.

为方便起见，我们用字母B代表“眼睛为褐色”这个显现基因，用b代表“眼睛不为褐色”这个基因.每个人的基因都有两份，控制一个人眼睛颜色的基因有BB,bb（表示父亲提供基因B，母亲提供基因b），bB,bb,注意在BB,Bb,bB和bb这4种基因中只有bb基因显示为眼睛颜色不为褐色，其他的基因都显示眼睛颜色为褐色.

假设父亲和母亲控制眼睛颜色的基因都为Bb,则孩子眼睛不为褐色

的概率有多大？

【解析】父亲和母亲控制眼睛颜色的基因都为Bb，从而孩子有可

能产生的基因有4种，即BB，Bb,bB ,bb(如右图).又父亲或母亲提供

给孩子基因B或b的概率是一样的，所有可以认为孩子的基因是这4种

中的任何一种的可能性是一样的,因此，这是一个古典概型问题.只有当

孩子的基因为bb时，眼睛才不为褐色，所以，“孩子眼睛不为褐色”

这个随机事件发生的概率为1

0.25 4

.

例2（出拳游戏问题）甲、乙两人玩出拳游戏(剪刀、锤子、布),求：

(1)平局的概率；(2)甲赢的概率；(3)乙赢的概率.

【解析】甲有3种不同的出拳方法,每一种出法是等可能的,乙同样有等可能的3种不同出法.一次出拳游戏共有3×3=9种不同的结果,可以认为这9种结果是等可能的.所以一次游戏是(试验)是古典概型,它的基本事件总数为9.平局的含义是两人出法相同,例如都出了锤.甲赢的含义是甲出锤且乙出剪, 甲出剪且乙出布, 甲出布且乙出锤这三种情况.乙赢的含义是乙出锤且甲出剪,乙出剪且甲出布,乙出布且甲出出锤这三种情况.

设平局事件为A,甲赢为事件B,乙赢为事件C,由右图容易得到：

(1)平局含3个基本事件(图中的);

(2)甲赢含3个基本事件(图中的);

(3)乙赢含3个基本事件(图中的*)

由古典概率的计算公式,可得:

P(A)=31

93

=;P(B)=

31

93

=;P(C)=

31

93

=，因此甲、乙二人玩的出拳游戏平局、甲赢、乙赢的概率

都是1

3

.

例3（鱼群数目问题）生活在湖边的渔民想方便而且快速地知道湖中有多少鱼,他们用什么方法呢?有经验的渔民们常用一种称为“标记后再捕”的方法. 先从湖中随意地捕捉一些鱼上来,比如说捕到1000 条鱼,在每条鱼的身上作记号又放回湖中. 隔了一定时间后,又从湖中随意地捕捉一些鱼,比如说第二次捕到200 条,看其中有标记的鱼有多少条,如果是10 条有标记,那么渔民就会估计出湖里的鱼大约为20000条.你知道渔民是怎样估计出来的吗?

【解析】200条鱼中有10条是有记号的,如果湖中鱼的分布是均匀的,那么每条有记号的鱼被捕到的可能性

的大小是相等的,因此，这是一个古典概型问题,所以,每条有记号鱼被捕到的概率是

101

20020

P==,若湖

中有n条鱼,其中1000条是有记号的,则每条有记号的鱼被捕到的概率也是

1000

P

n

=,所以

10001

20

n

＝, 解

得n=20000.

当然,实际上湖中鱼的分布不可能非常均匀,因此渔民们常常是重复这种方法多次,然后取所有这些结果的平均数.

学好古典概型可以为其它概率的学习奠定基础，同时有利于理解概率的概念，有利于计算一些事件的概率，也有利于解释生活中的一些问题.