古典概型在生活中的应用
概率的基本概念与计算方法
概率的基本概念与计算方法概率是数学中重要的概念之一，用以描述事件发生的可能性。
在日常生活和各个学科领域，概率都扮演着重要的角色。
本文将介绍概率的基本概念以及常用的计算方法。
一、概率的基本概念1.1 事件与样本空间在概率论中，事件指的是可能发生的某种结果或者一组结果。
样本空间是指所有可能结果的集合，通常用Ω表示。
1.2 事件的概率事件的概率是指该事件发生的可能性大小，用P(A)表示。
概率的取值范围在0到1之间，其中0表示不可能事件，1表示必然事件。
1.3 古典概型古典概型适用于所有等可能发生的情况，如掷骰子、抽牌等。
当样本空间Ω中的事件数为n时，事件A发生的概率可以用下式计算：P(A) = m / n，其中m表示事件A所包含的有利结果的个数。
1.4 几何概型几何概型适用于空间上的事件，如点、线、面等。
当事件A为几何图形时，可以通过几何方法计算其概率。
二、概率的计算方法2.1 加法法则加法法则是计算两个事件之并集的概率的方法。
设事件A和事件B为样本空间Ω中的两个事件，则其并集为A∪B。
根据加法法则，事件A和事件B的概率之和等于事件A∪B的概率，即P(A∪B) = P(A) +P(B) - P(A∩B)。
2.2 乘法法则乘法法则用来计算两个事件同时发生的概率。
设事件A和事件B为样本空间Ω中的两个事件，则事件A和事件B同时发生的概率可以通过以下公式计算：P(A∩B) = P(A) * P(B|A)，其中P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
2.3 条件概率条件概率用于计算在某一条件下事件发生的概率。
设事件A和事件B为样本空间Ω中的两个事件，其中P(B)≠0，事件A在事件B发生的条件下发生的概率可以通过以下公式计算：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
2.4 独立事件与互斥事件独立事件指的是两个事件的发生与否相互独立，即事件A的发生不影响事件B的发生。
当事件A和事件B为独立事件时，P(B|A) = P(B)。
古典概型a公式
古典概型a公式摘要：1.引言：介绍古典概型a 公式2.古典概型a 公式的概念和原理3.古典概型a 公式的性质和特点4.古典概型a 公式的应用领域5.结论：总结古典概型a 公式的重要性和影响正文：【引言】在概率论的研究中，古典概型a 公式是一个重要的概念。
本文将从概念、原理、性质、特点和应用领域等方面对古典概型a 公式进行详细的介绍和分析。
【古典概型a 公式的概念和原理】古典概型a 公式，又称为伯努利试验，是由瑞士数学家雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli）在17 世纪提出的。
其基本思想是：对一系列相互独立的、具有相同概率的试验进行观察，求解在某一试验中成功次数为k 次的概率。
古典概型a 公式可以表示为：P(X=k)=C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中，P(X=k) 表示成功次数为k 次的概率，C(n, k) 表示从n 次试验中选择k 次成功的组合数，p 表示每次试验成功的概率，n 表示试验次数。
【古典概型a 公式的性质和特点】古典概型a 公式具有以下性质和特点：1.概率分布：古典概型a 公式的概率分布具有二项分布的特点，即成功次数k 的概率分布呈钟形。
2.独立性：古典概型a 公式要求试验之间相互独立，这是其成立的一个基本条件。
3.等概率：每次试验成功的概率相同，即p 为常数。
【古典概型a 公式的应用领域】古典概型a 公式在实际应用中具有广泛的应用领域，如：1.生物学：遗传学、生态学等领域的研究；2.社会科学：经济学、心理学、社会学等领域的研究；3.工程技术：计算机科学、通信技术、质量控制等领域的研究。
【结论】古典概型a 公式是概率论中一个重要的概念，它对研究一系列相互独立、具有相同概率的试验具有重要的意义。
古典概型的几类基本问题(1)
古典概型中的几类基本问题1 引言对于古典概型问题的求解，首先要做到这三方面的工作67]1[：一是明确分辨问题的性质，即是不是古典概型问题；二是掌握古典概型的公式；三是根据公式要求，确定n （基本事件总数）和k （有利事件总数）的值17]2[，这是解题的关键一步，计算方法灵活多变，没有一个固定的模式，但古典概型的种种解法大体上都是围绕n 和k 展开的．抛硬币、掷骰子、摸球、取数等随机试验，在概率问题的研究中有着十分重要的意义．一方面，这些模型是人们从大量的随机现象中筛选出来的理想化的概率模型，它们的内容生动形象，结构清楚明确，富有直观性和典型性，便于深入浅出地反映事物的本质，揭示事物的规律．另一方面，这种模式化的解决，常常归结为某种简单的模型．因此，有目的地考察并掌握若干常见的概率模型，有助于我们举一反三，触类旁通，丰富解题的技能和技巧，不断提高解题能力．通过对相关资料的查询及老师的指导，本文主要讨论古典概率的三类基本问题：摸球问题、质点入盒问题、随机取数问题，给出它们的一般解法，指出其典型意义，并介绍其推广应用．2 摸球模型摸球模型是指从n 个可分辨的球中按照不同的要求（例如是否放回、是否计序等）一个一个地从中取出m （n m ≤）个，从而得到不同的样本空间，然后在各自的样本空间中计算事件的概率．一般说来，根据摸球的方式不同，可分为四种情况来讨论，得如下表一的四种不同的样本空间26]3[：表一其中mn m m n H C =-+1表示从n 个不同元素中取m 个元素进行元素的可重复的组合时其不同的组合个数，对各种情况先举例及推广应用：如果摸球是从n 个可分辨的球按有放回且计序的方式一个一个地从中取出m 个，这时样本空间的基本事件，总数应按相异元素允许重复的排列公式计算，因而有mn 个,此种情形是我们经常遇到的，下面来看个例子．例1 用1、2两个数字组成3个数，组成多少个数？思考方法 在数字排序的问题中，百位、十位、个位这三个位置上必须找出一个数字，至于每个是否均有位置，则不作要求，所以这是个有放回且计序的摸球问题，从而在各个位置上可以是1、2的任一个．依乘法原理不同的组合数有823==mn个．2.2 有放回且无计序摸球从n 个相异元素每次取出允许重复的m 个元素，不计次序并成一组，叫做从n 个相异元素允许重复的m 元组合，其所有组合的个数为mn m m n H C =-+1，通过下面的这个例子我们也可以看出它的典型性．例2 匣内装颜色分别为红、白、黑的三个球，有放回不按序选取，问匣内任取两个不同颜色的球的概率为多少？思考方法 作为有放回不按序摸球问题，设A 表示从匣内有放回不计序选取两个不同颜色的球的事件．由题设可知，样本空间的基本事件总数为624212323===-+C C H ，事件A 所含的基本事件数为323=C ,故所求概率为21)(2323==H C A P ．2.3 无放回且计序摸球如果摸球是无放回且计序摸球，这时样本空间的基本事件总数等于从n 个不同元素中取出m 个元素的所有不同排列的个数为mn A ，或是n 个互异元素的全排列!n P n =，这种情形也是摸球模型的重要类型．例3 袋中有α个白球，β个黑球，从中陆续取出)3(3βα+≤个球，求这3个球依次为黑白黑的概率．思考方法 每一个样本点对应着βα+个球中依次取出三个球的一种取法，需要考虑先后顺序，属于排列问题．用A 表示事件“取出3个球依次为黑白黑”，从βα+个球中依次任取三个，有3βα+P 种取法，此即样本点总数．对于有利事件，第一个和第三个黑球可在β个黑球中依次取得，有2βP 种取法；第二个白球可在α个白球中取得，有1αP 种取法．因此，A 所包含的样本点总数为12αβP P ，于是312)(φααβ+=P P P A P ．如果摸球是无放回且不计序，其样本空间的基本事件总数是从不同元素中取出若干个元素的所有不同的组合个数．例4 袋中有α个白球，β个黑球，问：从中不放回取出n m +（βα≤≤∈n m N n m ，，、）个球，试求所取出的球恰有m 个白球的概率．思考方法：这些同类球都不加区别，即不计序，又抽取后部返回，因而本例属无放回且不计序的摸球模型，其基本事件总数为nm C ++βα，此事件A 为“取出n m +个球中恰有m 个白球”，而事件A 所包含的样本点数，相当于从α个白球中取出m 个，从另外m -+βα个球中任取n 个取法种数共n m m C C -+βαα，所以nm nmm CC C A P ++-+=βαβαα)(．前面我们对摸球模型的各种类型进行了归纳，如果把白球、黑球换成产品中的正品、次品，或换成甲物、乙物，这样的人、那样的人……就可以得到形形色色的摸球问题．如果能灵活地将这些实际问题与前面的模型类型对号入座，我们就能解决有关的实际问题，为我们的生活带来方便和乐趣，例如灯泡厂检验合格率等这些产品抽样问题；还有可以把全班学生分成两组，求每组中男女生人数相对等的概率；从一副扑克牌中任取6张，求得3张红色的和3张黑色的概率；在安排值班的问题中，也可以按照无放回模型进行分析；在买彩票的过程中，可以把双色球、D 3、36选7等玩法的中奖概率求出，增加自己中奖机会．这样不仅把古典概率的知识应用在了生活中，给生活带来方便，同时也使数学给自己带来了乐趣，激发了对数学应用的动力．3 质点入盒模型该模型是指有n 个可分辨的盒子，m （n m <）个质点，按照质点是否可分辨，每盒可容纳质点的多少等不同情况，把m 个质点放入n 个可分辨的盒子，从而形成不同的样本空间，然后在各自样本空间计算事件的概率，与摸球模型类似，这里也可分四种情况讨论，清晰地可见这种模型的具体分类情况，如表二)37(]3[p ：表二3.1 每盒能容纳任意多个质点且质点可分辨质点需要分辨的问题就是排列问题，盒子能容纳任意多个质点的问题就是重复排列问题． 例1 有5个不同的质点，每个都同样以101的概率落入10个盒子，事件A ={指定的一个盒子中恰有3个质点}的概率．思考方法：由题意知，盒子容纳质点的数目不限，又质点可分辨，故为重复排列问题，其基本事件总数为510=m n ．在指定的一个盒子中恰有3个质点，共有35C 种选法，余下的2个质点可任意放入余下的9个盒中，共有29种不同选法，因而事件A 所包含的基本事件总数为3529C ，故所求概率为008.010*******109)(5352===C A P ． 3.2 每盒可容纳任意多个质点且质点不需分辨m 个质点随机进入n 个盒中，质点不需分辨属组合问题，又每盒能容纳任意多个质点，该组合为元素允许重复的组合，样本空间中含有m n m m n H C =-+1个样本点，即其基本事件总数为mm n C 1-+．例2 将例1中“5个不同的质点”换为“5个相同的质点”．思考方法：质点不需分辨属组合问题，又每个盒子容纳的质点不限，故该组合为元素可重复的组合，其基本事件总数为200251451510510===-+C C H ，因3个质点有35C 种选法，其余两质点可能落入两个盒中，有29C 种选法；也可能落入一个盒中，有19C种选法，故有224.0)()(514192935=+=C C C C A P ． 3.3 每盒最多可容纳一质点且质点需分辨 这样的问题是属于元素不允许重复的排列问题． 例3 将3个不同质点投入5个盒中，每个质点都以51的概率进入每一个盒中，且限定每盒最多只容纳一质点，求：事件A ={指定的一个盒子为空}的概率．思考方法 因质点互异，且每盒最多只容纳一质点，故属元素不允许重复的排列问题，因而其基本事件总数为6035=A ，事件A 所含的基本事件为2434=A ，故4.06024)(35434===A A A P ．3.4 每盒最多只容纳一质点且质点不需分辨 例4 将将3个相同质点投入5个盒中，每个质点都以51的概率进入每一个盒中，且限定每盒最多只容纳一质点，求：事件A ={指定的一个盒子为空}的概率．思考方法：质点不需分辨，属组合问题，又每盒最多只容纳一个质点，该组合为元素不允许重复的组合，因而其基本事件总数为1035=C ，事件A 所包含的基本事件总数为434=C ，故4.0104)(3534===C C A P ．质点入盒模型概括了很多的古典概型问题．如果把盒子看作365天，可研究n 个人的生日问题；如果把盒子看作每周的7天，又可研究值班的安排问题；如果把质点看作人，盒子看作房子，又可研究住房分配问题；如果把粒子看作质点，盒子看作空间的小区域，又可研究统计物理的Boltzmann Maxwell -统计模型；如果把信看作质点，盒子看作邮筒，又可研究投信问题；如果把骰子（硬币）看作质点，骰子（硬币）上的六点（正面和反面）看作)2(6个盒子，又可研究骰子（硬币）问题；如果将旅客视为质点，各个车站看作盒子，又可研究旅客下车问题等．不难看出质点入盒模型可以用来描述很多直观，背景完全不同但实质都完全一样的随机试验，应透过表面抓住本质，把相关问题与相应的模型联系起来，加以转化，这样问题就不难解决了．4 随机取数模型与前面的两种模型相比，此模型分类情况较简单些，分为有放回地随机取数和无放回地随机取数两种情况)44(]3[p ．4.1 有放回地随机取数取出的数字还原时，其样本空间的基本事件总数可按从n 个不同数字里取出m 个的重复排列计算问题．例1 从，，21…10这十个数中任取一个，假定各个数都以同样的概率被取中，然后还原，先后取出7个数，试求下列各事件的概率：)1(1A :7个数全不相同；)2(2A :不含9和2；)3(3A :8至少出现三次；)4(4A :5至少出现两次；)5(6A :取到的最大数恰为6．思考方法 本题所及的随机试验，就取样方法来说，属于返回取样．也就是说，把某数取出后还原，下次仍有同样的可能再取到这个数．注意到这一特点，运用上面介绍的思想方法，此题就不难得解．解 依题设，样本空间就是10个相异元素允许重复的7元排列．所以，样本点总数为710．)1(事件1A ，要求所取的7个数是互不相同的，考虑到各个数取出时有先后顺序之分，所以有利场合相当于从10个相异元素里每次取出7个相异元素的排列．因此，1A 所包含的样本点数为710P ．于是06048.010)(77101≈=P A P ．)2(事件2A ，先后取出的7个数中不含9和2，所以，这7个数只能从108765,3,41，，，，，这8个数中取得．注意到试验属于有返回取样，则2A 的有利场合，相当于8个互异元素允许重复的7元排列．于是2A 所包含的样本点数为78，有2097.0108)(772≈=A P ．)3(事件3A 中出现的三次8，可以是7次取数的任意三次，有37C 种选法；其余的4次，每次可以去剩下的9个数中的任一个，共有49种取法．因此0230.0109)(74373≈=C A P ． )4(事件4A 是六个两两互不相容事件“5恰好出现k 次”)65432(，，，，=k 的和，因此，1497.0109C )P(A 727774≈=∑=-k kk ． 也可以考虑4A 的逆事件．这里4A 是事件“5恰好出现一次或一次也不出现”．显然8503.01099)(776174≈+=C A P所以，1497.08503.01)(-1)P(A 44=-==A P)5(事件5A 的有利场合，就是6个相异元素)654321(，，，，，允许重复的最大数恰好为6的7元排列．这种排列可以分为6出现1次，1次，2次，3次，4次，5次，6次，7次等7类，显然，它们的排列数依次为6175C ,5275C ,4375C ,3475C ,2575C ,567C ,0775C ．于是0202.0105)(771775≈=∑=-k kkCA P事件5A 的有利场合的有利场合数也可以这样来考虑：最大数字不大于6的7元重复排列，有76种，它可以分为两类，一类是最大数恰好是6的7元重复排列；一类是最大数小于6的7元重复排列．注意到第二类重复排列有75种，则第一类重复排列有76-75种．于是0202.01056)(7775≈-=A P ． 4.2 无放回地随机取数如取出的数字不还原，其样本空间的事件总数要根据取数是计序或不计序，按不重复的排列或组合计算．例2 从，，10…9这十个数中任取三个不同的数字，试求下列事件的概率：)1(1A :三个数字中不含0或5；)2(2A :三个数字中不含0和5．解 所取三个数不计序，本例属元素不允许重复的组合问题，其基本事件总数为35C n =．)1(有利于1A 的基本事件总数为381C m =,于是所求概率为157)(310381==C C A P ．)2(在所给的十个数字中任取3个不含0的数字共有39C 个，同样任取3个不含5的数字共有39C 个．这些个数中均包含既不含0又不含5的3个数字的个数38C ．于是这样的3个不同数字被算了两次，即多算了一次，造成了重复．因而有利于事件2A 的基本事件数3839392C C C m -+=,故所求概率为1514)2()(31038392=-=C C C A P ． 随机取数模型作为典型的古典概型，解题的思想方法对于同类问题具有指导意义．但绝不能把它作为现成的公式乱套，有些问题表面看机构相仿，实质上差别较大，须斟酌题意灵活运用．随机取数模型在日常生活也可应用在通讯公司计算电话号码，单位票据编号完全不同的概率等实际问题中．作为古典概型在事件生活中的应用，现例举一综合例子：我们在庙会，公园里都可以看到玩这种游戏的，袋中有3种颜色的相同玻璃球，各有3个球，大家可以免费参加摸球游戏，每次从袋中摸出3个球，奖罚规则如下：摸出的3个球若：(1)颜色只有一种奖励玩家5元；(2)有两种颜色的情况罚玩家1元；(3)有三种颜色的情况奖励玩家2元．面对这种情形，我们大多数人都会对其产生诱惑，会高兴地“免费”试试身手，但我们学习完古典概型的知识后，可以看到这种游戏背后的真相．对于(1)、 (2)、)3(其概率利用古典概型的知识可得为843)1(3913==C C P ,8454)2(3913231223==C C C C C P ,8427)3(39131313==C C C C P ．直观地说，就是在84次的摸球中，第一种情况有3次，老板赢得155*3=元，第二种情况有54次，玩家输去541*54=元，第三种情况有27次，老板赢得542*27=元，最终老板赢得15541554=-+元，这个看似比较公平的游戏还是被老板赚了，所以以后大家遇到这种情形就需要考虑了．总之，通过以上几种古典概型问题的分析过程可得，这类问题是一个既有法、有时又无定法的问题．求解这类问题通常有两条基本思路：一条是直接法，对有附加条件的特殊元素或排列中的特殊位置应先处理，直接求出满足题设条件的种数；另一条是间接法，先撇开附加条件求出一个总数，再扣除不合要求的种数．在这两个过程中，均以排列、组合等知识点作为出发点，考虑一切可能出现的结果，既不能将它们遗漏，也不要重复．综合知识间的内在联系，运用多种多样、灵活多变的解题技巧把抽象的内容知识延伸至实际问题中，提高解决实际问题的能力．因此，在解答概率题时没有一个固定的模式，需要扎实的基础知识和灵活的技能技巧，为解决实际问题服务，把古典概型的知识应用在日常生活中．参考文献：[1] 赵振威等．怎样解概率题[M]．北京师范大学出版社，1986[2] 魏宗舒等．概率论与数理统计教程[M ]．高等教育出版社，1983[3] 毛纲源．概率论与数理统计解题方法技巧归纳[M]．华中科技大学出版社，1999[4] 汪仁宫．概率论引论[M]．北京大学出版社，2005[5] 周惠新．概率方法的妙用[J]．高等数学研究，2005[6] 文建新．如何分析计算古典概型习题[J]．武当学刊，1996[7] 曹晓阳．关于古典概率的几种解法[J]．自然科学版，2005．09[8] A. Kolmogorov-Smirnov .Test for Classical Probability Models [J]．自然期刊，2010。
简述概率的四种确定方法
简述概率的四种确定方法
概率是数学中的一个重要分支，它研究的是随机事件发生的可能性大小。
在实际应用中，我们需要确定概率的大小，这就需要使用概率的
四种确定方法。
第一种方法是古典概型法。
这种方法适用于随机事件的样本空间是有
限的情况。
例如，掷一枚硬币的样本空间为{正面，反面}，掷一颗骰子的样本空间为{1，2，3，4，5，6}。
在古典概型法中，我们可以通过
样本空间中有利事件的个数除以样本空间中总事件的个数来确定概率。
第二种方法是几何概型法。
这种方法适用于随机事件的样本空间是连
续的情况。
例如，一个圆形的面积为πr²，那么一个随机点落在圆形内的概率就是圆形面积与总面积的比值。
第三种方法是频率概率法。
这种方法适用于随机事件的样本空间是无
限的情况。
例如，我们可以通过大量的实验来确定一个事件发生的概率。
在频率概率法中，我们可以通过事件发生的次数除以实验总次数
来确定概率。
第四种方法是主观概率法。
这种方法适用于随机事件的概率无法通过
实验或计算得到的情况。
例如，一个人对于某个事件发生的可能性的
主观判断。
在主观概率法中，我们可以通过个人的主观判断来确定概率。
总之，概率的四种确定方法分别是古典概型法、几何概型法、频率概率法和主观概率法。
在实际应用中，我们需要根据具体情况选择合适的方法来确定概率的大小。
古典概型的概念及简单应用 课件
简单的古典概型的概率计算
[例 3] 现有 6 道题，其中 4 道甲类题，2 道乙类题，张同学 从中任取 2 道题解答．试求：
(1)所取的 2 道题都是甲类题的概率； (2)所取的 2 道题不是同一类题的概率． [解] (1)将 4 道甲类题依次编号为 1,2,3,4；2 道乙类题依次 编号为 5,6.任取 2 道题，基本事件为{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}， {1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}， {5,6}，共 15 个，而且这些基本事件的出现是等可能的．
古典概型的概念及简单的应用
古典概型的概念 掷一枚质地均匀的硬币两次，观察哪一面向上． 问题 1：这个试验共有哪几种结果？基本事件总数是几？ 提示：共有正正、正反、反正、反反四种结果，基本事件 总数是 4.
问题 2：事件 A＝{恰有一次正面向上}包含哪些试验结果？ 提示：正反、反正． 问题 3：问题 2 中事件 A 的概率是多少？ 提示：12.
m n
是一个定值，对同一个随机
的概率 事件而言，m，n都不会变化
都计算了一个
比值
m n
基本事件的计数问题
[例 1] (1)4 张卡片上分别写有数字 1,2,3,4，从这 4张卡片上的数字之和为奇数的所有基本
事件数为
()
A．2
B．3
C．4
D．6
(2)连续掷 3 枚硬币，观察这 3 枚硬币落在地面上时是正面朝
古典概型的概率公式
[导入新知]
古典概型的概率公式 A包含的基本事件的个数
对于任何事件 A，P(A)＝ 基本事件的总数 .
[化解疑难] 频率的计算公式与古典概型的概率计算公式的异同
关于古典概型的三个典型例题及其在解题中的应用
关于古典概型的三个典型例题及其在解题中的应用古典概型是概率论的基础，又有着很高的实用价值，已成为义务教育阶段数学课程的一项重要内容.结合初中数学活动课的教学实践，通过古典概型应用的若干实例，阐述了问题求解的策略、多种方法以及不同方法的具体适用场合，对古典概型的解题规律做了有益的探究.关键词：古典概型；等概基本事件组；有利场合数；应用实例；求解策略；计算方法古典概型是概率论发展史上最早被人们认识、研究并加以应用的概率模型，是一种特殊的数学模型.古典概型在概率论中具有相当重要的地位，不仅其优越性明显，应用广泛，而且是进一步学习概率不可或缺的内容.一、学习古典概型的重要性1.有利于理解概率的意义.对于古典概型，频率的稳定性比较容易验证，也与同学们已有的生活经验和数学活动经验相吻合，从而概率的存在性和确定性易于领会、理解和接受.2.可帮助我们直接计算随机事件发生的概率，化解大量重复试验带来的耗时费力的矛盾，避免破坏性试验造成的损失.也就是说，不需要做任何试验，只要分析事件的本质，确认是古典概型，就可以直接计算得到概率的精确值，而且是理论值，它与用统计方法得到的结论相一致.3.能够有效地解决生产、生活和科研中的某一类问题.如抽签、摸球、摇号、掷骰子、中奖率、次品率、密码解锁、公平规则设计等.二、古典概型的概念1.等概基本事件组设A1，A2，…，An是一个事件组，如果它具有下列三条性质：（1）A1，A2，…，An发生的机会相同（等可能性）；（2）在任一次试验中，A1，A2，…，An至少有一个发生.也就是除此以外，不可能有别的结果（完全性）；（3）在任一次试验中，A1，A2，…，An至多有一个发生.也就是说这n个事件是互相排斥的（互不相容性）.则称A1，A2，…，An为一个等可能基本事件组，也称为一个等概基本事件组，其中任一事件Ai（i=1，2，…，n）称为基本事件.2.概率的古典定义如果试验的所有可能的结果可以表述为一个等概基本事件组A1，A2，…，An.其中有且仅有m个基本事件包含于随机事件J（即当且仅当这m个事件中任一事件发生时，事件J发生），则比值m/n就称为事件J的概率，记作P（J）=m/n.其中，n是基本事件的总数，m是事件J所包含的基本事件数，通常叫做事件J的有利场合数，或有利结果数.3.古典概型及其计算公式可以根据概率的古典定义来计算随机事件的概率，这样的概率模型称为古典概型.P（J）=m/n是概率古典定义的核心内容，它给出了古典概型中随机事件的概率计算公式.三、求解方法与策略1.古典概型的确认.对所要解决的问题，首先要确定是不是属于古典概型？这主要根据古典概型的两个基本特征，即试验结果是否具有有限性和等可能性.2.判定等可能性的常用依据.（1）客观对称性（如抛掷硬币、掷骰子等试验）；（2）某种均衡性（如摸球、抽签等试验）. 3.考察等概基本事件组.等概基本事件组是与古典概型相互印证的，也是概率计算的第一步.对某些问题，等概基本事件组不是唯一的，可供选择.一般情况下，其基本事件的总数越少，求解越为简便.4.按照古典概型中随机事件的概率计算公式，先求分母和分子，再求比值，即得所求概率.分母是等概基本事件组中基本事件的总数，分子是相应事件所包含的基本事件数，即该事件的有利场合数.5.运用多种方法实施计算.（1）直接列举法；（2）表格法；（3）树状图法；（4）根据乘法原理；（5）根据排列与组合的基本知识，或兼用乘法原理；（6）根据概率的运算性质.6.不同计算方法的适用场合.（1）计算简单随机事件的概率，可运用列举法（包括列表、画树状图）.当试验结果显然或试验步骤只有1个时，可直接列举出所有等可能的结果；当试验步骤只有2个且试验结果较少时，表格法和树状图法都是行之有效的；当试验步骤只有2个但试验结果较多时，宜选用列表的方法，显得整体清晰，类别分明，解题便捷.（2）當试验分为3步（或以上），通常选用树状图法；如果要采用列表法，则需2张（或更多）表格，即分步列表.（3）义务教育阶段，宜使用列举法，帮助计算.（4）初中后阶段，可介绍乘法原理，并实施计算.乘法原理通俗易懂，其思想方法与树状图法是一致的.遵循认知规律，所花时间不多，初中学生很快就能接受并较好地掌握，既可以帮助快捷计算，也可以作为对列举法的一种验算或印证，确保列举的所有等可能结果既不遗漏，也不重复.（5）当试验出现的结果较多时，往往需要运用乘法原理或排列与组合的基本知识加以计算.（6）随着概率知识的进一步学习和加深，运用概率的运算性质进行计算，常常会收到更好的效果.7.转化（化归）策略举例.（1）编号.例如，在摸球试验中，通常将彩色球编号，目的是创设等可能性.（2）等分.例如，在转盘问题上，通常将转盘作等分、涂色处理，就是把无限转化为有限，从而归结为古典概型来求解.8.对比策略举例.（1）放回与不放回，或称有放回与无放回.例如，在摸球试验中常有这两种不同的情形，注意到这二者之间的联系与区别，对比在使用表格时各自呈现的特点，从而掌握其规律.抽签方法指的是不放回的情形.（2）有序与无序，也就是考虑顺序与不考虑顺序.对某些问题，必须考虑顺序；而对有些问题，两种方法都能使用.注意这二者之间的联系与区别.（3）比照.这里是指通过对问题实质的分析，能否与一些常见的实用类型等同看待.例如，某些实际问题可以比照为摸球问题，某些实际问题可比照为抽签问题，等等.问题的实质相同，解决问题的思想方法也相同.四、应用实例与一题多解文中解题过程，在使用排列数或组合数符号计算的等号后面，紧接着写出了详细数字，是为了看清楚，让初中学生在还没有学习排列与组合知识的情况下，能运用乘法原理有效实施计算.为书写简洁起见，同一题中的同一随机事件除首次出现外，均用J表示.例1.经典分金币问题.传说，17世纪中叶，法国贵族公子梅雷参加赌博，和赌友各押赌注32枚金币.双方约定：抛掷1枚质地均匀的硬币，正面朝上，梅雷得1分；反面朝上，赌友得1分，先积满10分者赢全部赌注.赌博进行了一段时间，梅雷已得8分，赌友得7分.这时，梅雷接到通知，要他马上陪国王接见外宾，赌局只好中止.于是，产生了一个问题，应该怎样分配这64枚金币才算公平合理？这就是历史上著名的“分赌注”问题.解：假设赌局继续，那么最多再抛掷硬币4次，就可以分出输赢.不妨用m表示梅雷积1分，用d表示赌友积1分，运用树状图法可得所有等可能的结果共有16种，其中，梅雷先积满10分的有利场合数为11，赌友先积满10分的有利场合数为5.所以P（梅雷赢）=；P（赌友赢）=.于是梅雷应分得64×=44（枚）金币，赌友应分得64×=20（枚）金币.。
古典概型在实际中的应用
（） １
— —
．
＿ Ｐ ・ Ｐ ＝ （ ＋５ （ 一５ Ｙ ＝ ０ ＿ Ｆ１ Ｆ２ ） ） 。
一
。
．
．
２ ５
＝０
解
易 知 Ｆｌ ， ） Ｆ２ ． ） 设 点 Ｐ 坐 （一 ０。 ‘ ０。
所 以 Ａ 中含 有 ｎ Ａ＝５个基 本 事件 ， 而 从
Ｐ矗 ｔ －
在第 二十 问题 里 ， 个 房 间 可 以在 Ｎ 个 房 问 ｎ 中任 意选 取 ， 总 数 Ｐ ， 选 定 的 ｎ个 房 问 ， 其 对 接 前述 的讨 论 可 知有 ｎ 种分 配 方 式 ， 以恰 有 个 ， 所 房 同其 中各 住 一个 人 的概 率为
解 由 ｅ
吉 一） １得 。
２ ｃ十４＝ ＆． ／５
一ｃ ＝ ０ 即 ６ ＝ 吐 。 ｃ
例１（０年 国 考 ） 曲 吾一 ２１ 全 高 题 双 线 ０
＝１的两 个 焦 点 为 Ｆ Ｆ！ 点 Ｐ 在 双 曲线 上 Ｆ】 Ｆ 解
— — ．
两 边 平方 得 ４ 一 １
． ＾ （ ， ） Ｂ（ 。 ） Ｆ（一ｃ ０ ， ． 。 。０ 。 ０６ ， 。）
． 一
易 知 Ｆ１ 一５ ０ 。 （ 。 ） 设 点 Ｐ 坐 标 （ ， ） Ｆ２ ５ ０ 。
． ．
目 ＝ （ ，一６ 。 Ｆ ＝（一ｃ 一６ ， Ａ Ⅱ ）Ｂ ）
Ｘ 争 ＝ ｖ １
由 （ ） （ ） 得 １ 、２ 解
（ ２ ）
标 为 （ ） 则 Ｆ１ Ｆ２ 钝 角 的充 要条 件 为 。 。 Ｐ 为
古典概型知识点总结
古典概型知识点总结古典概型是概率论中最基础、最简单的一种模型。
它是指在所有可能的结果中，每个结果的概率相等的模型。
本文将总结古典概型的相关知识点，并探讨其应用场景和注意事项。
一、基础定义1. 古典概型的定义古典概型是指在所有可能的结果中，每个结果的概率相等的模型。
例如，掷一次骰子，每个点数出现的概率都是1/6。
2. 样本空间样本空间是指古典概型中所有可能结果的集合。
例如，掷一枚硬币的样本空间为{正面，反面}。
3. 事件事件是样本空间的子集，表示发生某种结果的可能性。
例如，掷一枚硬币出现正面的事件为{正面}。
4. 概率概率是指某个事件发生的可能性大小，通常用小数表示，取值范围在0到1之间。
在古典概型中，概率可以用公式“事件发生的次数÷样本空间中总的可能结果数”来计算。
二、应用场景古典概型主要应用于以下场景：1. 骰子、硬币等随机游戏例如，掷骰子、抛硬币等游戏中，每个结果的概率都相等，符合古典概型的条件。
2. 假设检验在做假设检验时，常常需要确定某种情况下出现某种结果的概率。
如果符合古典概型条件，可以直接根据概率公式计算概率。
3. 统计学在统计学中，古典概型被广泛应用于概率分布的研究与推导。
三、注意事项在使用古典概型时，需要注意以下事项：1. 每个结果的概率相等古典概型中的最重要条件是每个结果的概率相等。
如果存在某些结果概率不等的情况，就不能使用古典概型进行概率计算了。
2. 互斥事件在计算概率时，需要注意事件之间是否互斥。
如果两个事件不互斥，那么它们的概率应该加在一起。
3. 独立事件在计算概率时，需要注意事件之间是否独立。
如果两个事件是独立的，那么它们的概率应该相乘。
四、结论古典概型是概率论中最基础、最简单的一种模型，应用范围广泛。
在使用古典概型进行概率计算时，需要注意每个结果的概率相等、事件之间是否互斥、事件之间是否独立等问题，才能准确计算概率，避免出现错误的结果。
关于古典概型的几点思考
关于古典概型的几点思考古典概型是概率论中的一种基本概念，也是最早被研究和应用的概率模型之一。
其核心思想是在样本空间中，所有基本事件具有相同的概率。
该概念不仅在数学领域得到广泛应用，还十分适用于各种实际情况中的概率问题。
本文将就古典概型进行一些思考和探讨。
概率与古典概型在古典概型中，样本空间每个基本事件出现的概率都相等，即$P(event_i)=\\frac{1}{n}$，其中n为样本空间元素总数。
古典概型的随机性质使得其应用非常灵活，因为在不了解某些信息的情况下，我们可以根据古典概型去计算概率。
比如，在投掷骰子的游戏中，假设使骰子朝上的每一个面具有等概率出现的机会，则每面的概率都为 $\\frac{1}{6}$。
这是最简单的古典概型之一，也可以解释为一个大小为6的样本空间中每个基本事件的概率是相等的。
因此，投掷掷子的概率可以通过古典概型来计算。
在实际应用中，古典概型虽然难以模拟真实环境下的复杂问题，但是受制于其分析简单、计算方便的特点而广泛应用于现实生活中的各种场景中，例如考试问题、投票问题、依赖性问题等等。
古典概型的限制尽管古典概型计算方便，但它的应用范围也存在一定的限制。
主要体现在以下方面：•适用于离散型变量：古典概型主要应用于离散型变量的概率计算，而连续型变量的概率计算则需要使用其他的方法，比如概率密度函数；•只适用于互不影响状态：古典概型只适用于各状态之间互不影响的情况。
当一个事件的概率依赖于其他事件的发生情况时，古典概型就不再适用，需要考虑其他的概率模型。
古典概型的应用对于古典概型的应用，在不同领域具有不同的特点。
本文将重点介绍几项实际应用中常见的例子，分别是：1. 投掷一枚硬币投掷一枚硬币是古典概型应用的经典例子。
在投掷硬币的过程中，样本空间只有两个元素，即正面或反面，出现的概率均为$\\frac{1}{2}$。
这一问题通常用来介绍古典概型的基本概念，以及把握事件的基本概率。
2. 投掷多枚硬币投掷多枚硬币是一个求复合概率的问题。
古典概型及其应用习题课课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
①估计这台机器生产的零件的一等品率；
②从样本中的一等品中随机抽取2件，求这2件产品质量之差的绝对值不超过0.3克的概率P.
【解析】 (2) ① x − s, x + s = 9.5,10.5 ，质量在区间 9.5,10.5 内的零件定为一等品，样本中一等品
5
反思感悟
方法总结
“有放回”的抽取，是相当于在相同的条件下把一个实验重复地进行多次，解决这
类复杂事件的古典概型问题，要将事件一一列清，再根据公式求解.“无放回”的抽取，
是抽取后不放回，前面的抽取结果会影响后面的抽取结果，一定要注意两者的区别.
新知运用
跟踪训练1 已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标
{A2 B1 } , {A2 B2 } , {A3 B1 } , {A3 B2 } , {B1 B2 } ,共10个基本事件.
(2)在方案二中，设两次抽取的球所标的数字分别为 ， ，
则所有可能的基本事件对应的二元有序数组 (,) 表示如下表，共25个基本事件.
一、复杂事件的古典概型问题
则 B 包含 1,5 ， 2,4 ， 2,5 ， 3,3 ， 3,4 ， 3,5 ， 4,2 ， 4,3 ， 4,4 ，
15
3
4,5 ， 5,1 ， 5,2 ， 5,3 ， 5,4 ， 5,5 ，共15个基本事件，故 P B = = .
25
因为 P A < P B ，所以选择方案二获得奖品的可能性更大.
12
3
二、古典概型与数字特征的综合
例题2 从某台机器一天产出的零件中，随机抽取10件作为样本，测得其质量如下（单位：
伯努利古典概型
伯努利古典概型伯努利古典概型是概率论中的一个重要概念，由瑞士数学家雅各布·伯努利提出。
它描述了在一次试验中，只有两种可能结果发生的情况下，各个结果发生的概率是相等的。
这个概念在概率论和统计学中有着广泛的应用。
伯努利古典概型的前提是试验必须满足以下条件：每次试验的结果只有两种可能，且每次试验的结果是相互独立的。
在这种情况下，可以使用伯努利古典概型来计算事件发生的概率。
举个例子来说明伯努利古典概型的应用。
假设有一个硬币，我们要计算抛掷这个硬币时正反两面出现的概率。
根据伯努利古典概型，每次抛掷硬币的结果只有两种可能：正面或反面。
而且每次抛掷硬币的结果是相互独立的，即前一次抛掷的结果不会影响下一次抛掷的结果。
因此，根据伯努利古典概型，正面和反面出现的概率是相等的，都是1/2。
在实际应用中，伯努利古典概型可以用来计算各种概率问题。
例如，在赌场中，掷骰子的结果可以看作是一个伯努利古典概型。
每次掷骰子的结果只有两种可能：出现某个点数或者不出现某个点数。
而且每次掷骰子的结果是相互独立的。
根据伯努利古典概型，某个点数出现的概率是1/6，不出现的概率是5/6。
除了硬币和骰子，伯努利古典概型还可以应用于其他各种实际问题。
例如，在生活中购买彩票的情况下，每个号码中奖的概率是相等的。
在抽奖活动中，每个人中奖的概率也是相等的。
在统计学中，伯努利古典概型可以用来描述二项分布、泊松分布等概率分布。
伯努利古典概型的应用不仅帮助我们理解概率论的基本概念，还可以帮助我们解决实际生活中的问题。
通过计算各种事件发生的概率，我们可以做出合理的决策。
例如，在购买彩票时，了解中奖的概率可以帮助我们判断是否值得购买。
在赌场中，了解掷骰子的概率可以帮助我们制定合理的赌博策略。
总结起来，伯努利古典概型是概率论中的一个重要概念，它描述了在一次试验中，只有两种可能结果发生的情况下，各个结果发生的概率是相等的。
伯努利古典概型的应用可以帮助我们解决概率问题，做出合理的决策。
古典概型在生活中的应用
古典概型在生活中的应用
古典概型，又被称为古典模式，指的是古典文学中不断出现的重复的故事结构，古典概型在不同的文学作品中都有着普遍的运用，其最早的形式可以追溯到古希腊时期。
古典概型在生活中同样能够发挥着重要的作用，它能够帮助我们理解和更好地分析生活中所遇到的问题，它能够帮助人们更加清楚地思考问题和更有效地解决问题。
首先，古典概型能够帮助我们建立一种清晰的思路，从而更好地处理生活中的问题。
它能够帮助我们分解复杂的问题，并从中寻找出最有效的解决方案。
例如，在临时解决某一问题的情况下，我们可以利用古典概型中的折衷法，选择兼顾双方利益的解决方案。
此外，古典概型还能够帮助我们根据历史经验掌握解决问题的方法。
通过古典概型，我们可以根据历史上的成功案例，寻找出更有效的解决方案，从而节省时间和精力，从而更加有效地处理问题。
此外，古典概型还能够帮助我们更好地分析问题，从而找出最佳的解决方案。
古典概型能够帮助我们更好地理解问题，从而更有效地分析问题，从而找出最佳的解决方案。
最后，古典概型还能够帮助我们更好地应对变化。
古典概型能够帮助我们更快地适应新的环境，从而更好地应对变化。
例如，当我们面对突如其来的新情况时，可以利用古典概型中的失败者法，从而更快地调整自己的思维方式，从而更好地应对变化。
总之，古典概型在生活中具有重要的作用，它能够帮助我们更有效地处理问题，从而节省时间和精力，从而更好地应对变化。
古典概型无疑是我们解决生活中问题的重要工具，因此，我们应该努力去学习和运用古典概型。
古典概型的应用教案
以下是一个关于古典概型应用的教案大纲，供您参考：主题：古典概型的应用年级：中学高中课时：1-2 课时教学目标：1. 了解古典概型的基本概念和原理。
2. 学会应用古典概型解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
教学内容：1. 古典概型的定义和特点。
2. 古典概型在实际生活中的应用，如概率计算、事件发生的可能性等。
教学准备：1. 教师准备相关教学课件和案例分析。
2. 学生准备笔记本和书写工具。
教学过程：1. 引入：介绍古典概型的概念和基本原理，引导学生思考古典概型在日常生活中的应用价值。
2. 讲解：详细讲解古典概型的计算方法和应用技巧，通过案例分析演示如何使用古典概型解决实际问题。
3. 练习：让学生进行一些简单的练习题，巩固他们对古典概型的理解和应用能力。
4. 拓展：引导学生思考更复杂的问题，提高他们的思维深度和广度。
5. 总结：总结本节课的重点内容，强调古典概型在解决实际问题中的重要性。
课堂互动：1. 提问学生有关古典概型的基本概念和应用场景。
2. 鼓励学生积极参与案例分析和问题求解过程。
3. 分组讨论，让学生结合实际情况，共同探讨古典概型的应用方法。
作业安排：布置练习题，让学生巩固古典概型的知识和技能，并写出应用实例。
教学反思：1. 回顾本节课教学内容，总结学生的学习情况和问题反馈。
2. 总结教学过程中的不足，为下一次教学改进做好准备。
这个教案旨在帮助学生深入理解古典概型的应用，培养其解决实际问题的能力和数学思维。
希望能对您的教学有所帮助！。
古典概型条件
古典概型条件一、什么是古典概型？大家听说过“概率”吧？这玩意儿，感觉像是我们每天都在和它打交道，买个彩票，猜个数字，甚至做个选择题，都在无形中运用着它。
而在数学的世界里，有一种叫做“古典概型”的概率计算方法，说白了，它就是把所有的可能情况搞清楚，算一算，看看每一种情况发生的概率到底有多大。
说到这，很多人可能脑袋就开始冒烟了，感觉这个东西又难又抽象。
别急，咱们从简单的地方说起，让你轻松上手，绝对不让你吃力！想象一下，你和朋友玩一个简单的游戏，抛一个硬币。
硬币有两个面：正面和反面。
问题来了，你觉得抛硬币正面朝上的概率是多少？简单吧，对吧？这就是古典概型的典型应用。
把所有可能的情况列出来，就是：要么正面朝上，要么反面朝上。
那正面朝上的概率就是1/2，反面也是1/2。
简单吧？不过呀，虽然它简单，但你得把所有的情况都想清楚，不然就容易出错。
像你拿着一个硬币，却不清楚它有多少个面，那怎么算得了？二、古典概型的基本条件接下来咱们就得来聊聊，古典概型的几个基本条件了。
这玩意儿看似简单，但稍不注意，就容易陷入一些误区，搞得自己一头雾水。
咱得认真看，别大意。
古典概型必须得是“等可能事件”。
什么意思呢？就是每一个结果发生的机会，必须是一样的。
比如说那个硬币，正面和反面出现的机会是一样的，都是50%。
你如果拿的是一个不均匀的硬币，那就不好办了——可能正面朝上的几率大于反面朝上，那就不再是一个典型的古典概型了。
所有的可能结果必须要列举出来，而且得是完全的。
这就是说，你想清楚，所有的可能性都得考虑到，不能漏了。
这就好比你做饭时，做菜的材料要齐全，差了一个东西，味道就不对劲了。
比如你掷两个骰子，你得知道总共有36种可能的结果。
你不能说“哦，我只知道有6种情况”，那显然是不行的！事件的概率要通过“总数”来计算。
具体来说，就是事件发生的情况数，除以所有可能情况的总数。
拿掷骰子举个例子，如果你想知道两颗骰子点数和为7的概率，那么你得先把所有可能的点数和列出来，然后再找出和为7的所有情况，最后算一下比例。
古典概型a公式
古典概型a公式【最新版】目录一、引言：介绍古典概型 a 公式二、古典概型 a 公式的概念和原理三、古典概型 a 公式的例子四、古典概型 a 公式的应用五、总结：古典概型 a 公式的重要性和影响正文一、引言：在概率论中，古典概型是指具有等可能性的试验。
例如，掷一个均匀的硬币，正面朝上和反面朝上的可能性都是 1/2。
古典概型 a 公式是用来计算具有等可能性的试验的概率的公式，是概率论中非常重要的公式之一。
二、古典概型 a 公式的概念和原理：古典概型 a 公式是指，如果一个试验有 n 个可能的结果，而且每个结果发生的可能性相等，那么事件 A 的概率 P(A) 就可以用公式P(A)=A 的发生次数/所有可能结果的次数来计算。
其中，A 的发生次数指的是事件 A 发生的次数，所有可能结果的次数指的是所有可能结果的个数。
三、古典概型 a 公式的例子：例如，掷一个均匀的硬币，正面朝上和反面朝上的可能性都是 1/2。
如果我们想要计算掷硬币得到正面朝上的概率，那么我们可以用古典概型a 公式来计算。
因为掷硬币只有两个可能的结果，正面朝上和反面朝上，所以每个结果发生的可能性都是 1/2。
因此，掷硬币得到正面朝上的概率就是 1/2。
四、古典概型 a 公式的应用：古典概型 a 公式在实际生活中的应用非常广泛。
例如，在选举中，我们可以用古典概型 a 公式来计算某个候选人当选的概率；在赌博中，我们可以用古典概型 a 公式来计算某个赌注赢的概率；在科学研究中，我们也可以用古典概型 a 公式来计算某种结果出现的概率。
五、总结：古典概型 a 公式是概率论中非常重要的公式之一，它可以用来计算具有等可能性的试验的概率。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
浅谈古典概型在生活中的应用
【摘要】古典概型古典概型是一种特殊的数学模型,也是一种最基本的概率模型,在概率论中占有相当重要的地位，它概括了许多实际问题，比如遗传问题、出拳游戏问题以及鱼群数目问题.
【关键词】古典概型生活中基本事件
【作者单位】山东枣庄科技职业技术学院
【正文】
古典概型是是概率论发展初期的主要研究对象，使我们可以解决一类随机事件（等可能事件）的概率，而且可以得到概率精确值，同时避免了大量的重复试验.古典概型的特点：⑴所有的基本事件只有有限个；⑵每个基本事件发生的概率相等；⑶不需要通过大量重复的试验，只要通过对一次试验可能出现的结果进行分析即可.古典概型的概率计算公式，P（A）=A包含的基本事件的个数/基本事件的总数.本文结合例题介绍概率论中3个比较著名的古典概型问题,供同学们读者了解古典概率模型及其在生活中的应用.
例1 （遗传问题）每个人的基因都有两份，一份来自父亲，另一份来自母亲.同样地，他的父亲和母亲的基因也有两份.在生殖的过程中，父亲和母亲各自随机地提供一份基因给他们的后代.
以褐色的眼睛为例.每个人的基因都一份基因显示他的眼睛颜色:(1）眼睛为褐色;(2）眼睛不为褐色.如果孩子得到的父母的基因都是“眼睛为褐色”的基因，则孩子的眼睛为褐色，如果孩子得到的父母的基因都是“眼睛不为褐色”的基因，则孩子的眼睛不为褐色（是什么颜色取决于其他的基因）.如果孩子得到的基因中一份为“眼睛为褐色”的，另一份为“眼睛不为褐色”的，则孩子的眼睛不会出现两种可能，而只会眼睛颜色为褐色的情况.生物学家把“眼睛为褐色”的基因叫做显现基因.
为方便起见，我们用字母B代表“眼睛为褐色”这个显现基因，用b代表“眼睛不为褐色”这个基因.每个人的基因都有两份，控制一个人眼睛颜色的基因有BB,bb（表示父亲提供基因B，母亲提供基因b），bB,bb,注意在BB,Bb,bB和bb这4种基因中只有bb基因显示为眼睛颜色不为褐色，其他的基因都显示眼睛颜色为褐色.
假设父亲和母亲控制眼睛颜色的基因都为Bb,则孩子眼睛不为褐色
的概率有多大？
【解析】父亲和母亲控制眼睛颜色的基因都为Bb，从而孩子有可
能产生的基因有4种，即BB，Bb,bB ,bb(如右图).又父亲或母亲提供
给孩子基因B或b的概率是一样的，所有可以认为孩子的基因是这4种
中的任何一种的可能性是一样的,因此，这是一个古典概型问题.只有当
孩子的基因为bb时，眼睛才不为褐色，所以，“孩子眼睛不为褐色”
这个随机事件发生的概率为1
0.25 4
.
例2（出拳游戏问题）甲、乙两人玩出拳游戏(剪刀、锤子、布),求：
(1)平局的概率；(2)甲赢的概率；(3)乙赢的概率.
【解析】甲有3种不同的出拳方法,每一种出法是等可能的,乙同样有等可能的3种不同出法.一次出拳游戏共有3×3=9种不同的结果,可以认为这9种结果是等可能的.所以一次游戏是(试验)是古典概型,它的基本事件总数为9.平局的含义是两人出法相同,例如都出了锤.甲赢的含义是甲出锤且乙出剪, 甲出剪且乙出布, 甲出布且乙出锤这三种情况.乙赢的含义是乙出锤且甲出剪,乙出剪且甲出布,乙出布且甲出出锤这三种情况.
设平局事件为A,甲赢为事件B,乙赢为事件C,由右图容易得到：
(1)平局含3个基本事件(图中的);
(2)甲赢含3个基本事件(图中的);
(3)乙赢含3个基本事件(图中的*)
由古典概率的计算公式,可得:
P(A)=31
93
=;P(B)=
31
93
=;P(C)=
31
93
=，因此甲、乙二人玩的出拳游戏平局、甲赢、乙赢的概率
都是1
3
.
例3（鱼群数目问题）生活在湖边的渔民想方便而且快速地知道湖中有多少鱼,他们用什么方法呢?有经验的渔民们常用一种称为“标记后再捕”的方法. 先从湖中随意地捕捉一些鱼上来,比如说捕到1000 条鱼,在每条鱼的身上作记号又放回湖中. 隔了一定时间后,又从湖中随意地捕捉一些鱼,比如说第二次捕到200 条,看其中有标记的鱼有多少条,如果是10 条有标记,那么渔民就会估计出湖里的鱼大约为20000条.你知道渔民是怎样估计出来的吗?
【解析】200条鱼中有10条是有记号的,如果湖中鱼的分布是均匀的,那么每条有记号的鱼被捕到的可能性
的大小是相等的,因此，这是一个古典概型问题,所以,每条有记号鱼被捕到的概率是
101
20020
P==,若湖
中有n条鱼,其中1000条是有记号的,则每条有记号的鱼被捕到的概率也是
1000
P
n
=,所以
10001
20
n
＝, 解
得n=20000.
当然,实际上湖中鱼的分布不可能非常均匀,因此渔民们常常是重复这种方法多次,然后取所有这些结果的平均数.
学好古典概型可以为其它概率的学习奠定基础，同时有利于理解概率的概念，有利于计算一些事件的概率，也有利于解释生活中的一些问题.。