数学拓展课——分形图

分维
在欧氏空间中，人们习惯把空间看成三维的， 平面看成二维，而把直线或曲线看成一维。也 可以稍加推广，认为点是零维的，还可以引入 高维空间，但通常人们习惯于整数的维数。分 形理论把维数视为分数，这类维数是物理学家 在研究混沌吸引子等理论时需要引入的重要概 念。为了定量地描述客观事物的“非规则”程 度，1919年，数学家从测度的角度引入了维 数概念，将维数从整数扩大到分数，从而突破 了一般拓扑集维数为整数的界限。
事实上，上面的图形中都存在自相似性， 即图形的局部与它的整体具有一定程度的相似 关系，这样的图形叫做分形图。
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分形图形具有奇特的性质，例如，如果把上面那 样画雪花曲线的做法无限地继续下去，雪花曲线的 周长可以无限长，但它却可以画在一个小小的格子 中；它的尖端可以无限多，无数小尖尖布满了整个 曲线，但它们彼此却不会相交。
分形动画演示
这是Koch曲线,它可以从一 个等边三角形开始来画:把一个 等边三角形的每边分成相同的 三段,再在每边中间一段上向外 画出一个等边三角形,这样一来 就做成了一个六角星.然后在六 角星的各边上用同样的方法向 外画出更小的等边三角形,出现 了一个有关18个尖角的图形.如 此继续下去,就能得到分支越来 越多的曲线.继续重复上面的过 程,图形的外边界逐渐变得越来 越曲折、越来越长、图案变得 越来越细致,越来越像雪花、越 来越美丽了。
图3中的阴影部分的面积的变化有什么规律？
图4中的图形的周长的变化有什么规律？
分形图的特点
1.从整体上看，分形几何图形是处处不规则的。例如 海岸线，从远距离观察，其形状是极不规则的。 2.在不同尺度上，图形的规则性又是相同的。从近距 离观察海岸线，其局部形状又和整体形态相似，它们 从整体到局部，都是自相似的。当然，也有一些分形 几何图形，它们并不完全是自相似的。
应用
一、视觉效果：万花筒、影片特效等
二、建筑：悉尼歌剧院等
三、艺术造型：珠宝设计、壁画等
东野圭吾的小说《危险的维 纳斯》中关于分形图的节选：
1、那是一幅奇妙的画，似乎像图形，又似乎只是单纯的 花纹，虽然已经无法再清晰地忆起，但他还记得自己每次 凝视它时，都会感到眩晕。
2、把图形放大后就能理解它的特征了。乍一看，这个像 是蕾丝网纱的花纹吧？不过，普通的蕾丝网纱在放大后， 网格就会渐渐变大，但这个图形呢，就算把它放大了，网 格里也会出现相同的但是更细小的网格。当然，它不是无 限的。像这种整体和局部很相似的东西就称为分形。自然 界里海岸线是个很好的例子，如果用放大镜或是显微镜去 放大描绘在地图上的海岸线，线就会逐渐变得平滑。但实 际上的海岸线呢，不管你怎么靠近，它都不会变成那样。 那种锯齿……即使到了微观世界也都存在。
这个图叫做谢尔宾斯基地毯,它最早是由波兰数学家 谢尔宾斯基这样制作出来的:把一个正三角形分为全等的 4个小正三角形,挖去中间的一个小三角形;对剩下的三个 小正三角形再分别重复以上做法……将这种做法 继续进 行下去,就能得到小格子越来越多的谢尔宾斯基地毯.
下面我们仔细的看一看它的产生过程
下面我们仔细的 看一看它的产生 过程
分维的概念我们可以从两方面建立起来：一方面，
我们首先画一个线段、正方形和立方体，它们的 边长都是1。将它们的边长二等分，此时，原图的 线度缩小为原来的1/2，而将原图等分为若干个相 似的图形。其线段、正方形、立方体分别被等分 为2^1、2^2和2^3个相似的子图形，其中的指数1、 2、3，正好等于与图形相应的经验维数。一般说 来，如果某图形是由把原图缩小为1/a的相似的b 个图形所组成，有：a^D=b的关系成立，则指数D 称为相似性维数，从这个角度来看，D应该是整 数。
另一方面，当我们画一根直线，如果我们用0维的点来 量它，其结果为无穷大，因为直线中包含无穷多个点； 如果我们用一块平面来量它，其结果是0，因为直线中 不包含平面。那么，用怎样的尺度来量它才会得到有
限值哪？看来只有用与其同维数的小线段来量它才会 得到有限值，而这里直线的维数为1（大于0、小于2）。 与此类似，如果我们画一个Koch曲线，其整体是一条 无限长的线折叠而成，显然，用小直线段量，其结果 是无穷大，而用平面量，其结果是0（此曲线中不包含 平面），那么只有找一个与Koch曲线维数相同的尺子 量它才会得到有限值，而这个维数显然大于1、小于2， 那么只能是分数了，所以存在分维。
分形理论 与
分形图
下图是一棵厥类植物，仔细观察，你会发现，它的每 个枝杈都在外形上和整体相同，仅仅在尺寸上小了一些。 而枝杈的枝杈也和整体相同，只是变得更加小了。
பைடு நூலகம்
在自然界中，有许多景和物都在某种程度上存在
这种自相似特性，即它们中的一个部分和它的整体或 者其它部分都十分形似。其实，远远不止这些，从心 脏的跳动、变幻莫测的天气到股票的起落等许多现象 都具有此类特性。例如，在道·琼斯指数中，某一个 阶段的曲线图总和另外一个更长的阶段的曲线图极为 相似。
数学家本华·曼德布罗特通过潜心研究， 于1975年出版了他的关于分形几何的专 著《分形、机遇和维数》，标志着分形理 论的诞生。数学家研究分形，是力图以数 学方法，模拟自然界存在的、及科学研究 中出现的那些看似无规律的各种现象。
再看一个分形图形的例子。画一个大的正五边形，接着 画出内嵌的5个小正五边形（如果算上中间的一个小正五边 形，则正好是在6个）；在每个小正五边形内再画出5个更 小的正五边形；继续下去，不断重复此过程，就可以得到 有无穷自相似结构的分形图形。