1()1,(+∞--∞ 。 若二次不等式中x 的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。
例2．设22)(2+-=mx x x f ，当),1[+∞-∈x 时，m x f ≥)(恒成立，求实数m 的取值范围。
解：设m mx x x F -+-=22)(2，则当),1[+∞-∈x 时，0)(≥x F 恒成立 当120)2)(1(4<<-<+-=∆m m m 即时，0)(>x F 显然成立；
当0≥∆时，如图，0)(≥x F 恒成立的充要条件为： ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-≤--≥-≥∆1220)1(0m F 解得23-≤≤-m 。
综上可得实数m 的取值范围为)1,3[-。
二、分离变量法
将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：
1）()a f x <恒成立min )(x f a <⇔
2）()a f x >恒成立max )(x f a >⇔
例3．已知x x x x g a x x x f 4042)(,287)(232-+=--=，当]3,3[-∈x 时，)()(x g x f ≤恒成立，求实数a 的取值范围。
解：设c x x x x g x f x F -++-=-=1232)()()(23，
则由题可知0)(≤x F 对任意]3,3[-∈x 恒成立
令01266)(2'=++-=x x x F ，得21=-=x x 或
而,20)2(,7)1(a F a F -=-=-,9)3(,45)3(a F a F -=-=-
∴045)(max ≤-=a x F
∴45≥a 即实数a 的取值范围为),45[+∞。
例4．函数),1[,2)(2+∞∈++=x x
a x x x f ，若对任意),1[+∞∈x ，0)(>x f 恒成立，求实数a 的取值范围。
解：若对任意),1[+∞∈x ，0)(>x f 恒成立，
即对),1[+∞∈x ，02)(2>++=x
a x x x f 恒成立， 考虑到不等式的分母),1[+∞∈x ，只需022
>++a x x 在),1[+∞∈x 时恒成立而得
而抛物线a x x x g ++=2)(2在),1[+∞∈x 的最小值03)1()(min >+==a g x g 得3->a 注：本题还可将)(x f 变形为2)(++
=x
a x x f ，讨论其单调性从而求出)(x f 最小值。
例5．已知函数]4,0(,4)(2∈--=x x x ax x f 时0)(x x a 2
4-<对]4,0(∈x 恒成立。 令x
x x x g 2
4)(-=，则min )(x g a < 由144)(2
-=-=x
x x x x g 可知)(x g 在]4,0(上为减函数，故0)4()(min ==g x g ∴0注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。
三、变换主元法
处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。
例6．对任意]1,1[-∈a ，不等式024)4(2>-+-+a x a x 恒成立，求x 的取值范围。
分析：题中的不等式是关于x 的一元二次不等式，但若把a 看成主元，则问题可转化为一次不等式044)2(2>+-+-x x a x 在]1,1[-∈a 上恒成立的问题。
解：令44)2()(2+-+-=x x a x a f ，则原问题转化为0)(>a f 恒成立（]1,1[-∈a ）。 当2=x 时，可得0)(=a f ，不合题意。
当2≠x 时，应有⎩⎨⎧>->0
)1(0)1(f f 解之得31>故x 的取值范围为),3()1,(+∞-∞ 。
注：一般地，一次函数)0()(≠+=k b kx x f 在],[βα上恒有0)(>x f 的充要条件为⎩⎨⎧>>0
)(0)(βαf f 。
四、数形结合法
数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道，函数图象和不等式有着密切的联系：
1）⇔>)()(x g x f 函数)(x f 图象恒在函数)(x g 图象上方；
2）⇔<)()(x g x f 函数)(x f 图象恒在函数)(x g 图象下上方。
