北京101中学2021届上学期初中九年级9月月考数学试卷
2023北京一零一中初三9月月考数学(教师版)
2023北京一零一中初三9月月考数学一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的只有一个。
1．一元二次方程2x2+x﹣5＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．2，1，5B．2，1，﹣5C．2，0，﹣5D．2，0，52．由抛物线y＝﹣2x2平移而得到抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣2，下列平移正确的是（）A．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位B．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位C．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位D．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位3．如图，将一个正方形纸片沿图中虚线剪开，能拼成下列四个图形，其中是中心对称图形的是（）A． B． C． D．4．用配方法解方程x2+4x+1＝0）A．（x+2）2＝3B．（x+2）2＝﹣3C．（x+2）2＝5D．（x+2）2＝﹣55．如图，点A、B、C、D、O都在方格纸上，若△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为（）A．30°B．45°C．90°D．135°6．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么下列判断正确的是（）A．b＞0，c＞0B．b＞0，c＜0C．b＜0，c＞0D．b＜0，c＜0．7．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°；将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，则下列结论一定正确的是（）A．CB＝CD B．DE+DC＝BC C．AB∥CD D．∠ABC＝∠ADC8．在特定条件下，篮球赛中进攻球员投球后，篮球的运行轨迹是开口向下的抛物线的一部分．“盖帽”是一种常见的防守手段，防守队员在篮球上升阶段将球拦截即为“盖帽”，而防守队员在篮球下降阶段将球拦截则属“违规”．对于某次投篮而言，如果忽略其他因素的影响，篮球处于上升阶段的水平距离越长，则被“盖帽”的可能性越大，收集几次篮球比赛的数据之后，某球员投篮可以简化为下述数学模型：如图所示，该球员的投篮出手点为P，篮框中心点为Q，他可以选择让篮球在运行途中经过A，B，C，D四个点中的某一点并命中Q，忽略其他因素的影响，那么被“盖帽”的可能性最大的线路是（）A．P→A→Q B．P→B→Q C．P→C→Q D．P→D→Q二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．在平面直角坐标系中，点P（3，﹣2）绕原点旋转180°后所得到的点的坐标为．10．已知x＝1是方程x2+bx﹣2＝0的一个根，则b＝．11．请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向下；②与y轴的交点坐标为（0，3）．此二次函数的解析式可以是．12．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转55°得到△ADE，若∠E＝70°且AD⊥BC于点F，则∠BAC ＝．13．已知一元二次方程x2+mx+m﹣1＝0有两个相等的实数根，则m＝．14．在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，y与x的部分对应值如表：m n15．电影《长津湖》一上映，第一天票房2.05亿元，若每天票房的平均增长率相同，三天后累计票房收入达10.53亿元，平均增长率记作x，方程可以列为．16．抛物线y＝﹣x2+2x+m交x轴于点A（a，0）和B（b，0）（点A在点B左侧），抛物线的顶点为D，下列四个结论：①抛物线过点（2，m）；②当m＝0时，△ABD是等腰直角三角形；③a+b＝4；④抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2．其中结论正确的序号是．三、解答题（本题共68分，第17题8分、18-20题4分、21、22题5分，23-25、27题6分，26题、28题7分）17．（8分）解方程：（1）9x2＝4；（2）x2﹣x﹣6＝0．18．（4分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，△OAB 的三个顶点O（0，0），A（4，1），B（4，4）均在格点上．（1）画出△OAB关于y轴对称的△OA1B1，直接写出点A1的坐标为；（2）画出△OAB绕原点O旋转180°后得到的△OA2B2．19．（4分）已知a是方程2x2+7x﹣1＝0的一个根，求代数式（a﹣2）2﹣3a（a+1）的值．20．（4分）已知关于x的一元二次方程：3x2﹣（k+3）x+k＝0．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根大于2，求k的取值范围．21．（5分）已知抛物线y＝2x2+bx+c过点（1，3）和（0，4）．（1）求该抛物线的解析式；（2）直接写出该抛物线的顶点坐标．22．（5分）如图，△ABC是直角三角形，∠C＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转90°．（1）试作出旋转后的△DCE，其中B与D是对应点；（2）在作出的图形中，已知AB＝5，BC＝3，求BE的长．23．（6分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．（1）画出它的图象．（2）当0＜x≤4时，y的取值范围是．（3）直线y＝kx+b与抛物线y＝x2﹣2x﹣3交于点A，B，且点A在y轴上，点B在x轴的右半轴上，则不等式kx+b＜x2﹣2x﹣3的解集为．24．（6分）体育课上，一名九年级学生测试扔实心球．已知实心球经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果球出手处A点距离地面的高度为2米，当球运行的水平距离为4米时，到达最大高度为4米的B处（如图所示）．（1）以D为原点，CD所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在图中画出坐标系，点B的坐标为；（2）请你计算该学生把实心球扔出多远？（结果保留根号）25．（6分）如图，正方形ABCD的边长为6，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．（1）求证：EF＝FM．（2）当AE＝2时，求EF的长．26．（7分）在平面直角坐标系xOy中，点A（1，m）和B（2，n）在抛物线y＝﹣x2+bx上．（1）若m＝1，求该抛物线的对称轴；（2）若mn＜0，设抛物线的对称轴为直线x＝t，①直接写出t的取值范围；②已知点在该抛物线上．将y1，y2，y3按从大到小排序，并说明理由．27．（6分）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝α，D为AB的中点，过D作DE⊥AC于E，连接CD，F为CD的中点．（1）图1中，BF与EF的数量关系是，∠BFE＝（用含α的式子表示）；（2）将△ADE绕点A逆时针旋转至如图2所示位置，试判断（1）中的两个结论是否依然成立？若成立，请证明你的结论．28．（7分）对于平面直角坐标系xOy内的点P和图形M，给出如下定义：如果点P绕原点O顺时针旋转90°得到点P′，点P′落在图形M上或图形M围成的区域内，那么称点P是图形M关于原点O的“伴随点”．已知点A（1，1），B（3，1），C（3，2）．（1）在点P1（﹣2，0），P2（﹣1，1），P3（﹣1，2）中，点是线段AB关于原点O的“伴随点”；（2）如果点D（m，2）是△ABC关于原点O的“伴随点”，直接写出m的取值范围；（3）已知抛物线y＝x2+bx+c的顶点坐标为（﹣1，n），其关于原点对称的抛物线上存在△ABC关于原点O的“伴随点”，求n的最大值和最小值．参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的只有一个。
北京市第101中学2020-2021学年度九年级(上)10月月考试卷(含答案)
北京市101中学2020-2021学年度九年级（上）10月月考 物理试卷 2020.10班级_____________________姓名_____________________学号_____________________ 一、下列各小题均有四个选项，其中只有一个选项符合题意。
（共30分，每小题2分） 1．在国际单位制中，电压的单位是（ ）A ．瓦特B ．伏特C ．安培D ．焦耳2．如图所示，当开关闭合时三盏灯属于并联的是（ ）3．如图所示为自行车部件或使用中的实例，其中目的是为减小摩擦的是（ ）4．一辆汽车从斜坡上匀速下滑的过程中，下列说法正确的是（ ）A ．动能不变，重力势能减小B ．动能不变，重力势能不变C ．动能增加，重力势能减小D ．动能减小，重力势能减小5．下列电路中，电流表测L 1灯电流的是（ ）6．家用电吹风机由电动机和电热丝等组成。
当只闭合S 1时，可以吹冷风；当S 1、S 2都闭合时，可以吹热风。
如图电路中符合要求的是（ ）7．如图所示的现象中，属于用热传递的方式改变物体内能的是（ ）B ．遇到紧急情况 时用力捏闸A ．自行车的车把上刻有花纹D ．自行车轮胎 上刻有花纹C ．轴承中有滚珠ABCDAB CDA ．钻木取火B ．加热水壶 使水沸腾C ．锯木头锯条发热D ．空气被压缩时“棉花”燃烧8．如图所示，用丝绸摩擦过的玻璃棒去靠近轻质小球时，产生了互相吸引的现象，则该小球（ ）A ．可能带负电，也可能不带电B ．一定带正电C ．可能带正电，也可能不带电D ．一定带负电9．下列现象中，属于扩散现象的是（ ）A ．春天沙尘暴，飞沙满天B ．擦黑板时，粉笔灰四处飞扬C ．槐树开花时，空气中弥漫着槐花的香味D ．煮稀饭时，看到锅中米粒翻滚10．柴油机和汽油机都属于热机，关于热机的下列说法中正确的是（ ）A ．汽油机顶部有喷油嘴，柴油机顶部有火花塞B ．柴油机在吸气冲程中将柴油和空气的混合气体吸入气缸C ．热机的一个工作循环包括四个冲程，对外做功一次D ．汽油机油箱里装的汽油质量越大，汽油的热值就越大11．如图所示的四个电路图中，开关S 闭合后，电源可能被损坏的电路是（ ）12．如图甲所示的电路中，闭合开关，两灯泡均发光，且两个完全相同的电流表指针偏转均如图乙所示，通过灯泡L 1和L 2的电流分别为（ ）A ．1.5A 0.3AB ．1.2A 0.3AC ．0.3A 0.3AD ．1.2A 1.2A13．如图是四冲程汽油机的工作示意图，下列说法正确的是（ ）A ．这四个冲程的正确顺序是：丙→甲→丁→乙B ．靠惯性完成的冲程是甲、乙、丙C ．甲冲程中是内能转化为机械能D ．丁冲程中是内能转化为化学能14．如图甲所示，放在水平地面上的物体，受到方向不变的水平拉力F 的作用，F 的大小与时间t 的关系如图乙所示，物体运动速度υ与时间t 的关系如图丙所示，由图像可知（ ）SSAL 1 L 2 B L 1L 2DSL 2L 1 SL 2CL 1甲乙甲 乙 丁丙甲 乙 ABA ．当t =2s 时，物体保持静止B ．只有当t =4s 时，物体作匀速直线运动C ．物体受到的合力为4ND ．物体受到的摩擦力为4N15．如图所示，将甲、乙两容器放在水平桌面上，甲、乙两容器的底面积分别为S 甲和S 乙。
2019-2020学年北京市101中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）-含详细解析
2019-2020学年北京市101中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）副标题题号——总分得分一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.下列图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）2.'.Q卜列运算正确的是（）—Q A. a 2 • a 3 = a 6 * B. q ' + q 3 = q 6 C. | — a 2\ = —a 2 D.(—a 3)2 = a 6己知二次函数y = x 2 - 2x + 为常数）的图象与x 轴的一个点为（3,0）,则关于x的一元二次方程、2 — 2x + m=0的两个实数根是（）李师傅一家开车去旅游，出发前查看了油箱里有50升汕.出发后先后走了城市•路,高速路，山路最终到达旅游地点，F 面的两幅图分别描述了行驶里程及耗油情况,下而的描述错误的是（）3.4.着、々T 万任实数范围内有意义，则.i •的取值范围在数轴上表示正确的是（）二次函数y = —（x + l ）2 — 2的顶点是（）D.B.C. (1,2)5.如图，小林坐在秋千上，秋千旋转了80。
，小林的位置也从A点运动到了彳点，则^OAA 9的度数为（）D. (1-2)O D. 80°A. 40° B. 50° C. 70°A. (-1,2)0 B. (-1,-2)6. A. %! = —1. x 2 = 3B・ b = 1, x 2 = 3C. *1 = -If *2=1D. Xi = 3, x 2 = —57.B/D 0A. 此车一共行驶了 210公里B. 此车高速路一共用了 12升油C.此车在城市路和山路的平均速度相同D.以此车在这三个路段的综合油耗判断50升油可以行驶约525公里8.小明乘坐摩天轮转一圈，他离地面的高度y （米）与旋转时间邳分）之间的关系可以近似地用二次函数来刻画.经测试得 出部分数据如下表：下列选项中，最接近摩天轮转一圈的时间的是（）A.8分矽分2.663.23 3.46• ••〃米•.・69.1669.626^46B.7分 C. 6分D. 5分二、填空题（本大题共7小题，共110分）9. 已知点A 坐标为（-12），则点A 关于原点的对称点的坐标为.10. 某雷达探测目标得到的结果如图所示，若记图中目标A 的位置为（3,30。
北京101中学2021届上学期初中九年级9月月考数学试卷
北京101中学2021届上学期初中九年级9月月考数学试卷（考试时间：120分钟 满分：100分）一、选择题：本大题共16分，每题2分。
1 中国国家航天局2020年4月24日在“中国航天日”之际宣布，将中国行星探测任务命名为“天问”，将中国首次火星探测任务命名为“天问一号”，火星具有与地球十分相近的环境，与地球最近的时候距离约5500万千米，将5500用科学记数法表示为A 41055.0⨯B 3105.5⨯C 2105.5⨯D 21055⨯2 若一个多边形的内角和是720°，则这个多边形的边数是A 5B 6C 7D 83 实数a ，b ，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是A c b a >>B ||||a b >C 0<+c bD 0>ab4 如图，直线a ∥b ，直线l 与a ，b 分别交于A ，B 两点，过点B 作BC ⊥AB 交直线a 于点C ，若∠1＝65°，则∠2的度数为A 25°B 35°C 65°D 115°5 如果2=+b a ，那么ab b b a a -+-22的值是 A 2 B 4 C －2 D －46 把直线23:1-=x y l 向右平移2个单位可以得到直线2l ，要得到直线2l ，也可以把直线1l A 向上平移2个单位B 向下平移2个单位C 向上平移6个单位D 向下平移6个单位7 在平面直角坐标系xOy 中，点3+-=x y 4=y 1=x )2,2(R QR QP +1725+531-x =-m m 432+-=x y12cm 。
三、解答题：本题共68分，第17—20题，每小题5分，21题6分，22题5分，第23—26题，每小题6分，第27题7分，28题6分17 计算：|2|2731810---⎪⎭⎫⎝⎛---。
18 解分式方程：12422=-+-x xx 。
2019-2020学年北京市101中学九年级(上)月考数学试卷(12月份)(含答案)
2019-2020学年北京市101中学九年级（上）月考数学试卷（12月份）一、选择：本大题共8小题，每题3分，共24分1．（3分）抛物线223y x x =++的对称轴是( )A ．直线1x =B ．直线1x =-C ．直线2x =-D ．直线2x =2．（3分）剪纸是我国的非物质文化遗产之一，下列剪纸作品中是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．3．（3分）如图，ABC ∆∽△A B C '''，AD 和A D ''分别是ABC ∆和△A B C '''的高，若2AD =，3A D ''=，则ABC ∆与△A B C '''的面积的比为( )A ．4:9B ．9:4C ．2:3D ．3:24．（3分）已知点1(2,)A y 、2(,)B m y 是反比例函数(0)k y k x =>的图象上的两点， 且12y y <． 满足条件的m 值可以是( )A ．6-B ．1-C ． 1D ． 35．（3分）如图，AB 为O 的直径，C ，D 为O 上的两点，若14AB =，7BC =．则BDC∠的度数是( )A．15︒B．30︒C．45︒D．60︒6．（3分）如图，在ABC==，以点C为中心，把ABC∆逆时AB AC∠=︒，4BAC∆中，90针旋转45︒，得到△A B C''，则图中阴影部分的面积为()A．2B．2πC．4D．4π7．（3分）如图，一条抛物线与x轴相交于M、N两点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段AB上移动．若点A、B的坐标分别为(2,3)-、(1,3)，点N的横坐标的最大值为4，则点M的横坐标的最小值为()A．1-B．3-C．5-D．7-8．（3分）如图，点A，B，C，D，E为O的五等分点，动点M从圆心O出发，沿线段OA→劣弧AC→线段CO的路线做匀速运动，设运动的时间为t，DM E∠的度数为y，则下列图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是()A ．B ．C ．D ．二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．（3分）如图，正六边形ABCDEF 内接于O ，O 的半径为3，则正六边形ABCDEF 的边长为 ．10．（3分）如图，把ABC ∆绕着点A 顺时针方向旋转，得到△A B C ''，点C 恰好在B C ''上，旋转角为α，则C '∠的度数为 （用含α的式子表示）．11．（3分）在反比例函数32m y x-=的图象上有两点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，120x x <<，12y y >，则m 的取值范围是 ．12．（3分）如图，PA ，PB 分别与O 相切于A ，B 两点，PO 与AB 相交于点C ，6PA =，60APB ∠=︒，则OC 的长为 ．13．（3分）如图，双曲线k y x =与抛物线2y ax bx c =++交于点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，由图象可得不等式组20k ax bx c x<<++的解集为 ．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，COD ∆可以看作是AOB ∆经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转、位似）得到的，写出一种由AOB ∆得到COD ∆的过程： ．15．（3分）《九章算术》是中国古代数学最重要的著作，包括246个数学问题，分为九章．在第九章“勾股”中记载了这样一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”这个问题可以描述为：如图所示，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，勾为AC 长8步，股为BC 长15步，问ABC ∆的内切圆O 直径是多少步？”根据题意可得O 的直径为 步．三、解答题（共52分，第16-24题，分别是：5，5，6，6，6，6，8，6，7分）16．（5分）解方程：22410x x --=（用配方法）17．（5分）计算：1212sin30()8|3|cos 452-︒+--+︒． 18．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线22y x =--与双曲线k y x=交于(,2)M a ，(1,)N b 两点．（1）求k ，a ，b 的值．（2）若P 是y 轴上一点，且MPN ∆的面积是6，直接写出点P 的坐标 ．19．（6分）小明在学习了如何证明“三边成比例的两个三角形相似”后，运用类似的思路证明了“两角分别相等的两个三角形相似”，以下是具体过程．已知：如图，在ABC ∆和△A B C '''中，A A '∠=∠，B B '∠=∠．求证：ABC ∆∽△A B C '''．证明：在线段A B ''上截取A D AB '=，过点D 作//DE B C ''，交A C ''于点E ．由此得到△A DE '∽△A B C '''．A DEB ''∴∠=∠．B B '∠=∠，A DEB '∴∠=∠．A A '∠=∠，∴△A DE ABC '≅∆．ABC ∴∆∽△A B C '''．小明将证明的基本思路概括如下，请补充完整：（1）首先，通过作平行线，依据 ，可以判定所作△A DE '与 ；（2）然后，再依据相似三角形的对应角相等和已知条件可以证明所作△A DE '与 ；（3）最后，可证得ABC ∆∽△A B C '''．20．（6分）如图，正方形ABCD 的边长为2，E 是CD 中点，点P 在射线AB 上，过点P 作线段AE 的垂线段，垂足为F ．（1）求证：PAF AED ∆∆∽；（2）连接PE ，若存在点P 使PEF ∆与AED ∆相似，直接写出PA 的长 ．21．（6分）如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，以BC 为直径的O 交AB 于点D ，O 的切线DE 交AC 于点E ．（1）求证：E 是AC 中点；（2）若10AB =，6BC =，连接CD ，OE ，交点为F ，求OF 的长．22．（8分）已知抛物线1l 与2l 形状相同，开口方向不同，其中抛物线217:82l y ax ax =--交x 轴于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），且6AB =；抛物线2l 与1l 交于点A 和点(5,)C n ．（1）求抛物线1l ，2l 的表达式；（2）当x 的取值范围是 时，抛物线1l 与2l 上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大；（3）直线//MN y 轴，与x 轴、1l 、2l 分别相交于点(,0)P m 、M 、N ，当28m 时，求线段MN 的最大值．23．（6分）如图，直线AM 和AN 相交于点A ，30MAN ∠=︒，在射线AN 上取一点B ，使6AB cm =，过点B 作BC AM ⊥于点C ，D 是线段AB 上的一个动点（不与点B 重合），过点D 作CD 的垂线交射线CA 于点E ．（1）确定点B 的位置，在线段AB 上任取一点D ，根据题意，补全图形；（2）设AD x = cm ，CE y = cm ，探究函数y 随自变量x 的变化而变化的规律． ①通过取点、画图、测量，得到了x 与y 的几组对应值，如下表： /x cm 01 2 3 4 5 /y cm5.2 4.4 3.8 3.5 8.1（要求：补全表格，相关数值保留一位小数）②建立平面直角坐标系xOy，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；③结合画出的函数图象，解决问题：当AD为Rt CDE∆斜边CE上的中线时，AD的长度约为cm（结果保留一位小数）．24．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的点M和图形G，若在图形G上存在一点N，使M，N两点间的距离等于1，则称M为图形G的和睦点．（1）当O的半径为3时，在点1(1,0)P，2(3P1)，37 ( 2P，0)，4(5,0)P中，O的和睦点是；（2）若点(4,3)P为O的和睦点，求O的半径r的取值范围；（3）点A在直线1y=-上，将点A向上平移4个单位长度得到点B，以AB为边构造正方形ABCD，且C，D两点都在AB右侧．已知点(2E2)，若线段OE上的所有点都是正方形ABCD的和睦点，直接写出点A的横坐标Ax的取值范围．2019-2020学年北京市101中学九年级（上）月考数学试卷（12月份）参考答案与试题解析一、选择：本大题共8小题，每题3分，共24分1．（3分）抛物线223y x x =++的对称轴是( )A ．直线1x =B ．直线1x =-C ．直线2x =-D ．直线2x = 【解答】解：2223(1)2y x x x =++=++，∴抛物线的对称轴为直线1x =-．故选：B ．2．（3分）剪纸是我国的非物质文化遗产之一，下列剪纸作品中是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：A 、是中心对称图形，故本选项正确；B 、不是中心对称图形，故本选项错误；C 、不是中心对称图形，故本选项错误；D 、不是中心对称图形，故本选项错误．故选：A ．3．（3分）如图，ABC ∆∽△A B C '''，AD 和A D ''分别是ABC ∆和△A B C '''的高，若2AD =，3A D ''=，则ABC ∆与△A B C '''的面积的比为( )A ．4:9B ．9:4C ．2:3D ．3:2【解答】解：ABC ∆∽△A B C '''，AD 和A D ''分别是ABC ∆和△A B C '''的高，2AD =，3A D ''=， ∴23AB AD A B A D ==''''， ABC ∴∆与△A B C '''的面积的比224()39==， 故选：A ．4．（3分）已知点1(2,)A y 、2(,)B m y 是反比例函数(0)k y k x =>的图象上的两点， 且12y y <． 满足条件的m 值可以是( )A ．6-B ．1-C ． 1D ． 3【解答】解：0k >，∴在每个象限内，y 随x 的增大而减小，由题意得，02m <<，故选：C ．5．（3分）如图，AB 为O 的直径，C ，D 为O 上的两点，若14AB =，7BC =．则BDC∠的度数是( )A ．15︒B ．30︒C ．45︒D ．60︒【解答】解：如图，连接OC ．14AB =，7BC =，7OB OC BC ∴===，OCB ∴∆是等边三角形，60COB ∴∠=︒， 1302CDB COB ∴∠=∠=︒， 故选：B ．6．（3分）如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，4AB AC ==，以点C 为中心，把ABC ∆逆时针旋转45︒，得到△A B C ''，则图中阴影部分的面积为( )A ．2B ．2πC ．4D ．4π【解答】解：在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，4AB AC ==， 2242BC AB AC ∴=+=，45ACB A CB ''∠=∠=︒，∴阴影部分的面积2245(42)114544444236022360πππ=-⨯⨯+⨯⨯-=， 故选：B ．7．（3分）如图，一条抛物线与x 轴相交于M 、N 两点（点M 在点N 的左侧），其顶点P 在线段AB 上移动．若点A 、B 的坐标分别为(2,3)-、(1,3)，点N 的横坐标的最大值为4，则点M 的横坐标的最小值为( )A ．1-B ．3-C ．5-D ．7-【解答】解：根据题意知，点N 的横坐标的最大值为4，此时对称轴过B 点，点N 的横坐标最大，此时的M 点坐标为(2,0)-，当对称轴过A点时，点M的横坐标最小，此时的N点坐标为(1,0)，M点的坐标为(5,0)-，故点M的横坐标的最小值为5-，故选：C．8．（3分）如图，点A，B，C，D，E为O的五等分点，动点M从圆心O出发，沿线段OA→劣弧AC→线段CO的路线做匀速运动，设运动的时间为t，DM E∠的度数为y，则下列图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是()A．B．C．D．【解答】解：根据题意，分3个阶段；①P在OA之间，DM E∠逐渐减小，到A点时，为36︒，②P在AC之间，DM E∠保持36︒，大小不变，③P在CO之间，DM E∠逐渐增大，到O点时，为72︒；又由点P作匀速运动，故①③都是线段；分析可得：B符合3个阶段的描述；故选：B．二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．（3分）如图，正六边形ABCDEF 内接于O ，O 的半径为3，则正六边形ABCDEF 的边长为 3 ．【解答】解：正六边形ABCDEF 内接于O ，O 的半径为3， 而正六边形可以分成六个边长的正三角形，∴正多边形的半径即为正三角形的边长， ∴正三角形的边长为3，∴正六边形ABCDEF 的边长为3，故答案为：310．（3分）如图，把ABC ∆绕着点A 顺时针方向旋转，得到△A B C ''，点C 恰好在B C ''上，旋转角为α，则C '∠的度数为 902α︒-（用含α的式子表示）．【解答】解：ABC ∆绕着点A 顺时针方向旋转α得到△A B C ''， AC AC ∴='，CAC α∠'=，C C ∠=∠'， 1(180)9022C αα∴∠'=︒-=︒-，902C α'∴∠=︒-．故答案为：902α︒-．11．（3分）在反比例函数32my x-=的图象上有两点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，120x x <<，12y y >，则m 的取值范围是 32m <． 【解答】解：120x x <<，12y y >，320m ∴->，解得：32m <， 故答案为：32m <． 12．（3分）如图，PA ，PB 分别与O 相切于A ，B 两点，PO 与AB 相交于点C ，6PA =，60APB ∠=︒，则OC 的长为3 ．【解答】解：连接OA ．PA ，PB 切O 于点A ，B ，90OAP ∴∠=︒，1302APO APB ∠=∠=︒，3633OA ∴===60AOP ∠=︒ 132OC OA ∴==313．（3分）如图，双曲线ky x=与抛物线2y ax bx c =++交于点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，由图象可得不等式组20kax bx c x<<++的解集为 23x x x << ．【解答】解：由图可知，23x x x <<时，20kax bx c x<<++， 所以，不等式组20kax bx c x<<++的解集是23x x x <<． 故答案为：23x x x <<．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，COD ∆可以看作是AOB ∆经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转、位似）得到的，写出一种由AOB ∆得到COD ∆的过程： 以原点O 为位似中心，位似比为12，在原点O 同侧将AOB ∆缩小，再将得到的三角形沿y 轴翻折得到COD ∆ ．【解答】解：以原点O 为位似中心，位似比为12，在原点O 同侧将AOB ∆缩小，再将得到的三角形沿y 轴翻折得到COD ∆， 故答案为：以原点O 为位似中心，位似比为12，在原点O 同侧将AOB ∆缩小，再将得到的三角形沿y 轴翻折得到COD ∆15．（3分）《九章算术》是中国古代数学最重要的著作，包括246个数学问题，分为九章．在第九章“勾股”中记载了这样一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”这个问题可以描述为：如图所示，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，勾为AC 长8步，股为BC 长15步，问ABC ∆的内切圆O 直径是多少步？”根据题意可得O 的直径为 6 步．【解答】解：90C ∠=︒，8AC =步，15BC =步，2217AB AC BC ∴=+=步，ABC ∴∆的内切圆O 直径815176=+-=步，故答案为：6．三、解答题（共52分，第16-24题，分别是：5，5，6，6，6，6，8，6，7分）16．（5分）解方程：22410x x --=（用配方法） 【解答】解：22410x x --=21202x x --= 212112x x -+=+23(1)2x -=1612x ∴=+，261x =-．17．（5分）计算：1212sin30()8|3|cos 452-︒+--+︒．【解答】解：原式21222223(2=⨯+-+1122232=+-+1222=- 18．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线22y x =--与双曲线ky x=交于(,2)M a ，(1,)N b 两点．（1）求k ，a ，b 的值．（2）若P 是y 轴上一点，且MPN ∆的面积是6，直接写出点P 的坐标 (0,2)或(0,6)- ．【解答】解：（1）把(,2)M a 、(1,)N b 代入22y x =--中得：222a --=，224b =--=-， 2a ∴=-，4b =-，即(2,2)M -，(1,4)N -， 把(2,2)M -代入ky x=中，得4k xy ==-， 4k ∴=-，2a =-，4b =-；（2）设直线22y x =--与y 轴交于点A ，令0x =，即2y =-，故(0,2)A -， 11()(12)622MPN PAM PAN N M S S S PA x x PA ∆∆∆=+=⨯-=⨯⨯+=， 4PA ∴=(0,2)P ∴或(0,6)-，故答案为(0,2)或(0,6)-．19．（6分）小明在学习了如何证明“三边成比例的两个三角形相似”后，运用类似的思路证明了“两角分别相等的两个三角形相似”，以下是具体过程． 已知：如图，在ABC ∆和△A B C '''中，A A '∠=∠，B B '∠=∠． 求证：ABC ∆∽△A B C '''．证明：在线段A B ''上截取A D AB '=，过点D 作//DE B C ''，交A C ''于点E ． 由此得到△A DE '∽△A B C '''．A DEB ''∴∠=∠． B B '∠=∠， A DE B '∴∠=∠． A A '∠=∠，∴△A DE ABC '≅∆．ABC ∴∆∽△A B C '''．小明将证明的基本思路概括如下，请补充完整：（1）首先，通过作平行线，依据 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似 ，可以判定所作△A DE '与 ；（2）然后，再依据相似三角形的对应角相等和已知条件可以证明所作△A DE '与 ； （3）最后，可证得ABC ∆∽△A B C '''．【解答】解：小明将证明的基本思路概括如下：（1）首先，通过作平行线，依据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，可以判定所作△A DE '与△A B C '''相似；（2）然后，再依据相似三角形的对应角相等和已知条件可以证明所作△A DE '与ABC ∆全等；（3）最后，可证得ABC ∆∽△A B C '''．故答案为：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；△A B C '''相似；ABC ∆全等．20．（6分）如图，正方形ABCD 的边长为2，E 是CD 中点，点P 在射线AB 上，过点P 作线段AE 的垂线段，垂足为F ． （1）求证：PAF AED ∆∆∽；（2）连接PE ，若存在点P 使PEF ∆与AED ∆相似，直接写出PA 的长 1或52．【解答】（1）证明：正方形ABCD ， //CD AB ∴，90D ∠=︒AED PAF ∴∠=∠，又PF AE ⊥，90PFA D ∴∠=∠=︒．PFA ADE ∴∆∆∽．（2）解：情况1，当EFP ADE ∆∆∽，且PEF EAD ∠=∠时， 则有//PE AD∴四边形ADEP 为矩形．1PA ED ∴==；情况2，当PFE ADE ∆∆∽，且PEF AED ∠=∠时，PAF AED ∠=∠， PEF PAF ∴∠=∠． PE PA ∴=． PF AE ⊥，∴点F 为AE 的中点．2AE =，AF ∴=PFA ADE ∆∆∽，PA AFAE DE=，∴21=，52PA ∴=∴满足条件的PA 的值为1或52． 故答案为1或52．21．（6分）如图，在ABCC∠=︒，以BC为直径的O交AB于点D，O的切线∆中，90DE交AC于点E．（1）求证：E是AC中点；（2）若10BC=，连接CD，OE，交点为F，求OF的长．AB=，6【解答】（1）证明：连接CD，ACB∠=︒，BC为O直径，90∴为O切线，且90ED∠=︒；ADCED切O于点D，∴=，EC ED∴∠=∠；ECD EDCA ECD ADE EDC∠+∠=∠+∠=︒，90∴∠=∠，A ADE∴=，AE EDAE CE∴=，即E为AC的中点；BE CE ∴=；（2）解：连接OD ，90ACB ∠=︒， AC ∴为O 的切线，DE 是O 的切线，EO ∴平分CED ∠，OE CD ∴⊥，F 为CD 的中点，点E 、O 分别为AC 、BC 的中点， 1110522OE AB ∴==⨯=， 在Rt ACB ∆中，90ACB ∠=︒，10AB =，6BC =，由勾股定理得：8AC =， 在Rt ADC ∆中，E 为AC 的中点， 118422DE AC ∴==⨯=， 在Rt EDO ∆中，116322OD BC ==⨯=，4DE =，由勾股定理得：5OE =， 由三角形的面积公式得：1122EDO S DE DO OE DF ∆=⨯⨯=⨯⨯，即435DF ⨯=⨯， 解得： 2.4DF =，在Rt DFO ∆中，由勾股定理得：2222324 1.8OF DO DF =--=．22．（8分）已知抛物线1l 与2l 形状相同，开口方向不同，其中抛物线217:82l y ax ax =--交x 轴于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），且6AB =；抛物线2l 与1l 交于点A 和点(5,)C n ． （1）求抛物线1l ，2l 的表达式；（2）当x 的取值范围是 24x 时，抛物线1l 与2l 上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大；（3）直线//MN y 轴，与x 轴、1l 、2l 分别相交于点(,0)P m 、M 、N ，当28m 时，求线段MN 的最大值．【解答】（1）1l 的对称轴为：842ax a-=-=， 6AB =，(1,0)A ∴，(7,0)B ，把(1,0)A 代入1l ， 得12a =-，∴2117:422l y x x =-+-， (5,4)C ∴，由题意，设221:2l y x bx c =++， ∴10225542b c b c ⎧++=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，解得232b c =-⎧⎪⎨=⎪⎩，∴2213:222l y x x =-+， 综上，2117:422l y x x =-+-，2213:222l y x x =-+；（2）观察图象可知，中两个抛物线的顶点之间时，抛物线1l 与2l 上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大，顶点1(2,)2E -，顶点9(4,)2F ，所以24x 时，抛物线1l 与2l 上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大， 故答案为：24x ．（3）由图象知，当8m =时，MN 最大， 此时7(8,)2M -，35(8,)2N ，21MN ∴=．23．（6分）如图，直线AM 和AN 相交于点A ，30MAN ∠=︒，在射线AN 上取一点B ，使6AB cm =，过点B 作BC AM ⊥于点C ，D 是线段AB 上的一个动点（不与点B 重合），过点D 作CD 的垂线交射线CA 于点E ．（1）确定点B 的位置，在线段AB 上任取一点D ，根据题意，补全图形； （2）设AD x = cm ，CE y = cm ，探究函数y 随自变量x 的变化而变化的规律． ①通过取点、画图、测量，得到了x 与y 的几组对应值，如下表： /x cm0 1 2 3 4 5 /y cm5.24.43.83.58.1（要求：补全表格，相关数值保留一位小数）②建立平面直角坐标系xOy ，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；③结合画出的函数图象，解决问题：当AD 为Rt CDE ∆斜边CE 上的中线时，AD 的长度约为 5.2 cm （结果保留一位小数）．【解答】解：（1）如图1所示，（2）如图2，在Rt ABC ∆中，30BAC ∠=︒，6AB =， 3BC ∴=，33AC =过点C 作CG AB ⊥于G ， 在Rt BCG ∆中，1322BG BC ==，33CG =， 6AB =，4AD =， 316422DG AB AD BG ∴=--=--=， 过点E 作EF AB ⊥于F ， 90DFE CGD ∴∠=∠=︒． 90DCG CDG ∴∠+∠=︒， DE CD ⊥，90CDG EDF ∴∠+∠=︒， DCG EDF ∴∠=∠， 90EFD DGC ∠=∠=︒，DEF CDG ∴∆∆∽，∴EF DFDG CG=， ∴11233332EF DF ==， 33DF EF ∴=，在Rt AEF ∆中，3AF EF =，233AE AF =， 3DF AF ∴=，44AD AF DF AF ∴=+==， 1AF ∴=，233AE ∴=， 2373330.433y CE AC AE ∴==-=-=≈， 故答案为：4.0；（3）函数图象如图3所示，（4）如图4，AD 是Rt CDE ∆的斜边的中线，12AD CE AC ∴==，由（2）知，33AC =， 33 5.2AD ∴=，故答案为：5.2．24．（7分）对于平面直角坐标系xOy 中的点M 和图形G ，若在图形G 上存在一点N ，使M ，N 两点间的距离等于1，则称M 为图形G 的和睦点．（1）当O 的半径为3时，在点1(1,0)P ，2(3P 1)，37(2P ，0)，4(5,0)P 中，O 的和睦点是 2P 、3P ；（2）若点(4,3)P 为O 的和睦点，求O 的半径r 的取值范围；（3）点A 在直线1y =-上，将点A 向上平移4个单位长度得到点B ，以AB 为边构造正方形ABCD ，且C ，D 两点都在AB 右侧．已知点(2E 2)，若线段OE 上的所有点都是正方形ABCD 的和睦点，直接写出点A 的横坐标A x 的取值范围．【解答】解：（1）如图1中，分别以点1P ，2P ，3P ，4P 为圆心，1为半径画圆，若与O 有交点，则P 是，O 的和睦点， 观察图象可知，O 的和睦点是2P 、3P ． 故答案为：2P 、3P ．（2）如图2中，连接OP．直线OP交以P为圆心半径为1的圆于A、B．P，(4,3)∴=，5OP满足条件的O必须与以P为圆心半径为1的圆相交或相切，当4OA=时，得到r的最小值为4，当6OB=时，得到r的最大值为6，∴．r46（3）①如图3中，当点O 到C D ''的距离1OM =时，此时点A '的横坐标为3-． 当点E 到CD 的距离1EN =时，此时点A 的横坐标为25-，∴253A x --时，满足条件；②)①如图3中，当点O 到A B ''的距离1OM =时，此时点A '的横坐标为1 当点E 到AB 的距离1EN =时，点A 的横坐标为21-，∴211A x -时，满足条件；综上所述，满足条件的当A 253A x -211A x ．。
北京—零一中学2020-2021学年九年级上学期12月月考数学试题(解析版)
北京101中学2021届上学期初中九年级12月月考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每题2分，共20分）1. 下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中属于中心对称图形的有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】【分析】根据中心对称的概念对各图形分析判断即可得解．【详解】解：第一个图形是中心对称图形，第二个图形不是中心对称图形，第三个图形是中心对称图形，第四个图形不是中心对称图形，所以，中心对称图有2个．故选B ．【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2. 若点(,)A a b 在双曲线3y x=上，则代数式8ab -的值为（ ）A. －12B. －7C. －5D. 5【答案】C【解析】【分析】把A 点坐标代入反比例函数解析式即可求出ab 的值．【详解】解：把(,)A a b 代入3y x =得，ab =3，8385ab -=-=-，故选：C ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，解题关键是把点的坐标代入解析式，然后整体代入求值．3. 方程x2﹣3x﹣1＝0的根的情况是（ ）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 无法确定【答案】A【解析】【分析】先求出Δ的值，再判断出其符号即可．【详解】解：∵Δ=（-3）2-4×1×(-1)=13＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．【点睛】本题考查的是根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的情况与判别式Δ的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．4. 如图，AC与BD相交于点E，AD∥BC，若2,3,3===，则BC的长度是AE CE AD（）A. 2B. 3C. 4D. 92【答案】D【解析】【分析】由平行得到△BCE ∽△DAE ，然后得到对应边的比例关系，求解即可．【详解】∵AD ∥BC∴△BCE ∽△DAE ∴BC CEAD AE=∴39322CE BC AD AE =×=´=故选：D ．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，由相似得到比例关系是解题的关键．5. 如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，且AB ＝10，AC ＝CD ＝5，则∠ABD 的度数为（ ）A. 30°B. 45°C. 50°D. 60°【答案】D【解析】【分析】连接OC 、OD ，证出△AOC 和△COD 是等边三角形，得∠AOC ＝∠COD ＝60°，则∠AOD ＝120°，由圆周角定理得出∠ABD ＝12∠AOD ＝60°即可．【详解】解：连接OC 、OD ，如图所示：∵OC ＝OD ＝OA ＝12AB ＝5，AC ＝CD ＝5，∴OA ＝AC ＝OC ＝CD ＝OD ，∴△AOC 和△COD 是等边三角形，∴∠AOC ＝∠COD ＝60°，∴∠AOD ＝60°＋60°＝120°，∴∠ABD ＝12∠AOD ＝60°；故选：D ．【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，圆周角定理，熟练掌握同弧所对的圆周角为圆心角的一半是关键．6. 已知⊙O的半径是4，点P到圆心O的距离d为方程x2﹣4x﹣5＝0的一个根，则点P在（ ）A. ⊙O的内部B. ⊙O的外部C. ⊙O上或⊙O的内部D. ⊙O上或⊙O的外部【答案】B【解析】【分析】先解一元二次方程，得到d值，再比较d与半径4的大小，若d﹥4，则点P在⊙O的外部，若d﹤4，则点P在⊙O的内部，若d=4，则点P在⊙O上，即可解答．【详解】解：原方程可化为：（x﹣5）（x+1）＝0，解得：x1=5，x2=﹣1（舍去），∴d=5，∵d=5﹥4，∴点P在⊙O的外部，故选：B．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系、解一元二次方程，熟练掌握点与圆的位置关系的判断方法是解答的关键．7. 如图，点P为⊙O外一点，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，OB=，则线段BP的长为（）Ð=°，430PA. 4B. 43C. 8D. 12【答案】A【解析】【分析】要求BP，由BP在OP上，OB=4已知只要求出OP，需和切线结合，为此连OA，构成直角三角形，由OA为半径，30Ð=°，利用30º角所对直角边等于斜边的一半，可P求OP即可．【详解】连接OA，∵PA为⊙O的切线，∴∠OAP=90º，Q,OB=4∴OA=OB=4，在Rt△OAP中，∵30Ð=°，，P∴OP=2OA=8，BP=OP-OB=8-4=4．故选择：A．【点睛】本题考查圆外一点到圆的距离问题，关键是切点与圆心紧紧相连，构成半径，切线长，连心线组成直角三角形解决问题，掌握切线的性质，30º直角三角形的性质．8. 如图，用一个半径为10cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了36°，假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（）A. πcmB. 2πcmC. 3πcmD. 4πcm【答案】B【解析】【分析】根据定滑轮的性质得到重物上升的高度即为滑轮转过的弧长，利用弧长公式计算即可．【详解】解：根据题意得：滑轮转过的弧长()3610=2cm 180p p ´则重物上升了2πcm ，故选：B ．【点睛】此题考查了旋转的性质，以及弧长公式，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．9. 如图，等腰直角三角形ABC 中，∠ABC ＝90°，BA ＝BC ，将BC 绕点B 顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP ，连结CP ，过点A 作AH ⊥CP 交CP 的延长线于点H ，连结AP ，则∠P AH 的度数（ ）A. 随着θ的增大而增大B. 随着θ的增大而减小C. 不变D. 随着θ的增大，先增大后减小【答案】C【解析】【分析】由旋转的性质可得BC ＝BP ＝BA ，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求∠BPC +∠BP A ＝135°＝∠CP A ，由外角的性质可求∠P AH ＝135°﹣90°＝45°，即可求解．【详解】解：∵将BC 绕点B 顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP ，∴BC ＝BP ＝BA ，∴∠BCP ＝∠BPC ，∠BP A ＝∠BAP ，∵∠CBP +∠BCP +∠BPC ＝180°，∠ABP +∠BAP +∠BP A ＝180°，∠ABP +∠CBP ＝90°，∴∠BPC +∠BP A ＝135°＝∠CP A ，∵∠CP A ＝∠AHC +∠P AH ＝135°，∴∠P AH ＝135°﹣90°＝45°，∴∠P AH 的度数是定值，故选：C ．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．10. 如图，在平面直角坐标系中，直线y x =-与双曲线k y x=交于A 、B 两点，P 是以点(2,2)C 为圆心，半径长1的圆上一动点，连结AP ，Q 为AP 的中点．若线段OQ 长度的最大值为2，则k 的值为（ ）A. 12- B. 32- C. 2- D. 14-【答案】A【解析】【分析】连接BP ，证得OQ 是△ABP 的中位线，当P 、C 、B 三点共线时PB 长度最大，PB=2OQ=4，设 B 点的坐标为（x ，-x ），根据点(2,2)C ，可利用勾股定理求出B 点坐标，代入反比例函数关系式即可求出k 的值．【详解】解：连接BP ，∵直线y x =-与双曲线k y x=的图形均关于直线y=x 对称，∴OA=OB ，∵点Q 是AP 的中点，点O 是AB 的中点∴OQ 是△ABP 的中位线，当OQ 的长度最大时，即PB 的长度最大，∵PB≤PC+BC ，当三点共线时PB 长度最大，∴当P 、C 、B 三点共线时PB=2OQ=4，∵PC=1，∴BC=3，设B 点的坐标为（x ，-x ），则3=，解得12,22x x ==-（舍去）故B 点坐标为,22æö-ç÷ç÷èø，代入k y x =中可得：12k =-，故答案为：A ．【点睛】本题考查三角形中位线的应用和正比例函数、反比例函数的性质，结合题意作出辅助线是解题的关键．二、填空题（本大题共10小题，每题3分，共30分）11. 若关于x 的方程230x bx a ++=有一个根为－1，则3a b -的值为______．【答案】-1【解析】【分析】把-1代入原方程即可．【详解】解：把x= -1代入230x bx a ++=得，130b a -+=，31a b -=-，故答案为：-1．【点睛】本题考查了一元二次方程的根，解题关键是理解方程根的意义，把未知数的值代入原方程．12. 已知反比例函数1k y x-=的图象分别位于第二、第四象限，请写出一个符合题意的k 的值______．【答案】0（答案不唯一，满足k<1即可）．【解析】【分析】根据反比例函数的性质得到k-1＜0，然后取k <1即可得到满足条件的k 的值．【详解】解：∵反比例函数1k y x-=的图象在第二、四象限，∴k-1＜0，∴k<1故k=0故答案为：0（答案不唯一，满足k<1即可）．【点睛】本题考查了反比例函数的性质：反比例函数y=k x（k≠0）的图象是双曲线；当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y 随x 的增大而减小；当k ＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y 随x 的增大而增大．13. 如图，一块含30°角的直角三角板，将它的30°角顶点A 落在⊙O 上，边AB 、AC 分别与⊙O交于点D、E，则∠DOE的度数为______．【答案】60°【解析】【分析】根据圆周角定理解决问题即可，同弧所对圆心角是圆周角的两倍；【详解】∵∠BAC=30°，∴∠DOE=2∠BAC=60°，故答案为：60°．【点睛】本题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题；14. 石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，如图，已知一石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，求水面宽AB＝_____m．【答案】8．【解析】【分析】连结OA，先计算OD的长，由勾股定理解得AD的长，再根据垂径定理可得AB=2AD，据此解题．【详解】连结OA，Q拱桥半径OC为5cm，5OA\=cm，8CD=Q m，853OD\=-=cm，224AD OA OD\=-==m2248AB AD\==´=m，故答案为：8．【点睛】本题考查垂径定理及其推论、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．15. 如图,在平面直角坐标系xOy中,点B在y轴上,AB AO= ,反比例函数()ky xx=>的图象经过点A,若ABOV的面积为2,则k的值为.__________．【答案】2【解析】【分析】过点A作AD⊥y轴于点D,结合等腰三角形的性质得到△AD O的面积为1,所以根据反比例函数系数k的几何意义求得k的值.【详解】如图，过点A作AD⊥y轴于点D∵AB=A O,△AB O 的面积是2，∴11||122ADOABO SS k \===V V 又反比例函数的图像位于第一象限，k ＞0，则k=2.故答案是2【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，作出辅助线构建三角形是解决本题的关键.16. 一个圆锥侧面展开图的扇形的弧长为12π，则这个圆锥底面圆的半径为________．【答案】6【解析】【分析】利用圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长计算．【详解】设底面圆半径为r ，则2πr=12π，化简得r=6．故答案为6．【点睛】本题考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把的扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．17. 已知抛物线22(2)2y x m x m =+++-与x 轴交于A 、B （A 在B 左侧）两点，且对称轴为=1x -，则（1）m 的值为________；（2）当0y >时，x 的取值范围是_______．【答案】 ①. -1 . ②3x <-或1x >【解析】【分析】（1）根据抛物线对称轴公式2b x a=-，代入求值即可；（2）求出抛物线与x 轴的交点坐标，再根据图象确定取值范围．【详解】解：（1）∵抛物线对称轴为=1x -，∴2(2)12m +-=-，解得，m=-1，∴抛物线解析式为：223y x x =+-，当y=0时，2023x x =+-，解得，121,3x x ==-，抛物线图象如图所示，当0y >时，x 的取值范围是3x <-或1x >，故答案为：-1，3x <-或1x >．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题关键是熟知抛物线对称轴公式，树立数形结合思想，根据图象判断取值范围．18. 如图，Rt ABC D 中，90C Ð=°，6AC =，8BC =，则ABC D 的内切圆半径为________．【答案】2【解析】【分析】先由勾股定理求出AB 的长，再根据切线性质和正方形的判定这证得四边形OECF 是正方形，然后利用切线长定理求得半径r 即可．【详解】如图，∵在Rt ABC D ，90C Ð=°，6AC =，8BC =∴由勾股定理得：2210AB AC BC =+=，∵圆O 为ABC D 的内切圆，∴OE OF =，90OEC OFC C Ð=Ð=Ð=°；\四边形OECF 是正方形；由切线长定理，得：AD AF =，BD BE =，CE CF =；1()2CE CF AC BC AB \==+-，即：1(6810)22r =+-=，故答案为：2．【点睛】本题考查了切线的性质、正方形的判定与性质、切线长定理、勾股定理，熟练掌握切线性质和切线长定理是解答的关键．19. 在平面直角坐标系xOy 中，函数1()y x x m =<的图象与函数22()y x x m =³的图象组成图形G ，对于任意实数n ，过点(0,)P n 且与x 轴平行的直线总与图形G 有公共点，则实数m 的取值范围是_______．【答案】01m ££【解析】【分析】首先理解题意，任意一条平行于x 轴的直线都能与指定区间的两个图象构成的新图形G 有交点，先求得两个函数的图象的交点，根据图象即可求得．【详解】解：由 2y xy x =ìí=î解得00x y =ìí=î 或11x y =ìí=î ，∴函数y 1＝x 的图象与函数y 2＝x 2的图象的交点为（0，0）和（1，1），∵函数y 1＝x （x ＜m ）的图象与函数y 2＝x 2（x≥m ）的图象组成图形G ．由图象可知，对于任意实数n ，过点P （0，n ）且与x 轴平行的直线总与图形G 有公共点，则0≤m≤1，故答案为：0≤m≤1．【点睛】本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象，理解题意，求得交点坐标是解题的关键．20. 三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点A i 的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B i 的横、纵坐标分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，i ＝1，2，3．（1）记Q i 为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，则Q 1，Q 2，Q 3中最大的是_____；（2）记i p 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则123,,p p p 中最大的是_____．【答案】 ①. 1Q . ②2p【解析】【分析】（1）若Q i 为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，则Q i ＝A i 的综坐标+B i 的纵坐标；进而得到答案．（2）若p i 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p i 为A i B i 中点与原点连线的斜率；进而得到答案．【详解】解：（1）若Q i 为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，Q 1＝A 1的纵坐标+B 1的纵坐标；Q 2＝A 2的纵坐标+B 2的纵坐标，Q 3＝A 3的纵坐标+B 3的纵坐标，由已知中图象可得：Q 1，Q 2，Q 3中最大的是Q 1，（2）若p i 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p i 为A i B i 中点与原点连线的斜率，故p 1，p 2，p 3中最大的是p 2故答案为：Q 1，p 2【点睛】本题考查的知识点是函数的图象，分析出Q i和p i的几何意义，是解答的关键．三、解答题（本题共50分，第21题6分，第22~23题，每小题5分；第24~25题，每小题6分；第26~27题，每小题7分，第28题8分）21. 下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．已知：如图，⊙O及⊙O上一点P．求作：过点P的⊙O的切线．作法：如图，作射线OP；① 在直线OP外任取一点A，以A为圆心，AP为半径作⊙A，与射线OP交于另一点B；②连接并延长BA与⊙A交于点C；③作直线PC；则直线PC即为所求．根据小元设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明：证明：∵BC是⊙A的直径，∴∠BPC=90°填推理依据）．∴OP⊥PC．又∵OP是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线（填推理依据）．【答案】（1）见解析；（2）直径所对的圆周角是直角；过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线【解析】【分析】（1）根据题意作出图形即可；（2）根据圆周角定理得到∠BPC=90°，根据切线的判定定理即可得到结论．【详解】解：（1）补全图形如图所示，则直线PC 即为所求；（2）证明：∵BC 是⊙A 的直径，∴∠BPC=90°（圆周角定理），∴OP ⊥PC ．又∵OP 是⊙O 的半径，∴PC 是⊙O 的切线（切线的判定）．故答案为：圆周角定理；切线的判定．【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，正确的作出图形是解题的关键．22. 如图，一次函数12y x =-+的图象与反比例函数2k y x=的图象相交于A ，B 两点，点B 的坐标为(2,)n n -．（1）求出n 的值，并确定反比例函数的表达式；（2）请直接写出当x n <时，2y 的取值范围．【答案】（1）82,n y x==-；（2）24y <-或20y >．【解析】【分析】（1）把B 的坐标代入12y x =-+ 求出n 的值，得出B(4，-2)，再代入2=k y x即可求得k 的值；（2）根据函数图象即可求得2y 的取值范围；【详解】（1）∵B(2n ，-n)在12y x =-+上∴将点B 的坐标代入得-n=-2n+2，得n=2， ∴点B(4，-2)将点B(4，-2)代入2=k y x得：k=()42=8´--，∴28y =x-，（2）把x=2代入28y =x -，得28y ==42--，∴ 由图象可知，当x ＜2时，2y 的取值范围为2y ＞0或2y ＜-4；【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式，也考查了用待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力；23. 有这样一个问题：探究函数12y x x =+-的图象与性质．小亮根据学习函数的经验，对函数12y x x =+-的图象与性质进行了探究．下面是小亮的探究过程，请补充完整：（1）函数12y x x =+-中自变量x 的取值范围是______；（2）下表是y 与x 的几组对应值，请直接写出m 的值______；（）在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；（4）根据画出的函数图象，发现下列特征：①该函数的图象是中心对称图形，对称中心的坐标是_____；②该函数的图象与直线x ＝2越来越靠近而永不相交，该函数的图象还与直线_____越来越靠近而永不相交．【答案】（1）2x ¹；（2）4m =；（3）见解析；（4）①（2，2）；② y x =．【解析】【分析】（1）根据分母不为0即可得出关于x 的一元一次不等式，解之即可得出结论；（2）将x=3代入函数解析式中求出m 值即可；（3）连点成线即可画出函数图象；（4）①观察函数图象，根据对称中心的定义即可求解；②观察函数图象即可求解．【详解】解：（1）由题意得：x-2≠0，解得：x≠2．故答案为：x≠2；+3=1+3=4，（2）当x=3时，m=1-32故答案为4；（3）图象如图所示：（4）观察函数图象发现：①该函数的图象是中心对称图形，对称中心的坐标是（2，2）．故答案为（2，2）；②该函数的图象与过点（2，0y轴的直线越来越靠近而永不相交，该函数的图象还与直线y=x越来越靠近而永不相交．故答案为y=x．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，函数自变量的取值范围以及函数图象，连点成曲线画出函数图象是解题的关键．24. 如图，已知直角△ABC中，∠ACB＝90°，E为AB上一点，以AE为直径作⊙O与BC 相切于点D，连接ED并延长交AC的延长线于点F．（1）求证：AE AF=；（2）若10AC=，求BE的长．AE=，8【答案】（1）见解析；（2）10BE=．3【解析】【分析】（1）连接OD，根据切线的性质得到OD⊥BC，根据平行线的判定定理得到OD∥A C，求得∠ODE＝∠F，根据等腰三角形的性质得到∠OED＝∠ODE，等量代换得到∠OED＝∠F，即可得到结论；（2）根据相似三角形的判定和性质即可得出结论；【详解】（1）连接OD，∵BC切⊙O于点D∴OD⊥BC ，∴∠ODC＝90°，又∵∠ACB＝90°，∴OD∥AC，∴∠ODE＝∠F，Q，OE OD=∴∠OED＝∠ODE，∴∠OED＝∠F，∴AE AF=，（2）∵OD ∥AC ，∴△BOD ∽△BAC ，∴BO OD AB AC=，∵10AE =，AC=8，即55108BE BE +=+，∴103BE =．【点睛】本题考查的切线的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，正确做出辅助线是解题的关键；25. 如图1，排球场长为18m ，宽为9m ，网高为2.24m ．队员站在底线O 点处发球，球从点O 的正上方1.9m 的C 点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点A 时，高度为2.88m ．即BA ＝2.88m ．这时水平距离OB ＝7m ，以直线OB 为x 轴，直线OC 为y 轴，建立平面直角坐标系，如图2．（1）若球向正前方运动（即x 轴垂直于底线），求球运动的高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的函数关系式（不必写出x 取值范围）．并判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由；（2）若球过网后的落点是对方场地①号位内的点P （如图1，点P 距底线1m ，边线0.5m ），问发球点O 在底线上的哪个位置？（参取1.4）【答案】（1）这次发球过网，但是出界了，理由详见解析；（2）发球点O在底线上且距右边线0.1米处．【解析】【分析】（1）求出抛物线表达式，再确定x＝9和x＝18时，对应函数的值即可求解；（x﹣7）2+2.88＝0，解得：x＝19或﹣5（舍去﹣5），求出PQ （2）当y＝0时，y＝﹣150＝8.4，即可求解．＝【详解】（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣7）2+2.88，，将x＝0，y＝1.9代入上式并解得：a＝﹣150（x﹣7）2+2.88；故抛物线的表达式为：y＝﹣150（x﹣7）2+2.88＝2.8＞2.24，当x＝9时，y＝﹣150（x﹣7）2+2.88＝0.64＞0，当x＝18时，y＝﹣150故这次发球过网，但是出界了；（2）如图，分别过点作底线、边线的平行线PQ、OQ交于点Q，在Rt△OPQ中，OQ＝18﹣1＝17，（x﹣7）2+2.88＝0，解得：x＝19或﹣5（舍去﹣5），当y＝0时，y＝﹣150∴OP＝19，而OQ＝17，故PQ＝62＝8.4，∵9﹣8.4﹣0.5＝0.1，∴发球点O在底线上且距右边线0.1米处.【点睛】此题考查求二次函数的解析式，利用自变量求对应的函数值的计算，勾股定理解直角三角形，二次函数的实际应用,正确理解题意，明确“能否过网”，“是否出界”词语的含义找到解题的方向是解答此题的关键.26. 已知二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点A（1，0）和D（4，3），与x轴的另一个交点为B，与y轴交于点C．（1）求二次函数的表达式及顶点坐标；（2）将二次函数y＝x2+mx+n的图象在点B、C之间的部分（包含点B、C）记为图象G．已知直线l：y＝kx﹣2k+2总位于图象G的上方，请直接写出k的取值范围；（3）如果点P（x1，c）和点Q（x2，c）在函数y＝x2+mx+n的图象上，且x1＜x2，PQ＝2a，求x12﹣ax2+6a+4的值．【答案】（1）y＝x2﹣4x+3，（2，﹣1）；（2）﹣2＜k＜﹣1；（3）8．2【解析】【分析】（1）代入点A(1,0)和D(4,3)，可求得m、n的值，从而可得二次函数的表达式，将表达式化为顶点式，即可求得顶点坐标．（2）由l；y=kx−2k+2=k（x−2）+2可得，过定点（2，2），再分别代入点B、C的坐标，可求得k的值，要使直线l；y=kx−2k+2总位于图象G的上方，则k的取值范围，即为分别代入点B、C的坐标所求得的k的值之间的部分．（3）由二次函数243=-+的对称轴是直线x=2，点P(x1，c)和点Q(x2，c)在函数y x x2y x mx n =++的图象上，且x 1＜x 2，可得x 1=2−a ，x 2=2+a ，代入21264a a x x +++即可求解．【详解】解：（1）根据题意得：1413m n m n +=-ìí+=-î，解得43m n =-ìí=î．故二次函数的表达式为y ＝x 2﹣4x +3，则函数的对称轴为x ＝﹣2b a＝2，当x ＝2时，y ＝x 2﹣4x +3＝﹣1，故顶点坐标为：（2，﹣1）；（2）在y ＝x 2﹣4x +3中，令x ＝0，解得y ＝3，令y ＝x 2﹣4x +3＝0，解得x ＝1或3，则C 的坐标是（0，3），点B （3，0），∵y ＝kx ﹣2k +2＝k （x ﹣2）+2，即直线故点（2，2），设该点为M ，当直线过点C 、M 或过B 、M 时，都符合要求，将点C 的坐标代入y ＝kx ﹣2k +2，即3＝﹣2k +2，解得k ＝﹣12；将点B 的坐标代入3＝kx ﹣2k +2，即0＝3k ﹣2k +2，解得k ＝﹣2；故﹣2＜k ＜﹣12，故答案为：﹣2＜k ＜﹣12；（3）∵P （x 1，c ）和点Q （x 2，c ）在函数y ＝x 2﹣4x +3的图象上，∴PQ //x 轴，∵二次函数y ＝x 2﹣4x +3的对称轴是直线x ＝2，又∵x 1＜x 2，PQ ＝2a ，∴x 1＝2﹣a ，x 2＝2+a ，∴x 12﹣2x 2+6a +4＝（2﹣a ）2﹣a （2+a ）+6a +4＝8．【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．27. 如图①，在等腰直角△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ＝3，在边AB 上取一点D （点D 不与点A ，B 重合），在边AC 上取一点E ，使AE ＝AD ，连接DE. 把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转(0360)a a °<<°，如图②．（1）请你在图②中，连接CE 和BD ，判断线段CE 和BD 的数量关系，并说明理由；（2）请你在图③中，画出当a ＝45°时的图形，连接CE 和BE ，求出此时△CBE 的面积；（3）若2AD =，点M 是CD 的中点，在△ADE 绕点A 逆时针方向旋转的过程中，直接写出线段AM 的最大值：_______．【答案】（1）CE BD =；理由见解析；（2）92CBE SD =；（3）322+【解析】【分析】（1）如图1中，连接EC 、BD ，结论：BD=CE ，证明△AEC ≌△ADB （SAS ），即可解决问题；（2）证明：AE∥BC，推出△CBE的面积与△ABC的面积相等，即可解决问题；（3）如图3中，延长AM到N，使得MN=AM，连接CN、DM，求出AM的取值范围即可解决问题；【详解】（1）CE BD=；理由：连接CE和BD，如图1所示，由题意可知，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∵∠EAD＝∠CAB＝90°，∴∠EAC＝∠DAB，又∵,==，AE AD AC AB∴△AEC≌△ADB（SAS），∴CE BD=；（2）当a＝45°时，连接CE和BE，如图2所示，aQ＝45°，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴∠BAD＝∠CAD＝∠EAC＝45°，∵AC=AB，∠CAB=90°，∴∠ACB=∠ABC=45°，∴AE∥BC，∴△CBE的面积与△ABC的面积相等，∵△ABC 的面积=133=4.52´´ ，∴△CBE 的面积=4.5．（3）如图3中，延长AM 到N ，使得MN=AM ，连接CN 、DM ，∵AM=MN ，CM=MD ，∴四边形ADNC 是平行四边形，∴，∵AC=3，∴33AN ££+，∴323AM ££+，∴3322AM +££ ，∴AM 的最大值为32+．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识；解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题；28. 等边三角形的内切圆半径为r ，外接圆半径为R ，给出如下定义：设平面内一点到等边三角形中心的距离为d ，满足r d R ££的点叫做等边三角形的“环中心点”．在平面直角坐标系xOy 中，等边△ABC 的三个顶点的坐标分别为(0,2),(3,1),1)A B C ---．（1）已知点1(2,2),(,1)2D E F --，在点D 、E 、F 中，是等边△ABC 的“环中心点”的是：________；（2）如图，①过点A 作直线交x 轴正半轴于点M ，使∠AMO ＝30°，若线段AM 上存在等边△ABC 的“环中心点”P （,m n ），求m 的取值范围；②与①中AM 平行的直线l 与x 轴、y 轴分别交于点(,0)T t 、(0,)S s ，请直接写出：当s 满足什么条件时，线段TS 上总存在等边△ABC 的“环中心点”： ________．【答案】（1）E ，F ；（2）①03m ££； ②-3≤s≤2．【解析】【分析】（1）根据中心关联点的定义，求出R 、r 、d 即可判断；（2）①由题意可知，点E 在直线AM 上，当点P 在AE 上时，点P 都是等边△ABC 的中心关联点；②设平移后的直线交y 轴于G ，作这条直线的垂线垂足为H ．当OH ＝2时，求出OG 即可判断．【详解】解：（1）由题意R ＝2，r ＝1，点O 是△ABC 的中心，∵1(2,2),(,1)2D E F --，∴OD ＝，OE ＝2，OF ，222OD OE OF =>==Q ，，<2，∴点E 、F 是△ABC 的中心关联点，故答案为E ，F ；（2）①如图1中，依题意(0,2),A M ，可求得直线AM 的解析式为323y x =-+经验证E 在直线AM 因为2OE OA ==，∠MAO ＝60°，所以△OAE 为等边三角形，所以AE当点P 在AE2OP ££，所以当点P 在AE 上时，点P 都是等边△ABC 的环中心点，所以0m ££②如图2中，设平移后的直线交y 轴于G ，作这条直线的垂线垂足为H ．当OH ＝2时，在Rt △OHG 中，OH ＝2，∠HOG ＝30°，则cos30°＝22OHOG OG == ，∴OG=43，3≤s≤2，∴满足条件的s的值为-3≤s≤2．故答案为：-3【点睛】本题考查圆综合题、等边三角形的性质、两点间距离公式、勾股定理、一次函数的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．。
北京市海淀区101中学2023~2024学年初三第一学期数学月考参考答案(9月)
北京一零一中教育集团2023－2024学年度第一学期初三练习数 学 答 案 2023.9一、选择题（本题共16分，每小题2分）二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. （ －3，2） 10. 1b = 11. y ＝－x 2+3(答案不唯一)． 12. 75° 13. m =2 14. > 15. 2.05+2.05(1+x)+2.05(1+x)2=10.53 16. ①②④ 三、解答题（本题共68分，第17题8分、18－20题4分、21、22题5分，23－25、27题6分，26题、28题7分） 17. （1）x 2=49……………..2分x 1=23，x 2=−23．…………….4分（2）x 2－x －6＝0，（x +2）（x －3）＝0，……………..2分 x +2＝0或x －3＝0，解得：x 1=−2，x 2=3．……………..4分(其他方法均可酌情给分) 18. (1)图略 A 1的坐标为(−4,1) ……………..2分（2）图略……………..4分 19. 解：（a －2）2－3 a （a +1）=－2a 2－ 7a +4 . ……………..1分 ∵ a 是方程2x 2+7x ﹣1＝0的根，∴ 2a 2+7a －1＝0． ……………..2分∴ 2a 2+7a ＝1．∴ 原式 = 3． ……………..4分 20. （1）证明：依题意，得Δ=(k +3)2−4⋅3⋅k =k 2−6k +9=(k −3)2．∵(k −3)2≥0，∴0∆≥.∴ 该方程总有两个实数根． ……………..2分 （2）解：解方程，得x 1=1，x 2=k3． ∵该方程有一个根大于2，∴ k3>2,∴ k >6. ……………..4分 21.（1）解：∵抛物线y =2x 2+bx +c 过点(1,3)和(0,4)，∴{2+b +c =3c =4， 解得{b =−3c =4，∴该二次函数的解析式为y =2x 2−3x +4．……………..3分 （2）该抛物线的顶点坐标为323(,)48……………..5分(横纵坐标各1分) 22. 解：(1)如图所示；……………..2分(2)∵AB =5，BC =3，∠C =90°， ∴AC =√ AB 2−BC 2=4．……………..3分 ∵△DCE 由△ABC 旋转而成， ∴CE =AC =4，……………..4分 ∵∠DCE =∠ACB =90° ∴B 、C 、E 共线∴BE =BC +CE =3+4=7． …………….5分23. （1）图略 ………..2分（2）－4≤y≤5 ………..4分（3）x ＜0或x ＞3…….6分 24. （1）建系略 ……………..1分 （4，4）．……………..2分 （2）设抛物线解析式为y ＝a （x ﹣4）2+4（a ≠0），∵A （0，2）在抛物线上，∴2＝a （0﹣4）2+4，解得，a ＝﹣，∴y ＝﹣（x ﹣4）2+4，……………..4分 将y ＝0代入，得﹣（x ﹣4）2+4＝0， 解得，x 1＝4﹣4（舍去）或x 2＝4+4，……………..6分∴CD ＝4+4．答：该同学把实心球扔出米．25. (1)证明：∵△DAE 绕点D 逆时针旋转90°得到△DCM ， ∴DE =DM ，∠EDM =90°．……………..1分∵正方形ABCD 中∠ADC =90°,∠EDF =45°，∴∠ADE +∠FDC =90°−∠EDF =45° ∴∠CDM +∠FDC =45°即∠FDM =45°．∴∠EDF =∠MDF ．…………….2分 在△DFE 和△DFM 中，{DF =DF,∠EDF =∠MDF,DE =DM,∴△DFE ≌△DFM(SAS)．∴EF =FM ．……………..3分(2)解：设FC =x ，则FM =x +2=EF ． 在Rt △BEF 中，BE =6−2=4，BF =6−x ，∴42+(6−x)2=(x +2)2．……………..5分 解得x =3． ∴EF =3+2=5．……………..6分26．解：（1）∵点（1，m ）在抛物线2y x bx =−+上，m ＝1 ∴11b −+=． ∴2b =．∴该抛物线的对称轴为1x =． ……………..2分 （2）①11.2t <<……………..4分 ②213y y y >>．…………..5分 理由如下：由题意可知，抛物线过原点．设抛物线与x 轴另一交点的横坐标为x ´． ∵抛物线经过点(1，m )，(2，n )，mn ＜0 ∴1＜x ´＜2．∴112t <<． 设点（－2，y 1）关于抛物线的对称轴x t =的对称点为01(,)x y ． ∵点（－2，y 1）在抛物线上， ∴点01(,)x y 也在抛物线上． 由0(2)x t t −=−− 得022x t =+． ∵112t <<，∴1＜2t ＜2．∴3＜2t ＋2＜4．∴034x <<． 由题意可知，抛物线开口向下．∴当x t >时，y 随x 的增大而减小.∵点（32，y 2），01(,)x y ，（4，y 3）在抛物线上，且0342t x <<<， ∴213y y y >>．……………..7分（本题论证要严谨完备才可以满分） 27. 解：(1) 相等；1800－2α；……………..2分(2) 成立.证明：①先证BF ＝EF延长CB 至M ，使得BM ＝CB 连接AM ， MD ; 延长DE 至N ，使得EN ＝DE 连接AN ， CN.如图∵∠ABC ＝90° ∴AB ⊥MC又∵BM=CB ∴AM ＝AC ，∠MAC ＝2α 同理 AD ＝AN ，∠DAN ＝2α∴∠MAC ＋∠DAC ＝∠DAC ＋∠DAN 即 ∠MAD ＝∠NAC ∴△AMD ≌△CAN∴MD ＝CN, ∠AMD ＝∠ACN ∵BM ＝CB ∴B 为MC 的中点 又∵F 为CD 的中点∴12BF MD =, BF// MD同理12EF NC =, EF// NC∵MD ＝CN ∴BF ＝EF; ②再证∠BFE ＝1800－2α延长MD 分别交EF 、CN 于点T 、K 如图，∵BF// MD, EF// NC∴∠BFE ＝∠MTE ＝∠MKN∵∠MKN ＝∠KMC ＋∠KCM ＝∠KMC ＋∠NCA ＋∠ACM＝∠KMC ＋∠AMD ＋∠ACM ＝∠AMC ＋∠ACM ＝2∠ACM ＝2(900－α)＝1800－2α ∴∠BFE ＝1800－2α 或如图由△AMD ≌△CAN 得∠3＝∠4 又∵∠1＝∠2∴∠MKC ＝∠MAC ＝2α ∴∠BFE ＝1800－2α法二：取AC 的中点P ，取AD 的中点Q, 连接QE,QF ，BP ，PF可证△BPF ≌△FQE 得BF ＝EF ∠BFE ＝∠BFP ＋∠PFQ+∠QFE＝∠BFP ＋∠PBF ＋∠PFQ ＝1800－∠BPF ＋∠PFQ＝1800－∠BPC －∠C PF ＋∠PFQ ＝1800－∠BPC ＝1800－2α…………….6分28.（1）2P 和3P ；………2分 （2）312m −≤≤−；………4分 （3）抛物线c bx x y ++=2的顶点坐标为（－1，n ），可设解析式为2(1)y x n =++， 其关于原点对称的抛物线解析式为2(1)y x n =−−−．ABC 以O 逆时旋转90︒得到A B C ’’’，其中(1,1),(1,3),(2,3)AB C −−−’’’．……5分 当2(1)y x n =−−−过A ’，得到n 的最大值－5．……6分当2(1)y x n =−−−过C ’，得到n 的最小值－12．……7分BAC。
2021-2022学年北京市101中学九年级(上)开学数学试卷及答案解析
2021-2022学年北京市101中学九年级（上）开学数学试卷一、选择题.本大题共16分，每题2分．1．（2分）备受关注的北京环球度假区宣布将于2021年9月1日正式开启试运行．根据规划，北京环球影城建成后一期预计年接待游客超过1000万人次，将1000万用科学记数法表示为（）A．0.1×104B．1.0×103C．1.0×106D．1.0×107 2．（2分）实数m，n在数轴上的对应点如图所示，则下列各式子正确的是（）A．m＞n B．﹣n＞|m|C．﹣m＞|n|D．|m|＜|n| 3．（2分）已知正多边形的一个外角为36°，则该正多边形的边数为（）A．12B．10C．8D．64．（2分）函数y＝，自变量x的取值范围是（）A．x＞2B．x＜2C．x≥2D．x≤25．（2分）如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的两条平行对边上，若∠α＝135°，则∠β等于（）A．45°B．60°C．75°D．85°6．（2分）已知锐角∠AOB，如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，两弧交于点P，连接CP，DP；（3）作射线OP交CD于点Q．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．CP∥OB B．CP＝2QC C．∠AOP＝∠BOP D．CD⊥OP 7．（2分）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（）A．直角三角形的面积B．最大正方形的面积C．较小两个正方形重叠部分的面积D．最大正方形与直角三角形的面积和8．（2分）如图，是一对变量满足的函数关系的图象，有下列3个不同的问题情境：①小明骑车以400m/min的速度匀速骑了5min，在原地休息了4min，然后以500m/min的速度匀速骑回出发地，设时间为xmin，离出发地的距离为ykm；②有一个容积为6L的开口空桶，小亮以1.2L/min的速度匀速向这个空桶注水，注5min后停止，等4min后，再以2L/min的速度匀速倒空桶中的水，设时间为xmin，桶内的水量为yL；③矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，动点P从点A出发，依次沿对角线AC，边CD，边DA运动至点A停止，设点P的运动路程为x，当点P与点A不重合时，y＝S△ABP；当点P与点A重合时，y＝0．其中，符合图中所示函数关系的问题情境为（）A．②B．②③C．①③D．①②二、填空题：本大题共16分，每题2分．9．（2分）已知x＝2y+3，则代数式4x﹣8y+9的值是．10．（2分）因式分解：4ax2﹣4ax+a＝．11．（2分）把直线y＝2x﹣1向上平移三个单位，则平移后直线与x轴的交点坐标是．12．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝62°，CD⊥AB，垂足为D，E是BC的中点，连接ED，则∠EDC的度数是．13．（2分）如图，直线y＝kx+b（k＜0）经过点A（3，1），当kx+b＜x时，x的取值范围为．14．（2分）如图，正方形ABCD对角线相交于点O，CP⊥DP于P，CP＝5，DP＝7，则△POD面积为．15．（2分）如图，在甲、乙两个十字路口各方向均设有人行横道和交通信号灯，小宇在甲路口西南角的A处，需要步行到对于乙路口东北角B处附近的餐馆用餐，已知两路口人行横道交通信号灯的切换时间与小宇的步行时间如下表所示：（图中箭头↑所示方向为北）人行横道交通信号灯的切换时间小宇的步行时间甲路口每1min沿人行横道穿过一条马路0.5min乙路口每2min在甲、乙两路口之间（CD段）6min 假定人行横道的交通信号灯只有红、绿两种，且在任意时刻，同一十字路口东西向和南北向的交通信号灯颜色不同，行人步行转弯的时间可以忽略不计．若小宇在A处时，甲、乙两路口人行横道东西向的交通信号灯均恰好转为红灯，小宇从A处到达B处所用的最短时间为min．16．（2分）为了迅速算出学生的学期总评成绩，一位同学创造了一张奇妙的算图．如图，y 轴上动点M的纵坐标y m表示学生的期中考试成绩，直线x＝10上动点N的纵坐标y n表示学生的期末考试成绩，线段MN与直线x＝6的交点为P，则点P的纵坐标y p就是这名学生的学期总评成绩．有下面几种说法：①若某学生的期中考试成绩为70分，期末考试成绩为80分，则他的学期总评成绩为75分；②甲同学的期中考试成绩比乙同学高10分，但期末考试成绩比乙同学低10分，那么甲的学期总评成绩比乙同学低；③期中成绩占学期总评成绩的60%．结合这张算图进行判断，其中正确的说法是．（填写序号）三、解答题：本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-24，每小题5分，25题5分，第26-27题，每小题5分，第28题6分17．（5分）计算：﹣（）﹣1﹣|﹣|+（π﹣）0．18．（5分）解不等式组：．19．（5分）如图，在△ABC中，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC边于点D，连接AD．若∠B＝40°，∠C＝32°，求∠DAC的度数．20．（5分）先阅读下列材料，再解答问题．尺规作图：已知：△ABC，D是边AB上一点，如图1．求作：四边形DBCF，使得四边形DBCF是平行四边形．小明的做法如下：（1）设计方案先画一个符合题意的草图，如图2，再分析实现目标的具体方法．（2）设计作图步骤，完成作图．作法：如图3，①以点C为圆心、BD为半径画弧；②再以点D为圆心、BC为半径画弧，两弧交于点F；③连接DF与CF．∴四边形DBCF即为所求．请在图3中完成尺规作图，保留作图痕迹（3）推理论证证明：∵，∴四边形DBCF是平行四边形．（）（填推理依据）21．（5分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3过点A（5，m），且与y轴交于点B，把点A向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到点C．过点C且与y＝2x平行的直线交y轴于点D．（1）求直线CD的解析式；（2）直线AB与CD交于点E，将直线CD沿EB方向平移，平移到经过点B的位置结束，请直接写出，直线CD在平移过程中与x轴交点的横坐标x0的取值范围．22．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+5）x+3k+6＝0．（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若此方程有一个根大于﹣2且小于0，k为整数，求k的值．23．（6分）如图，在▱ABCD中，∠ABD＝90°，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE．（1）求证：四边形BECD是矩形；（2）连接DE交BC于点F，连接AF，若CE＝2，∠DAB＝30°，求AF的长．24．（6分）在我市“青山绿水”行动中，某社区计划对面积为3600m2的区域进行绿化，经投标由甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，如果两队各自独立完成面积为600m2区域的绿化时，甲队比乙队少用6天．（1）求甲、乙两工程队每天各能完成多少面积的绿化；（2）若甲队每天绿化费用是1.2万元，乙队每天绿化费用为0.5万元，社区要使这次绿化的总费用不超过40万元，则至少应安排乙工程队绿化多少天？25．（5分）教育未来指数是为了评估教育系统在培养学生如何应对快速多变的未来社会方面所呈现的效果．现对教育未来指数得分前35名的国家和地区的有关数据进行收集、整理、描述和分析后，给出了部分信息．a．教育未来指数得分的频数分布直方图（数据分成7组：20≤x＜30，30≤x＜40，40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤t≤90）；b．教育未来指数得分在60≤x＜70这一组的是：61.262.864.665.267.267.367.568.5c.35个国家和地区的人均国内生产总值和教育未来指数得分情况统计图如图：d．中国和中国香港的教育未来指数得分分别为32.9和68.5．（以上数据来源于《国际统计年鉴（2018）》和国际在线网）根据以上信息，回答下列问题：（1）中国香港的教育未来指数得分排名世界第；（2）在35个国家和地区的人均国内生产总值和教育未来指数得分情况统计图中，包括中国香港在内的少数几个国家和地区所对应的点位于虚线l的上方，请在图中用“〇”画出代表中国香港的点；（3）在教育未来指数得分比中国高的国家和地区中，人均国内生产总值的最大值约为万美元；（结果保留一位小数）（4）下列推断合理的是．（只填序号即可）①相较于点A，C所代表的国家和地区，中国的教育未来指数得分还有一定差距，“十三五”规划提出“教育优先发展，教育强则国家强”的任务，进一步提高国家教育水平；②相较于点B，C所代表的国家和地区，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗目标，进一步提高人均国内生产总值．26．（7分）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），若点T（x，y）满足x＝，y＝那么称点T是点A，B的融合点．例如：A（﹣1，8），B（4，﹣2），当点T（x，y）满足x＝＝1，y＝＝2时，则点T（1，2）是点A，B的融合点．（1）已知点A（﹣1，5），B（7，7），C（2，4），请说明其中一个点是另外两个点的融合点．（2）如图，点D（3，0），点E（t，2t+3）是直线l上任意一点，点T（x，y）是点D，E的融合点．①试确定y与x的关系式．②若直线ET交x轴于点H．当△DTH为直角三角形时，求点E的坐标．27．（7分）在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC．（1）如图1，△ABC的角平分线BD，CE交于点Q，请判断“QB＝QA”是否正确；（填“是”或“否”）；（2）点P是△ABC所在平面内的一点，连接PA，PB，且PB＝PA．①如图2，点P在△ABC内，∠ABP＝30°，求∠PAB的大小；②如图3，点P在△ABC外，连接PC，设∠APC＝α，∠BPC＝β，求α+β的值．28．（6分）【定义】在平面直角坐标系xOy中，如果点A，C为某个菱形的一组对角的顶点，且点A，C在直线y＝x上，那么称该菱形为点A，C的“最佳菱形”．如图是点A，C的“最佳菱形”的一个示意图．【运用】已知点M的坐标为（1，1），点P的坐标为（3，3）．（1）点E（1，3），F（2，1），G（4，0）中，能够成为点M，P的“最佳菱形”的顶点的是（2）如果四边形MNPQ是点M，P的“最佳菱形”．①当点N的坐标为（3，1）时，求四边形MNPQ的面积；②当四边形MNPQ的面积为8，且与直线y＝x+b有公共点时，求b的取值范围（直接写出结果）．2021-2022学年北京市101中学九年级（上）开学数学试卷参考答案与试题解析一、选择题.本大题共16分，每题2分．1．【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．【解答】解：1000万＝10000000＝1.0×107．故选：D．【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．2．【分析】从数轴上可以看出m、n都是负数，且m＜n，由此逐项分析得出结论即可．【解答】解：因为m、n都是负数，且m＜n，|m|＞|n|，A、m＞n是错误的；B、﹣n＞|m|是错误的；C、﹣m＞|n|是正确的；D、|m|＜|n|是错误的．故选：C．【点评】此题考查有理数的大小比较，关键是根据绝对值的意义等知识解答．3．【分析】利用多边形的外角和是360°，正多边形的每个外角都是36°，即可求出答案．【解答】解：360°÷36°＝10，所以这个正多边形是正十边形．故选：B．【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理．是需要识记的内容．4．【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，x﹣2≥0，解得x≥2．故选：C．【点评】本题考查函数自变量的取值范围，解决本题的关键是二次根式的被开方数是非负数．5．【分析】直接利用平行线的性质以及含有30°角的直角三角板的特征进而得出答案．【解答】解：由题意可得：∵∠α＝135°，∴∠1＝45°，∴∠β＝180°﹣45°﹣60°＝75°．故选：C．【点评】此题主要考查了平行线的性质，正确得出∠1的度数是解题关键．6．【分析】由作图知OC＝OD，CD＝CP＝DP，根据等边三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质和判定、角平分线的基本作图，逐一判断可得．【解答】解：由作图可知：射线OP即为∠AOB的角平分线，∴∠AOP＝∠BOP，故C正确，不符合题意；由作图（1）（2）可知：OC＝OD，CP＝DP，∴OP是CD的垂直平分线，∴CD⊥OP，故D正确，不符合题意；由作图（2）可知：CD＝CP＝PD，∴△CDP是等边三角形，∵CD⊥OP，∴CP＝2CQ，故B正确，不符合题意；∵∠AOP＝∠BOP，当OC＝CP时，∠AOP＝∠CPO，∴∠CPO＝∠BOP，∴CP∥OB，故A错误，符合题意；故选：A．【点评】本题考查作图﹣基本作图，等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握角平分线这个基本作图，属于中考常考题型．7．【分析】根据勾股定理得到c2＝a2+b2，根据正方形的面积公式、长方形的面积公式计算即可．【解答】解：设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，较短直角边为a，由勾股定理得，c2＝a2+b2，阴影部分的面积＝c2﹣b2﹣a（c﹣b）＝a2﹣ac+ab＝a（a+b﹣c），较小两个正方形重叠部分的宽＝a﹣（c﹣b），长＝a，则较小两个正方形重叠部分底面积＝a（a+b﹣c），∴知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积，故选：C．【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．8．【分析】由400×5≠500×（12﹣9）得出①不符合；由题意得出5×1.2＝6，2×（12﹣9）＝6，9﹣5＝4，得出②符合；③分三种情况：当P在AC上时；当P在CD上时；当P在AD上时；分别得出y是x的函数，符合问题情境．【解答】解：①不符合；理由如下：∵400×5＝2000，500×（12﹣9）＝1500，2000≠1500，∴①不符合；②符合；理由如下：∵5×1.2＝6，2×（12﹣9）＝6，9﹣5＝4，∴②符合；③符合；理由如下：分三种情况：当P在AC上时，如图1所示：y是x的正比例函数，x＝5时，y＝×4×3＝6；当P在CD上时，如图2所示：y＝×4×3＝6；当P在AD上时，如图3所示：y是x的一次函数，y随x的增大而减小，x＝5+4+3＝12时，y＝0；故符合图中所示函数关系的问题情境为②③；故选：B．【点评】本题考查了一次函数的应用、矩形的性质、三角形面积的计算；熟练掌握一次函数的图象和性质是解决问题的关键．二、填空题：本大题共16分，每题2分．9．【分析】直接将已知变形进而代入原式求出答案．【解答】解：∵x＝2y+3，∴x﹣2y＝3，则代数式4x﹣8y+9＝4（x﹣2y）+9＝4×3+9＝21．故答案为：21．【点评】此题主要考查了整式的加减以及代数式求值，正确将原式变形是解题关键．10．【分析】原式提取a，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式＝a（4x2﹣4x+1）＝a（2x﹣1）2，故答案为：a（2x﹣1）2【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．11．【分析】利用一次函数平移规律，上加下减进而得出平移后函数解析式，再求出图象与坐标轴交点即可．【解答】解：直线y＝2x﹣1沿y轴向上平移3个单位，则平移后直线解析式为：y＝2x﹣1+3＝2x+2，当y＝0时，则x＝﹣1，故平移后直线与x轴的交点坐标为：（﹣1，0）．故答案为：（﹣1，0）．【点评】此题主要考查了一次函数平移变换，正确记忆一次函数平移规律是解题关键．12．【分析】根据直角三角形的两锐角互余求出∠B，再去吃∠DCE，根据直角三角形斜边上的中线性质得出CE＝DE，求出∠EDC＝∠DCE，再求出答案即可．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝62°，∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣62°＝28°，∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴∠DCE＝90°﹣∠B＝90°﹣28°＝62°，∵E是BC的中点，∴DE＝，CE＝BC，∴DE＝CE，∴∠EDC＝∠DCE＝62°，故答案为：62°．【点评】本题考查了直角三角形的性质和等腰三角形的性质，注意：①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，②直角三角形的两锐角互余．13．【分析】根据直线y＝kx+b（k＜0）经过点A（3，1），正比例函数y＝x也经过点A从而确定不等式的解集．【解答】解：∵正比例函数y＝x也经过点A，∴kx+b＜x的解集为x＞3，故答案为：x＞3．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．利用数形结合是解题的关键．14．【分析】作OE⊥OP交PD于点E，OF⊥PD于点F，设OC、PD交于点M，先证明△ODE≌△OCP（ASA），再判定△OPE为等腰直角三角形，然后利用直角三角形的斜边中线性质得出OF的值，最后利用三角形的面积公式计算即可．【解答】解：作OE⊥OP交PD于点E，OF⊥PD于点F，设OC、PD交于点M，如图：∵四边形ABCD是正方形，∴OD＝OC，∠DOC＝90°，∵CP⊥DP，∴∠DPC＝90°，∴∠DOC＝∠DPC，又∵∠OMD＝∠PMC，∴∠ODE＝∠OCP，∵∠DOE+∠COE＝90°，∠COP+∠COE＝90°，∴∠DOE＝∠COP，∴在△ODE和△OCP中，，∴△ODE≌△OCP（ASA）．∴OE＝OP，DE＝CP＝5，∴△OPE为等腰直角三角形，PE＝DP﹣DE＝7﹣5＝2，∵OF⊥PD，∴EF＝PF，∴OF＝PE＝1，∴△POD面积为：PD•OF＝．故答案为：．【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的斜边中线性质及三角形的面积计算等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．15．【分析】（1）甲路口出发向北走0.5min，（2）等红灯0.5min，（3）向东走0.5min，（4）走过CD6min，（5）乙路口向东走0.5min，进而可得结果．【解答】解：由已知得：0.5+0.5+0.5+6+0.5＝8（min），故答案为：8．【点评】本题考查有理数的加法运算．解决本题的关键是理解题意．16．【分析】根据题意在坐标系中画出对应的图象即可．【解答】解：如图所示：①中，与x＝6的交点大于75，故错误②中，乙与x＝6的交点大于甲与x＝6的交点，所以期末总评成绩乙大于甲，正确③中，由图象可知，期末总评成绩占60%，故错误故答案为：②．【点评】此题主要考查点的坐标，画出相应的直线确定交点，即可解．三、解答题：本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-24，每小题5分，25题5分，第26-27题，每小题5分，第28题6分17．【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质和绝对值的性质、二次根式的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝3﹣2﹣+1＝2﹣1．【点评】此题主要考查了负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质和绝对值的性质、二次根式的性质，正确化简各数是解题关键．18．【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．【解答】解：，由①得：x＞﹣2，由②得：x≤3，∴不等式组的解集为﹣2＜x≤3．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．19．【分析】根据题意和等腰三角形的性质，可以求得∠BAD和∠BDA的度数，再根据三角形外角和内角的关系，即可求得∠DAC的度数．【解答】解：∵∠B＝40°，∠C＝32°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝108°，由作图可知：BA＝BD，∴∠BAD＝∠BDA＝（180°﹣∠B）÷2＝70°，∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝38°．【点评】本题考查等腰三角形的性质、三角形外角和内角的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．20．【分析】利用几何语言画出对应的几何图形，然后根据平行四边形的判定方法可证明四边形DBCF是平行四边形．【解答】证明：如图3，∵CF＝BD，DF＝BC，∴四边形DBCF是平行四边形．（两组对边分别相等的四边形为平行四边形）．故答案为CF＝BD，DF＝BC；两组对边分别相等的四边形为平行四边形．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的判定．21．【分析】（1）先把A（5，m）代入y＝﹣x+3得A（5，﹣2），再利用点的平移规律得到C（3，2），接着利用两直线平移的问题设CD的解析式为y＝2x+b，然后把C点坐标代入求出b即可得到直线CD的解析式；（2）先确定B（0，3），再求出直线CD与x轴的交点坐标为（2，0）；易得CD平移到经过点B时的直线解析式为y＝2x+3，然后求出直线y＝2x+3与x轴的交点坐标，从而可得到直线CD在平移过程中与x轴交点的横坐标的取值范围．【解答】解：（1）把A（5，m）代入y＝﹣x+3得m＝﹣5+3＝﹣2，则A（5，﹣2），∵点A向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到点C，∴C（3，2），∵过点C且与y＝2x平行的直线交y轴于点D，∴CD的解析式可设为y＝2x+b，把C（3，2）代入得6+b＝2，解得b＝﹣4，∴直线CD的解析式为y＝2x﹣4；（2）当x＝0时，y＝﹣x+3＝3，则B（0，3），当y＝0时，2x﹣4＝0，解得x＝2，则直线CD与x轴的交点坐标为（2，0）；易得CD平移到经过点B时的直线解析式为y＝2x+3，当y＝0时，2x+3＝0，解得x＝﹣，则直线y＝2x+3与x轴的交点坐标为（﹣，0），∴直线CD在平移过程中与x轴交点的横坐标x0的取值范围为﹣≤x0≤2．【点评】本题考查了一次函数与几何变换：求直线平移后的解析式时要注意平移时k的值不变，会利用待定系数法求一次函数解析式．22．【分析】（1）求出方程的判别式△的值，利用配方法得出Δ＞0，根据判别式的意义即可证明；（2）设方程的两个根分别是x1，x2，利用公式法求方程的解，然后根据一元二次方程根与系数的关系求得k的取值范围，再进一步求出k的整数值．【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（k+5）]2﹣4（3k+6）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0，∴无论k为何值，方程总有两个实数根；（2）设方程的两个根分别是x1，x2，解方程得x＝，∴x1＝k+2，x2＝3．由题意可知﹣2＜k+2＜0，即﹣4＜k＜﹣2．∵k为整数．∴k＝﹣3．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，根的判别式，根与系数的关系，综合性较强，难度适中．23．【分析】（1）根据平行四边形的性质得到CD＝AB，CD∥AB，推出四边形BECD是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；（2）取BE中点G，连接FG．由（1）可知，FB＝FC＝FE，得到FG＝CE＝1，FG ⊥BE，解直角三角形即可得到结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB，CD∥AB，∵BE＝AB，∴BE＝CD，∴四边形BECD是平行四边形，∵∠ABD＝90°，∴∠DBE＝90°．∴▱BECD是矩形；（2）解：如图，取BE中点G，连接FG．由（1）可知，FB＝FC＝FE，∴FG＝CE＝1，FG⊥BE，∵在▱ABCD中，AD∥BC，∴∠CBE＝∠DAB＝30°．∴BG＝．∴AB＝BE＝．∴AG＝，∴在Rt△AGF中，由勾股定理可求AF＝【点评】本题考查了矩形的判定和性质，含30°交的直角三角形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键．24．【分析】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2，根据题意列出方程：﹣＝6，解方程即可；（2）设甲工程队施工a天，乙工程队施工b天刚好完成绿化任务，由题意得：100a+50b＝3600，则a＝＝﹣b+36，根据题意得：1.2×+0.5b≤40，得出b≥32，即可得出结论．【解答】解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2，根据题意得：﹣＝6，解得：x＝50，经检验，x＝50是原方程的解，则甲工程队每天能完成绿化的面积是50×2＝100（m2），答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100m2、50m2；（2）设甲工程队施工a天，乙工程队施工b天刚好完成绿化任务，由题意得：100a+50b＝3600，则a＝＝﹣b+36，根据题意得：1.2×+0.5b≤40，解得：b≥32，答：至少应安排乙工程队绿化32天．【点评】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式求解．25．【分析】（1）根据教育未来指数得分的频数分布直方图在70≤x＜80，80≤t≤90的频数分别是8和5，再根据中国香港的教育未来指数得分是68.5．可得排名是第14；（2）根据中国香港的教育未来指数得分是68.5，即可在35个国家和地区的人均国内生产总值和教育未来指数得分情况统计图中，用“〇”画出代表中国香港的点；（3）观察35个国家和地区的人均国内生产总值和教育未来指数得分情况统计图可得，人均国内生产总值的最大值；（4）根据题意可得下列推断都合理．【解答】解：（1）根据分析可知：因为5+8＝13，13+1＝14．所以中国香港的教育未来指数得分排名世界第14；故答案为：14；（2）如图，用“〇”画出了代表中国香港的点，（3）观察35个国家和地区的人均国内生产总值和教育未来指数得分情况可知：在教育未来指数得分比中国高的国家和地区中，人均国内生产总值的最大值约为6.3万美元；故答案为：6.3；（4）下列推断合理的是①②．故答案为：①②．【点评】本题考查了频数分布直方图，解决本题的关键是理解题意并掌握频数分布直方图．26．【分析】（1）x＝（﹣1+7）＝2，y＝（5+7）＝4，即可求解；（2）①由题意得：x＝（t+3），y＝（2t+3），即可求解；②分∠DTH＝90°、∠TDH＝90°、∠HTD＝90°三种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）x＝（﹣1+7）＝2，y＝（5+7）＝4，故点C是点A、B的融合点；（2）①由题意得：x＝（t+3），y＝（2t+3），则t＝3x﹣3，则y＝（6x﹣6+3）＝2x﹣1；②当∠DHT＝90°时，如图1所示，点E（t，2t+3），则T（t，2t﹣1），则点D（3，0），由点T是点D，E的融合点得：t＝，2t﹣1＝，解得：t＝，即点E（，6）；当∠TDH＝90°时，如图2所示，则点T（3，5），由点T是点D，E的融合点得：点E（6，15）；当∠HTD＝90°时，如图3所示，过点T作x轴的平行线交过点D与y轴平行的直线于点M，交过点E与y轴的平行线于点N，则∠MDT＝∠NTE，则tan∠MDT＝tan∠NTE，D（3，0），点E（t，2t+3），则点T（，）则MT＝3﹣＝，MD＝，NE＝﹣2t﹣3＝，NT＝﹣t＝，由tan∠MDT＝tan∠NTE得：＝﹣，解得：方程无解，故∠HTD不可能为90°．故点E（，6）或（6，15）．【点评】本题是一次函数综合运用题，涉及到直角三角形的运用，此类新定义题目，通常按照题设顺序，逐次求解．27．【分析】（1）首先证明AQ＝AD＝AE，再证明DE＝BE＝AQ，只要证明BQ＞BE即可；（2）①过P作PD⊥AB于D，则∠PDB＝∠PDA＝90°，只要证明△PAD是等腰直角三角形即可；②过A作AD⊥AP，并取AD＝AP，连接DC，DP．证△BAP≌△CAD，得∠APB＝∠ADC，PB＝CD，再由∠DAP＝90°，AD＝AP，得PD＝PA，∠ADP＝∠APD＝45°，然后由PB＝PA，得PD＝PB＝CD，则∠DCP＝∠DPC，求出∠DPC＝α+45°，∠APB ＝∠ADC＝α﹣β．最后证∠PDC＝180°﹣2∠DPC＝90°﹣2α，则∠ADP＝∠ADC+∠PDC＝90°﹣α﹣β＝45°，即可解决问题．【解答】解：（1）“QB＝QA”不正确，理由如下：连接DE，如图1所示：∵AB＝AC，∠A＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵∠ABD＝∠DBC＝∠BCE＝∠ACE＝22.5°，∴∠ADB＝∠DBC+∠ACB＝67.5°，∵△ABC的角平分线BD，CE交于点Q，∴AQ平分∠BAC，∴∠QAD＝45°，∴∠AQD＝∠ADQ＝67.5°，∴AD＝AQ，同理：AQ＝AE，∴AD＝AE，∵AE：AB＝AD：AC，∴DE∥BC，∴∠EDB＝∠DBC＝∠DBE，∴DE＝BE，∵DE＝AD＝AQ，∴BE＝AQ，∵∠BEQ＞∠BQE，∴BQ＞BE，∴BQ＞AQ．故答案为：否；（2）①过P作PD⊥AB于D，如图2所示：则∠PDB＝∠PDA＝90°，∵∠ABP＝30°，∴PD＝BP．∵PB＝PA，∴PD＝PA．∴sin∠PAB＝＝，∵∠PAB是锐角，∴∠PAB＝45°．②结论：α+β＝45°，理由如下：过A作AD⊥AP，截取AD＝AP，连接DC，DP．∴∠DAP＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAC+∠CAP＝∠DAP+∠CAP，即∠BAP＝∠CAD，∵AB＝AC，AD＝AP，∴△BAP≌△CAD（SAS），∴∠APB＝∠ADC，PB＝CD，∵∠DAP＝90°，AD＝AP，∴PD＝PA，∠ADP＝∠APD＝45°，∵PB＝PA，∴PD＝PB＝CD，∴∠DCP＝∠DPC，∵∠APC＝α，∠BPC＝β，∴∠DPC＝α+45°，∠ADC＝∠APB＝α﹣β．∴∠PDC＝180°﹣2∠DPC＝90°﹣2α，∴∠ADP＝∠ADC+∠PDC＝90°﹣α﹣β＝45°，∴α+β＝45°．【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定与性质、锐角三角函数定义等知识，本题综合性强，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．28．【分析】（1）如图1中，观察图象可知：F、G能够成为点M，P的“最佳菱形”顶点；（2）①先依据题意画出图形，然后可证明该四边形为正方形，从而可求得它的面积；②根据菱形的性质得：PM⊥QN，且对角线互相平分，由菱形的面积为8，且菱形的面积等于两条对角线积的一半，可得QN的长，证明Q在y轴上，N在x轴上，可得结论．。
北京一零一中九年级(上)第一次月考数学试卷
九年级（上）第一次月考数学试卷题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.下列四个图案中，不是轴对称图案的是（ ）A. B. C. D.2.将直线y=2x向上平移1个单位，得到的直线的解析式为（ ）A. y=2x+1B. y=2x−1C. y=2(x+1)D. y=2(x−1)3.若x+2在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）A. B.C. D.4.用配方法解方程x2-2x-3=0时，配方后得到的方程为（ ）A. (x−1)2=4B. (x−1)2=−4C. (x+1)2=4D. (x+1)2=−45.一个正多边形的外角为45°，则这个正多边形的内角和是（ ）A. 540∘B. 720∘C. 900∘D. 1080∘6.已知二次函数y=x2-4x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2-4x+m=0的两个实数根是（ ）A. x1=1，x2=−1B. x1=−1，x2=2C. x1=−1，x2=0D. x1=1，x2=37.在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（ ）A. 甲地：总体平均值为3，中位数为4B. 乙地：总体平均值为2，总体方差为3C. 丙地：中位数为2，众数为3D. 丁地：总体平均值为l，总体方差大于08.如图，已知AB=8，P为线段AB上一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和PBFE，点P，C，E在一条直线上，∠DAP=60°，M，N分别是对角线AC，BE的中点，当点P在线段AB上移动时，点M，N之间的距离最短为（ ）A. 23B. 6C. 4D. 3二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）9.用一组a，b的值说明命题“若a＜b，则1a＞1b”是错误的，这组值可以是11.若关于x的一元二次方程x2-4x+k=0有两个相等的实数根，则k的值为______．12.如图，函数y=2x和y=ax+4的图象和交于点A（m，3），则不等式2x≥ax+4的解集为______．13.一个平行四边形的一边长是9，两条对角线的长分别是12和6 5，则此平行四边形的面积为______．14.在平面直角坐标系xOy中，函数y=x2的图象经过点M（x1，y1），N（x2，y2）两点，若-4＜x1＜-2，0＜x2＜2，则y1 ______y2 ．（用“＜”，“=”或“＞”号连接）15.若对于任意非零实数a，抛物线y=ax2+ax-2a总不经过点P（x0-3，x02-16），则写出符合条件的点P的坐标：______．16.2014年12月28日开始，北京市公共汽车和地铁按里程分段计价．乘坐地铁（不包括机场线）具体方案如下：6公里（含）内3元；6公里至12公里（含）4元；12公里至22公里（含）5元；22公里至32公里（含）6元；32公里以上部分，每增加1元可乘坐20公里．使用市政交通一卡通刷卡，每自然月内每张卡支出累计满100元以后的乘次，价格给予8折优惠；满150元以后的乘次，价格给予5折优惠；支出累计达到400元以后的乘次，不再享受打折优惠．小李上班时，需要乘坐地铁15.9公里达到公司，每天上下班共乘坐两次，每月按上班22天计算，如果小李每次乘坐地铁都使用市政交通一卡通，那么小李每月第21次乘坐地铁时，他刷卡支出的费用是______元；他每月上下班乘坐地铁的总费用是______元．三、计算题（本大题共1小题，共4.0分）17.计算：12-（1-2）0+（12）-1+|3-2|四、解答题（本大题共9小题，共48.0分）18.如图，四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，求证：四边形ABCD是平行四边形．19.若x=1是关于x的一元二次方程x2-4mx+2m2=0的根，求代数式2（m-1）2+3的值．20.某厂工业废气年排放量为450万立方米，为改善城市的大气环境质量，决定分二期投入治理，使废气的年排放量减少到288万立方米，如果每期治理中废气减少的百分率相同，求每期减少的百分率是多少？21.某商场服装部为了调动营业员的积极性，决定实行目标管理，根据目标完成的情况对营业员进行适当的奖励．为了确定一个适当的月销售目标，商场服装部统计了每个营业员在某月的销售额（单位：万元），数据如下：17 18 16 13 24 15 28 26 18 1922 17 16 19 32 30 16 14 15 2615 32 23 17 15 15 28 28 16 19（1）补全条形图；（2）月销售额为______的人数最多；（3）如果想让一半左右的营业员都能达到销售目标，月销售目标定为多少合适？______A.15万元B .16万元C .18万元D .19万元（4）如果想确定一个较高的销售目标，你认为月销售目标定为多少合适？请说明理由．22.Ω星球某学生初二暑假作业中有下面一题：在△ABC中，AB=BC，BD⊥AC于点D．（1）如图1，当∠ABC=90°时，若CE平分∠ACB，交AB于点E，交BD于点F．①求证：△BEF是等腰三角形；②求证：BD=12（BC+BF）；（2）点E在AB边上，连接CE．若BD=12（BC+BF），在图2中补全图形，判断∠ACE与∠ABC 之间的数量关系，写出你的结论，并写出求解∠ACE与∠ABC关系的思路．四个同学W，X，Y，Z对结论BD=12（BC+BF）进行了如下分析：注意到BC=BA，BF=BE，BD=AD=CD，2BD=AC等等，于是要证的结论可以变为……并给出了问题（1）②四种不同的证明思路：W：延长EB至点G使得BG=BC，此时BD即为△GAC的中位线．只需证明GE=GC；X：延长AB至点H使得BH=BE，只需证明AH=AC；Y：延长BA至点K使得AK=BE，延长BD至点L使得DL=BD，只需证明BK=BL；Z：取AE中点M，只需证明BM=BD．请你对以上四位同学的思路进行分析，并判断哪几位同学的证明思路可以解出问题（2），只写出你的结论，不需要证明．23.阅读下面材料：小丁在研究数学问题时遇到一个定义：对于排好顺序的三个数：x1，x2，x3，称为数列x1，x2，x3．计算|x1|，|x1+x2|2，|x1+x2+x3|3，将这三个数的最小值称为数列x1，x2，x3的价值．例如，对于数列2，-1，3，因为|2|=2，|2+(−1)|2=12，|2+(−1)+3|3=43，所以数列2，-1，3的价值为12．小丁进一步发现：当改变这三个数的顺序时，所得到的数列都可以按照上述方法计算其相应的价值．如数列-1，2，3的价值为12；数列3，-1，2的价值为1；…．经过研究，小丁发现，对于“2，-1，3”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，价值的最小值为12．根据以上材料，回答下列问题：（1）数列-4，-3，2的价值为______；（2）将“-4，-3，2”这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，这些数列这些数列的价值的最小值为1，则a的值为______．24.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2-（m-1）x-m（m＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求点A的坐标；（2）当S△ABC=15时，求该抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，经过点C的直线l：y=kx+b（k＜0）与抛物线的另一个交点为D．该抛物线在直线l上方的部分与线段CD组成一个新函数的图象．请结合图象回答：若新函数的最小值大于-8，求k的取值范围．25.如图，已知AE、BD相交于点C，AC=AD，BC=BE，F、G、H分别是DC、CE、AB的中点．求证：（1）HF=HG；（2）∠FHG=∠DAC．26.在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”．如图为点P，Q的“相关矩形”的示意图．若定义该矩形的垂直于x轴的边的长度为矩形的“身高”，垂直于y轴的边的长度为矩形的“形宽”，“身高”与“形宽”的比为k，若0＜k＜2则称该矩形为“折翼矩形”，若2≤k≤2则称该矩形为“完美矩形”，若k＞2则称该矩形为“魔鬼矩形”．已知点A（0，4），B（4，0）．（1）点A，B的“相关矩形”是______（填“折翼矩形”或“完美矩形”或“魔鬼矩形”）；（2）若点P是直线AB上一动点，且点O，P的“相关矩形”是“完美矩形”，直接写出点P的横坐标x P的取值范围；（3）若C（x C，-4），可以在△AOB边上找到点Q使得点C，Q的“相关矩形”是“完美矩形”，直接写出x C的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：A、是轴对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，故本选项正确；C、是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项错误．故选：B．根据轴对称的概念对各选项分析判断利用排除法求解．本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2.【答案】A【解析】解：将直线y=2x向上平移1个单位，得到的直线的解析式为y=2x+1．故选：A．根据一次函数图象上下平移时解析式的变化规律求解．本题考查了一次函数图象与几何变换：对于一次函数y=kx+b，若函数图象向上平移m（m＞0）个单位，则平移的直线解析式为y=kx+b+m．3.【答案】D【解析】解：由题意得x+2≥0，解得x≥-2．故选：D．根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式，把解集在数轴上表示即可．本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．4.【答案】A【解析】解：把方程x2-2x-3=0的常数项移到等号的右边，得到x2-2x=3，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2-2x+1=4，配方得（x-1）2=4．故选：A．在本题中，把常数项-3移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数-2的一半的平方．本题考查了解一元二次方程--配方法．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．5.【答案】D解：正多边形的边数为：360°÷45°=8，∴这个多边形是正八边形，∴该多边形的内角和为（8-2）×180°=1080°．故选：D．先根据多边形的外角和定理求出多边形的边数，再根据多边形的内角和公式求出这个正多边形的内角和．本题主要考查了多边形的外角和定理及多边形的内角和公式，关键是掌握内角和公式：（n-2）×180°（n≥3且n为整数）．6.【答案】D【解析】解：∵二次函数y=x2-4x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），∴关于x的一元二次方程x2-4x+m=0的一个根是x=1．∴设关于x的一元二次方程x2-4x+m=0的另一根是t．∴1+t=4，解得t=3．即方程的另一根为3．故选：D．根据抛物线与x轴交点的性质和根与系数的关系进行解答．本题考查了抛物线与x轴的交点．注意二次函数解析式与一元二次方程间的转化关系．7.【答案】B【解析】解：∵平均数和中位数不能限制某一天的病例超过7人，∴A不正确；∵设连续10天，每天新增疑似病例分别为x1，x2，x3，…x10，并设有一天超过7人，设第一天为8人，则S2=[（8-2）2+（x2-2）2+…+（x10-2）2]＞3，因为总体方差为3，所以说明连续10天，每天新增疑似病例不超过7人，∴B正确；∵中位数和众数不能确定，∴C不正确；∵当总体方差大于0，不知道总体方差的具体数值，因此不能确定数据的波动大小，∴D不正确；故选：B．根据平均数和中位数不能限制某一天的病例超过7人，中位数和众数也不能确定，当总体方差大于0，不知道总体方差的具体数值，因此不能确定数据的波动大小，当总体平均数是2，若有一个数据超过7，则方差就大于3，从而得出答案．本题考查了方差、中位数、众数和平均数，熟练掌握方差、中位数、众数和平均数的意义是本题的关键．8.【答案】A解：连接PM、PN．∵四边形APCD，四边形PBFE是菱形，∠DAP=60°，∴∠APC=120°，∠EPB=60°，∵M，N分别是对角线AC，BE的中点，∴∠CPM=∠APC=60°，∠EPN=∠EPB=30°，∴∠MPN=60°+30°=90°，设PA=2a，则PB=8-2a，PM=a，PN=（4-a），∴MN===，∴a=3时，MN有最小值，最小值为2，故选：A．连接PM、PN．首先证明∠MPN=90°，设PA=2a，则PB=8-2a，PM=a，PN=（4-a），构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．本题考查菱形的性质、勾股定理、二次函数的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构建二次函数解决最值问题．9.【答案】-1 1【解析】解：当a=-1，b=1时，满足a＜b，但＜．故答案为-1，1．通过a取-1，b取1可说明命题“若a＜b，则”是错误的．本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．10.【答案】-2＜x＜3【解析】解：由①得x＞-2，由②得x＜3，故此不等式组的解集为-2＜x＜3．故答案为-2＜x＜3．首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．11.【答案】4【解析】解：根据题意得△=（-4）2-4k=0，故答案为4．根据判别式的意义得到△=（-4）2-4k=0，然后解一次方程即可．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．12.【答案】x≥1.5【解析】解：∵函数y=2x过点A（m，3），∴2m=3，解得：m=1.5，∴A（1.5，3），∴不等式2x≥ax+4的解集为x≥1.5．故答案为x≥1.5首先利用待定系数法求出A点坐标，再以交点为分界，结合图象写出不等式2x≥ax+4的解集即可．本题考查的是一次函数与一元一次不等式，能利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．13.【答案】365【解析】解：根据题意画出相应的图形，如图所示：则有平行四边形ABCD中，BC=9，AC=12，BD=6，∴OC=AC=6，OB=BD=3，∵OC2+OB2=36+45=81，BC2=81，∴OC2+OB2=BC2，∴∠BOC=90°，即AC⊥BD，∴四边形ABCD为菱形，则菱形ABCD的面积S=BD•OC+BD•OA=BD（OC+OA）=AC•BD=×12×6=36．故答案为：36．由题意画出相应的图形，得到平行四边形的边BC=9，对角线AC和BD分别为12和6 ，根据平行四边形的对角线互相平分，求出OB及OC的长，计算发现OC2+OB2=BC2，利用勾股定理的逆定理得到∠BOC为直角，根据垂直定义得到AC与BD垂直，根据对角线互相垂直的平行四边形为菱形得到四边形ABCD为菱形，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，由两对角线的长即可求出菱形ABCD的面积．四边形的对角线互相垂直，可得到其面积等于对角线乘积的一半，而菱形的对角线互相垂直，故菱形的面积也可以用对角线乘积的一半来求．14.【答案】＞【解析】解：由y=x2可知，∵a=1＞0，∴抛物线的开口向上，∵抛物线的对称轴为y轴，∴当x＞0时，y随x的增大而增大，∵-4＜x1＜-2，0＜x2＜2，∴2＜-x1＜4，∴y1＞y2．根据二次函数的性质即可求解．本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征及二次函数的性质．当a＞0时，开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；当a＜0，开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小；15.【答案】（-2，-15），（-7，0）【解析】解：∵对于任意非零实数a，抛物线y=ax2+ax-2a总不经过点P（x0-3，x02-16），∴x02-16≠a（x0-3）2+a（x0-3）-2a∴（x0-4）（x0+4）≠a（x0-1）（x0-4）∴（x0+4）≠a（x0-1）∴x0=-4或x0=1，∴点P的坐标为（-7，0）或（-2，-15）故答案为（-7，0）或（-2，-15）．根据题意可以得到相应的不等式，然后根据对于任意非零实数a，抛物线y=ax2+ax-2a总不经过点P（x0-3，x02-16），即可求得点P的坐标，从而可以解答本题．本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．16.【答案】4 179.5【解析】解：小李每天上下班的费用为5元，即每天10元，10天后花费100元，第21次乘坐地铁时，价格给予8折优惠，此时花费5×0.8=4元，10天后花费100元，此时6天花费8×6=48元，此时合计花费148元，7天后的上午花费148+4=152元，从第17天的下午开始车费是5×0.5=2.5元，此时到22天结束还需要乘车11次，需要花费2.5×11=27.5元，故合计148+27.5=179.5元．故答案为：4；179.5．根据优惠方案，分别计算每次乘车的费用，进行累计即可求解．此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键，注意分类思想的运用．17.【答案】解：原式=23-1+2+2-3=3+3．【解析】直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质和绝对值的性质进而化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．18.【答案】证明：∵四边形AEFD是平行四边形，∴AD=EF，且AD∥EF，同理可得BC=EF，且BC∥EF，∴AD=BC，且AD∥BC，∴四边形ABCD为平行四边形.【解析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键，即①两组对边分别平行的四边形⇔平行四边形，②两组对边分别相等的四边形⇔平行四边形，③一组对边平行且相等的四边形⇔平行四边形，④两组对角分别相等的四边形⇔平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形⇔平行四边形.由平行四边形的性质可得AD=BC，且AD∥BC，可证明四边形ABCD为平行四边形.19.【答案】解：依题意，得 1-4m+2m2=0，∴2m2-4m=-1，∴2（m-1）2+3=2（m2-2m+1）+3=2m2-4m+5=-1+5=4．即2（m-1）2+3=4．【解析】把x=1代入已知方程可以求得2m2-4m=-1，然后将其代入整理后的所求代数式进行求值即可．本题考查了一元二次方程的解．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．20.【答案】解：设每期减少的百分率为x，根据题意得：450×（1-x）2=288，解得：x1=1.8（舍去），x2=0.2解得x=20%．答：每期减少的百分率是20%．【解析】等量关系为：450×（1-减少的百分率）2=288，把相关数值代入计算即可；考查一元二次方程的应用；求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．21.【答案】15万元D【解析】解：（1）补全图形如下：（2）月销售额为15万元的人数最多，故答案为：15万元；（3）如果想让一半左右的营业员都能达到销售目标，月销售目标定为19万元合适，故答案为：D．（4）月销售目标定为22万元合适，理由是：在30人中，达到22万元的11人，比一半的人数稍多，较为容易达到此目标．（1）根据数据计数、补全图形即可得；（2）由条形统计图可得；（3）根据30人销售额的分布求解可得；（4）比（3）中数据稍大即可．本题主要考查条形统计图，解题的关键是掌握条形统计图的特点，要学会根据统计量的意义分析解决问题．22.【答案】解：W，Y，Z的思路可以解决问题（2）．理由：①W：延长EB至点G使得BG=BC，连接CG．当BF=BE时，满足条件：BD=12（BC+BF），∵BA=BC，BD⊥AC，∴AD=DC，∵AB=CB=BG，∴BD∥CG，BD=12CG，∴∠BFE=∠GCE，∴∠GEC=∠GCE，∴GE=GC，此时满足条件BD=12（BC+BF），∵∠BEF=∠BFE，∴12（180°-∠ABC）+∠ACE=90°-∠ACE，∴∠ACE=14∠ABC．②延长BA至点K使得AK=BE，延长BD至点L使得DL=BD，连接KL．同法可证：当BF=BE时，满足条件：BD=12（BC+BF），∵∠BEF=∠BFE，∴12（180°-∠ABC）+∠ACE=90°-∠ACE，∴∠ACE=14∠ABC．③取AE中点M，只需证明BM=BD．同法可证：当BF=BE时，满足条件：BD=12（BC+BF），∵∠BEF=∠BFE，∴12（180°-∠ABC）+∠ACE=90°-∠ACE，∴∠ACE=14∠ABC．【解析】W，Y，Z的思路可以解决问题（2）．①W：延长EB至点G使得BG=BC，连接CG．当BF=BE时，满足条件：BD=（BC+BF），因为∠BEF=∠BFE，可得（180°-∠ABC）+∠ACE=90°-∠ACE，推出∠ACE=∠ABC．②③证明方法类似；本题考查三角形综合题、等腰三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造三角形中位线定理解决问题，属于中考压轴题．23.【答案】5312 -3，2，-4；或2，-3，-4． 11或4【解析】解：（1）因为|-4|=4，||=3.5，||=，所以数列-4，-3，2的价值为．（2）数列的价值的最小值为||=，数列可以为：-3，2，-4，；或2，-3，-4．（3）当||=1，则a=0，不合题意；当||=1，则a=11或7（舍弃）；当||=1，则a=4或10（舍弃）．∴a=11或4．故答案为：；，-3，2，-4，；或2，-3，-4；11或4．（1）根据上述材料给出的方法计算其相应的价值即可；（2）按照三个数不同的顺序排列算出价值，由计算可以看出，要求得这些数列的价值的最小值；只有当前两个数的和的绝对值最小，最小只能为|-3+2|=1，由此得出答案即可；（3）分情况算出对应的数值，建立方程求得a的数值即可．此题考查数字的变化规律，理解运算的方法是解决问题的关键．24.【答案】解：（1）∵抛物线y=x2-（m-1）x-m（m＞0）与x轴交于A、B两点，∴令y=0，即x2-（m-1）x-m=0，解得：x1=-1，x2=m，又∵点A在点B左侧，且m＞0，∴点A的坐标为（-1，0）；（2）由（1）可知点B的坐标为（m，0），∵抛物线与y轴交于点C，∴点C的坐标为（0，-m），∵m＞0，∴AB=m+1，OC=m，∵S△ABC=15，∴12m（m+1）=15，即m2+m-30=0，解得：m=-6或m=5，∵m＞0，∴m=5；则抛物线的表达式为y=x2-4x-5；（3）由（2）可知点C的坐标为（0，-5），∵直线l：y=kx+b（k＜0）经过点C，∴b=-5，∴直线l的解析式为y=kx-5（k＜0），∵y=x2-4x-5=（x-2）2-9，∴当点D在抛物线顶点处或对称轴左侧时，新函数的最小值为-9，不符合题意；当点D在抛物线对称轴右侧时，新函数的最小值有可能大于-8，令y=-8，即x2-4x-5=-8，解得：x1=1（不合题意，舍去），x2=3，∴抛物线经过点（3，-8），当直线y=kx-5（k＜0）经过点（3，-8）时，可求得k=-1，由图象可知，当-1＜k＜0时新函数的最小值大于-8．【解析】（1）对于抛物线解析式，令y=0得到关于x的方程，求出方程的解，根据A在B的左侧且m大于0，求A的坐标即可；（2）由（1）的结果表示出B的坐标，根据抛物线与y轴交于点C，表示出C坐标，进而表示出AB与OC，由三角形ABC面积为15，利用三角形面积公式列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值，即可确定出抛物线解析式；（3）由（2）中m的值确定出C坐标，设直线l解析式为y=kx+b，把C坐标代入求出b的值，抛物线解析式配方后，经判断得到当点D在抛物线对称轴右侧时，新函数的最小值有可能大于-8，令y=-8求出x的值，确定出抛物线经过点（3，-8），把（3，-8）代入一次函数解析式求出k的值，由图象确定出满足题意k 的范围即可．此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，坐标与图形性质，抛物线与x轴的交点，以及二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键．25.【答案】证明：（1）连接AF，BG，∵AC=AD，BC=BE，F、G分别是DC、CE的中点，∴AF⊥BD，BG⊥AE．在直角三角形AFB中，∵H是斜边AB中点，∴FH=12AB．同理得HG=12AB，∴FH=HG．（2）∵FH=BH，∴∠HFB=∠FBH；∵∠AHF是△BHF的外角，∴∠AHF=∠HFB+∠FBH=2∠BFH；同理∠AGH=∠GAH，∠BHG=∠AGH+∠GAH=2∠AGH，∴∠ADB=∠ACD=∠CAB+∠ABC=∠BFH+∠AGH．又∵∠DAC=180°-∠ADB-∠ACD，=180°-2∠ADB，=180°-2（∠BFH+∠AGH），=180°-2∠BFH-2∠AGH，=180°-∠AHF-∠BHG，而根据平角的定义可得：∠FHG=180°-∠AHF-∠BHG，∴∠FHG=∠DAC．【解析】（1）连接AF，BG．根据等腰三角形的三线合一得到直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行证明；（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到FH=BH，则∠HFB=∠FBH，同理∠AGH=∠GAH，则∠D=∠ACD=∠CAB+∠ABC=∠BFH+∠AGH．从而证明结论．此题综合运用了三角形的中位线定理、直角三角形的性质和等腰三角形的性质．26.【答案】解：（1）折翼矩形；（2）如图，∵A（0，4），B（4，0），∴直线AB的解析式为y=-x+4，设P（x p，-x P+4），由题意：2＜|−xP+4xP|＜2．解得：−42−4≤xP≤−4或43≤xP≤42−4；（3）如图：当Q1与A重合时，C1在A的左侧，由题意：8|xC|=2，解得x C=-42，当Q2与B重合时，C2在A的右侧，由题意：4xC−4=2，解得x C=4+22，观察图象可知，满足条件的x C的取值范围：−42≤xC≤4+22.【解析】本题考查四边形综合题，“折翼矩形”，“完美矩形”，“魔鬼矩形”的定义，一次函数的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，学会构建不等式或方程解决问题，属于中考压轴题．（1）根据“折翼矩形”，“完美矩形”，“魔鬼矩形”满足的条件即可判断；（2）求出直线AB的解析式，设P（x p，-x P+4），由题意构建不等式即可解决问题；（3）利用特殊位置解决问题即可；【解答】解：（1）点A，B的“相关矩形”的身高为4，“形宽”为4，∴k=1，∴0＜k＜，∴点A，B的“相关矩形”是折翼矩形；故答案为折翼矩形；（2）见答案；（3）见答案.。
北京一零一中学2020-2021学年度第一学期九年级数学阶段性测试试卷
北京一零一中 2020－2021 学年度第一学期阶段性测试初三数学2020.12.08一、选择题：(本大题共10 小题，每题 2 分，共20 分)．1．下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中不属于中心对称图形的有（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个2．若点A（a，b）在双曲线y =3上，则代数式ab - 8 的值为（）xA．-12 B．-7 C．-5 D．53．关于方程x2 - 3x -1= 0 的根的情况，下列说法正确的是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法判断4．如图，AC 与BD 相交于点E，AD∥BC．若AE=2，CE=3，AD=3，则BC 的长度是( ) A．2 B．3 C．4 D．925．如图，AB 是⊙O 的直径，点C、D 在⊙O 上，且AB＝10，AC＝CD＝5，则∠ABD 的度数为（）A．30°B．45°C．50°D．60°4 题图5 题图7 题图8 题图6．已知⊙O 的半径是4，点P 到圆心O 的距离d 为方程x2﹣4x﹣5＝0 的一个根，则点P 在（）A．⊙O 的外部B．⊙O 的内部C．⊙O 上或⊙O 的外部D．⊙O 上或⊙O 的内部7．如图，点P 为⊙O 外一点，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，PO 交⊙O 于点B ，∠P = 30︒，OB = 4 ，则线段AP 的长为（）A．4 B．4C．8 D．128．如图，用一个半径为10cm 的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P 旋转了36°，假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（）A．4π cm B．3π cm C．2π c m D．π cm考生须知1.本试卷共8 页，共三道大题，28 道小题。
满分100 分。
考试时间120 分钟。
2.在答题卡上准确填写学校、班级、姓名和学号。
3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
北京一零一中学2019届上学期初中九年级10月月考数学试卷(Word版含答案)
北京101中学2019届上学期初中九年级10月月考数学试卷满分：100分 考试时间：120分钟一、选择题：（本大题共8小题，共16分. ）1. 在中国有很多吉祥的图案深受大家喜爱，人们会用这些图案来装饰生活，祈求平安。
比如下列图案分别表示“福”、“禄”、“寿”、“喜”，其中是轴对称图形，不是中心对称图形的为A B C D2. 已知点A （1，a ）与点B （3，b ）都在反比例函数xy 12=的图象上，则a 与b 之间的关系是A. a>bB. a<bC. a ≥bD. a=b3. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I （单位：A ）与电阻R （单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如下图所示，则用电阻R 表示电流I 的函数表达式为A. RI 3=B. RI 6-=C. RI 3-= D. RI 6=4. 如下图，已知AB 是⊙O 的直径，⋂BC =⋂CD =⋂DE ，∠BOC=40°，那么∠AOE 等于A. 40°B. 50°C. 60°D. 120°5. 如下图，将△ABC 绕点C 顺时针方向旋转40°得△A'CB'。
若AC ⊥A'B'，则∠BAC等于A. 50°B. 60°C. 45°D. 40°6. 若关于x的方程（x+1）2=k－l没有实数根，则k的取值范围是A. k≤lB. k <1C. k≥lD. k >17. 如下图，已知⊙O的直径AE=10cm，∠B=∠EAC，则AC的长为A. 5cmB. 52cmC. 53cmD. 6cm8. 如图1，矩形的一条边长为x，周长的一半为y，定义（x，y）为这个矩形的坐标。
如图2，在平面直角坐标系中，直线x=1，y=3将第一象限划分成4个区域，已知矩形1的坐标的对应点A落在如图所示的双曲线上，矩形2的坐标的对应点落在区域④中，则下面叙述中正确的是A. 点A的横坐标有可能大于3B. 矩形1是正方形时，点A位于区域②C. 当点A沿双曲线向下移动时，矩形1的面积减小D. 当点A位于区域①时，矩形1不可能和矩形2全等二、填空题：（本大题共8小题，共16分。
2020-2021学年北京市一零一中学九年级下学期月考数学试卷(4月份)Word版
2020-2021学年北京市101中学九年级（下）月考数学试卷（4月份）一、选择题（本题共16分，每小题2分）1．如图的几何体中，俯视图为三角形的是（）A．B．C．D．2．为解决延期开学期间全市初高三学生的学习需求，提升学生的实际获得，北京市教委打造了“答疑平台”，全市144000名初高三学生全部纳入在线答疑辅导范围．将144000用科学记数法表示应为（）A．144×103B．14.4×104C．1.44×105D．1.44×1053．如图，直线a与直线b平行，将三角板的直角项点放在直线a上，若∠1＝40°，则∠2等于（）A．40°B．50°C．60°D．140°4．一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形的边数为（）A．5B．6C．7D．85．实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．a＞﹣4B．bd＞0C．|a|＞|b|D．b+c＞06．把2a2﹣8分解因式，结果正确的是（）A．2（a2﹣4）B．2（a﹣2）2C．2（a+2）（a﹣2）D．2（a+2）27．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D、E、F分别是边AB、BC、CA的中点，若DE+BF＝8，则BF的值为（）A．3B．4C．5D．68．一家游泳馆的游泳收费标准为30元次，若购买会员年卡，可享受如下优惠：会员年卡类型办卡费用（元）每次游泳收费（元）A类5025B类20020C类40015例如，购买A类会员卡，一年内游泳20次，消费50+25×20＝550元，若一年内在该游泳馆游泳的次数介于45～55次之间，则最省钱的方式为（）A．购买A类会员年卡B．购买B类会员年卡C．购买C类会员年卡D．不购买会员年卡二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．如果在实数范围内有意义，那么实数a的取值范围是．10．写出一个比3大且比4小的无理数：．11．掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得面朝上的点数为奇数的概率为．12．如果a+b＝2，那么代数式（a﹣）•的值是．13．如图，⊙O的半径为4，点A为⊙O上一点，OD⊥弦BC于点D，OD＝2，则∠BAC ＝．14．小刚用一张半径为24cm的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为10cm，那么这张扇形纸板的面积是cm2．15．在平面直角坐标系中，将△AOB以点O为位似中心，三为位似比作位似变换，得到△A1OB1，已知A（2，3），则点A的坐标是．16．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'），给出如下定义：都y'＝，则称点Q为点P的“可控变点”．（1）点（﹣3，4）的“可控变点”的坐标为；（2）若点N（m，2）是函数y＝x﹣1图象上点M的“可控变点”，则点M的坐标为．三、解答题（本题共68分，第17～20题每小题5分，第21题6分，第22题5分，第23～24题每小题5分，第25题5分，第26题6分，第27～28题每小题5分）17．计算：4cos30°+（1﹣）0﹣+|﹣2|．18．解不等式组．19．已知x2+4x+3＝0，求代数式（x+3）2﹣2（x﹣2）的值．20．关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一根小于1，求k的取值范围．21．甲、乙两列高铁列车在不同的时刻分别从北京出发开往上海．已知北京到上海的距离约为1320千米，列车甲行驶的平均速度为列车乙行驶平均速度的倍，全程运行时间比列车乙少1.5小时，求列车甲从北京到上海运行的时间．22．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接BE，∠P＝45°（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若AB＝14，DE＝8，求sin∠ABE的值．23．已知：在平面直角坐标系xOy中，对于任意的实数a（a≠0），直线y＝ax+a﹣2都经过平面内一个定点A．（1）求点A的坐标；（2）反比例函数y＝的图象与直线y＝ax+a﹣2交于点A和另外一点A（m，n）．①求b的值；②当n＞﹣2时，求m的取值范围．24．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F 在AC的延长线上，且∠CBF＝∠CAB．（1）求证：直线BF是⊙O的切线；（2）若AB＝5，sin∠CBF＝，求BC和BF的长．25．在电影《流浪地球》和《绿皮书》上映期间，为了解某大学1800名学生对两部电影的喜爱程度，调查小组随机抽取了该大学20名学生对两部电影的打分，过程如下．收集数据20名大学生对两部电影的打分结果如下：《流浪地球》78 75 99 98 79 67 88 78 76 9888 79 97 91 78 80 93 90 99 99《绿皮书》88 79 68 97 85 74 96 84 92 9789 81 91 75 80 85 91 89 97 92（1）整理、描述数据绘制了如图频数分布直方图和统计表，请补充完整：（说明：60≤x＜70表示一般喜欢，70≤x＜80表示比较喜欢，80≤x＜0表示喜欢，90≤x＜100表示超级喜欢）电影平均数众数中位数《流浪地球》86.599《绿皮书》86.588.5分析数据、推断结论（2）估计该大学超级喜欢电影《绿皮书》的有人；（3）你认为观众更喜欢这两部电影中的（填《流浪地球》或《绿皮书》），理由是．26．已知抛物线G：y＝mx2﹣2mx﹣3有最低点．（1）求二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值（用含m的式子表示）：（2）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1，经过探究发现，随着m的变化，抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）记（2）所求的函数为H，抛物线G与函数H的图象交于点P（s，t），直接写出点P的纵坐标1的取值范围．27．如图，OABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，点D为BC边上任意一点，将DA 绕D点逆时针旋转120°得到DE，连接AE，将AE绕A点逆时针旋转120°得到AG，连接CG．（1）依题意补全图形；（2）求∠EBD的度数；（3）直接写出BE2，CD2与AD2的数量关系．28．对于平面直角坐标系xOy中的图形G和图形W：若在图形G上存在点P，使得P到图形W上各点的最短距离为l，称图形G为图形W的同类图形，点P为图形W的同类点．（1）已知直线l：y＝x，①判断直线m：y＝﹣x是否为直线l的同类图形，如果是，写出直线l的同类点P的坐标，如果不是，请说明理由；②点A为x轴上一动点，⊙A半径为1，若⊙A为直线I的同类图形，求点A的横坐标X A的取值范围；（2）已知坐标轴上的点R（5，0），Q（0，5）．点B，C在直线y＝x+b上，且B（﹣1，t），C（1，s）．线段RQ是线段BC的同类图形，直接写出b的取值范围．。
北京101中学2020-2021学年九年级上学期9月月考数学试题
北京101中学2020-2021学年九年级上学期9月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．中国国家航天局2021年4月24日在“中国航天日”之际宣布，将中国行星探测任务命名为“天问”，将中国首次火星探测任务命名为“天问一号”．火星具有与地球十分相近的环境，与地球最近的时候距离约5500万千米，将5500用科学记数法表示为( ) A ．40.5510⨯B ．35.510⨯C ．25.510⨯D ．25510⨯2．若一个多边形的内角和等于720°，则这个多边形的边数是（ ） A ．5B ．6C ．7D ．83．实数a ，b ，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．a b c >>B ．||||b a >C ．0b c +<D ．0ab >4．如图，直线a ∥b ，直线l 与a ，b 分别交于A ，B 两点，过点B 作BC ⊥AB 交直线a 于点C ，若∠1＝65°，则∠2的度数为（ ）A ．115°B ．65°C ．35°D ．25°5．如果2a b +=，那么a b a b b a+--22的值是（ ） A ．2B ．4C ．－2D ．－46．把直线1:32l y x =-向右平移2个单位可以得到直线2l ，要得到直线2l ，也可以把直线1l （ ） A ．向上平移2个单位 B ．向下平移2个单位 C ．向上平移6个单位D ．向下平移6个单位7．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在由直线y=-x+3，直线y=4和直线x=1所围成的区域内或其边界上，点Q 在x 轴上，若点R 的坐标为R （2，2），则QP+QR 的最小值为（ ）A B C ．D ．48．“实际平均续航里程”是指电动汽车的行驶总里程与充电次数的比值，是反映电动汽车性能的重要指标．某汽车生产厂家为了解某型号电动汽车的“实际平均续航里程”，收集了使用该型号电动汽车1年以上的部分客户的相关数据，按年龄不超过40岁和年龄在40岁以上将客户分为,A B 两组，从,A B 组各抽取10位客户的电动汽车的“实际平均续航里程”数据整理成下图，其中“⊙”表示A 组的客户，“*”表示B 组的客户． 下列推断不正确的是（ ）A ．A 组客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的最大值低于B 组 B ．A 组客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的方差低于B 组C ．A 组客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的平均值低于B 组D ．这20位客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的中位数落在B 组二、填空题9x 的取值范围是_______． 10．分解因式：34x x -=______．11．一次函数y=-x+2的图像不经过第_______________象限．12．如图，1,2,3∠∠∠均是五边形ABCDE 的外角，//AE BC ，则123∠+∠+∠=_____________°．13．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝50°，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，若点F 在线段DE 上，且∠AFC ＝90°，则∠FAE 的度数为___________°．14．手工课上，老师将同学们分成A ，B 两个小组制作两个汽车模型，每个模型先由A 组同学完成打磨工作，再由B 组同学进行组装完成制作，两个模型每道工序所需时间如下：则这两个模型都制作完成所需的最短时间为__________分钟．15．正方形ABCD 的边长为4，点,M N 在对角线AC 上（可与点,A C 重合），2MN ，点,P Q 在正方形的边上．下面四个结论中， ①存在无数个四边形PMQN 是平行四边形； ②存在无数个四边形PMQN 是菱形； ③存在无数个四边形PMQN 是矩形； ④至少存在一个四边形PMQN 是正方形． 所有正确结论的序号是_______．三、解答题16．如图所示，一副含30°和45°角的三角板ABC 和EDF 拼合在一个平面上，边AC 与EF 重合，AC ＝12cm ，当点E 从点A 出发沿AC 方向滑动时，点F 同时从点C 出发沿射线BC 方向滑动，当点E 从点A 滑动到点C 时，点D 运动的路径长为____________cm ．1701327-⎛⎫--- ⎪⎝⎭． 18．解分式方程：22x1x 4x 2+=--． 19．下面是小星同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程： 已知：如图，直线l 和直线l 外一点A 求作：直线AP ，使得AP ∥l 作法：如图①在直线l 上任取一点B （AB 与l 不垂直），以点A 为圆心，AB 为半径作圆，与直线l 交于点C ．②连接AC ，AB ，延长BA 到点D ； ③作∠DAC 的平分线AP ． 所以直线AP 就是所求作的直线 根据小星同学设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明 证明：∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB （填推理的依据） ∵∠DAC 是△ABC 的外角，∴∠DAC ＝∠ABC +∠ACB （填推理的依据） ∴∠DAC ＝2∠ABC∵AP 平分∠DAC ， ∴∠DAC ＝2∠DAP ∴∠DAP ＝∠ABC∴AP ∥l （填推理的依据）20．如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，DE ∥AB 交BC 于点E ，F 是BD 中点．求证：EF 平分∠BED ．21．已知关于x 的方程24310x x a -+-=有两个实数根． （1）求实数a 的取值范围； （2）若a 为正整数，求方程的根．22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1：y ＝k 1x +b 过A （0，﹣3），B （5，2），直线l 2：y ＝k 2x +2．（1）求直线l 1的表达式；（2）当x ≥4时，不等式k 1x +b ＞k 2x +2恒成立，请写出一个满足题意的k 2的值． 23．如图，在△ABC 中，AB AC =，AD 平分∠BAC ，CE ∥AD 且CE AD =． （1）求证：四边形ADCE 是矩形；（2）若△ABC 是边长为4的等边三角形，对角线AC ，DE 相交于点O ，在CE 上截取CF ＝CO ，连接OF ，求四边形AOFE 的面积．24．我国的传统佳节端午节，历来有吃“粽子”的习俗，某食品加工厂拥有A、B两条不同的粽子生产线，原计划A生产线每小时加工粽子400个，B生产线每小时加工粽子500个．（1）若生产线A，B一共加工12小时，且生产粽子总数量不少于5500个，则B生产线至少加工多少小时？（2）原计划A，B生产线每天均工作8小时，由于受其它原因影响，在实际生产过程中，A生产线每小时比原计划少生产100a个（a>0），B生产线每小时比原计划少生产100个，为了尽快将粽子投放到市场，A生产线每天比原计划多工作2a小时，B生产线每天比原计划多工作a小时，这样一天恰好生产粽子6400个，求a的值．25．如图，点P是AB上一动点，连接AP，作∠APC=45°，交弦AB于点C．已知AB=6cm，设A，P两点间的距离为x cm，P，C两点间的距离为y1cm，A，C两点间的距离为y2cm．（当点P与点A重合时，y1，y2的值为0；当点P与点B重合时，y1的值为0，y2的值为6）．小智根据学习函数的经验，分别对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小智的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y与x的几组对应值；经测量m 的值是 （保留一位小数）．（2）在同一平面直角坐标系xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点(x ，y 1)，(x ，y 2)，并画出函数y 1，y 2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当△ACP 为等腰三角形时，AP 的长度约为 cm （保留一位小数）． 26．阅读与理解在平面直角坐标系xoy 中，点(,)P x y 经过 τ变换得到点(,)P x y '''，该变换记为()(),','x y x y τ=，其中''x ax byy ax by=+⎧⎨=-⎩(,a b 为常数)．例如，当1a =，且 1b =时，()()()()()2,31213,12131,5τ-=⨯-+⨯⨯--⨯=-． （1） 当1a =，且 2b =-时，(0,1)τ= ； （2） 若(1,2)(0,2)τ=-，则 a = ，b = ；（3） 设点(,)P x y 是直线 2y x =上的任意一点，点P 经过变换 τ得到点(,)P x y '''．若点 P 与点P ' 关于原点对称，求a 和 b 的值．27．已知：在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，点D 为线段BC 上一动点（点D 不与点B 、C 重合），点B 关于直线AD 的对称点为E ，作射线DE ，过点C 作BC 的垂线，交射线DE 于点F ，连接AE ． （1）依题意补全图形；（2）AE 与DF 的位置关系是_____________；（3）连接AF ，点D 在运动变化的过程中，∠DAF 的度数是否始终保持不变，如果不变请求出其度数，如果变化请说明理由．28．在平面直角坐标系xOy 中，对任意两点111222(,),(,)P x y P x y ，如果1212x x y y -+-＝d ，则称1P 与2P 互为“d -距点”．例如：点12(3,6),(1,7)P P ，由31d =-＋673-=，可得1P 与2P 互为“3－距点”．（1）在点D （－2，－2），E （5，－1），F （0,4）中，原点O 的“4－距点”是__________（填字母）；（2）已知点A （2，1），点B （0,b ），过点B 平行于x 轴的直线l ．①当b ＝3时，直线l 上的点A 的“2－距点”的坐标为_____________________； ②若直线l 上存在点A 的“2－距点”，在坐标系中画出这些A 的“2－距点”组成的图形，并写出b 的取值范围．参考答案1．B 【分析】根据科学记数法的表示形式对数值进行表示即可． 【详解】解：5500=5.5×103， 故选：B ． 【点睛】本题考查了科学记数法，掌握科学记数法的形式是解题关键． 2．B 【解析】试题分析：根据内角和定理180°×（n-2）即可求得． 解：180°×（n-2）=720°，解得n=6． 考点：多边形的内角和定理． 3．D 【分析】根据,,a b c 对应的点在数轴上的位置，逐一判断即可． 【详解】解：由题意得：431023,a b c ---＜＜＜＜＜＜＜＜,,0,0,a b c a b b c ab ∴+＜＜＞＞＞∴A 错误，B 错误，C 错误，D 正确．故选D ． 【点睛】本题考查的是有理数的大小比较，绝对值的概念，有理数的和的符号，积的符号的确定，掌握以上知识是解题的关键． 4．D 【解析】解：∵直线a ∥b ，∴∠1+∠ABC +∠2=180°．又∵BC ⊥AB ，∠1=65°，∴∠2=180°﹣90°﹣65°=25°．故选D ．5．A 【分析】先根据同分母的分式的加减法化简，再把2a b +=代入即可 【详解】解：222222-=-==a+b -b a-b+---a b a b a b a b b a a b a ；当2a b +=时，原式=2 故选：A 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握法则是解题的关键 6．D 【分析】根据图象的平移变换法则：左加右减，上加下减即可解答． 【详解】∵把直线1:32l y x =-向右平移2个单位可以得到直线2l ， ∴直线2l 的解析式为y=3(x-2)-2=3x-2-6，∴要得到直线2l ，也可以把直线1l 向下平移6个单位， 故选：D ． 【点睛】本题考查了图象的平移变换，熟练掌握图象的平移变换法则“左加右减，上加下减”是解答的关键． 7．A 【解析】试题分析：本题需先根据题意画出图形，再确定出使QP+QR 最小时点Q 所在的位置，然后求出QP+QR 的值即可．试题解析：当点P 在直线y=-x+3和x=1的交点上时，作P 关于x 轴的对称点P′，连接P′R ，交x 轴于点Q ，此时PQ+QR 最小， 连接PR ，∵PR=1，PP′=4∴=∴PQ+QR故选A．考点：一次函数综合题．8．C【分析】方差反应数据的波动程度，平均值容易受到最值影响，中位数需分数据为偶数个和奇数个讨论．【详解】A．由图观察可知，A组的最大值再350km至400km之间，B组最大值再450km以上，故A 正确；B．由图观察可知，A组数据较为集中，B组数据较为分散，所以A组方差小于B组方差，故B正确；C．由图观察可知，A组集中在300km和350km之间的有6人，250km至300km之间1人，200km至250km之间3人；而B组在300km至350km之间有3人，200km至250km之间有2人，低于200km的有3人，由此分析可知，A组客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的平均值高于B组，故C错误；D．由于本组数据共计20个，采用第10个和第11个的平均数作为中位数，由此观察可知，这两个数在B组，故D正确故选：C．【点睛】熟练掌握平均数，中位数，方差的意义及影响要素是解题的关键．9．x 1≥．【解析】在实数范围内有意义，必须x 10x 1-≥⇒≥．10．x （x +2）（x ﹣2）．【解析】试题分析：34x x -=2(4)x x -=x （x+2）（x ﹣2）．故答案为x （x+2）（x ﹣2）．考点：提公因式法与公式法的综合运用；因式分解．11．三【分析】由题意先根据一次函数y=-x+2中k=-1，b=2判断出函数图象经过的象限，进而可得出结论．【详解】解：∵一次函数y=-x+2中k=-1＜0，b=2＞0，∴此函数的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限．故答案为：三．【点睛】本题考查的是一次函数的性质，注意掌握一次函数y=kx+b （k ≠0）中，当k ＜0，b ＞0时，函数图象经过一、二、四象限．12．180【分析】过点D 作//DF AE 交AB 于F ，使用平行线的性质：两直线平行，同位角，内错角相等，可得答案．【详解】过点D 作//DF AE 交AB 于F∴3EDF ∠=∠∵//AE BC∴//DF BC∴1CDF∠=∠∴1232180EDF CDF︒∠+∠+∠=∠+∠+∠=故答案为：180．【点睛】本题考查了行线的判定与性质，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．13．65【分析】根据三角形中位线性质得到DE∥BC，再利用平行线性质得到∠AED=∠ACB=50º，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证得△AEF为等腰三角形，进而可求得∠FAE的度数．【详解】∵点D，E分别是AB，AC的中点，∴DE∥BC，∴∠AED=∠ACB=50º，∵点E是AC的中点，且∠AFC＝90°，∴EF=AE=CE，∴△AEF为等腰三角形，∴∠FAE=180502-=65º，故答案为：65º．【点睛】本题考查了三角形中位线性质、平行线的性质、直角三角形斜边上的中线性质定理、等腰三角形的判定与性质，是基础性的综合题，熟练掌握这些性质的运用是解答的关键．14．22【分析】根据题意存在两种情况：①A组同学先打磨模型1，再打磨模型2；②A组同学先打磨模型2，再打磨模型1，再根据表中数据计算各自所需时间，进行比较即可解答．【详解】由题意知，存在以下两种情况：①A组同学先打磨模型1，需要9分钟，然后B组同学组装模型1需要5分钟，同时A组同学打磨模型2，还需要1分钟完成，之后B组同学组装模型2需要11分钟，则共用最短时间为9+5+1+11=26分钟；②A组同学先打磨模型2，需要6分钟，然后B组同学组装模型2需要11分钟，同时A组同学打磨模型1完成，之后B组同学组装模型1需要5分钟，则共用最短时间为6+11+5=22分钟，因为26﹥22，所以这两个模型都制作完成所需的最短时间为22分钟，故答案为：22．【点睛】本题考查了有理数的加法、推理与论证，解答的关键是读懂题意，能利用推理的方法解决问题．15．①②④【分析】根据平行四边形的判定和性质，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定定理即可得到结论．【详解】解：①设正方形的对角线相交于点O，若MN的中点恰好是点O，则经过点O任意一直线PQ，分别与正方形的边AD,BC交于点P,G，通过正方形的性质对称性易得OP=OG，则四边形PMQN 是平行四边形，由于PQ的任意性，则存在无数个四边形PMQN是平行四边形，故①正确；②过MN的中点E作垂线，分别与正方形的相邻两边交于P,Q，根据正方形的对称性可得，PE=GE，则四边形PMQN是菱形，由于MN的任意性，则存在四边形PMQN是菱形；③由①存在由无数个平行四边边形，要是的四边形为正方形则PQ=MN=2=CD，故此时PQ经过正方形对角线的交点，且与正方形的边BC垂直，是唯一的，故不存在无数个四边形PMQN是矩形；④由②知存在菱形，故只需满足∠PMQ=90°时，则四边形PMQN时正方形，此时M与点A重合即可，故存在至少存在一个四边形PMQN是正方形；故正确的结论序号是①②④.【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，熟记各定理是解题的关键．16．(24-【分析】过点D'作D'N⊥AC于点N，作D'M⊥BC于点M，由直角三角形的性质可得，，cm，由“AAS”可证△D'NE'≌△D'MF'，可得D'N=D'M，即点D'在射线CD上移动，且当E'D'⊥AC时，DD'值最大，则可求点D运动的路径长，【详解】解：∵AC=12cm，∠A=30°，∠DEF=45°∴cm，，cm如图，当点E沿AC方向下滑时，得△E'D'F'，过点D'作D'N⊥AC于点N，作D'M⊥BC于点M∴∠MD'N=90°，且∠E'D'F'=90°∴∠E'D'N=∠F'D'M，且∠D'NE'=∠D'MF'=90°，E'D'=D'F'∴△D'NE'≌△D'MF'（AAS）∴D'N=D'M，且D'N⊥AC，D'M⊥CM∴CD'平分∠ACM即点E沿AC方向下滑时，点D'在射线CD上移动，∴当E'D'⊥AC时，DD'值最大，最大值（）cm∴当点E从点A滑动到点C时，点D运动的路径长=2×（=（）cm故答案为：(24-【点睛】本题考查了轨迹，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的判定，解直角三角形等知识，确定点D 的运动轨迹是本题的关键．17．32-【分析】分别进行化简二次根式、零指数幂运算、负整数指数幂运算、绝对值运算，再合并同类项即可解答．【详解】原式＝112- 32=． 【点睛】本题考查了化简二次根式、零指数幂、负整数指数幂、绝对值，熟练掌握这些知识的运算法则是解答的关键．18．x 3=-【分析】首先进行去分母，将分式方程转化为整式方程，然后求出方程的解，最后需要对方程的解进行检验，看是否能使原分式的分母为零.【详解】解：去分母得：()22x x 2x 4++=-， 去括号得：222x 2x x 4++=-，解得：x 3=-．经检验得，x 3=-是原分式方程的根，∴原分式方程的解为x 3=-．【点睛】解分式方程19．(1)详见解析；（2）（等边对等角），（三角形外角性质），（同位角相等，两直线平行）．【分析】（1）根据角平分线的尺规作图即可得；（2）分别根据等腰三角形的性质、三角形外角的性质和平行线的判定求解可得．【详解】解：（1）如图所示，直线AP即为所求．（2）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB（等边对等角），∵∠DAC是△ABC的外角，∴∠DAC＝∠ABC+∠ACB（三角形外角性质），∴∠DAC＝2∠ABC，∵AP平分∠DAC，∴∠DAC＝2∠DAP，∴∠DAP＝∠ABC，∴AP∥l（同位角相等，两直线平行），故答案为（等边对等角），（三角形外角性质），（同位角相等，两直线平行）．【点睛】本题主要考查作图能力，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图、等腰三角形的性质、三角形外角的性质和平行线的判定．20．见解析【分析】根据角平分线的定义得到∠ABD=∠CBD，根据平行线的性质得到∠ABD＝∠BDE，等量代换得到∠CBD＝∠BDE，根据等腰三角形的性质即可得到结论．【详解】证明：∵BD平分∠ABC∴∠ABD ＝∠CBD∵DE ∥AB∴∠ABD ＝∠BDE∴∠CBD ＝∠BDEEB ED ∴=∵F 是BD 中点∴EF 平分∠BED ．【点睛】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质以及等腰三角形的判定和性质，得到等腰三角形是本题的关键．21．（1）53a ≤；（2）1222x x == 【分析】（1）由关于x 的方程x 2-4x+3a-1=0有两个实数根，根据判别式得到关于a 的不等式，然后解不等式即可求出a 的取值范围；（2）根据（1）的结果和a 为正整数可求特殊的a 值，然后方程的解就可以求出．【详解】解：（1）∵关于x 的方程24310x x a -+-=有两个实数根，∴2(4)4(31)0a ∆=---≥． 解得53a ≤． ∴a 的取值范围为53a ≤． （2）∵53a ≤，且a 为正整数， ∴1a =． ∴方程24310x x a -+-=可化为2420x x -+=．∴此方程的根为1222x x =+=．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式（△=b2-4ac ），一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b 2-4ac 有如下关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．也考查了一元二次方程的解法． 22．（1）y ＝x ﹣3；（2）k 2＝﹣1满足题意．【分析】（1）把A （0，-3），B （5，2）代入y=k 1x+b ，利用待定系数法即可求出直线l 1的表达式； （2）根据题意，把x=4代入k 1x+b ＞k 2x+2，求出k 2的范围，进而求解即可．【详解】（1）∵直线l 1：y ＝k 1x +b 过A （0，﹣3），B （5，2），∴1352b k b =-⎧⎨+=⎩，解得113k b =⎧⎨=-⎩， ∴直线l 1的表达式为y ＝x ﹣3；（2）∵当x ≥4时，不等式x ﹣3＞k 2x +2恒成立，∴4﹣3＞4k 2+2， ∴214k -＜， ∴取k 2＝﹣1满足题意．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，利用待定系数法求出直线l 1的表达式是解题的关键． 23．（1）证明见解析；（2）1【分析】（1）CE ∥AD 且CE AD =，根据平行四边形性质，证明四边形ADCE 是平行四边形；AB AC =，AD 平分∠BAC ，根据等腰三角形性质，证明∠ADC ＝90°，从而完成求解； （2）作OH ⊥CE 于点H ，△ABC 是边长为4的等边三角形，AD 平分∠BAC ，求得∠DAC 、CD 、AD ；再结合四边形ADCE 是矩形，计算的CF 和OH ，通过四边形AOFE 面积ACE FOC S S ∆∆=-，从而完成求解．【详解】（1）∵CE ∥AD 且CE AD =∴四边形ADCE 是平行四边形在△ABC 中，AB AC =，AD 平分∠BAC∴AD ⊥BC∴∠ADC ＝90°∴四边形ADCE 是矩形（2）作OH ⊥CE 于点H∵△ABC 是边长为4的等边三角形，AD 平分∠BAC∴∠BAC ＝60°，∠DAC ＝12∠BAC ＝30°，122CD BC ==∴cos304AD CE AC ==⨯==由（1）知四边形ADCE 是矩形∴AC 与DE 互相平分，122OC AO AC === ∴2CF OC ==∵在矩形ABCD 中，∠AEC ＝∠DCE ＝90°∴∠ACE ＝∠DAC ＝30°在Rt △COH 中，112OH OC ==∴四边形AOFE 面积11122ACE FOC S S AE CE CF OH ∆∆=-=⋅-⋅=． 【点睛】 本题考查了平行四边形、矩形、三角函数、等腰三角形，等边三角形、角平分线等知识；解题的关键是熟练掌握平行四边形、矩形、三角函数、等腰三角形的性质，从而完成求解． 24．（1）B 生产线至少加工7小时；（2）a 的值为2【分析】（1）设B 生产线加工生产x 小时，则A 生产线加工生产（12-x ）小时，根据生产粽子总数量不少于5500个，列出不等式解决问题；（2）利用A 、B 生产线一天生产的总数量的和是6400个列出方程解决问题．【详解】（1）解：设B 生产线加工x 小时，则A 生产线加工（12x -）小时．500400(12)5500x x +-≥，解得7x ≥．答：B 生产线至少加工7小时．（2）(400100)(82)(500100)(8)6400a a a -++-+=整理得，2240a a -+=，解得122,0a a ==（不符合题意，舍去）∴a 的值为2【点睛】此题考查一元一次不等式，一元二次方程的实际运用，找出题目蕴含的数量关系，列出方程或不等式解决问题是关键．25．（1）2.7(±0.2)；（2）详见解析；（3）2.3或4.2 (±0.2) 【分析】（1）通过测量即可得出答案；（2）描点、连线即可画出函数图象；（3）分AC=PC 、AP=PC 两种情况结合图象解答即可.【详解】解：（1）经测量：m =2.7(±0.2)； （2）描点、连线后，画出图象如图；（3）当AC=PC 时，即12y y =，从图象可以看出：x =4.2 (±0.2)； 当AP=PC 时，画出函数y=x 的图象，图象与1y 的交点处x 的值约为2.3(±0.2)； 故答案为：2.3或4.2 (±0.2).【点睛】本题以圆为载体，主要研究函数y 随自变量x 的变化而变化的规律，掌握研究函数的方法是解题的关键.26．（1）(2?2)-，；（2）1a =-，12b =；（3）32a =-，14b =． 【分析】（1）根据公式，代入计算即可； （2）把对应数据代入，求解关于a 、b 的二元一次方程组即可；（3）因为点P （x,y ）经过τ变换得到的对应点()'','P x y 与点P 关于原点对称，故有 ()(),,x y x y τ=--．由点P （x,y ）在直线y=2x 上，得到()(),2,2x x x x τ=--，从而得到 ()()120220a b x a b x ⎧---=⎪⎨--+=⎪⎩，由x 为任意的实数，得到120220a b a b ---=⎧⎨--+=⎩，解方程组即可． 【详解】（1）()()0,12,2τ=-（2）∵()()1,20,2τ=-，∴ 0222a b a b =+⎧⎨-=-⎩，解得：112a b =-⎧⎪⎨=⎪⎩；（3）∵点P （x,y ）经过变换τ得到的对应点()'','P x y 与点P 关于原点对称，∴()(),,x y x y τ=--．∵点P(x,y)在直线y=2x 上，∴()(),2,2x x x x τ=--，222x ax bx x ax bx-=+⎧⎨-=-⎩，即 ()()120220a b x a b x ⎧---=⎪⎨--+=⎪⎩， ∵x 为任意的实数， ∴120220a b a b ---=⎧⎨--+=⎩，解得： 3214a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． 27．（1）见解析；（2）互相垂直；（3）不变，∠DAF ＝45°【分析】（1）根据题意语句即可得出图形；（2）根据轴对称的特点即可得出；（3）想法1：过点A 做AG ⊥CF 于点G ，易证四边形ABCG 是正方形，根据正方形的性质和轴对称的性质可证Rt △AFG ≌Rt △AFE （HL ），最后根据全等三角形的性质、角的和与差及等量代换即可得出；想法2：过点B 作BG ∥AF ，交直线FC 于点G ，易证四边形ABGF 是平行四边形，再根据平行四边形的性质及轴对称的性质易证Rt △AEF ≌Rt △BCG （HL ），最后根据全等三角形的性质、角的和与差及等量代换即可得出．【详解】解：（1）补全图形如下：（2）AE 与DF 的位置关系是互相垂直； 证明：点B 关于直线AD 的对称点为E ，∠ABC ＝90°，AE DF∴⊥（3）∠DAF＝45°（想法1图形）证明如下：过点A做AG⊥CF于点G，依题意可知：∠B＝∠BCG＝∠CGA＝90°，=，AB BC∴四边形ABCG是正方形∴=，∠BAG＝90°AG AB点关于直线AD的对称点为E，B∴，∠B＝∠AED＝90°，∠BAD＝∠EAD．=AB AE∴=AG AEAF AF=，∴Rt△AFG≌Rt△AFE（HL），∴∠GAF＝∠EAF，∠BAG＝90°，∴∠BAD＋∠EAD＋∠EAF＋∠GAF＝90°，∠BAD＝∠EAD，∠EAF＝∠GAF，∴∠EAD＋∠EAF＝45°，即∠DAF＝45°．（想法2图形）证明如下：过点B作BG∥AF，交直线FC于点G，依题意可知：∠ABC＝∠BCF＝90°AB∴∥FGAF∥BG∴四边形ABGF是平行四边形AF BG ∴=，∠BGC ＝∠BAF ，点B 关于直线AD 的对称点为E ．AB AE =∴，∠ABC ＝∠AED ＝90°，∠BAD ＝∠EAD ,AB BC AE BC =∴=∴Rt △AEF ≌Rt △BCG （HL ）∴∠EAF ＝∠CBG∠BCG ＝90°，∴∠BGC ＋∠CBG ＝90°∴∠BAF ＋∠EAF ＝90°∴∠BAD ＋∠EAD ＋∠EAF ＋∠EAF ＝90° ∠BAD=∠EAD∴∠EAD ＋∠EAF ＝45°即∠DAF ＝45°．【点睛】本题考查了轴对称的性质、全等三角形的判定及性质、正方形的判定及性质、平行四边形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．28．（1）,D F ；（2）①(2,3)；②图形见解析，13b -≤≤【分析】（1）根据“4-距点”的定义判断即可．（2）①观察图象即可得出结论；②利用①中结论，利用图象法解决问题即可．【详解】解：（1）如图1中，原点O 的“4-距点”是D ，F ．故答案为D ，F ．（2）①如图2中，直线l 上点A 的“2-距点”点为M ，M 的坐标为（2，3）．故答案为（2，3）．②如图当直线l 经过点(2,3)时，3b =，当直线l 经过点(2,1)-时，1b =-，所以若直线l 上存在点A 的“2－距点”，则b 的取值范围是13b -≤≤．【点睛】本题是新定义类题目，涉及坐标与图形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中等题．。
北京101中学2021届上学期初中九年级开学摸底考试数学试卷
北京101中学2020届上学期初中九年级开学摸底考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．实数a ，b ，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，若|a|=|b|，则下列结论中错误．．的是（ ）A ．0a b +=B ．0a c +<C ．0b c +>D ．0ac <2．抛物线2(1)2y x =-+的对称轴是 （ ） A ．直线x ＝－1 B ．直线x ＝1C ．直线x ＝－2D ．直线x ＝23．如果分式()3()a ab a b ++的值是零，那么a 、b 满足的条件是（ ）A ．=-a bB ．a b ≠-C ．a =0D ．0a =且a b ≠-4．陈老师打算购买气球装扮学校“六一”儿童节活动会场，气球的种类有笑脸和爱心两种，两种气球的价格不同，但同一种气球的价格相同，由于会场布置需要，购买时以一束（4个气球）为单位，已知第一、二束气球的价格如图所示，则第三束气球的价格为（ ）A ．19B ．18C ．16D ．155．如图，在▱ ABCD 中，AB=3，BC=5，∠ABC 的平分线交AD 于点E ，则DE 的长为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．26．改革开放40年以来，城乡居民生活水平持续快速提升。
居民教育、文化和娱乐消费支出持续增长。
下图为北京市统计局发布的2021年和2021年我市居民人均教育、文化和娱乐消费支出的折线图。
说明：在统计学中，同比．．是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如2021年第二季度与2021年第二季度相比较；环比．．是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如2021年第二季度与2021年第一季度相比较。
根据上述信息，下列结论中错误．．的是（ ）A ．2021年第二季度环比有所提高B ．2021年第四季度环比有所降低C ．2021年第一季度同比有所提高D ．2021年第四季度同比有所提高7．太阳影子定位技术是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄地点的一种方法.为了确定视频拍摄地的经度，我们需要对比视频中影子最短的时刻与同一天东经120度影子最短的时刻.在一定条件下，直杆的太阳影子长度(l 单位：米)与时刻(t 单位：时)的关系满足函数关系2(l at bt c a b c ，，=++是常数)，如图记录了三个时刻的数据，根据上述函数模型和记录的数据，则该地影子最短时，最接近的时刻t 是（）A ．12.75B ．13C ．13.33D ．13.58．如图1，四边形ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 相交于点O ，AB=2厘米，∠BAD=60°。
2021 2021学年北师大版数学九年级上册第一次月考测试题及答案
2021 2021学年北师大版数学九年级上册第一次月考测试题及答案----f3f21c19-6ea0-11ec-aec2-7cb59b590d7d2021-2021学年北师大版数学九年级上册第一次月考测试题及答案2022-2022学年第一学期北京师范大学版九年级数学第一卷第一次月考试卷（九月第一二章）考试总分：120考试时间：120分钟学校：__________班级：__________姓名：__________考号：__________一、多项选择题（共10个子题，每个子题3分，共30分）1如果钻石的周长为，其边长为（）a.b.c.d.2如果代数公式的值为，则无法确定is（）a或b.或c.或d.的值，如图所示，如果下列条件之一可以形成平行四边形菱形，则为（）①; ②；③；④．a.①③B②③c.③④D①②③4.方程的根的情况是（）a、没有实根B。
有两个相等的根C。
有两个不相等的根d。
有分数根5.已知是方程的一个根，则的值是（）a.b.c.d.6.如图所示，小华剪下两张宽度为的纸，并将其叠在一起，其较小的交角为，则其重叠部分的面积为（）a.b.c、 d。
7.方程的根的情况是（）a.有两个相等的实数根b.有两个不相等的正根c.无实数根d.负根的绝对值大于正根的绝对值8.如图所示，在矩形中，分别是上的点。
如果有，一定有（）a.b.c.d.9.一元二次方程的解是（）a.b.，c.d.，10.方程式的形式为（）a.b.c.d.二、填空题（共10小题，每小题3分，共30分）11.在平行四边形中___12.某种药品的价格经过两次连续降价后，由每盒元下调至元．假设每次降价的百分率是，列出方程________．13.如图所示，正方形的边长为，点在侧面，通过该点的垂直线穿过的延长线在该点连接，则正方形的长度为___14.某校图书馆去年底有图书万册，预计到明年年底增加到.万册，则这两年的年平均增长率为________．15.如果已知钻石的周长为，，则对角线为16。
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北京101中学2021届上学期初中九年级9月月考数学试卷（考试时间：120分钟 满分：100分）一、选择题：本大题共16分，每题2分。
1. 中国国家航天局2020年4月24日在“中国航天日”之际宣布，将中国行星探测任务命名为“天问”，将中国首次火星探测任务命名为“天问一号”，火星具有与地球十分相近的环境，与地球最近的时候距离约5500万千米，将5500用科学记数法表示为A. 41055.0⨯B. 3105.5⨯C. 2105.5⨯D. 21055⨯2. 若一个多边形的内角和是720°，则这个多边形的边数是A. 5B. 6C. 7D. 83. 实数a ，b ，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是A. c b a >>B. ||||a b >C. 0<+c bD. 0>ab4. 如图，直线a ∥b ，直线l 与a ，b 分别交于A ，B 两点，过点B 作BC ⊥AB 交直线a 于点C ，若∠1＝65°，则∠2的度数为A. 25°B. 35°C. 65°D. 115°5. 如果2=+b a ，那么ab b b a a -+-22的值是 A. 2 B. 4 C. －2 D. －46. 把直线23:1-=x y l 向右平移2个单位可以得到直线2l ，要得到直线2l ，也可以把直线1lA. 向上平移2个单位B. 向下平移2个单位C. 向上平移6个单位D. 向下平移6个单位 7. 在平面直角坐标系xOy 中，点P 在由直线3+-=x y ，直线4=y 和直线1=x 所围成的区域内或其边界上，点Q 在x 轴上，若点R 的坐标为)2,2(R ，则QR QP +的最小值为A.17B.25+ C. 53D. 48. “实际平均续航里程”是指电动汽车的行驶总里程与充电次数的比值，是反映电动汽车性能的重要指标，厂家为了解某型号电动汽车的“实际平均续航里程”，收集了使用该型号电动汽车1年以上的部分客户的相关数据，按年龄不超过40岁和年龄在40岁以上将客户分为A ，B 两组，从A ，B 组各抽取10位客户的电动汽车的“实际平均续航里程”数据整理成下图，其中“⊙”表示A 组的客户，“*”表示B 组的客户。
下列推断不正确的是A. A 组客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的最大值低于B 组B. A 组客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的方差低于B 组C. A 组客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的平均值低于B 组D. 这20位客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的中位数落在B 组二、填空题：本大题共16分，每题2分。
9. 若代数式1-x 有意义，则实数x 的取值范围是_________。
10. 分解因式=-m m 43____________。
11. 一次函数2+-=x y 的图象不经过第___________象限。
12. 如图，∠1，∠2，∠3均是五边形ABCDE 的外角，AE ∥BC ，则∠1＋∠2＋∠3＝________°。
13. 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝50°，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，若点F 在线段DE 上，且∠AFC ＝90°，则∠FAE 的度数为___________°。
14. 手工课上，老师将同学们分成A ，B 两个小组制作两个汽车模型，每个模型先由A 组 工序 时间 模型打磨（A 组）组装（B 组）模型1 9分钟 5分钟 模型26分钟11分钟则这两个模型都制作完成所需的最短时间为__________分钟。
15. 正方形ABCD 的边长为4，点M ，N 在对角线AC 上（可与点A ，C 重合），MN ＝2，点P ，Q 在正方形的边上，下面四个结论中，①存在无数个四边形PMQN 是平行四边形；②存在无数个四边形PMQN 是菱形； ③存在无数个四边形PMQN 是矩形；④至少存在一个四边形PMQN 是正方形。
所有正确结论的序号是_______________。
16. 如图所示，一副含30°和45°角的三角板ABC 和EDF 拼合在一个平面上，边AC 与EF 重合，AC ＝12cm ，当点E 从点A 出发沿AC 方向滑动时，点F 同时从点C 出发沿射线BC 方向滑动，当点E 从点A 滑动到点C 时，点D 运动的路径长为____________cm 。
三、解答题：本题共68分，第17—20题，每小题5分，21题6分，22题5分，第23—26题，每小题6分，第27题7分，28题6分17. 计算：|2|2731810---⎪⎭⎫⎝⎛---。
18. 解分式方程：12422=-+-x xx 。
19. 下面是小星同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程：已知：如图，直线l 和直线l 外一点A 求作：直线AP ，使得AP ∥l 作法：如图①在直线l 上任取一点B （AB 与l 不垂直），以点A 为圆心，AB 为半径作圆，与直线l 交于点C 。
②连接AC ，AB ，延长BA 到点D ； ③作∠DAC 的平分线AP 。
所以直线AP 就是所求作的直线 根据小星同学设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明 证明：∵AC AB =，∴∠ABC ＝∠ACB （___________）（填推理的依据） ∵∠DAC 是△ABC 的外角，∴∠DAC ＝∠ABC ＋∠ACB （___________）（填推理的依据） ∴∠DAC ＝2∠ABC ∵AP 平分∠DAC ， ∴∠DAC ＝2∠DAP ∴∠DAP ＝∠ABC∴AP ∥l （____________）（填推理的依据）20. 如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，DE ∥AB 交BC 于点E ，F 是BD 中点。
求证：EF 平分∠BED 。
21. 已知关于x 的方程01342=-+-a x x 有两个实数根。
（1）求实数a 的取值范围；（2）若a 为正整数，求方程的根。
22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线b x k y l +=11:过)2,5(),3,0(B A -，直线2:22+=x k y l 。
（1）求直线1l 的表达式；（2）当4≥x 时，不等式221+>+x k b x k 恒成立，请写出一个满足题意的2k 的值。
23. 如图，在△ABC 中，AC AB =，AD 平分∠BAC ，CE ∥AD 且AD CE =。
（1）求证：四边形ADCE 是矩形；（2）若△ABC 是边长为4的等边三角形，对角线AC ，DE 相交于点O ，在CE 上截取CF ＝CO ，连接OF ，求四边形AOFE 的面积。
24. 我国的传统佳节端午节，历来有吃“粽子”的习俗，某食品加工厂拥有A 、B 两条不同的粽子生产线，原计划A 生产线每小时加工粽子400个，B 生产线每小时加工粽子500个。
（1）若生产线A ，B 一共加工12小时，且生产粽子总数量不少于5500个，则B 生产线至少加工多少小时？（2）原计划A ，B 生产线每天均工作8小时，由于受其它原因影响，在实际生产过程中，A 生产线每小时比原计划少生产100a 个（a>0），B 生产线每小时比原计划少生产100个，为了尽快将粽子投放到市场，A 生产线每天比原计划多工作2a 小时，B 生产线每天比原计划多工作a 小时，这样一天恰好生产粽子6400个，求a 的值。
25. 如图，点P 是AB 上一动点，连接AP ，作∠APC ＝45°，交弦AB 于点C 。
已知cm AB 6 ，设P A ,两点间的距离为xcm ，P ，C 两点间的距离为cm y 1，C A ,两点间的距离为cm y 2。
（当点P 与点A 重合时，21,y y 的值为0；当点P 与点B 重合时，1y 的值为0，2y 的值为6）。
小元根据学习函数的经验，分别对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究。
下面是小元的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了y 与x 的几组对应cm x / 0 1 2 3 4 5 6 cm y /1 0 1.21 2.09 m 2.99 2.82 0 cm y /20.871.572.202.833.616经测量m 的值是__________（保留一位小数）。
（2）在同一平面直角坐标系xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x ，y 1），（x ，y 2），并画出函数y 1，y 2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当△ACP 为等腰三角形时，AP 的长度约为___________cm （保留一位小数）。
26. 在平面直角坐标系xOy 中，点),(y x P 经过变换τ得到点),(y x P '''，该变换记作(,)(,)x y x y τ''=，其中⎩⎨⎧-='+='by ax y by ax x ,（b a ,为常数）。
例如：当1=a ，且1=b 时，)5,1()3,2(-=-τ。
（1）当1=a ，且2-=b 时，)1,0(τ＝_______；（2）若)2,0()12(-=τ，则a ＝__________，b ＝_________；（3）设点),(y x P 是直线x y 2=上的任意一点，点P 经过变换τ得到点),(y x P '''，若点P 与点P '重合，求a 和b 的值。
27. 已知：在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，点D 为线段BC 上一动点（点D 不与点B 、C 重合），点B 关于直线AD 的对称点为E ，作射线DE ，过点C 作BC 的垂线，交射线DE 于点F ，连接AE 。
（1）依题意补全图形；（2）AE 与DF 的位置关系是_____________；（3）连接AF ，点D 在运动变化的过程中，∠DAF 的度数是否始终保持不变，如果不变请求出其度数，如果变化请说明理由。
28. 在平面直角坐标系xOy 中，对任意两点),(),,(222111y x P y x P ，如果||||2121y y x x -+-＝d ，则称1P 与2P 互为“-d 距点”。
例如：点)7,1(),6,3(21P P ，由|13|-=d ＋3|76|=-，可得1P 与2P 互为“3－距点”。
（1）在点D （－2，－2），E （5，－1），F （0,4）中，原点O 的“4－距点”是__________（填字母）；（2）已知点A（2，1），点B（0,b），过点B平行于x轴的直线l。