电路分析基础--电路分析方法

4 1 8 7 3 2 5 6
右图取2、3、4、6为树支， 有哪些基本割集？
第 2讲
电路的分析法
4 1 4 8 5 6 7 1
电路图论
8 7 3
5
6 2
3
2
C1(2,1,5,7,8)
C3 (4,1,5,)
4 8 7 3 2 5 6 1 4
C2 (3,1,5,8,) C4(5,6,7,8)
1
8 7 3
第 2讲
电路的分析法
第 2讲
电路的分析法
补充知识
为什么要引入图论： 网络大型化、复杂化要求计算机辅助分析 图论起源： 1736年欧拉为解决肯尼希堡城7桥不循环问题
A
A
C
D
普雷格尔河
C
D
B
B
第 2讲
电路的分析法
电路图论
图论的发展和现状：
•目前称为数学分支之一——几何拓扑学 •由“点”、“线”组成的结构拓扑关系为研究 对象 •应用到自然科学、工程技术、经济理论、社会 研究等领域 图论在电学上的应用：
联解方程组①②③，得解： I1=6A，I2 =−2A，I3=4A
第 2讲
电路的分析法
注意事项： 对有n节点b支路的网络，只能有n-1个独立的KCL 和b - (n-1)个独立的KVL。 对n节点任意划去其中一点，剩余的节点列写的 KCL方程一定具有独立性。 对平面电路，取b - (n-1)个网孔列KVL，可以保证 方程的独立性。若取非网孔回路列KVL，所选取回 路至少应具有一条其它回路不曾包含的新支路，才 能保证该回路所列KVL方程的独立性。 对含恒流源的支路，由于支路电流已知，故可以少 列写1个KVL方程。 对含受控源的支路，照独立源处理，但需要补充方 程：控制量= f (未知数)
第 2讲
电路的分析法
典型例题： 已知电路各元件参数如图，求各支路电流。
I1 a I2 I3 7Ω
7Ω +
11Ω
1
+
70V
-
6V
b
2
解：设支路电流未知 数I1、I2、I3及其参考 方向如图：
节点a：–I1–I2+I3=0
①
③
网孔1：-70+7I1–11I2+6=0 ② 网孔2：11I2+7I3- 6=0
3 ① 1
2 ②
5
4
6
③
① 2
3 ② 5 4 6 ③
1
④
directed graph
④
第 2讲
电路的分析法
电路图论 有孤立节点的图
3、连通图&非连通图
任意二节点至少有一条路径连接，无孤立节点
+
抽象 连通图
+ -
抽象 非连通图
第 2讲
电路的分析法 立体图
电路图论
4、平面图&非平面图
只在一个平面内，除节点外无交叉处的图
C4: { 1 , 5 , 2 }
(1)由于KCL适用于任何一个闭合面，对于每一个割集来 说，组成割集的所有支路的电流应满足KCL。 (2)对于一个连通图，可有多个割集，可以列出与割集数 相等的KCL方程。这些方程彼此之间并不独立。 (3)借助于“树”可以来确定独立割集。
第 2讲
电路的分析法
电路图论
第 2讲
电路的分析法
电路图论
（1）网络图中的圆点（节点）依附于线段（支路） 而存在；数学几何图中点、线各自独立
（2）网络图中线段（支路）目前约定为串联 复合支路
+ -
抽象
支路
抽象
第 2讲
电路的分析法
电路图论
2、有向图&无向图
没有标注线段方向的图 标注了线段方向的图 常常用支路电流/电压方向作为线段方向
（4）单树支割集（基本割集） ①每一条树支和若干连支可以构成一个割集，称为单数 支割集或者基本割集 ②对n个节点和b条支路图G，有树支n-1个，因此可以 构成n-1单树支割集，称之为基本割集组。
② ② ②
1
①
2 5 4 3
④ ③ ①
1 5 4
2
③ ①
1 5 4
2
③
3
④
3
④
6 C1: { 2 , 3 , 6 }
【分析依据】：拓扑约束KCL、KVL 元件约束VCR 【对未知数的要求】： 独立性：选作未知数的各个量不能相互推导（否则
可以减少未知数的个数）
完备性：选作未知数的各个量一旦解出，则可以求
出其它任何电路参数（否则不能完整分析电路状况）
第 2讲
电路的分析法
【2b法思路】： 在（n、b）网络中，b个支路电路是一组完备的未 知数，b个支路电压也是一组完备的未知数；如果列出 2b个独立的方程，则可以解出i1…ib及u1…ub。 对n节点可以列出n-1个独立的KCL方程 对b-(n-1)个网孔，可列出b-(n-1)个独立KVL方程 对每条支路可以列出b个VCR方程 联解上述2b个方程组，可以得解支路电压和支路电流
组独立回路。
网孔树
（5）对独立回路组（含网孔组）列出的KVL方程是独立方程 组；选不同的树，可以对一网络列出不同的独立KVL方程组。
第 2讲
电路的分析法
电路图论
10、连通图的割集(set cut)
割集C是连通图G中一个支路的集合，具有下述性质： (1) 把C 中全部支路移去，将图分成两个分离部分；
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第 2讲
电路的分析法
2、网孔电流法 (mesh current method) <网孔电流的定义> 平面电路中网孔上流动的假想电流imx <网孔电流法思路> ◆ 设每个网孔上流动一个电流ix。(它们间无法
5 6 2
第 2讲
电路的分析法
2b 方程法 常 用 电 路 求 解 方 法 分析法 网 孔 法 节 点 法 叠加定理 分解法 替代定理 等效电源定理 最大功率传输定理
第 2讲
电路的分析法
【问题】：已知电路结构、元件参数、电源等部分
电路参数；如何求解电路中所有的支路电压、支路电 流、元件电压、元件电流、元件功率？
第 2讲
电路的分析法
1
典型例题： I
7Ω
+ 1
a I2
11Ω + + 2 U -
I3 7Ω
70V
-
5U
b
节点a：–I1–I2+I3=0
网孔2：11I2+7I3- 5U=0 补充方程：U=7I3
①
③ ④
网孔1：-70+7I1–11I2+5U=0 ②
第 2讲
电路的分析法
2b 方程法 常 用 电 路 求 解 方 法 分析法 网 孔 法 节 点 法 叠加定理 分解法 替代定理 等效电源定理 最大功率传输定理
8、什么是树余？ 与树T互为补图的子图，具有下述性质： (1)可以是非连通图； (2)可以不包含G的所有节点； (3)可以包含回路。
第 2讲
电路的分析法
电路图论
9、树支与连支 树支：树中的各支路 tree branch
连支：树余中的各支路 link branch
（1）n节点、b支路的网络中，每个树T有n-1 条树支，每个树余有b-(n-1)条连支。
6 C2: { 3 , 5 , 4}
6 C3: { 1 , 5 ,3 , 6 }
③由树支的独立性可推出基本割集组是独立割集组，依 据它们列出的KCL方程组也具有独立性。
第 2讲
电路的分析法
电路图论
④连支集合不能构成割集。即使所有连支都去掉，剩 下的树支仍然构成连通图，与割集的定义矛盾。
⑤对复杂连通图G，可以选出多个回路和割集；但树T 一旦选定，G的基本回路和基本割集就完全确定。 ⑥n节点b支路的图G，其任一树T都有n-1个基本割集 和b-(n-1)个基本回路。
KCL : i1 i2 i3 0
KVL : u1 u3 0 u3 u2 0
VCR : U s1 i1 R1 u1 i3 R3 u3 U s 2 i2 R2 u2
Page62 图3-1 例题
页]；也可以将支路电流用VCR方
程中的支路电压表示,代入KCL形 成1b法——支路电压法[略]
第 2讲
电路的分析法
1、支路电流法 branch-current method 求解思路： 对于有n个节点、b条支路的电路，要求解支路 电流,未知量共有b个。只要列出b个独立的电路方程， 便可以求解这b个变量 列写步骤： ① 标定各支路电流参考方向，确定未知数的个数 ② 选定(n–1)个节点，列写其KCL方程 ③ 选定b–(n–1)个独立回路，列写其KVL方程* ④ 求解上述方程，得到各个支路电流解
1
4
第 2讲 电路的分析法 典型例题：
2 i2 1 R2 1 i3 R32 R5 i5 i6
4
R4 i4 3
选定图示的3个回路（网孔） 列写独立KVL方程。
–R1 i1 + R2 i2 + R3 i3 = 0
–R3 i3 + R4 i4 – R5 i5 = 0 R1 i1 + R5 i5 + R6 i6 –uS = 0
R1
i1 3
4
R6
+ u – S
选定图示的1、2、4回路列写的KVL方程则不独立
第 2讲
电路的分析法
R3 i3 b i4 2 R4 c u – i5 + 解
列写图示电路的支路电流方程 a i1 R1 uS + – i2 1 R2
n=3 选c为参考节点。 iS
2个KCL方程：
- i1 - i2 + i3 = 0
第 2讲
电路的分析法
电路图论
（2）单连支回路（基本回路）： 在任一树中任意取两节点之间加入一条支路，必 然形成一个包含该连支在内的回路，称为单连支回路， 或者基本回路。
4 4 1 5 6 1
3
2 7
树支数 4
连支数 3
5
第 2讲
电路的分析法
电路图论
（3）基本回路组（独立回路组）： 一个树的所有单连支回路的集合，称为基本回路组。 由于一个连支仅仅出现在一个单连支回路中，故基本回 路上的电压关系不能相互推导，相互具有独立性，所以也称为 独立回路组。 （4）平面图中总可以找到一个树，使得所有平面网孔成为一
将电路网络几何化，把结构信息输入计算机， 列出KCL、KVL等方程，再加入VCR关系式则可以计 算网络参数。
第 2讲
电路的分析法
电路图论
1、什么是图？
Graph，记为G，是忽略元件性质，把电 路中的每一条支路抽象为线段，节点抽象为 圆点，所形成结构关系的集合。
G={支路，节点} 例题1
uS R1 L R2 C
a
b
c
d
第 2讲
电路的分析法
电路图论
7、什么是树(Tree)？ 树T是连通图G的一个子图，具有下述性质： (1)连通； (2)包含G的所有节点和部分支路； (3)不包含回路。
16个 树不唯一，n节点有nn-2个树
第 2讲
电路的分析法 作出下面连通图的至少6个树
电路图论
第 2讲
电路的分析法
电路图论
(2)保留C 中的一条支路，其余都移去， G还是连通的。
②
2 2
③
②
1
①
5 4 6 3
④
5 4 6 C1: { 2 , 5 , 4 , 6 }
1
①
③
3
④
第 2讲
电路的分析法
② ②
电路图论
②
1
①
2 5 4
③ ①
1
5 4
2
③ ①
1
5 4 6
2
③
3
④
3
④
3
④
6 C2: { 2 , 3 , 6 }
6
C3: { 1 , 5 , 4}
第 2讲
电路的分析法
典型例题：
2 i2 R2 i3 R3 R1 i1 R6 + R5 i5 i6 uS – R4 i4 3 b=6 n=4 独立方程数应为b=6个。 l=7 列KCL方程(流出为正，流入为负) 节点 1：i1 + i2 – i6 =0 节点 2：– i2 + i3 + i4 =0 节点 3：– i4 – i5 + i6 =0 节点 4：– i1 – i3 + i5 =0 这4个方程中任意3个相互独立
- i3+ i4 - i5 = 0
(1)
(2)
b=5，由于i5 = iS为已知，只需2个KVL方程。所以在 选择独立回路时，可不选含独立电流源支路的回路。选 回路1，2列KVL方程。 R1 i1-R2i2 = uS R2 i2+R3i3 + R4 i4 = 0 i5 = iS (3) (4) (5)
R1 + Us1 R2 i2 + Us2 u2 -
i1
u1
R3 u 3 i3 +
以支路电流i1i2i3、支路电压 u1u2u3为未知数，列2b方程组， 如下：
第 2讲
R1 + Us1 i1 u1
电路的分析法
R2 R3 u 3 i3 + i2 + Us2 u2 -
【注解】：
2b法是最基础的分析法，任何题 目都可以用之求解，通用性好。 2b法工作量大，计算繁复，但列 式规范，适宜计算机辅助分析。 2b法中的未知数具有完备性，但 不具有严格的独立性，可以减少 未知数个数。（可以将支路电压 用VCR方程中的支路电流表示,代 入KVL,形成以支路电流为未知数 的1b法——支路电流法[见下
第 2讲
电路的分析法
电路图论 Ga+Gb=G，则Ga 与Gb互为补图
5、子图&补图
某图Ga中节点、支路都 是图G中的节点和支路， 则称Ga是G的子图
=
+
G
Ga
Gb
第 2讲
电路的分析法
电路图论 起点回到终点的闭合路径
6、路径&回路
连接节点的所有支路总和
路径 回路
G
第 2讲
电路的分析法
电路图论
作出下面电路图的有向图，并画出4个 子图、2对补图、5条路径、3条回路