随机信号分析(赵淑清 郑薇)第四章习题解答
随机信号分析课后习题答案
1第一次作业：练习一之1、2、3题1.1 离散随机变量X 由0，1，2，3四个样本组成，相当于四元通信中的四个电平，四个样本的取值概率顺序为1/2，1/4，1/8，和1/8。
求随机变量的数学期望和方差。
解：875.087813812411210)(][41==⨯+⨯+⨯+⨯===∑=i i i x X P x X E81)873(81)872(41)871(21)870(])[(][2224122⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=-=∑=i i i P X E x X D109.16471==1.2 设连续随机变量X 的概率分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤-+<=21201)](2πΑsin[0.500)(x x x x x F求（1）系数A ；（2）X 取值在（0.5，1）内的概率)15.0(<<x P 。
解：⎪⎩⎪⎨⎧<≤-π==其他0201)](2π[cos 2)()(x x A dx x dF x f 由1)(=⎰∞∞-dx x f得 2A 021)](2πAsin[1)]d (2π[cos 2=-=-π⎰∞∞-x x x A21A =35.042)]15.0(2[sin 21)]11(2[sin 21)5.0(F )1(F )15.0(==-π--π=-=<<x P1.3 试确定下列各式是否为连续随机变量的概率分布函数，如果是概率分布函数，求其概率密度。
（1）⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=-000e 1)(2x x x F x （2）⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=1110Α00)(2x x x x x F （3）0)]()([)(>--=a a x u x u a xx F （4）0)()()(>---=a a x u axa x u a x x F2解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=-000e 1)(2x x x F x 当0≥x 时，对于12x x ≥，有)()(12x F x F ≥，)(x F 是单调非减函数； 1)(0≤≤x F 成立；)()(x F x F =+也成立。
随机信号分析(第3版)习题及答案
1. 2. 3. 4. 5.6.有四批零件，第一批有2000个零件，其中5%是次品。
第二批有500个零件，其中40%是次品。
第三批和第四批各有1000个零件，次品约占10%。
我们随机地选择一个批次，并随机地取出一个零件。
（1） 问所选零件为次品的概率是多少？（2） 发现次品后，它来自第二批的概率是多少？解：（1）用i B 表示第i 批的所有零件组成的事件，用D 表示所有次品零件组成的事件。
()()()()123414P B P B P B P B ====()()()()12341002000.050.420005001001000.10.110001000P D B P D B P D B P D B ========()11110.050.40.10.10.16254444P D =⨯+⨯+⨯+⨯=（2）发现次品后，它来自第二批的概率为，()()()()2220.250.40.6150.1625P B P D B P B D P D ⨯===7. 8.9. 设随机试验X 的分布律为求X 的概率密度和分布函数，并给出图形。
解：()()()()0.210.520.33f x x x xδδδ=-+-+-()()()()0.210.520.33F x u x u x u x =-+-+-10.11. 设随机变量X 的概率密度函数为()xf x ae -=，求:(1)系数a ；（2）其分布函数。
解：（1）由()1f x dx ∞-∞=⎰()()2xxx f x dx ae dx ae dx e dx a ∞∞∞---∞-∞-∞==+=⎰⎰⎰⎰所以12a =（2）()1()2xxtF x f t dt e dt --∞-∞==⎰⎰所以X 的分布函数为()1,0211,02xx e x F x e x -⎧<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩12.13.14.X Y求：（1）X 与Y 的联合分布函数与密度函数；（2）X 与Y 的边缘分布律；（3）Z XY =的分布律；（4）X 与Y 的相关系数。
随机信号分析课后习题答案
第一次作业：练习一之1、2、3题1.1离散随机变量X 由0，1，2，3四个样本组成，相当于四元通信中的四个电平，四个样本的取值概率顺序为1/2，1/4，1/8，和1/8。
求随机变量的数学期望和方差。
解：875.087813812411210)(][41==⨯+⨯+⨯+⨯===∑=ii ix X P x X E81)873(81)872(41)871(21)870(])[(][2224122⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=-=∑=i i i P X E x X D109.16471==1.2 设连续随机变量X 的概率分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤-+<=21201)](2πΑsin[0.500)(x x x x x F 求（1）系数A ；（2）X 取值在（0.5，1）内的概率)15.0(<<x P 。
解：⎪⎩⎪⎨⎧<≤-π==其他201)](2π[cos 2)()(x x A dx x dF x f由 1)(=⎰∞∞-dx x f得 2A 021)](2πAsin[1)]d (2π[cos 2=-=-π⎰∞∞-x x x A21A =35.042)]15.0(2[sin 21)]11(2[sin 21)5.0(F )1(F )15.0(==-π--π=-=<<x P 1.3试确定下列各式是否为连续随机变量的概率分布函数，如果是概率分布函数，求其概率密度。
（1）⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=-000e1)(2x x x F x （2）⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=1110Α00)(2x x xx x F（3）0)]()([)(>--=a a x u x u ax x F （4）0)()()(>---=a a x u ax a x u a x x F解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=-00e1)(2x x x F x当0≥x 时，对于12x x ≥，有)()(12x F x F ≥，)(x F 是单调非减函数；1)(0≤≤x F 成立； )()(x F x F =+也成立。
《随机信号分析》复习课(第一章-第四章)
F (x, y) P{X x,Y y}
y
(x, y)
x
0
1.4 多维随机变量及分布
f (x, y) 2F (x, y) xy
f (x, y) 0
xy
F(x, y)
f (x, y)dxdy
f (x, y)dxdy 1
f X (x)
f (x, y)dy
fY ( y)
f (x, y)dx
J
dx dy
对于任意单调函数 g(x) ：fY ( y) f X (x) J xg1( y)
如果 g(x) 不是单调函数：
fY ( y) f X (x1) J1 f X (xn ) J n
其中 x1 h1 ( y) … xn hn ( y) , Jk dxk / dy
1.6 随机变量的函数
《随机信号分析》复习课（第一章-第四章）
重点内容
绪论 随机变量基础 重点：随机变量的函数
第二章 随机过程的基本概念 重点: 平稳随机过程的概念，随机过程的功率谱密度 ，高斯过程
第三章 随机过程的线性变换 重点：随机过程线性变换的冲激响应法和频谱法， 白噪声通过线性系统，随机过程线性变换后的概率 分布
x2 f (x)dx
x1
1.3 随机变量的分布函数与概率密度
f (x)
1
2
exp
(x )2 2 2
X ~ N(, 2)
x
FX (x)
1 2
exp
(
x ) 22
2
dx
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-4 -3 -2 -1
第4章习题解答
码长 1 , 3 , 3 ,3 , 5 , 5 , 5 , 5
平均码长 = 0.533 码符号/信源符号
N=4时， =
对信源 进行霍夫曼编码，其紧致码为
码字 0 , 100 , 101 , 110 , 1110 , 111110 , 1111000 ,1111001,
设信源 = ， =1对此信源编码将r元唯一可译变长码（即码符号集X={1，2， r}），其对应的码长为（ ， ， ）=（1，1，2，3，2，3）求r值的最好下限。
解：要将此信源编码成为r元唯一可译变长码，其码字对应的码长
（l1,l2,l3,l4,l5,l6）=(1,1,2,3,2,3) 必须满足克拉夫特不等式，即
M= =1+100+4950+
对M个信源序列进行无失真的二元等长编码，必须
=166750
所以码字所需的最小长度 ＝18
（2）对于这二元信源，其H(S) 比特/符号
现根据所编码的N（＝100）长的信源序列来计算 。在这N长的信源序列中全零序列其 最大，则其 最小；而其中含3个“1”的序列其 最小则 最大。所以，全零序列
= 码符号/信源符号
(4) 编码效率 (r=2)
码剩余度 1－ (r=2)
所以
N=1 编码效率 0.469 码剩余度 =%
N=2 =%
N=3 =12%
N=4 =%
从本题讨论可知，对于变长紧致码，当N不很大时，就可以达到高效的无失真信源编码。
信源空间为 =
码符号为x={0,1,2},试构造一种三元紧致码.
解：当 时用霍夫曼编码方法进行最佳编码，由于每个符号是等概率分布的，所以每个符号码长应相等，这样平均码长最短，而且信源符号个数正好等于 ，则满足：
随机信号分析答案(赵淑清版)3
第三次作业：练习一之9、10、11题1.9随机变量X 和Y 分别在[0,a ]和[0,2π]上均匀分布，且互相独立。
对于a b <，证明：a bY b x P π2)cos (=<证：rv . X 和Y 分别在[0,a ]和[0,2π]上均匀分布 有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤=其它001)(ax a X f 和⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤=其它0202)(ππy Y f⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<≤⇒⎭⎬⎫<≤<20cos 0cos cos πy y b x a b y b Y b x Y b x cos <)20,cos 0()cos (π≤≤<≤=<y y b x p y b x p⎰⎰=2/0cos 0),(πyb dxdy y x f dy⎰⎰=2/0cos 0)()(πyb dxdy y f x f dy 因为rv . X 和Y 相互独立⎰⎰⋅=2/0cos 021ππyb dxdy a dy⎰⋅=2/0cos 2ππydy a bab π2=命题得证1.10 已知二维随机变量（21,X X ）的联合概率密度为),(2121x x f X X ，随机变量（21,X X ）与随机变量（21,Y Y ）的关系由下式唯一确定⎩⎨⎧+=+=2111221111Y d Y c X Y b Y a X ⎩⎨⎧+=+=212211dX cX Y bX aX Y 证明：（21,Y Y ）的联合概率密度为),(1),(21112111212121y d y c y b y a f bcad y y f X X Y Y ++-=证：做由),(2121y y f Y Y 到),(2121x x f X X 的二维变换),(2121x x f X X =J ),(2121y y f Y Y ),(2121y y f Y Y =J1),(2121x x f X X bc ad d c b a x y x y x y x y J -==∂∂∂∂∂∂∂∂=22122111 ),(1),(21112111212121y d y c y b y a f bc ad y y f X X Y Y ++-=1.11 随机变量X,Y 的联合概率密度为2,0)sin(),(π≤≤+=y x y x A y x f XY求：（1）系数A ；（2）X,Y 的数学期望；（3）X,Y 的方差；（4）X,Y 的相关矩及相关系数。
随机信号分析答案(赵淑清版)5
第五次作业：练习二之1、2、3、4、5题2.1 随机过程t B t A t X ωωsin cos )(+=，其中ω为常数，A 、B 是两个相互独立的高斯变量，并且0][][==B E A E ，222][][σ==B E A E 。
求X (t )的数学期望和自相关函数。
解： ]sin []cos []sin cos [)]([t B E t A E t B t A E t X E ωωωω+=+=t B E t A E ωωsin ][cos ][+=0= （0][][==B E A E ）)]sin cos )(sin cos [()]()([),(22112121t B t A t B t A E t X t X E t t R X ωωωω++==]sin sin cos sin sin cos cos cos [2122121212t t B t t AB t t AB t t A E ωωωωωωωω+++=2122121212sin sin ][cos sin ][][sin cos ][][cos cos ][t t B E t t B E A E t t B E A E t t A E ωωωωωωωω+++=212212sin sin ][cos cos ][t t B E t t A E ωωωω+= （22])[(][][X E X D X E +=）)(cos 122t t -=ωσ)(cos 2τωσ= （12t t -=τ）2.2 若随机过程X (t )在均方意义下连续，证明它的数学期望也必然连续。
证： 由均方连续的定义0])()([lim 20=-∆+→∆t X t t X E t ， 展开左式为：)]()()()()()([lim 220t X t X t t X t X t t X t t X E t +∆+-∆+-∆+→∆ =0))]()()((([))]()()((([{lim 0=-∆+--∆+∆+→∆t X t t X t X E t X t t X t t X E t 固有0)]([)]([lim 0=-∆+→∆t X E t t X E t ，证得数学期望连续。
信号分析与处理习题第4章
第4章 时域离散信号的频域分析4.3 习题精解1. 求出以下序列的z 变换及收敛域。
（1）)(2n u n - （2）)1(2----n u n （3）)(2n u n -- （4）)(n δ（5）)1(-n δ （6）)]10()([2---n u n u n 解：（1）ZT[)(2n u n-]21||,2112)(211>-===--∞=--∞-∞=--∑∑z zzzn u n nnn nn（2）ZT[)1(2----n u n]∑∑-∞-=--∞-∞=---=---=12)1(2n nnn nnzzn u21||,2112122111<-=--=-=--∞=∑z zzz zn nn（3）ZT[)(2n u n--]∑∑-∞=--∞-∞=--=-=2)(2n nnn nnz zn u21||,21120<-==∑∞=z zzn nn（4）ZT[)(n δ]=1，∞≤≤||0z （5）ZT[)1(-n δ]=1-z ，∞≤<||0z（6）ZT[))10()((2---n u n u n]=∞≤<--=----=--∑||0,212121110109z zz zn nn2. 求以下序列的z 变换及收敛域，并在z 平面上画出零-极点分布图。
（1）4),()(==N n R n x N （2）rad rad r n u n Arn x nπϕπωϕω25.0,5.0,9.0),()cos()(00===+=（3）⎪⎩⎪⎨⎧=≤≤+-≤≤=其它式中04,2120)(N N n N nN Nn n n x解：（1） ∞≤<--=--===--=-∞-∞=-∑∑||0,)1(111)()(341434z z z z zz zzn Rz X n nn n14-z =0，零点为：3,2,1,0,42==k ez kjk π；)1(3-z z =0，极点为：1,02,1=z零极点分布图如题2解图（a ）所示，图中1=z 处的零极点相消。
第四章习题答案
5 / 6 1 / 6 解 : 传递矩阵为 PY | X = , 输入信源符号的概率 3 / 4 1 / 4 分布可以写成行向量形 式, 即PX = [0.6 0.4] 由信道传递矩阵和输入 信源符号概率向量 , 求得输出符号 5 / 6 1 / 6 概率分布为 PY = PX PY | X = [0.6 0.4] = [0.8 0.2] 3 / 4 1 / 4 输入符号和输出符号的 联合概率分布为 PXY 0.6 0 5 / 6 1 / 6 0.5 0.1 = 3 / 4 1 / 4 = 0.3 0.1 0 0.4
(1) I ( x 1 ) = − log p( x1 ) = − log 2 0.6 = 0.737(bit ) I ( x 2 ) = − log p( x 2 ) = − log 2 0.4 = 1.322(bit ) p( y1 | x1 ) 5/6 ( 2) I ( x1 ; y1 ) = log = log 2 = 0.059(bit ) p( y1 ) 0.8 p( y 2 | x1 ) 1/ 6 I ( x 1 ; y 2 ) = log = log 2 = 0.269(bit ) p( y 2 ) 0.2 p( y1 | x 2 ) 3/4 I ( x 2 ; y1 ) = log = log 2 = 0.09(bit ) p( y1 ) 0.8 p( y 2 | x 2 ) 1/ 4 I ( x 2 ; y 2 ) = log = log 2 = 0.322(bit ) p( y 2 ) 0.2
解：每个字母占用2× 5ms=10ms ，每秒内发出 1000/10=100个字母的代码组（单位：字母/s）。 (1) 各个字母以等概率出现时，每个字母的代码组 含 2bit信息量，传输的平均信息速率R为： R=2×100=200(bit/s) (2) 各字母的出现概率不相等，
随机信号分析中文版答案
1≤ y ≤ 6
1 b−a
+∞ −∞
X 1 ⋅⋅⋅ X n 相互独立
φ X (ω ) = ∫
i
f X ( xi )e jω xi dxi
=∫
b
a
1 jω xi 1 1 jωb e dxi = (e − e jω a ) b−a b − a jω
(b+ a ) ⎛ (b − a )ω ⎞ jω 2 = Sa ⎜ ⎟e 2 ⎝ ⎠
π
2
−2+
π2
8
2 2 2 ∴ D [ x] = σ X =E⎡ ⎣x ⎤ ⎦ − E [ x] 2 =σy =
π
2
−2+
π2
8
−
π2
16
=
π2
16
+
π
2
−2
（4）
Rxy = E [ xy ]
π 1 π 2 2 xy sin ( x + y ) dxdy 2 ∫0 ∫0 π π ⎤ 1 π ⎡ = ∫ 2 x ⎢ − y cos ( x + y ) 02 + sin ( x + y ) 02 ⎥ dx 2 0 ⎣ ⎦
5
《随机信号分析》 课后习题答案
武汉理工大学信息工程学院
cx1x 2 = rx1x 2 − mx1mx 2 cx1x 2 ⎞ ⎛10 2 ⎞ ⎛c cx ( x1, x 2) = ⎜ x1x1 ⎟=⎜ ⎟ ⎝ cx 2 x1 cx 2 x 2 ⎠ ⎝ 2 10 ⎠
1 − f x ( x1 , x2 ) = e 192π
1.8 解： C XY = E[( x − mx )( y − m y )] = E[ XY ] − mx m y = m11 − mx m y
第四章总结习题
U 0 1
P(u)
1 4
1 4
2 3
1 4
1 4
接收符号为V={0,1,2,3},其失真矩阵为 0 1 1 1
D 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0
求Dmax,Dmin及信源的R(D)函数，并作出其曲线（取4到5 个点）
2024/7/16
13
习题1
第四章 信息率失真函数
解答：四元对称信源在汉明失真矩阵下，它的平均失真度
信息率失真函数也是一个界限。只要信息率大于这个界限， 译码失真就可限制在给定的范围内。即通信的过程中虽然有 失真，但仍能满足要求，否则就不能满足要求。
2024/7/16
11
第四章 信息率失真函数
研究信道编码和率失真函数的意义
研究信道容量的意义：在实际应用中，研究信道容量是为 了解决在已知信道中传送最大信息率问题。目的是充分利 用已给信道，使传输的信息量最大而发生错误的概率任意 小，以提高通信的可靠性。这就是信道编码问题。
第四步：求D(S)，将上述结果代入式(4.2.14)有
nm
D(S)
p(xi ) p( y j )d (xi , y j )ieSd (xi ,y j )
i1 j1
D(S)
p(x1) p( y1)d (x1,
y ) eSd (x1, y1 ) 11
p(x2 ) p( y1)d (x2 ,
y ) eSd (x2 , y1 ) 11
(4.2.10)
p( y1 / x1) p( y1 / x2 ) p( y2 / x1)
p( y1)1eSd (x1, y1) p( y1)2eSd (x2 , y1) p( y2 )1eSd (x1, y2 )
随机信号分析(赵淑清_郑薇)第四章习题解答
并证明功率谱密度 S X ( )是实函数.
RX ( ) RA ( ) RB ( ) j[ RAB ( ) RBA ( )] RX ( ) RA ( ) RB ( ) j[ RAB ( ) RAB ( )] S X () FT[ RX ( )] S A () S B () 2 Im[ S AB ()] S A () S B () j[S AB () S AB ()] S A () S B () j 2 j Im[ S AB ()]
) a cos( ) a cos( S AC ( ) S As ( ) cos( S AC ( ) S As ( ) 0
2 其它
7
) 2a cos( S AC ( ) S As ( ) 0
x(t ) xc (t ) cos(0t ) xs (t ) sin(0t )
ˆ(t ) xc (t ) sin(0t ) xs (t ) cos(0t ) x
ˆ(t ) [ xc (t ) jxs (t )]e j0t z(t ) x(t ) jx
4
1 4.3 X c ( ) [ Z ( 0 ) Z * ( 0 )] 2 1 X s ( ) [ Z ( 0 ) Z * ( 0 )] 2j
S X ( 0 ) S X ( 0 ) (1) S AC ( ) S As ( ) 0
2
其它
6
a cos[ ( 0 ) ] 2 0 2 S X ( ) a cos[ ( 0 ) ] 2 0 2 0 其它 试求 : (1) AC (t ), AS (t )的功率谱密度和平均功 率.
随机信号分析基础第四章习题
E s2 (t)dt 1
2
S() d
2
时域内信号的能量等于频域内信号的能量
S() 2
4.1 功率谱密度 随机过程
随机信号的能量一般是无限的，但是其平均功率是有限的。 因此可推广频谱分析法，引入功率谱的概念。
GX () E[GX (, )]
E
Tlim
1 2T
X
T
(,
)
2
1
lim T 2T
2
N0 (0)
2
1 ( 0) 0 ( 0)
上式表明；白噪声在任何两个相邻时刻(不管这两个时刻多 么邻近)的状态都是不相关的，即白噪声随时间的起伏变化 极快，而过程的功率谱极宽。
与连续的白噪声过程相对应的随机序列则是白序列。
4.5 功率谱估值的经典方法
1. 周期图法
Gˆ X ()
1 N
E
XT (, ) 2
Gx(ω)被称为随机过程X(t)的功率谱密度函数，功率谱密 度是从频率角度描述随机过程X(t)的统计特性的最主要的 数字特征。
4.1 功率谱密度 随机过程
随机过程X(t)的平均功率为：
W E[W ]
lim 1
T
2
E[ X (t) ]dt
T 2T T
1
2
GX ( )d
(t)
1
c os0t
sin(t / 2)
2 t / 2
ea
ea cos0
1 , 1
0,
其他
1
2 ()
( 0 ) ( 0 )
rect( )
2a
a2 2
a
a
a2 ( 0 )2 a2 ( 0 )2
sin2 ( )
《随机信号分析》赵淑清_郑薇哈尔滨工业大学出版社课后答案
4
答
解： f ( x) =
∞
π π dF ( x) ⎧ ⎪ A cos[ ( x − 1)] = ⎨2 2 dx ⎪ 0 ⎩
案 网
π
1.2 设连续随机变量 X 的概率分布函数为 x<0 ⎧0 ⎪ π F ( x) = ⎨0.5 + Αsin[ ( x − 1)] 0 ≤ x < 2 2 ⎪ 1 x≥2 ⎩ 求（1）系数 A； （2）X 取值在（0.5，1）内的概率 P (0.5 < x < 1) 。
x − ⎧ ⎪1 − e 2 x≥0 解： （1） F ( x) = ⎨ ⎪ x<0 ⎩0 当 x ≥ 0 时，对于 x2 ≥ x1 ，有 F ( x2 ) ≥ F ( x1 ) ， F ( x ) 是单调非减函数； 0 ≤ F ( x ) ≤ 1 成立； F ( x + ) = F ( x) 也成立。 所以， F ( x ) 是连续随机变量的概率分布函数。
∞ ∞
答
π π
案 网
2 求： （1）系数 A； （2）X,Y 的数学期望； （3）X,Y 的方差； （4）X,Y 的相关矩及相关 系数。
1.11 随机变量 X,Y 的联合概率密度为 f XY ( x, y ) = A sin( x + y )
−∞ −∞
后
（1）
∫∫
f XY ( x, y )dxdy = ∫ ∫ A sin( x + y )dxdy =A ∫ sin xdx ∫ cos ydy + A∫ cos xdx ∫ sin ydy
2
)
=
∫
0 0
dy
后
π /2
课
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4.3
X
c
()
1 2
[Z
(
0
)
Z
* (
0
)]
Xs
()
1 2j
[Z (
0 )
Z *(
0 )]
z(t) [xc (t) jxs (t)]e j0t z(t)e j0t xc (t) jxs (t)
Z ( 0 ) X c () jX s ()
Z ( 0 ) X c () jX s ()
(0)
RAS
(0)
1
2
SAC ()d
1
2
2 2a cos( )d
2a
2
cos(
)d
0
2
RAC
(0)
RAS
(0)
2a
2
8
a cos[ ( 0 ) ]
SX () a cos[ ( 0 ) ]
0
2 0 2 2 0 2
其它
试求: (2) AC (t)和AS (t)是否正交?
RX ( ) RX* ( ) 并证明功率谱密度SX ()是实函数.
RX ( ) RA( ) RB ( ) j[RAB( ) RBA( )] RX ( ) RA( ) RB ( ) j[RAB( ) RAB( )]
SX () FT[RX ( )] SA() SB () 2Im[ SAB()] SA() SB () j[SAB() SAB()] SA() SB () j 2 j Im[ SAB()]
4.2 设复随机过程X (t)是广义平稳的,试证明:
RX ( ) RX* ( ) 并证明功率谱密度SX ()是实函数.
解: 设复随机过程X (t) A(t) jB(t),其中A(t)和B(t) 都是实平稳随机过程,且是联合平稳的.
RX ( ) E[ X *(t) X (t )] E[{A(t) jB(t)}{A(t ) jB(t )}]
3
4.3 设有一窄带信号x(t) xc (t) cos(0t) xs (t) sin(0t), 其中的xc (t)与xs (t)的带宽远小于0.设X c ()和X s () 分别为xc (t)与xs (t)的傅里叶变换, Z ()为x(t)的解析
函数z(t) x(t) jxˆ(t)的傅里叶变换, 试证 :
数学期望为零的窄带平稳随机过程
X (t) AC (t) cos(0t) AS (t)sin(0t) AC (t)与AS (t)正交的条件是: SX ()的单边谱关于0对称
本题中的 SX ()的单边谱是关于 0对称的
AC (t)与AS (t)正交
9
X
c
()
1 2
[Z
(
0
)
Z
* (
0
)]
X
s ()
1 2j
[Z (
0 )
Z *(
0 )]
x(t) xc (t) cos(0t) xs (t) sin(0t) xˆ(t) xc (t) sin(0t) xs (t) cos(0t) z(t) x(t) jxˆ(t) [xc (t) jxs (t)]e j0t
其它
式中, a, ,0皆为正常数,且0 . 试求 :
(1) AC (t), AS (t)的功率谱密度和平均功率.
(2) AC (t)和AS (t)是否正交?
(1)
S
AC
()
S
As
()
S
X
(
0
) 0
S
X
(
0
) ( 0 ) ]
SX () a cos[ ( 0 ) ]
RA ( ) RB ( ) j[RAB ( ) RBA( )] 1
4.2 设复随机过程X (t)是广义平稳的,试证明:
RX ( ) RX* ( ) 并证明功率谱密度SX ()是实函数.
RX ( ) RA ( ) RB ( ) j[RAB ( ) RBA( )]
RX ( ) RA( ) RB ( ) j[RAB ( ) RBA( )]
0
2 0 2 2 0 2
其它
试求: (1) AC (t), AS (t)的功率谱密度和平均功率.
S
AC
(
)
S
As
(
)
a
c
os
(
)
a
c
os
(
)
0
2 其它
S
AC
()
S
As
(
)
2a
cos(
)
2
0
其它
7
S
AC
(
)
S
As
(
)
2a
cos(
)
0
2 其它
RAC
Z *( 0 ) X c () jX s ()
5
4.4 数学期望为零的窄带平稳随机过程
X (t) AC (t) cos(0t) AS (t) sin(0t),其功率谱密度为:
a cos[ ( 0 ) ]
SX () a cos[ ( 0 ) ]
0
2 0 2 2 0 2
RX ( ) RA ( ) RB ( ) j[RBA( ) RAB ( )]
RX* ( ) RA ( ) RB ( ) j[RBA( ) RAB ( )]
RX
( )
RX*
( )
RA( )
RB ( )
j[RAB( )
RBA
(
)]
2
4.2 设复随机过程X (t)是广义平稳的,试证明: