《理论力学》第七章 点的复合运动

一、速度合成定理
MM ：绝对轨迹 MM ：绝对位移 M1M ：相对轨迹 M1M ：相对位移
MM M1M MM1
MM1 ？ M1点为t瞬时的牵连点 MM1为t瞬时牵连点的位移
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§7–2 速度合成定理
将上式两边同除以 t ，
t 0 时取极限，得：
MM lim t 0 t M 1M MM 1 lim lim t 0 t 0 t t
相对运动为匀速圆周运动 2 vr vr =常数, ar = R 由速度合成定理: va ve vr R vr 常数
所以绝对运动也为匀速圆周运动
2 va 2 ( R vr 2 ) v aa 2 R r 2vr R R R
50
§7–4 牵连运动为转动的加速度合成定理
2、动系作转动时， ve是该瞬时动系上与动点 相重合点的速度。
20
§7–2 速度合成定理
B
例 1 、仿形机床中半径为
R的半圆形靠模凸轮以等
速度v0沿水平轨道向右运
A R φ v0
动，带动顶杆 AB 沿铅垂
方向 运 动 ， 如 图所 示 ， 试求φ=60º 时，顶杆 AB的 速度。
21
n
§7–2 速度合成定理
vO ve
y
va vO xi yj zk
43
x
§7–3 牵连运动为平动的加速度合成定理
va vO xi yj zk 两边对时间t求导：
z
M
动系作平动，动系单位 向量方向始终不变。
j
z r (t )
r (t )
k
y
rO (t ) x
n
大小：未知 n 方向：沿着OA，指向O。 ar ： 大小：已知
47
§7–3 牵连运动为平动的加速度合成定理
B
3、速度分析
vr
y' v a ae φ A
n a R r
ve v vr sin sin
a
ve r
va ve vr
v0
4、加速度分析
O n
φ
aa
a
x'
aa ae ar a
MM lim va t 0 t M 1M lim vr t 0 t MM 1 lim ve t 0 t
19
§7–2 速度合成定理
va 速度合成定理： vr ve
任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度 的矢量和。 说明：va：动点的绝对速度；vr：动点的相对速度； ve：牵连速度，是 牵连点的速度 1、动系作平动时，动系上各点速度都相等。
ae ar 是否成立？
一圆盘以匀角速度 绕定轴Ｏ 顺时针转动，盘上圆槽内有一点M 以大小不变的速度 vr 沿槽作圆周运 动，那么M点的绝对加速度应是多
少？
49
§7–4 牵连运动为转动的加速度合成定理
选M点为动点，动系固结在圆盘上。 则牵连运动为匀速转动
ve R, ae 2 R
22
§7–2 速度合成定理
23
§7–2 速度合成定理
B
解： 1、选择动点，动系与定系 动点－ AB的端点A 。 动系－Ox'y'，固连于凸轮。 静系－固连于地面
y' A R O φ x' v0
2、运动分析 绝对运动－直线运动
相对运动－圆周运动
牵连运动－直线平动
24
n
§7–2 速度合成定理
B
3、速度分析
37
§7–2 速度合成定理
3、速度分析。 绝对速度va： va＝OA·ω＝rω ， 方向垂直于OA向上 牵连速度ve： ve为所要求的未知量， 方向垂直于O1B 相对速度vr： 大小未知， 方向沿摇杆O1B
应用速度合成定理
va ve vr
38
§7–2 速度合成定理
va ve vr
42
பைடு நூலகம்
§7–3 牵连运动为平动的加速度合成定理
vr xi yj zk
r (t )
i
同理： ar xi yj zk
二、牵连运动为平动的加速度合成定理 z M 由 v v v
z r (t )
k
O
j
y
a
e
r
rO (t ) x
O
动系作平动， 动系上各点速度相同。
A R φ v a
图示瞬时的速度和加速
度分别为v和a，求杆 AB 在图示位置时的加 速度。
45
n
§7–3 牵连运动为平动的加速度合成定理
B
解： 1、选择动点，动系与定系 动点－ AB的端点A 。 动系－Ox'y'，固连于凸轮。 静系－固连于地面
A R φ
v a
2、运动分析 绝对运动－直线运动
相对运动－圆周运动
x'
va ve cot v0 cot 60 0.577v0
φ
26
§7–2 速度合成定理
B
若取凸轮上与顶杆重合
y' A R O n
27
点A1为动点，动系固连
v0
顶杆AB，则相对运动轨
迹是什么曲线？
φ
x'
§7–2 速度合成定理
28
§7–2 速度合成定理
B
若取凸轮圆心O′点 为动点，动系固连 顶杆AB，则相对
3
§7–1 复合运动的概念
4
§7–1 复合运动的概念
一、基本概念
1、二个参考系 静参考系：固结在地面的参考系 动参考系：相对于地面有运动的 参考系 2、三种运动
运动主体是点 相对运动：动点相对于动系的运动
绝对运动：动点相对于静系的运动
牵连运动：动系相对于静系的运动 （运动主体是刚体）
O
i
O
aa aO xi yj zk
又
aO ae

n e
y
aa ae ar

x
一般形式：aa
a ae a ar a
n a

n r
44
§7–3 牵连运动为平动的加速度合成定理
B
凸轮在水平面上向
右作减速运动，如图所
示，设凸轮半径为 R ，
32
§7–2 速度合成定理
33
§7–2 速度合成定理
34
§7–2 速度合成定理
35
§7–2 速度合成定理
36
§7–2 速度合成定理
解： 1、选择动点，动系与定系 动点－ 滑块A 。
y'
动系－固连于摇杆O1B。 静系－固连于地面 2、运动分析 绝对运动－圆周运动
x'
相对运动－直线运动
牵连运动－定轴转动
相对运动方程：r r (t )
r (t ) r(t ) rO (t )
其中：rO (t ) 为
y
x
动系原点在静系下的运动方程
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§7–3 牵连运动为平动的加速度合成定理
z
M
z r (t )
r (t )
k
x
dr d vr ( xi yj z k ) dt dt y O dx di dy dj dz dk i x j y k z dt dt dt dt dt dt
vr aa R 2vr R
2 2
ae R
2
aa ae ar
vr 2 ar = R
当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度 aa 并不等 于牵连加速度 ae和相对加速度 ar的矢量和。
ae ,ar ,aa之间的关系是什么？ 1、
2、为什么会出现2 vr ？
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§7–4 牵连运动为转动的加速度合成定理
ve va sin va r sin
所以 ve
r l2 r2
2
r 2 l r
2
ve O1 A O1 A
2 2 O A l r 其中 1
r 2 l2 r2
39
得: O1 A
r 2 2 2 l r
§7–2 速度合成定理
动点、动系和静系选择的原则： 1、动点、动系和静系必须固结三个不同的
z
e
e
z r (t )
k
设动系 Oxyz 作绕z轴作定轴转动， M 转动的角速度为 e ,角加速度为e 。 r (t ) y v v v
y' A R O n φ v0
运动轨迹是什么曲 线？
x'
29
§7–2 速度合成定理
30
§7–2 速度合成定理
31
§7–2 速度合成定理
例 2 、刨床的急回机构如图 所示，曲柄OA的一端A与滑 块用铰链连接，当曲柄 OA 以匀角速度 ω 绕固定轴 O 转 动时，滑块在摇杆 O1B 上滑 动，并带动摇杆 O1B 绕固定 轴 O1 摆动，设曲柄长 OA=r ， 两间距离OO1= l，求当曲柄 在水平位置时摇杆的角速度 ω1。
1
第七章 点的复合运动
§7–1 复合运动的概念
§7–2 速度合成定理
§7–3 牵连运动为平动时点的加速度合成定理
§7–4 牵连运动为转动时点的加速度合成定理
2
第七章 点的复合运动
复合运动问题：研究物体相对于不同参考系 的运动之间的关系。
复合运动不是一种新的运动形式，只是 一种研究运动学问题的思路和方法。
相对运动是站在动系上观察，看不到动系的运动。
rO (t ) x
i
O
j
设动点M在动系下的 y 坐标为 ( x, y, z)
r xi yj zk
相对速度：
di dj dk dx dy dz 0 vr i j k dt dt dt dt dt dt
物体上，且三者之间有相对运动。 2、动点的相对轨迹简单明了。（已知绝对 运动和牵连运动求解相对运动的问题除外）
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§7–3 牵连运动为平动的加速度合成定理
一、绝对运动和相对运动之间的关系
z
M
z r (t )
r (t )
k
rO (t ) x
O
i
O
j
y
绝对运动方程： r
r (t )
2、汽车在水平路面行驶
动点：车轮轮缘上一点 静系：地面 动系：车身 绝对运动：曲线运动 相对运动：圆周运动 牵连运动： 平动
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§7–1 复合运动的概念
3、车床车外圆
动点：车刀刀头上一点 静系：地面 动系：工件 绝对运动：直线运动 相对运动：曲线运动 牵连运动： 定轴转动
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§7–1 复合运动的概念
16
§7–1 复合运动的概念
六、三种加速度的概念
绝对加速度（aa）：动点相对于静系的加速度
相对加速度（ ar ）：动点相对于动系的加速度
牵连加速度（ ae）：牵连点相对于静系的加速度 牵连速度、牵连加速度相当于此瞬时假想动点固结 在动系上随动系一起运动所具有的速度、加速度。
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§7–2 速度合成定理
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§7–1 复合运动的概念
动点：重物 静系：地面
动系：起重机
绝对运动：直线运动
相对运动：直线运动 牵连运动： 平动
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§7–1 复合运动的概念
二、实例运动分析
1、直升飞机匀速直线下降 动点：螺旋桨上一点 静系：地面 动系：机身 绝对运动：曲线运动 相对运动：圆周运动 牵连运动： 平动
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§7–1 复合运动的概念
绝对速度（va ）：动点相对于静系的速度
相对速度（vr ）：动点相对于动系的速度
牵连速度（ve ）：？
牵连点相对于静系的速度
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§7–1 复合运动的概念
五、牵连点的概念
牵连点：某瞬时在动系上和动点相重合的那一点
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§7–1 复合运动的概念
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§7–1 复合运动的概念
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§7–1 复合运动的概念
分析三种运动时要明确： 1）站在什么地方观察物体的运动 2）观察哪个物体的运动
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§7–1 复合运动的概念
三、三种运动之间的关系
如果没用牵连运动， 那么相对运动就是绝对运动
如果没用相对运动， 动点随动系所做的运动 就是绝对运动
绝对运动=相对运动+牵连运动
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§7–1 复合运动的概念
四、三种速度的概念
n
牵连运动－直线平动
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§7–3 牵连运动为平动的加速度合成定理
分析：
B
加速度合成定理： aa
ae ar n aa ae ar ar 方向：竖直方向 aa：
大小：未知 大小：已知
ae
n a R r
A φ
ar
v a
方向：水平向左 ae： 方向：沿凸轮切线方向 ar ：

aa
v aa a cot R sin 3
2

n r
n aa sin ae cos arn
48
2 2 v v n ar r R R sin 2
§7–4 牵连运动为转动的加速度合成定理
牵连运动为平动时加速度合成定理： aa
牵连运动为定轴平动时 aa
ae ar
绝对速度va： 大小未知，方向沿杆AB向上
vr
y' v a φ A R O φ
ve v 0
x'
牵连速度ve： ve= v0，方向水平向右。 相对速度vr： 大小未知， 方向沿凸轮圆周的切线 。
25
n
§7–2 速度合成定理
B
应用速度合成定理
vr
y' v a φ A
R O n
va ve vr
ve v 0