平方根立方根知识点归纳及常见题型

“平方根”与“立方根”知识点小结

一、知识要点

1、平方根：

⑴、定义：如果x 2=a ，则x 叫做a 的平方根，记作“（a 称为被开方数）。

⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。

⑶、算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a ”。 2、立方根：

⑴、定义：如果x 3=a ，则x 叫做a ”（a 称为被开方数）。

⑵、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。

3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。

二、规律总结：

1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。

2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。

30a ≥0。

4、公式：⑴2=a （a ≥0）（a 取任何数）。

5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0

例1 求下列各数的平方根和算术平方根

（1）64；（2）2)3(-； （3）49151

； ⑷ 21(3)- 例2 求下列各式的值

（1）81±

； （2）16-； （3）259； （4）2)4(-.

（5）

44.1，（6）36-，（7）4925±（8）2)25(-

例3、求下列各数的立方根：

⑴ 343； ⑵

10227-； ⑶ 0.729

二、巧用被开方数的非负性求值.

当a ≥0时，a 的平方根是±

a ，即a 是非负数. 例4、若

,622=----y x x 求y x 的立方根.

练习：已知

,21221+-+-=x x y 求y x 的值.

三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值.

当a ≥0时，a 的平方根是±a ，而.0)()(=-++a a

例5、已知：一个正数的平方根是2a-1与2-a ，求a 的平方的相反数的立方根.

练习：若32+a 和12-a 是数m 的平方根，求m 的值.

四、巧解方程

例6、解方程（1）（x+1）2

=36 （2）27(x+1)3=64

五、巧用算术平方根的最小值求值. 0≥a ,即a=0时其值最小,换句话说a 的最小值是零.

例4、已知：y=

)1(32++-b a ,当a 、b 取不同的值时，y 也有不同的值.当y 最小时,求b a 的非算术平方根.

23(2)0y z -++=，求xyz 的值。

②已知

互为相反数，求a ，b 的值。

六、实数 1、实数：有理数和无理数统称为实数．我们一般用下列两种情况将实数进行分类：

①按属性分类： ②按符号分类

2．关于有理数的运算法则：运算规律和运算性质，在进行实数运算时仍适用．在实数范围内，不仅可以进行加．减．乘．除．乘方运算，而且正数和零总可以进行开平方运算，任何一个数都可以开立方运算．

3．实数和数轴上的点的对应关系：实数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示．反过来，数轴上的每一个点都可以表示一个实数．可以用几何作图方法，在数轴上表示某些无理数，如 、 等．

思考：（1）－a 2一定是负数吗？－a 一定是正数吗？

（2）我们都知道是一个无理数，那么－1在哪两 个整数之间？ (3)15的整数部分为a,小数部分为b,则a=____, b=____

(4)实数包括____________或__________________；

(5)下列各数：335，π，0.28，04 3.14159，0.121121112，3-227．其中无理数有（ ）个

七、实数大小比较的方法

一、平方法 比较2

3和3的大小 二、求差法 比较215-和1的大小

练习：比较下列各组数的大小： ①2-和3-； ②3和23-； ③15和543； ④7-和－2.45。

八、解答题（每题4分，共8分）

2、已知实数a 、b 在数轴上表示的点如上图， 化简b a ++2)1(+-b a b 10a -1