数值传热学第四章-数值计算 ppt
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数值传热学(课件)
02 数值传热学的基本原理
控制方程
控制方程
数值传热学的核心是求解控制方 程，这些方程描述了热量传递过 程中的物理规律。
偏微分方程
控制方程通常以偏微分方程的形 式给出，包含了温度、时间、空 间等变量的变化关系。
初始条件和边界条
件
为了求解控制方程，需要给出初 始条件和边界条件，这些条件限 定了问题的解的范围。
详细描述
传热过程模拟是数值传热学的另一重要应用，通过建立传热过程的数学模型，可以模拟物体内部的温 度分布和热量传递过程。这对于能源、化工、电子等领域中的热工设备设计和优化具有重要意义。
04 数值传热学面临的挑战与 解决方案
计算精度与稳定性问题
总结词
计算精度和稳定性是数值传热学中的核心问题，直接关系到模拟结果的准确性和可靠性。
详细描述
多尺度问题要求数值方法能够捕捉到不同尺度的物理现象，并准确地将它们联系起来。 这需要发展具有多尺度分辨率的数值方法，如多重网格法、谱方法和自适应网格法等。
非线性问题
总结词
非线性问题在传热过程中广泛存在，如 流动、相变和化学反应等，给数值模拟 带来很大难度。
VS
详细描述
非线性问题需要数值方法能够处理高度非 线性的物理方程，并能够准确地捕捉到非 线性现象。这需要发展高效的数值算法， 如有限元法和有限体积法等，同时还需要 考虑非线性问题的特殊性质，如初始条件 和边界条件等。
02
它涉及传热学的基本原理、数学 建模、数值计算和计算机技术等 多个领域，是计算流体动力学和 计算传热学的重要组成部分。
数值传热学的重要性
随着科技的发展，传热问题在能源、 环境、航空航天、化工等领域越来越 突出，数值传热学的应用也越来越广 泛。
第四章 传热化工原理课件(包含所有考点)
r1 r0
t1
热传导热阻
令 dQ 0 dr0
对流传热热阻
t 2 tf
dQ 当r0 时， 0 dr0 故 Q 有极大值 dQ 当r0 时， 0 dr0 只有 r 时 ，增加保温层的厚度 0
才能使热损失减少
则 r0 ------临界半径 rc
15
4.2 热传导
假设：层与层之间接触良好，两个接触表面具有相 同的温度。
特点：通过每一层的 常数或q 常数 Q 推动力 热阻 三层平壁的热传导速率 方程式： Q qS t 2 t3 t3 t 4 t1 t 2 Q b1 λ1S b2 λ2 S b3 λ3 S t1 t 4
空气自 然对流 5~25 气体强 制对流 20~100 水自然 对流 20~1000 水强制对流 水蒸汽冷凝 有机蒸汽 冷凝 1000~15000 5000~15000 500~2000 水沸腾
2500~25000
24
4.3 对流传热概述
5、保温层的临界厚度
t1 t f 总推动力 Q ln r0 r1 1 总热阻 2L 2Lr0
Q
rc
r0
25
4.3 对流传热概述
6、对流传热机理
对流传热的温度分布情况图
26
4.3 对流传热概述
（一） 对流传热分析 1) 对流传热是借流体质点的移动和混合而完成的， 它和流体的流动状况密切相关。
2) 流体层流内层中的传热：流体流动过程中，由于 有层流内层的存在，在层流内层中流体是分层流动 的，相邻层间没有流体的宏观流动，因此在垂直于 流体流动方向上不存在热对流，该方向上的传热仅 为热传导，由于流体的导热系数较低，故该层的热 阻较大，即温度梯度较大。
t1
热传导热阻
令 dQ 0 dr0
对流传热热阻
t 2 tf
dQ 当r0 时， 0 dr0 故 Q 有极大值 dQ 当r0 时， 0 dr0 只有 r 时 ，增加保温层的厚度 0
才能使热损失减少
则 r0 ------临界半径 rc
15
4.2 热传导
假设：层与层之间接触良好，两个接触表面具有相 同的温度。
特点：通过每一层的 常数或q 常数 Q 推动力 热阻 三层平壁的热传导速率 方程式： Q qS t 2 t3 t3 t 4 t1 t 2 Q b1 λ1S b2 λ2 S b3 λ3 S t1 t 4
空气自 然对流 5~25 气体强 制对流 20~100 水自然 对流 20~1000 水强制对流 水蒸汽冷凝 有机蒸汽 冷凝 1000~15000 5000~15000 500~2000 水沸腾
2500~25000
24
4.3 对流传热概述
5、保温层的临界厚度
t1 t f 总推动力 Q ln r0 r1 1 总热阻 2L 2Lr0
Q
rc
r0
25
4.3 对流传热概述
6、对流传热机理
对流传热的温度分布情况图
26
4.3 对流传热概述
（一） 对流传热分析 1) 对流传热是借流体质点的移动和混合而完成的， 它和流体的流动状况密切相关。
2) 流体层流内层中的传热：流体流动过程中，由于 有层流内层的存在，在层流内层中流体是分层流动 的，相邻层间没有流体的宏观流动，因此在垂直于 流体流动方向上不存在热对流，该方向上的传热仅 为热传导，由于流体的导热系数较低，故该层的热 阻较大，即温度梯度较大。
传热学-学习课件-4-1 导热问题数值求解基本思想
二、主要的数值解法
有限差分法（FDM），主要介绍方法 有限元法（FEM） 边界元法（BEM）
传热学 Heat Transfer
三、数值解法的基本步骤
传热学 Heat Transfer
以一个二维稳态导热问题为例，介绍数值求解导热问题的具体 过程，重点是节点离散方程的建立和代数方程组的迭代求解。
（1）物理问题 二维矩形域稳态无内热源，常物性的导热问题 y
传热学 Heat Transfer
4-1 导热问题数值求解的基本思想
一、数值解法的本质
数值解法是用物理问题所 涉及的空间和时间区域内有 限个离散点（称为节点）的 物理量近似值来代替物体内 实际连续的物理量分布，将 连续物理量分布函数的求解 问题转化为各节点物理量值 的求解问题。
传热学 Heat Transfer
传热学 Heat Transfer
传热学 Heat Transfer
主讲老师：王舫 适用专业：能源与动力工程专业
传热学 Heat Transfer
第四章 热传导问题的数值解法
§4-0 引言
1 求解导热问题的三种基本方法： (1) 理论分析 (2)实验 (3)数值计算
2 三种方法的特点 3 三种方法的基本求解过程
传热学heattransfer?本章教学内容41导热问题数值求解基本思想42内节点离散方程的建立43边界节点离散方程的建立及代数方程的求解44非稳态导热问题的数值解法传热学heattransfer41导热问题数值求解的基本思想一数值解法的本质数值解法是用物理问题所涉及的空间和时间区域内有限个离散点称为节点的物理量近似值来代替物体内实际连续的物理量分布将连续物理量分布函数的求解问题转化为各节点物理量值的求解问题
传热学 Heat Transfer
有限差分法（FDM），主要介绍方法 有限元法（FEM） 边界元法（BEM）
传热学 Heat Transfer
三、数值解法的基本步骤
传热学 Heat Transfer
以一个二维稳态导热问题为例，介绍数值求解导热问题的具体 过程，重点是节点离散方程的建立和代数方程组的迭代求解。
（1）物理问题 二维矩形域稳态无内热源，常物性的导热问题 y
传热学 Heat Transfer
4-1 导热问题数值求解的基本思想
一、数值解法的本质
数值解法是用物理问题所 涉及的空间和时间区域内有 限个离散点（称为节点）的 物理量近似值来代替物体内 实际连续的物理量分布，将 连续物理量分布函数的求解 问题转化为各节点物理量值 的求解问题。
传热学 Heat Transfer
传热学 Heat Transfer
传热学 Heat Transfer
主讲老师：王舫 适用专业：能源与动力工程专业
传热学 Heat Transfer
第四章 热传导问题的数值解法
§4-0 引言
1 求解导热问题的三种基本方法： (1) 理论分析 (2)实验 (3)数值计算
2 三种方法的特点 3 三种方法的基本求解过程
传热学heattransfer?本章教学内容41导热问题数值求解基本思想42内节点离散方程的建立43边界节点离散方程的建立及代数方程的求解44非稳态导热问题的数值解法传热学heattransfer41导热问题数值求解的基本思想一数值解法的本质数值解法是用物理问题所涉及的空间和时间区域内有限个离散点称为节点的物理量近似值来代替物体内实际连续的物理量分布将连续物理量分布函数的求解问题转化为各节点物理量值的求解问题
传热学 Heat Transfer
四章传热ppt课件
才1/2成0/20为20 最主要的传热方式。
9
三、工业换热器
1、混合式换热器
冷水
特点：是依靠热流体和冷流体直
接接触和混合过程实现的。
优点：传热速度快、效率高，设 备简单，是工业换热器的首选类 型。
典型设备：如凉水塔、喷洒式冷 却塔、混合式冷凝器
废蒸气
适用范围：无价值的蒸气冷凝，
热水
或其冷凝液不要求是纯粹的物料
第四章 传热 ( Heat transfer )
本章学习要求：
1、掌握内容 传热基本方式、工业换热方式及适用范围；传热基本方程式及 其相关参数的计算方法；热量衡算及其应用；传热系数计算及 测定方法，设计计算与校核计算；强化传热的方法与途径。 2、理解内容 热负荷与传热速率间的关系，传热机理、传热膜概念，列管换 热器的选型方法。 3、了解内容 工业换热器的类型、结构、操作原理。
1、单层圆筒壁导热
• 化工生产中的导热问题大多是圆筒壁中的导 热问题。它与平壁导热的不同之处在于：
• 温度随半径而变；此时傅立叶定律应改写为
Q A dt
dr
• 圆筒壁的导热面积随半径而变，A＝2πrL。
1/20/2020
31
• 如图所示，由傅立叶定 律有：
Q (2 rL) dt
dr
1/20/2020
32
• 将上式分离变量，并根据边界条件积分。即：
• 积分得：
Q r2 dr 2L t2 dt
r r1
t1
Q 2 L(t1 t2 ) t1 t2 t
ln r2
ln(r2 r1) R
• •
式中
R ln(r2 r1)
2 L
r1
传热学课件-清华大学 (4)
ti, j
ΦNP
=
λ
⋅ ∆x ⋅1⋅
ti, j+1 − ti, j ∆y
y o
∆x
x
S ∆x
ΦWP + ΦEP
ΦSP
=
λ
⋅ ∆x ⋅1⋅
ti,
j−1 − ∆y
ti, j
+ΦNP +ΦSP = 0
热平衡法的优点
（1）物理意义明确 （2）适于热导率是温度的函数或内热源非均匀分布 （3）适用于均匀与非均匀网格
2、热平衡法（Energy balance method）
N (i,j+1)
热平衡法的优点 （1）物理意义明确；
∆y
（2）当热导率是温度
(i-1,j) W ∆y
(i, j) P
(i+1,j) E
的函数或内热源 不是均匀分布时， 较简单；
(i,j-1)
（3）适用于均匀与非
y
S
∆x
∆x
均匀网格； （4）适用于内节点和
判断迭代是否收敛的准则：
max ti(k +1) − ti(k ) ≤ ε
∆y (i-1,j) (i, j)
W ∆y
P (i,j-1)
y
S
∆x
∆x
o
x
(i+1,j) E
ΦEP
=
λ
⋅ ∆y ⋅1⋅
ti+1, j − ti, j ∆x
ΦNP
=
λ
⋅ ∆x ⋅1⋅
ti, j+1 − ti, j ∆y
ΦSP
=
λ
⋅
∆x
⋅1
⋅
ti,
j
数值传热学第四章课件陶文铨
主讲陶文铨西安交通大学能源与动力工程学院热流中心CFD-NHT-EHT CENTER 2010年9月27日, 西安数值传热学第四章扩散方程的数值解及其应用(1)4.1 一维导热问题4.1.1一维稳态导热的通用控制方程4.1.3界面导热系数的确定方法4.1.4 一维非稳态导热控制方程的离散化4.1.2通用控制方程控制容积积分法的离散4.1.5 数学上的稳定未必导致物理上有意义的解一维稳态导热问题不同坐标系通用控制方程0 P P()0P x x Δ=i调和平均已经广泛为国内外学术界所接受。
≤1数学上的稳定未必导致物理上有意义的解无内热源一维非稳态导热，初场均匀，两表面0]T +代入下式：P（全隐格式）才能满足。
结论：数学上的稳定未必导致物理上有意义的解；推=xΔa TP P极坐标均可以表示成为：2.解决通用化的一种方案为写出适合于三种坐标系中系数的通用表达式，特引进两个辅助变量：（1）x –方向标尺因子，scaling factor ，x-方向的距离表示成为sx x δi 。
对直角、圆柱坐标规定1;sx ≡（2）y-方向引入一个名义半径，R 。
对直角坐标R ＝1，据此，东西导热距离为：sx xδi 东西导热面积为：R /y sxΔ对极坐标取;sx r =对圆柱与极坐标R ＝r三种二维正交坐标系中离散方程的统一表达式按这种方式编制程序时，只要设置一个变量MODE，4.3 源项与边界条件的处理4.3.1非常数源项的线性化处理1. 线性化方法4.3.2第二、三类边界条件使方程组封闭的处理2. 线性化方法讨论3. 线性化方法应用实例1. 补充以边界节点代数方程的方法2. 附加源项法S= P2. 线性化方法讨论（1）对与被求解变量有关的非常数源项，线性化比假定为常数更合理：用*()PS f T =来表示P 的源项比落后一个迭代步；P C P T S S S =+（2）任何复杂的函数总可以用线性函数来近似逼近；线性又是建立线性代数方程所必须的；（3）是为保证代数方程迭代求解收敛所必须；0P S ≤P P nb nb a a b φφ=+∑P nb a a ≥∑P nb P a a S V =−Δ∑代数方程迭代求解收敛的充分条件是，因为可以确保代数方程迭代求解收敛。
《第四章传热》PPT课件
gradt dt dx
2. 傅立叶定律 傅立叶定律是热传导的基本定律，它表示热传导的速率与温度 梯度和垂直于热流方向的导热面积成正比。
Q S t 或：q t
n
n
热传导中，Q S，Q t n
Q——传热速率，W；
λ——导热系数，W/（m·K） 或W/（m·℃）；
S——导热面积，垂直于热流方向的截面积，m2；
946℃。试求：
(1)单位面积的热损失；(2)保温砖与建筑砖之间界面的温度；
(3)建筑砖外侧温度。
解 t3为保温砖与建筑砖的界面温度，t4为建筑砖的外侧温度。
（1）热损失q
q=
Q A
1
b1
t1
t2
1.06 0.15
(1000-946)
=381.6W/m2
(2) 保温砖与建筑砖的界面温度t3 由于是稳态热传导，所以 q1=q2=q3=q
典型换热设备： 间壁式换热器（冷、热流体间的换热设备） 例：列管式换热器 3、本章研究的主要问题 1）三种传热机理（传热速率计算） 2）换热器计算 3）换热设备简介
4.1.1传热的基本方式
根据传热机理不同，传热的基本方式有三种： 热传导、热对流和热辐射。
1．热传导 热传导（导热）：物体各部分之间不发生相对位移，依靠原子、 分子、自由电子等微观粒子的热流运动而引 起的热量传递。
t t'∞
t∞
u
tw-t=
t' t
tw
图4-13 流体流过平壁被加热时的温度边界
2、热边界层的厚度
tw t 0.99(tw t )
3、热边界层内（近壁处） 认为：集中全部的温差和热阻
dt 0 dy
热边界层外（流体主体）
2. 傅立叶定律 傅立叶定律是热传导的基本定律，它表示热传导的速率与温度 梯度和垂直于热流方向的导热面积成正比。
Q S t 或：q t
n
n
热传导中，Q S，Q t n
Q——传热速率，W；
λ——导热系数，W/（m·K） 或W/（m·℃）；
S——导热面积，垂直于热流方向的截面积，m2；
946℃。试求：
(1)单位面积的热损失；(2)保温砖与建筑砖之间界面的温度；
(3)建筑砖外侧温度。
解 t3为保温砖与建筑砖的界面温度，t4为建筑砖的外侧温度。
（1）热损失q
q=
Q A
1
b1
t1
t2
1.06 0.15
(1000-946)
=381.6W/m2
(2) 保温砖与建筑砖的界面温度t3 由于是稳态热传导，所以 q1=q2=q3=q
典型换热设备： 间壁式换热器（冷、热流体间的换热设备） 例：列管式换热器 3、本章研究的主要问题 1）三种传热机理（传热速率计算） 2）换热器计算 3）换热设备简介
4.1.1传热的基本方式
根据传热机理不同，传热的基本方式有三种： 热传导、热对流和热辐射。
1．热传导 热传导（导热）：物体各部分之间不发生相对位移，依靠原子、 分子、自由电子等微观粒子的热流运动而引 起的热量传递。
t t'∞
t∞
u
tw-t=
t' t
tw
图4-13 流体流过平壁被加热时的温度边界
2、热边界层的厚度
tw t 0.99(tw t )
3、热边界层内（近壁处） 认为：集中全部的温差和热阻
dt 0 dy
热边界层外（流体主体）
数值传热学ppt
Βιβλιοθήκη 。数值传热学的研究作用与地位
由于实验方法或分析方法在处理复杂的流动与换热问题 时，受到较大的限制，例如问题的复杂性，即无法做分析解， 也因为费用的昂贵而无力进行实验测定，而数值计算的方法 正具有成本较低和能模拟复杂或较理想的过程等优点，数值 传热学得到了飞速的发展。近20年来，计算机硬件工业的发 展更为数值传热学提供了坚实的物质基础，是数值模拟对流 动与传热过程的研究发挥了重要的作用。
·Fluent求解问题步骤
Fluent软件采用基于完全非结
构化网格的有限体积法，而且 具有基于网格节点和网格单元 的梯度算法 Fluent软件包含丰富而先进的物 理模型，使得用户能够精确地模 拟无粘流、层流、湍流
Fluent软件功能强，适用面广，包括各种优化物理模型，有
适合它的数值解法，用户可对显式或隐式差分格式进行选择， 可以在计算速度、稳定性和精度等方面达到最佳。
过去不等于未来
1. 2. 3. 4.
有限差分法 有限容积法 有限元法 有限分析法
有限容积法
A 基本思路是：
将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，并使每个网格 点周围有一个控制体积；将待解的微分方程对每一个控制体 积积分，便得出一组离散方程。 B 区别： 有限单元法必须假定值在网格点之间的变化规律（既插值函 数），并将其作为近似解；有限差分法只考虑网格点上的数 值而不考虑值在网格点之间如何变化；有限容积法只寻求结 点值。 C 五个部分： 网格生成 、对流项的离散化、边界条件的离散化 、压力速度 耦合 、离散方程的求解
Fluent几何形状
Fluent流体
谢 谢
应用领域
· 直接空冷凝汽器考核工况的全厂数值模拟 · 连续退火炉冷却气体流场和传热特性的数值模拟 · 层流状态下纳米流体的对流传热特性 · 循环流化床锅炉炉内传热的影响 · 车用暖风散热器数值模型 · Fluent软件特点及在室内温度计算中的应用
由于实验方法或分析方法在处理复杂的流动与换热问题 时，受到较大的限制，例如问题的复杂性，即无法做分析解， 也因为费用的昂贵而无力进行实验测定，而数值计算的方法 正具有成本较低和能模拟复杂或较理想的过程等优点，数值 传热学得到了飞速的发展。近20年来，计算机硬件工业的发 展更为数值传热学提供了坚实的物质基础，是数值模拟对流 动与传热过程的研究发挥了重要的作用。
·Fluent求解问题步骤
Fluent软件采用基于完全非结
构化网格的有限体积法，而且 具有基于网格节点和网格单元 的梯度算法 Fluent软件包含丰富而先进的物 理模型，使得用户能够精确地模 拟无粘流、层流、湍流
Fluent软件功能强，适用面广，包括各种优化物理模型，有
适合它的数值解法，用户可对显式或隐式差分格式进行选择， 可以在计算速度、稳定性和精度等方面达到最佳。
过去不等于未来
1. 2. 3. 4.
有限差分法 有限容积法 有限元法 有限分析法
有限容积法
A 基本思路是：
将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，并使每个网格 点周围有一个控制体积；将待解的微分方程对每一个控制体 积积分，便得出一组离散方程。 B 区别： 有限单元法必须假定值在网格点之间的变化规律（既插值函 数），并将其作为近似解；有限差分法只考虑网格点上的数 值而不考虑值在网格点之间如何变化；有限容积法只寻求结 点值。 C 五个部分： 网格生成 、对流项的离散化、边界条件的离散化 、压力速度 耦合 、离散方程的求解
Fluent几何形状
Fluent流体
谢 谢
应用领域
· 直接空冷凝汽器考核工况的全厂数值模拟 · 连续退火炉冷却气体流场和传热特性的数值模拟 · 层流状态下纳米流体的对流传热特性 · 循环流化床锅炉炉内传热的影响 · 车用暖风散热器数值模型 · Fluent软件特点及在室内温度计算中的应用
传热与流体流动的数值计算课件
中可能遇到的导热系数的突然
w
e
x
变化。
P
E
一种替代方法：
得到一个通过下式描述的界面 热流密度qe的良好表达式：
(?x)e- (?x)e+
qe
?
ke (TP ? TE ?? (? x?e
(TP ? TE ? (? x?e / ke
(4.7)
5
? 讨论这样一种情况：围绕着网格点P的控制容积由具有均
匀导热系数kP的材料填满，围绕着E点的控制容积由导热系
在点Tp* ，所 选择的直线与
S~T曲线相切。
S
?
S*
?
( dS dT
)* (T p
?
TP* )
?
4?
5TP*3
?
15TP*2 (TP
?
TP* )
SC ? 4 ? 10TP*3
SP ? ? 15TP*2
9
4. SC =4+20Tp*3，Sp= -25Tp*2。这一线性化比已知的S~T曲线 陡，使收敛速度降低。
1. 一开始在所有各个网格点上，猜测或估计一个T值。 2. 由这些估计的T值，计算出离散化方程中的系数的试探值。 3. 解名义上的线性化方程组，得到一组新的T值。 4. 以这些T值作为较好的估计值，返回到第二步并重复整个过程，
直到这种进一步的重复计算（迭代）不再引起T值任何有意义的 变化为止。
? 这种最终不变的状态叫做迭代的收敛。与之相反，迭代 永远也不会收敛到一个解的状态称为发散。
ke kE
kP
kPkE(4.9) Nhomakorabea? 当界面l位于P和E之间的中点时，有fe=0.5，有：
ke
?
2kPkE kP ? kE
第4章传热-PPT精品
列管式换热器
2、间壁式换热和间壁式换热器
主要特点：冷热两种流体被一固体间壁所隔开， 在换热过程中，两种流体互不接触，热量由热流 体通过间壁传给冷流体。
设备：列管式换热器、套管式换热器。 适用范围：不许直接混合的两种流体间的热交换。
2、间壁式换热和间壁式换热器
冷、热流体通过间壁两侧的传热过程包括以下三个步骤： （1）热流体以对流方式将热量传递给管壁； （2）热量以热传导方式由管壁的一侧传递至另一侧； （3）传递至另一侧的热量又以对流方式传递给冷流体。
物质的导热系数主要与物质的种类和温度有关。
纯金属>合金>非金属建筑材料>液体>绝缘材料>气体
1、 固体的导热系数
金属：金属是最好的导热体。
纯金属：熔融状态时λ变小。
合金：随纯度↑—λ↑。
随T↑—λ↓ 。
非金属建筑材料和绝热材料 λ与温度、组成和结构的紧密程度有关。 随T↑—λ↑ ， 随密度↑—λ↑ ，存在最佳密度，使λ最小。
q Q A
六、传热速率方程式
传热过程的推动力：两流体的温度差，通常用平均温度差 Δtm进行计算，单位为K或℃。
经验指出，在稳态传热过程中，传热速率Q与传热面积A 和两流体的温度差Δtm成正比。即传热速率方程式为：
QKAtm
tm 1
推动力 热阻
KA
其中，比例系数K为总传热系数（overall heat transfer coefficient），单位为W/(m2.K)
2、多层平壁的热传导
在稳定传热时，通过串联平壁的导热速率
都是相等的。
Q(t1t2)(t2t3)(t3t4)
b1
b2
b3
1A
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- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
③ 导热问题数值解过程中所采用的一些方法与技巧对 于对流问题的数值解也适用。如边界条件的处理、 源项的线性化及代数方程组的求解方法等。
*
太原理工大学
3 /72
Thermal
④. 把热传导用作流体流动计算方案的基本组成部分 的做法有助于理解动量传递与热量传递之间的类 似性（用某种方法把速度与温度相比拟）。
*
太原理工大学
9 /72
k 值不均匀性产生的原因
Thermal
由材料的不均匀性引起（如组合材料板）；
材料均匀，T分布的不均匀性也会导致k 的不均匀。
2. 求解方法
(x)e
①.算术平均法
如图所示，P、E之间，k与x 呈线性 关系，则由P、E两点上的kP 、kE 确
e x
P (x)e- (x)e+ E
第四章 热传导
主要包含以下内容： • §4.1本章的对象 • §4.2 一维稳态热传导 • §4.3 不稳态一维热传导 • §4.4 二维与三维问题 • §4.5超松弛与欠松弛 • §4.6某些几何上的考虑
*
太原理工大学
Thermal
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§4.1 本章的对象
Thermal
一、本章研究对象
本章以导热问题为代表，介绍扩散方程的数值求解 法。将通用微分方程中的对流项略去，整个方法的 介绍将在第五章完成。
达到给定精度所需要的网格点数,以及这些网格点在计算域内应 采取的分布方式与所求问题的特性有关。
4. 采用仅几个网格点进行试探性计算，为弄清有关解 的情况提供了一个方便的途径。 也可来指导实验。
*
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§4.2-3 界面导热系数
1. 问题的提出
Thermal
通用离散方程式
aP T PaE T Ea W T W b
*
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§4.2-2 网格间距
Thermal
1. 采用不均匀的网格间距
xexw
可以有效地扩大计算功能。
(x)w
WwP
x
(x)e
e
E x
在温度T 随x 变化剧烈的区域上采用细网格，而在变化缓慢的区 域采用较疏（粗）的网格。
2. 怎样设计一个合适的非均匀网格
因为在问题求解之前，T～ x 的分布是不知道的，那么如何设
计网格呢？？
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①.对所要得到的解进行某些定性的预计，使设计得到某些指导；
②.采用粗网格进行试算,求得T～x的变化形式，再对温度变化急
剧的区域加密，最后构成一个合适的非均匀网格。
3. 先疏后密的网格划分是有前提的
采用粗网格得到的数值结果必须符合物理上的真实性，要做到 这一点，就应该确保离散方程同时满足四个基本法则。
定ke 的关系式为：
k k P e k k E E x x e e k e f e k P k E k E f e k P 1 f e k E
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Thermal
k k P e k k E E x x e e k e f e k P k E k E f e k P 1 f e k E
q e T x E e T k e E T x e e T k P P x e T k P E T P x e k E
另一方面，按界面上当量导热系数的含
义，应有： 比较两式可得：
qe
TE TP
xe ke
(x)e
e
P (x)e- (x)e+ E x
xe xexe 可看成是串联过程热阻叠加原则的反映
式中：
aE
ke
x e
aW
kw
x w
aE、aW分别是节点E 与 P 和节点W 与P 间的热导，热导的大小 反映了周围节点对节点P的影响程度。系数aE、aW中分别含有交 界面导热系数ke与kw。当k 是x 的函数时，只知道kP 、kE、 kW， 无法知道ke与kw的值，而ke 与 kw是决定交界面热流量的关键量。 因此，计算 ke 与 kw的方法是否合理就显得非常重要了。
ke
kP
kE
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③.两种方法的比较
Thermal
算术平均法简单方便，但在处理导热性能相差很大的组合材料 导热时存在明显缺陷。下面讨论两种极限情况：
➢ kE0, 即设想交界面e 是k 相差很大的两种材料的分界面， 节点E的控制容积是绝热材料，这时节点E、P之间的导热量应
该小到接近于零，即两点间的热阻应接近于∞。但用算术平均
aPaEaWSP x bSCx
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分布假设： d T 由T 对 x 的分段线性的变化算得；
dx
源项的线性化TP代表整个控制容积内的值，即采用阶梯 性分布进行计算的。
当然，不违背四项基本法则，选择其它形式的分布曲线也 是可以的，但尽可能采用简单一些的分布曲线。
以下各节将对离散方程中的各项给予说明
d iv u r d iv ( g ra d ) S
t
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二、以导热问题的数值解作为学习起点的原因
① 热传导作为物理过程易于理解，而且在数学上的复 杂性最小，计算方法也比较成熟；
② 工程流动与换热过程中的不少现象，其控制方程类 似于热传导方程。如二维位势流动；常物性流体在 直管内的充分发展对流换热；质扩散过程；轴承的 润滑流动；某些通过多孔介质的流动。
k e kP x x e e kE x x e e fekP 1 fek E
显然，这相当于线性插值。当界面e位于两个节点之 间的中点时，fe=0.5, 此时
ke 12kP kE
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②.调和平均法
Thermal
利用传热学基本公式可以导出界面上当量导热系数的调和平 均公式。据界面上热流密度连续的原则，写出下式：
本章内容将是流动与换热数值解的基础
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§4.2 ห้องสมุดไป่ตู้维稳态热传导
Thermal
§4.2-1 基本方程
一维稳态导热问题的控制方程： 其 中 SSC： SP TP
d dx
k
dT dx
S
0
相应的离散化方程： aP T PaE T Ea W T W b
式中：
aE
ke
x e
aW
kw
x w
法计算, k e k P xexe, 这时ke 与kE无关，仅与kP 有关，
不符合物理规律。
(x)e
ke kPxxeekExxee
e
P (x)e- (x)e+ E x
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④. 把热传导用作流体流动计算方案的基本组成部分 的做法有助于理解动量传递与热量传递之间的类 似性（用某种方法把速度与温度相比拟）。
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k 值不均匀性产生的原因
Thermal
由材料的不均匀性引起（如组合材料板）；
材料均匀，T分布的不均匀性也会导致k 的不均匀。
2. 求解方法
(x)e
①.算术平均法
如图所示，P、E之间，k与x 呈线性 关系，则由P、E两点上的kP 、kE 确
e x
P (x)e- (x)e+ E
第四章 热传导
主要包含以下内容： • §4.1本章的对象 • §4.2 一维稳态热传导 • §4.3 不稳态一维热传导 • §4.4 二维与三维问题 • §4.5超松弛与欠松弛 • §4.6某些几何上的考虑
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§4.1 本章的对象
Thermal
一、本章研究对象
本章以导热问题为代表，介绍扩散方程的数值求解 法。将通用微分方程中的对流项略去，整个方法的 介绍将在第五章完成。
达到给定精度所需要的网格点数,以及这些网格点在计算域内应 采取的分布方式与所求问题的特性有关。
4. 采用仅几个网格点进行试探性计算，为弄清有关解 的情况提供了一个方便的途径。 也可来指导实验。
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1. 问题的提出
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通用离散方程式
aP T PaE T Ea W T W b
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§4.2-2 网格间距
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1. 采用不均匀的网格间距
xexw
可以有效地扩大计算功能。
(x)w
WwP
x
(x)e
e
E x
在温度T 随x 变化剧烈的区域上采用细网格，而在变化缓慢的区 域采用较疏（粗）的网格。
2. 怎样设计一个合适的非均匀网格
因为在问题求解之前，T～ x 的分布是不知道的，那么如何设
计网格呢？？
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①.对所要得到的解进行某些定性的预计，使设计得到某些指导；
②.采用粗网格进行试算,求得T～x的变化形式，再对温度变化急
剧的区域加密，最后构成一个合适的非均匀网格。
3. 先疏后密的网格划分是有前提的
采用粗网格得到的数值结果必须符合物理上的真实性，要做到 这一点，就应该确保离散方程同时满足四个基本法则。
定ke 的关系式为：
k k P e k k E E x x e e k e f e k P k E k E f e k P 1 f e k E
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k k P e k k E E x x e e k e f e k P k E k E f e k P 1 f e k E
q e T x E e T k e E T x e e T k P P x e T k P E T P x e k E
另一方面，按界面上当量导热系数的含
义，应有： 比较两式可得：
qe
TE TP
xe ke
(x)e
e
P (x)e- (x)e+ E x
xe xexe 可看成是串联过程热阻叠加原则的反映
式中：
aE
ke
x e
aW
kw
x w
aE、aW分别是节点E 与 P 和节点W 与P 间的热导，热导的大小 反映了周围节点对节点P的影响程度。系数aE、aW中分别含有交 界面导热系数ke与kw。当k 是x 的函数时，只知道kP 、kE、 kW， 无法知道ke与kw的值，而ke 与 kw是决定交界面热流量的关键量。 因此，计算 ke 与 kw的方法是否合理就显得非常重要了。
ke
kP
kE
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③.两种方法的比较
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算术平均法简单方便，但在处理导热性能相差很大的组合材料 导热时存在明显缺陷。下面讨论两种极限情况：
➢ kE0, 即设想交界面e 是k 相差很大的两种材料的分界面， 节点E的控制容积是绝热材料，这时节点E、P之间的导热量应
该小到接近于零，即两点间的热阻应接近于∞。但用算术平均
aPaEaWSP x bSCx
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分布假设： d T 由T 对 x 的分段线性的变化算得；
dx
源项的线性化TP代表整个控制容积内的值，即采用阶梯 性分布进行计算的。
当然，不违背四项基本法则，选择其它形式的分布曲线也 是可以的，但尽可能采用简单一些的分布曲线。
以下各节将对离散方程中的各项给予说明
d iv u r d iv ( g ra d ) S
t
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二、以导热问题的数值解作为学习起点的原因
① 热传导作为物理过程易于理解，而且在数学上的复 杂性最小，计算方法也比较成熟；
② 工程流动与换热过程中的不少现象，其控制方程类 似于热传导方程。如二维位势流动；常物性流体在 直管内的充分发展对流换热；质扩散过程；轴承的 润滑流动；某些通过多孔介质的流动。
k e kP x x e e kE x x e e fekP 1 fek E
显然，这相当于线性插值。当界面e位于两个节点之 间的中点时，fe=0.5, 此时
ke 12kP kE
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②.调和平均法
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利用传热学基本公式可以导出界面上当量导热系数的调和平 均公式。据界面上热流密度连续的原则，写出下式：
本章内容将是流动与换热数值解的基础
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§4.2-1 基本方程
一维稳态导热问题的控制方程： 其 中 SSC： SP TP
d dx
k
dT dx
S
0
相应的离散化方程： aP T PaE T Ea W T W b
式中：
aE
ke
x e
aW
kw
x w
法计算, k e k P xexe, 这时ke 与kE无关，仅与kP 有关，
不符合物理规律。
(x)e
ke kPxxeekExxee
e
P (x)e- (x)e+ E x
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