数值分析实验指导书(2015)

数值分析 课程实验指导书

实验一 函数插值方法

一、问题提出

对于给定的一元函数)(x f y =的n+1个节点值(),0,1,,j j y f x j n ==。试用

Lagrange 公式求其插值多项式或分段二次Lagrange 插值多项式。 数据如下： （1）

求五次Lagrange 多项式5L ()x ，和分段三次插值多项式，计算(0.596)f ,(0.99)f 的值。（提示：结果为(0.596)0.625732f ≈, (0.99) 1.05423f ≈ ）

（

试构造Lagrange 多项式6，计算的,值。（提示：结果为

(1.8)0.164762f ≈, (6.15)0.001266f ≈ ）

二、要求

1、 利用Lagrange 插值公式

00,()n n

i n k k i i k k i x x L x y x x ==≠⎛⎫

-= ⎪-⎝⎭

∑∏编写出插值多项式程序；

2、 给出插值多项式或分段三次插值多项式的表达式；

3、 根据节点选取原则，对问题（2）用三点插值或二点插值，其结果如何；

4、 对此插值问题用Newton 插值多项式其结果如何。Newton 插值多项式如下：

1

1

0,()()[,

,]()k n

n

j k k j j k

N x f x f x x x x -==≠=+•

-∑∏ 其中：

0,0()

()[,,]k

i k

i i j j j i

k f x x x f x x ==≠-=∑

∏

三、目的和意义

1、 学会常用的插值方法，求函数的近似表达式，以解决其它实际问题；

2、 明确插值多项式和分段插值多项式各自的优缺点；

3、 熟悉插值方法的程序编制；

4、 如果绘出插值函数的曲线，观察其光滑性。

四、实验学时：2学时

五、实验步骤：

1．进入C 或matlab 开发环境； 2．根据实验内容和要求编写程序； 3．调试程序； 4．运行程序；

5．撰写报告,讨论分析实验结果.

实验二 函数逼近与曲线拟合

一、问题提出

从随机的数据中找出其规律性，给出其近似表达式的问题，在生产实践和科学实验中大量存在，通常利用数据的最小二乘法求得拟合曲线。

在某冶炼过程中，根据统计数据的含碳量与时间关系，试求含碳量与时间t 的拟合曲线。

二、要求

1、用最小二乘法进行曲线拟合；

2、近似解析表达式为23

123()t a t a t a t ϕ=++；

3、打印出拟合函数()t ϕ，并打印出()j t ϕ与()j y t 的误差，1,2,,12j =；

4、另外选取一个近似表达式，尝试拟合效果的比较；

5、* 绘制出曲线拟合图。

三、目的和意义

1、掌握曲线拟合的最小二乘法；

2、最小二乘法亦可用于解超定线代数方程组；

3、探索拟合函数的选择与拟合精度间的关系。

四、实验学时：2学时

五、实验步骤：

1．进入C 或matlab 开发环境； 2．根据实验内容和要求编写程序； 3．调试程序； 4．运行程序；

5．撰写报告,讨论分析实验结果．

实验三 数值积分与数值微分

一、基本题

选用复合梯形公式，复合Simpson 公式，Romberg 算法，计算

（1）1

sin I=((0)1,0.9460831)x

dx f I x =≈⎰

（2） 1

2

I=4x

e dx x +⎰ （3） 1

2

ln(1)

I=1x dx x ++⎰

二、应用题

1.文学家要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道，他在轨道平面内建立以太阳为原点的直角坐标系，在两坐标轴上取天文测量单位（一天文单位为地球到太阳的平均距离：9300万里）在五个不同的时间对小行星作了五次观察，测得轨道上五个点的坐标数据如下表所示：

P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 x 坐标 5.764 6.286 6.759 7.168 7.408 y 坐标

0.648

1.202

1.823

2.526

7.408

由开普勒第一定律知，小行星轨道为一椭圆，椭圆的一般方程可表示为：

现需要建立椭圆的方程以供研究。

（1）分别将五个点的数据代入椭圆一般方程中，写出五个待定系数满足的等式，整理后写出

线性方程组AX = b 。

（2）用MATLAB 求低价方程组的指令A \ b 求出待定系数 。

（3）卫星轨道是一个椭圆，其周长的计算公式是:

ϑϑd a c a s 22

sin 14⎪⎭

⎫

⎝⎛-=

式中，a 是椭圆的半长轴，

是地球中心与轨道中心（椭圆中心）的距离，

。其中h 为近地点距离，H 为远地点距离，R = 6371(km)为地球半径。

有一颗人造卫星近地点距离h = 439 (km)，远地点距离H = 2384(km)。试分别按下列方案计算卫星轨道的周长，误差限取为

。

三、要求

1、 编制数值积分算法的程序；

2、 对基本题，分别取不同步长()/h b a n =-，试比较计算结果（如n = 10, 20等）， 并比较其结果；

4、 对应用题，用给定精度ε，试用(1)用逐次分半梯形法。(2)用逐次分半辛普生法，并确定最佳步长。

四、目的和意义

1、 深刻认识数值积分法的意义；

2、 明确数值积分精度与步长的关系；

3、 根据定积分的计算方法，结合专业考虑给出一个二重积分的计算问题。

五、实验学时：2学时 六、实验步骤：

1．进入C 或matlab 开发环境； 2．根据实验内容和要求编写程序； 3．调试程序； 4．运行程序；

5．撰写报告,讨论分析实验结果．

实验四 线方程组的直接解法

一、问题提出

给出下列几个不同类型的线性方程组，请用适当算法计算其解。 1、 设线性方程组