3.4用因式分解法解一元二次方程
(教材配套课件)用因式分解法求解一元二次方程
因式分解法
一边易于分解成两个 一次因式的乘积的形 式,一边为0
公式法
所有有解的一元二次 方程都适用
·数学
1.已知一元二次方程的两根分别为x1=3,x2=-4,则这个方程可能为( (A)(x-3)(x+4)=0 (B)(x+3)(x-4)=0
(C)(x+3)(x+4)=0 (D)(x-3)(x-4)=0
解:(1)原方程变形为(x-2)2-3(2-x)=0,(x-2)2+3(x-2)=0, (x-2)(x-2+3)=0, x-2=0,或x+1=0, 所以x1=2,x2=-1.
(2)原方程变形为 4(2x+1)2-(x-2)2=0, [2(2x+1)+(x-2)][2(2x+1)-(x-2)]=0,5x(3x+4)=0, 5x=0,或 3x+4=0,所以 x1=0,x2=- 4 .
所以 x1=-2,x2= 4 . 3
·数学
探究点二:一元二次方程解法的选择 【例2】 解下列方程: (1)6(x2+2x)=5(x2-2x); (2)(x-2)(x-4)=2; (3)3y2+6y=2y+4. 【导学探究】 1.解一元二次方程的方法主要有配方法、 公式 法和 因式分解 法. 2.观察各方程特点,其中(1)可用 因式分解 法求解,(2)可用 配方 法求 解,(3)可用 公式 法求解.
3
·数学
点击进 训练案
2.方程(x-3)2=x-3的根为( C )
(A)3 (B)4
(C)4或3 (D)-4或3
3.一元二次方程5x2-2x=0,最适当的解法是( A )
(青岛版)义务教育课程标准实验教科书《数学》目录
（青岛版）义务教育课程标准实验教科书《数学》目录青岛版七年级上册第一章基本的几何图形1.1 我们身边的图形世界1.2 点、线、面、体1.3 线段、射线和直线1.4 线段的度量和比较第二章有理数2.1 生活中的正数和负数2.2 数轴2.3 相反数与绝对值第三章有理数的运算3.1 有理数的加法与减法3.2 有理数的乘法与除法3.3 有理数的乘方3.4 有理数的混合运算3.5 利用计算器进行简单的计算第四章数据的收集与简单统计图4.1 收集数据的方式4.2 数据的整理4.3 简单的统计图4.4 统计图的相互转化第五章代数式与函数的初步认识5.1 用字母表示数5.2 代数式5.3 代数式的值5.4 生活中的常量与变量5.5 函数的初步认识第六章整式的加减6.1 单项式与多项式6.2 同类项6.3 去括号6.4 整式的加减第七章数值估算7.1 生活中的数值估算7.2 近似数和有效数字7.3 估算的应用与调整第八章一元一次方程8.1 方程和方程的解8.2 一元一次方程8.3 等式的基本性质8.4 一元一次方程的解法8.5 一元一次方程的应用七年级下册第九章角9.1 角的表示9.2 角的比较9.3 角的度量9.4 对顶角9.5 垂直第十章平行线10.1 同位角10.2 平行线和它的画法10.3 平行线的性质10.4 平行线的判定第十一章图形与坐标11.1 怎样确定平面内点的位置11.2 平面直角坐标系11.3 直角坐标系中的图形11.4 函数与图象11.5 一次函数和它的图象第十二章二元一次方程组12.1 认识二元一次方程组12.2 向一元一次方程转化12.3 图象的妙用12.4 列方程组解应用题第十三章走进概率13.1 天有不测风云13.2 确定事件与不确定事件13.3 可能性的大小13.4 概率的简单计算第十四章整式的乘法14.1 同底数幂的乘法与除法14.2 指数可以是零和负整数吗14.3 科学计数法14.4 积的乘方与幂的乘方14.5 单项式的乘法14.6 多项式乘多项式第十五章平面图形的认识15.1 三角形15.2 多边形15.3 多边形的密铺15.4 圆的初步认识15.5 用直尺和圆规作图八年级上册第一章轴对称与轴对称图形1.1 我们身边的轴对称图形1.2 线段的垂直平分线1.3 角的平分线1.4 等腰三角形1.5 成轴对称的图形的性质1.6 镜面对称1.7 简单的图案设计第二章乘法公式与因式分解2.1 平方差公式2.2 完全平方公式2.3 用提公因式法进行因式分解2.4 用公式法进行因式分解第三章分式3.1 分式的基本性质3.2 分式的约分3.3 分式的乘法与除法3.4 分式的通分3.5 分式的加法与减法3.6 比和比例3.7 分式方程第四章样本与估计4.1 普查与抽样调查4.2 样本的选取4.3 加权平均数4.4 中位数4.5 众数4.6 用计算器求平均数第五章实数5.1 算术平方根5.2 勾股定理5.3 根号2是有理数吗5.4 由边长判定直角三角形5.5 平方根5.6 立方根5.7 方根的估算5.8 用计算器求平方根和立方根5.9 实数第六章一元一次不等式6.1 不等关系和不等式6.2 一元一次不等式6.3 一元一次不等式组八年级下册第七章二次根式7.1 二次根式及其性质7.2 二次根式的加减法7.3 二次根式的乘除法第八章平面图形的全等与相似8.1 全等形与相似形8.2 全等三角形8.3 怎样判定三角形全等8.4 相似三角形8.5 怎样判定三角形相似8.6 相似多边形第九章解直角三角形9.1 锐角三角比9.2 30°，45°，60°角的三角比9.3 用计算器求锐角三角比9.4 解直角三角形9.5 解直角三角形的应用第十章数据离散程度的度量10.1 数据的离散程度10.2 极差10.3 方差与标准差10.4 用科学计算器计算方差和标准. 第十一章几何证明初步11.1 定义与命题11.2 为什么要证明11.3 什么是几何证明11.4 三角形内角和定理11.5 几何证明举例11.6 反证法九年级上册第一章特殊四边形1.1 平行四边形及其性质1.2 平行四边形的判定1.3 特殊的平行四边形1.4 图形的中心对称1.5 梯形1.6 中位线定理第二章图形与变换2.1 图形的平移2.2 图形的旋转2.3 位似第三章一元二次方程3.1 一元二次方程3.2 用配方法解一元二次方程3.3 用公式法解一元二次方程3.4 用因式分解法解一元二次方程3.5 一元二次方程的应用第四章对圆的进一步认识4.1 圆的对称性4.2 确定圆的条件4.3 圆周角4.4 直线与圆的位置关系4.5 三角形的内切圆4.6 圆与圆的位置关系4.7 弧长及扇形面积的计算九年级下册第五章对函数的再探索5.1 函数与它的表示法5.2 一次函数与一元一次不等式5.3 反比例函数5.4 二次函数5.5 二次函数y=ax2图象和性质5.6 二次函数y=ax2+bx+c图象和性.5.7 确定二次函数的解析式5.8 二次函数的应用5.9 用图象法解一元二次方程第六章频率与概率6.1 频数与频率6.2 频数分布直方图6.3 用频率估计概率6.4 用树状图计算概率第七章空间图形的初步认识7.1 几种常见的几何体7.2 棱柱的侧面展开图7.3 圆柱、圆锥的侧面展开图第八章投影与视图8.1 从不同的方向看物体8.2 盲区8.3 影子和投影8.4 正投影8.5 物体的三视图11。
《用因式分解法求解一元二次方程》教案分析
《用因式分解法求解一元二次方程》教案分析《用因式分解法求解一元二次方程》教案分析学习目标：1思考活动二中的问题，参与小组讨论，会用自己的语言叙述适合因式分解法的一元二次方程的特征。
2会熟练运用因式分解法（提公因式法、公式法）解决简单的数字系数的一元二次方程；3会根据方程特点选用合适的方法解一元二次方程。
设置的依据：1.《课程标准》的要求（1）理解因式分解法解数字系数的一元二次方程。
（2）在解一元二次方程的过程中体会转化的数学思想，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力。
教材分析：1.本节课是在八年级学过因式分解，前面学习了用配方法和公式法解一元二次方程的基础上展开的。
2.因为对于某些特殊的一元二次方程，用因式分解法解起来更简便。
，又可以为后续的处理有关一元二次方程的问题提供多一些思路和方法。
学情分析：1.学生掌握了提公因式法及运用公式法（平方差、完全平方）熟练的分解因式；但把一个多项式当作一个整体有一部分学生掌握的不好。
对于配方法及公式法解一元二次方程，学生掌握了这两种方法的解题思路及步骤。
2.学习小组固定，具有一定的合作学习的经验。
评价任务的设计：1.会用自己的语言叙述适合因式分解法的一元二次方程的特征。
（目标1）2做自主检测一会用因式分解法解一元二次方程（目标2）3做自主检测二会用合适的方法解方程（目标3）4做课堂检测1（目标2）2（目标3）设计意图：本节课的重点用因式分解法解一元二次方程，难点用合适的方法解一元二次方程，也是贯穿于本节的一条主线，评价也要突出这一主线。
在活动中注重学生观察能力，分析能力，归纳能力，对能主动参与合作交流、勇于发言、善于创新的行为给予及时的评价和鼓励。
教学设计学习目标学习活动评价标准教师活动目标达成情况反思与评价目标1结合活动中的问题，会用自己的语言叙述适合因式分解法的一元二次方程的特征，提高观察、分析、概括等能力。
目标2会用因式分解法（提公因式法、公式法）解决简单的数字系数的一元二次方程目标3会根据方程特点用合适的方法解一元二次方程。
用因式分解法求解一元二次方程说课稿
用因式分解法求解一元二次方程说课稿尊敬的各位领导、老师，大家好！我是…… 中学的数学教师……，今天我说课的内容是北师大版初中数学九年级上册第二章第4节《用因式分解法求解一元二次方程》。
对于本节课我将从教材与学情分析、教法学法分析、教学过程设计、教学设计说明这四个方面加以阐述。
一、教材与学情分析1.教材的地位和作用：本节课是在学生学习了用配方法和公式法解一元二次方程的基础上展开的，学习一元二次方程的第三种解法-----因式分解法。
任何一个一元二次方程都可以用配方法和公式法这两种方法中的一种来解，为什么还要学习因式分解法解一元二次方程呢？因为对于某些特殊的一元二次方程，用因式分解法解起来更简便。
培养学生观察思考，避繁就简和一题多解的能力等都具有重要的作用。
因式分解法解一元二次方程既可以复习八年级学过的因式分解的方法，又可以为后续处理有关一元二次方程的问题时提供多一些思路和方法。
2.学情分析：学生在八年级已经学习了因式分解，掌握了用提公因式法及运用公式法（平方差、完全平方）熟练的分解因式；在本章前几节课中又学习了配方法及公式法解一元二次方程，掌握了这两种方法的解题思路及步骤。
同时在以前的数学学习中，学生已经经历了很多合作学习的过程，具备了一定的合作与交流的能力。
3.教学目标基于以上对教材的理解和学情的分析，根据新课标对方程的具体要求，并结合我校九年级学生的实际情况，我确定了如下教学目标：知识与技能：了解因式分解法的概念，会利用因式分解法解简单数字系数的一元二次方程。
过程与方法：经历探索因式分解法解一元二次方程的过程，发展学生合情推理的能力，体验解决问题方法的多样性，灵活选择解方程的方法。
情感态度与价值观：积极探索不同的解法，并和同伴交流，在学习活动中获得成功的体验，建立学好数学的兴趣和信心。
4.教学重点难点：重点：应用因式分解法解一元二次方程。
难点：将方程化为一般式后，对方程左侧进行因式分解。
二、教法学法分析1.教法分析根据本节课的教学目标、教学内容以及学生的认知特点，教学上采用以自主探究为主，通过实际问题加深数学与生活的联系，从而使用因式分解法解方程成为一种需要。
一元二次方程的解法因式分解法知识点总结
一元二次方程的解法--公式法，因式分解法—知识讲解（基础）【学习目标】1.理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程；2.正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；3.通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想．【要点梳理】要点一、公式法解一元二次方程1.一元二次方程的求根公式一元二次方程，当时，.2.一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式：． ①当时，原方程有两个不等的实数根；②当时，原方程有两个相等的实数根；③当时，原方程没有实数根.3.用公式法解一元二次方程的步骤用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）； ③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.要点诠释：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择.（2）一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+=.①当240b ac ∆=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：21,242b b acx a -±-=.②当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a =-.③当240b ac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根.要点二、因式分解法解一元二次方程 1.用因式分解法解一元二次方程的步骤 （1）将方程右边化为0；（2）将方程左边分解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 2.常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式. 【典型例题】类型一、公式法解一元二次方程1.用公式法解下列方程．(1)x 2+3x+1=0；(2)2241x x =-； (3)2x 2+3x-1=0．【答案与解析】(1)a=1，b=3，c=1∴x==．∴x 1=，x 2=．(2)原方程化为一般形式，得22410x x -+=．∵2a =，4b =-，1c =，∴224(4)42180b ac -=--⨯⨯=>．∴42221222x ±==±⨯，即1212x =+，2212x =-．(3)∵a=2，b=3，c=﹣1∴b 2﹣4ac=17＞0∴x=∴x 1=，x 2=．【总结升华】用公式法解一元二次方程的关键是对a 、b 、c 的确定．用这种方法解一元二次方程的步骤是：(1)把方程化为一元二次方程的一般形式；(2)确定a ，b ，c 的值并计算24b ac -的值；(3)若24b ac -是非负数，用公式法求解． 举一反三：【变式】用公式法解方程：（2014•武汉模拟）x 2﹣3x ﹣2=0．【答案】解：∵a=1，b=﹣3，c=﹣2；∴b 2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）=9+8=17；∴x==， ∴x 1=，x 2=．2．用公式法解下列方程： (1)（2014•武汉模拟）2x 2+x=2；(2)（2014秋•开县期末）3x 2﹣6x ﹣2=0 ；（3）（2015•黄陂区校级模拟）x 2﹣3x ﹣7=0．【思路点拨】针对具体的试题具体分析，不是一般式的先化成一般式，再写出a,b,c 的值，代入求值即可.【答案与解析】解：(1)∵2x 2+x ﹣2=0，∴a=2，b=1，c=﹣2，∴x===，∴x 1=，x 2=．(2)∵a=3，b=﹣6，c=﹣2，∴b 2﹣4ac=36+24=60＞0，∴x=， ∴x 1=，x 2=（3）∵a=1，b=﹣3，b=﹣7．∴b 2﹣4ac=9+28=37.x==，解得 x 1=，x 2=．【总结升华】首先把每个方程化成一般形式，确定出a 、b 、c 的值，在240b ac -≥的前提下，代入求根公式可求出方程的根． 举一反三：【变式】用公式法解下列方程： 2221x x +=； 【答案】解：移项，得22210x x +-=．∵ 2a =，2b =，1c =-，224242(1)120b ac -=-⨯⨯-=>，∴ 21213222x -±-±==⨯， ∴ 1132x --=，2132x -+=．类型二、因式分解法解一元二次方程3．用因式分解法解下列方程：(1)3(x+2)2＝2(x+2)； (2)(2x+3)2-25＝0； （3）x （2x+1）=8x ﹣3．【思路点拨】 用因式分解法解方程，一定要注意第1小题，等号的两边都含有（x+2）这一项，切不可在方程的两边同除以（x+2）,化简成3（x+2）=2,因为你不知道（x-2）是否等于零.第2小题，运用平方差公式可以，用直接开方也可以.第3小题化成一般式之后，再运用分解因式法解方程. 【答案与解析】(1)移项．得3(x+2)2-2(x+2)＝0，(x+2)(3x+6-2)＝0．∴ x+2＝0或3x+4＝0，∴ x 1＝-2，243x =-． (2)(2x+3-5)(2x+3+5)＝0，∴ 2x-2＝0或2x+8＝0， ∴ x 1＝1，x 2＝-4．（3）去括号，得：2x 2+x=8x ﹣3，移项，得：2x 2+x ﹣8x+3=0合并同类项，得：2x 2﹣7x+3=0， ∴（2x ﹣1）（x ﹣3）=0， ∴2x﹣1=0或 x ﹣3=0，∴，x 2=3．【总结升华】(1)中方程求解时，不能两边同时除以(x+2)，否则要漏解．用因式分解法解一元二次方程必须将方程右边化为零，左边用多项式因式分解的方法进行因式分解．因式分解的方法有提公因式法、公式法、二次三项式法及分组分解法．(2)可用平方差公式分解．4．解下列一元二次方程： (1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0； (2)(31)(1)(41)(1)x x x x --=+-．【答案与解析】(1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0，(2x+1+2)2＝0．即2(23)0x +=， ∴ 1232x x ==-． (2)移项，得(3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)＝0，即(x-1)(x+2)＝0，所以11x =，22x =-．【总结升华】解一元二次方程时，一定要先从整体上分析，选择适当的解法．如 (1)可以用完全平方公式．用含未知数的整式去除方程两边时，很可能导致方程丢根，（2）容易丢掉x ＝1这个根． 举一反三：【变式】（1）（x+8）2-5(x+8)+6=0 （2）3(21)42x x x +=+【答案】（1）（x+8-2）(x+8-3)=0(x+6)(x+5)=0 X 1=-6,x 2=-5. (2)3x(2x+1)-2(2x+1)=0(2x+1)(3x-2)=01212,23x x =-=.5．探究下表中的奥秘，并完成填空：一元二次方程 两个根 二次三项式因式分解 x 2﹣2x+1=0 x 1=1，x 2=1 x 2﹣2x+1=（x ﹣1）（x ﹣1） x 2﹣3x+2=0 x 1=1，x 2=2 x 2﹣3x+2=（x ﹣1）（x ﹣2） 3x 2+x ﹣2=0 x 1=，x 2=﹣1 3x 2+x ﹣2=3（x ﹣）（x+1） 2x 2+5x+2=0x 1=﹣，x 2=﹣2 2x 2+5x+2=2（x+）（x+2）4x 2+13x+3=0 x 1= ，x 2= 4x 2+13x+3=4（x+ ）（x+ ）将你发现的结论一般化，并写出来．【思路点拨】利用因式分解法，分别求出表中方程的解，总结规律，得出结论． 【答案与解析】填空：﹣，﹣3；4x 2+13x+3=4（x+）（x+3）．发现的一般结论为：若一元二次方程 ax 2+bx+c=0的两个根为x 1、x 2，则 ax 2+bx+c=a （x ﹣x 1）（x ﹣x 2）．【总结升华】考查学生综合分析能力，要根据求解的过程，得出一般的结论，解一元二次方程——因式分解法．一元二次方程的解法--公式法，因式分解法—巩固练习（基础）【巩固练习】 一、选择题 1．（2014•泗县校级模拟）下列方程适合用因式方程解法解的是（ ） A ．x 2﹣3x+2=0 B ．2x 2=x+4 C ．（x ﹣1）（x+2）=72 D ．x 2﹣11x ﹣10=02．方程(1)2x x -=的解是( )A ．1x =-B ．2x =-C ．11x =-，22x =D ．11x =，22x =-3．一元二次方程2340x x +-=的解是( ) A ．11x =；24x =- B ．11x =-；24x = C ．11x =-；24x =- D ．11x =；24x =4.方程x 2-5x-6＝0的两根为( )A ．6和1B ．6和-1C ．2和3D ．-2和3 5．方程(x-5)(x-6)＝x-5的解是 ( )A ．x ＝5B ．x ＝5或x ＝6C ．x ＝7D ．x ＝5或x ＝7 6．已知210x x --=，则3222012x x -++的值为 ( )A ． 2011B ．2012C ． 2013D ．2014 二、填空题7．（2015•厦门）方程x 2+x ＝0的解是___ _____； 8．方程(x-1)(x+2)(x-3)＝0的根是_____ ___．9．请写一个两根分别是1和2的一元二次方程___ _____．10．若方程x 2-m ＝0的根为整数，则m 的值可以是_____ ___．(只填符合条件的一个即可) 11．已知实数x 、y 满足2222()(1)2x y x y ++-=，则22x y +=________．12．已知y ＝(x-5)(x+2)．(1)当x 为 值时，y 的值为0； (2)当x 为 值时，y 的值为5.三、解答题 13．（2014秋•宝坻区校级期末）解方程 （1）2（x ﹣3）2=8（直接开平方法）（2）4x 2﹣6x ﹣3=0（运用公式法）（3）（2x ﹣3）2=5（2x ﹣3）（运用分解因式法） （4）（x+8）（x+1）=﹣12（运用适当的方法）14.用因式分解法解方程（1）x 2-6x-16＝0．（2）(2x+1)2+3(2x+1)+2＝0．15(2)请观察上表，结合24b ac -的符号，归纳出一元二次方程的根的情况． (3)利用上面的结论解答下题．当m 取什么值时，关于x 的一元二次方程(m-2)x 2+(2m+1)x+m-2＝0， ①有两个不相等的实数根； ②有两个相等的实数根； ③没有实数根．【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】C ；【解析】解：根据分析可知A 、B 、D 适用公式法．而C 可化简为x 2+x ﹣72=0，即（x+9）（x ﹣8）=0， 所以C 适合用因式分解法来解题．故选C ．2.【答案】C ；【解析】整理得x 2-x-2＝0，∴ (x-2)(x+1)＝0.3.【答案】A ；【解析】可分解为(x-1)(x+4)＝04.【答案】B ；【解析】要设法找到两个数a ，b ，使它们的和a+b ＝-5，积ab ＝-6，∴ (x+1)(x-6)＝0，∴ x+1＝0或x-6＝0． ∴ x 1＝-1，x 2＝6． 5.【答案】D ；【解析】此方程左右两边含有相同的因式(x-5)，应移项后用因式分解法求解．即(x-5)(x-6)-(x-5)0．∴ (x-5)(x-6-1)＝0，∴ 15x =，27x =6.【答案】C ；【解析】由已知得x 2-x ＝1，∴ 322222012()20122012120122013x x x x x x x x 2-++=--++=-++=+=．二、填空题 7．【答案】x 1＝0，x 2＝-1．【解析】可提公因式x ，得x(x+1)＝0．∴ x ＝0或x+1＝0，∴ x 1＝0，x 2＝-1． 8．【答案】x 1＝1，x 2＝-2，x 3＝3.【解析】由x-1＝0或x+2＝0或x-3＝0求解． 9．【答案】2320x x -+=；【解析】逆用因式分解解方程的方法，两根为1、2的方程就是(x-1)(x-2)＝0，然后整理可得答案． 10．【答案】4；【解析】 m 应是一个整数的平方，此题可填的数字很多． 11．【答案】2；【解析】由(x 2+y 2)2-(x 2+y 2)-2＝0得(x 2+y 2+1)(x 2+y 2-2)＝0又由x ，y 为实数，∴ x 2+y 2＞0，∴ x 2+y 2＝2． 12．【答案】 (1) x ＝5或x ＝-2；(2) 3692x +=或3692x -=． 【解析】(1)当y ＝0时(x-5)(x+2)＝0，∴ x-5＝0或x+2＝0，∴ x ＝5或x ＝-2．(2)当y ＝5时(x-5)(x+2)＝5，∴ 23150x x --=，3941(15)369212x ±-⨯⨯-±==⨯，∴ 3692x +=或3692x -=． 三、解答题13.【解析】解：（1）（x ﹣3）2=4x ﹣3=2或x ﹣3=﹣2， 解得，x 1=1或x 2=5； （2）a=4，b=﹣6，c=﹣3，b 2﹣4ac=（﹣6）2﹣4×4×（﹣3）=84，x==，，；（3）移项得，（2x ﹣3）2﹣5（2x ﹣3）=0，因式分解得，（2x ﹣3）（2x ﹣3﹣5）=0，，x 2=4；（4）化简得，x 2+9x+20=0，（x+4）（x+5）=0，解得，x 1=﹣4，x 2=﹣5．14.【解析】（1）(x-8)(x+2)＝0，∴ x-8＝0或x+2＝0，∴ 18x =，22x =-．（2）设y ＝2x+1，则原方程化为y2+3y+2＝0，∴ (y+1)(y+2)＝0，∴ y+1＝0或y+2＝0， ∴ y ＝-1或y ＝-2．当1y =-时，211x +=-，1x =-；当2y =-时，212x +=-，32x =-． ∴ 原方程的解为11x =-，232x =-．15.【解析】(2)①当240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根； ②当240b ac -=时，方程有两个相等的实数根；③当240b ac -<时，方程没有实数根． (3)242015b ac m -=-，①当原方程有两个不相等的实数根时，2420150b ac m -=->，即34m >且m ≠2； ②当原方程有两个相等的实数根时，b 2 -4ac =20m -15=0，即34m =； ③当原方程没有实数根时， 2420150b ac m -=-<，即34m <．一元二次方程的解法--公式法，因式分解法—知识讲解（提高）【学习目标】1.理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程；2.正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；3.通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想．【要点梳理】要点一、公式法解一元二次方程 1.一元二次方程的求根公式一元二次方程，当时，.2.一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式：． ①当时，原方程有两个不等的实数根；②当时，原方程有两个相等的实数根；③当时，原方程没有实数根.3.用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）； ③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.要点诠释：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用.（2）一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+= ①当240b ac ∆=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：21,242b b acx a--=②当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a=-③当240b ac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根. 要点二、因式分解法解一元二次方程1.用因式分解法解一元二次方程的步骤（1）将方程右边化为0；（2）将方程左边分解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.2.常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.【典型例题】类型一、公式法解一元二次方程1．解关于x 的方程2()(42)50m n x m n x n m ++-+-=．【答案与解析】(1)当m+n ＝0且m ≠0，n ≠0时，原方程可化为(42)50m m x m m +--=．∵ m ≠0，解得x ＝1．(2)当m+n ≠0时，∵ a m n =+，42b m n =-，5c n m =-，∴ 2224(42)4()(5)360b ac m n m n n m m -=--+-=≥，∴ 2243624|6|2()2()n m m n m m x m n m n -±-±==++， ∴ 11x =，25n m x m n-=+． 【总结升华】解关于字母系数的方程时，应该对各种可能出现的情况进行讨论．举一反三：【高清ID 号：388515关联的位置名称（播放点名称）：用公式法解含有字母系数的一元二次方程---例2练习】【变式】解关于x 的方程2223(1)x mx mx x m ++=+≠；【答案】原方程可化为2(1)(3)20,m x m x -+-+= ∵1,3,2,a m b m c =-=-=∴ 2224(3)8(1)(1)0b ac m m m -=---=+≥，∴ 23(1)3(1),2(1)2(1)m m m m x m m -±+-±+==-- ∴ 122, 1.1x x m==- 2． 用公式法解下列方程： (m-7)(m+3)+(m-1)(m+5)＝4m ；【答案与解析】方程整理为224214540m m m m m --++--=，∴ 22130m m --=，∴ a ＝1，b ＝-2，c ＝-13，∴ 224(2)41(13)56b ac -=--⨯⨯-=，∴ 24(2)56221b b ac m a -±---±==⨯22141142±==±， ∴ 1114m =+，2114m =-．【总结升华】先将原方程化为一般式，再按照公式法的步骤去解.举一反三：【高清ID 号：388515关联的位置名称（播放点名称）：用因式分解法解含字母系数的一元二次方程---例5（3）】【变式】用公式法解下列方程：【答案】∵21,3,2,a b m c m ==-= ∴22224(3)4120b ac m m m -=--⨯⨯=≥ ∴23322m m m m x ±±== ∴122,.x m x m ==类型二、因式分解法解一元二次方程3．（2015•东西湖区校级模拟）解方程：x 2﹣1=2（x+1）．【答案与解析】解：∵x 2﹣1=2（x+1），∴（x+1）（x ﹣1）=2（x+1），∴（x+1）（x ﹣3）=0，∴x 1=﹣1，x 2=3．【总结升华】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程的知识，左边先平方差公式分解，然后提取公因式（x+1），注意不要两边同除（x+1），这样会漏解.举一反三：【变式】解方程（2015·茂名校级一模）（1）x 2-2x-3=0； （2）（x-1）2+2x(x-1)=0．【答案】解：（1）分解因式得：（x-3）（x+1）=0∴x-3=0，x+1=0∴x 1=3,x 2=-1.（2）分解因式得：（x-1）（x-1+2x ）=0∴x-1=0，3x-1=0∴x 1=1,x 2=13.4．如果2222()(2)3x y x y ++-=，请你求出22x y +的值．【答案与解析】设22x y z +=，∴ z(z-2)＝3．整理得：2230z z --=，∴ (z-3)(z+1)＝0．∴ z 1＝3，z 2＝-1．∵ 220z x y =+>，∴ z ＝-1(不合题意，舍去)∴ z ＝3．即22x y +的值为3．【总结升华】如果把22x y +视为一个整体，则已知条件可以转化成一个一元二次方程的形式，用因式分解法可以解这个一元二次方程．此题看似求x 、y 的值，然后计算22x y +，但实际上如果把22x y +看成一个整体，那么原方程便可化简求解。
因式分解解一元二次方程136题(有答案)
分解因式法解一元二次方程专项练习136题（有答案）1．3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）=0，2．3x（x+2）=5（x+2）3．2x2﹣8x=04.x2﹣3x﹣4=0．5．x2﹣2x﹣3=0．6．x（x﹣3）﹣4（3﹣x）=0，7. 3（x﹣2）2=x（x﹣2）；8. 2x2﹣5x﹣3=0 10. x（x﹣6）=2（x﹣8）11．4+4（1+x）+4（1+x）2=19 12．x2﹣4x﹣5=013. 3（5﹣x）2=2（5﹣x）14.（x﹣3）2=2（3﹣x）．15．2x2+x﹣6=0．16．2x2﹣x﹣1=0；17. 3x（x﹣1）=2（x﹣1）2．18．x（x﹣5）+4x=019． x2﹣2x=020．（x﹣3）2+2x（x﹣3）=0；21．x2﹣3x=0；22．（x﹣2）2=（2x+3）2 23．3x2﹣11x﹣4=0．24．2x（x﹣1）﹣x+1=0 25. 2x2+x﹣3=026．x2﹣2x﹣15=0；28. x（x﹣3）=15﹣5x；29．（x﹣1）2﹣2（x﹣1）=0 30．x（x﹣2）﹣x+2=0；31. 2x2﹣3x﹣5=0．32.．4x2﹣x﹣1=3x﹣2，33.34.（x﹣3）2﹣2（x﹣1）=x﹣7．35. 3x（x﹣2）﹣2（x﹣2）=036. 3x2﹣x﹣2=0；38．（x﹣3）2=5（3﹣x）（x﹣3）2=5（3﹣x）39．（2x+1）2=2（2x+1）40．（3x﹣1）（x﹣1）=（4x+1）（x﹣1）．41．x2﹣x﹣6=0，42．x2﹣8（x+6）=043．2x2﹣6x=0．44．（x﹣3）（x+1）=545．2x2﹣8x=0；46．x2+2x﹣15=0 47. 2x2﹣5x﹣7=048. 2y（y﹣3）=4（y﹣3）49. x2﹣7x﹣18=050. 3x2+8x﹣3=051． 2x（x﹣3）=9﹣3x 52．x2﹣4x=553. ﹣8x2+10x=054．3x2+4x﹣7=0，55. 3x2﹣5x+2=056. 2（x﹣3）2=x2﹣3x57．x2=3x；58. （3x﹣2）2=（2x﹣3）259. （y﹣2）2+2y（y﹣2）=060.2y（y+2）=y+2．61. 5x2+3x=062.（3x﹣2）2=（2x﹣3）263. x（x﹣3）=5（x﹣3）；64. （2x+3）2﹣5（2x+3）+4=0．65. （2x﹣7）2﹣5（2x﹣7）+4=066. （3x﹣1）2=x2+6x+967.（2x+2）2=3（2x+2）（x﹣1）68.（x+7）（x﹣3）+4x（x+1）=069.2x（x+3）﹣3（x+3）=070. x﹣2=x（x﹣2）71. x2+8x﹣9=072．x（2x﹣5）=4x﹣10．73．（2x﹣5）2﹣（x+4）2=074．2（x﹣1）2=x2﹣175.76. 4x（2x﹣1）=3（2x﹣1）；77. 2x2+x﹣1=0．78. （3x﹣2）（x+4）=（3x﹣2）（5x﹣1）；79. （x+1）（x+3）=15．80. x2﹣5x﹣6=081. x2﹣2x=9982. （x﹣3）2﹣4x+12=0 83. 4（x+1）2=9（x﹣2）284. x2=2x85. （x+4）2=5（x+4）87. 16（x﹣1）2=22588. 4x2﹣4x+1=x2﹣6x+989. 9（x+1）2=4（x﹣1）2（4）x2﹣4x+4=（3﹣2x）290. （x﹣2）2=（3﹣2x）2．91. （x+2）2﹣10（x+2）+25=092．x2﹣2（p﹣q）x﹣4pq=0．93．x2+10x+21=0，94．2（x﹣2）2=3（x﹣2）95. 3（x﹣5）2=2（5﹣x），96. ，97. 5x2﹣4x﹣12=0，98. （x ﹣）=5x（﹣x），99．9（x﹣2）2﹣4（x+1）2=0．100．101．x2﹣8x+15=0；103. 6x2﹣x﹣12=0．104. 2x2﹣x﹣6=0105. ﹣x2+6x﹣5=0106. （x﹣5）2=（2x﹣1）（5﹣x）107. （x+1）（x+2）=3x+6．108. x2﹣9=0，109. x2+3x﹣4=0，110. x2﹣3x+2=0，111. 4（3x﹣1）2 =25（2x+1）2．112. （3x+5）2﹣4（3x+5）+3=0 113. （3x+2）（x+3）=x+14 114. 3（x+1）2=（x+1）115.（x﹣2）2﹣4=0116.（x﹣3）2+2x（x﹣3）=0 117.（3x﹣1）2=（x+1）2118.（x+5）2﹣2（x+5）﹣8=0．119. x2﹣8x=9120. （x﹣2）2=（2x+3）2．121. x2﹣3=3（x+1）；122. （y﹣3）2+3（y﹣3）+2=0 123. 7x（5x+2）=6（5x+2）124．6（x+4）2﹣（x+4）﹣2=0125. x2﹣（3m﹣1）x+2m2﹣m=0，126．x2﹣2x﹣224=0．127.128．5x（x﹣3）﹣（x﹣3）（x+1）=0．129．x2﹣11x+28=0130. 4y2﹣25=0；131.（2x+3）2﹣36=0；132. x2﹣3x+2=0；133. 2t2﹣7t﹣4=0；134. 5y（y﹣1）=2（y﹣1）135. x2+（1+2）x+3+=0；136.（x﹣3）2+（x+4）2﹣（x﹣5）2=17x+24．137.x2﹣3|x|﹣4=0分解因式法解一元二次方程136题参考答案：1．3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）=0，（x﹣2）（3x﹣6﹣x）=0，x﹣2=0或2x﹣6=0，解得：x1=2，x2=3；2．3x（x+2）=5（x+2）原方程可化为3x（x+2）﹣5（x+2）=0，（3x﹣5）（x+2）=0，解得x1=﹣2，3．2x2﹣8x=0因式分解，得2x（x﹣4）=0，于是得，2x=0或x﹣4=0，即x1=0，x2=4．4. x2﹣3x﹣4=0．因式分解，得（x﹣4）（x+1）=0，于是得，x﹣4=0或x+1=0，解得：x1=4，x2=﹣15．x2﹣2x﹣3=0．原方程可以变形为（x﹣3）（x+1）=0x﹣3=0，x+1=0∴x1=3，x2=﹣1．6．x（x﹣3）﹣4（3﹣x）=0，（x﹣3）（x+4）=0，x﹣3=0或x+4=0，解得：x1=3，x2=﹣4；7. 3（x﹣2）2=x（x﹣2）；整理得3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）=0 即（x﹣2）（x﹣3）=0x1=2，x2=38. 2x2﹣5x﹣3=0（2x+1）（x﹣3）=0x1=﹣0.5，x2=39. （3x﹣1）2=（x+1）2原方程可化为：（3x﹣1）2﹣（x+1）2=0，（3x﹣1+x+1）（3x﹣1﹣x﹣1）=0，∴4x=0或2x﹣2=0，解得：x1=0，x2=1；10. x（x﹣6）=2（x﹣8）x2﹣6x=2x﹣16 x1=x2=411．4+4（1+x）+4（1+x）2=19原式可变为4（1+x）2+4（1+x）﹣15=0[2（1+x）﹣3][2（1+x）+5]=0x1=，x2=﹣12．x2﹣4x﹣5=0（x﹣5）（x+1）=0x﹣5=0或x+1=0x1=5，x2=﹣113. 3（5﹣x）2=2（5﹣x）原方程可变形为：3（5﹣x）2﹣2（5﹣x）=0（5﹣x）[3（5﹣x）﹣2]=0（5﹣x）（13﹣3x）=0则x1=5，x2=14.（x﹣3）2=2（3﹣x）．原式可变为（x﹣3）2﹣2（3﹣x）=0（x﹣3）（x﹣1）=0x1=3，x2=115．2x2+x﹣6=0．2x2+x﹣6=0（x+2）（2x﹣3）=0x+2=0或2x﹣3=0∴x1=﹣2，x2=．16．2x2﹣x﹣1=0；原方程可化为：（x﹣1）（2x+1）=0，x﹣1=0或2x+1=0，解得：x1=1，x2=﹣．17. 3x（x﹣1）=2（x﹣1）2．原方程可化为：3x（x﹣1）﹣2（x﹣1）2=0，（x﹣1）（3x﹣2x+2）=0，x﹣1=0或x+2=0，解得：x1=1，x2=﹣218．x（x﹣5）+4x=0即x（x﹣5+4）=0x（x﹣1）=0x（x﹣2）=0∴x=0或x﹣2=0∴x1=0，x2=2．20．（x﹣3）2+2x（x﹣3）=0；原方程可化为：（x﹣3）（x﹣3+2x）=0（x﹣3）（x﹣1）=0x1=3，x2=1．21．x2﹣3x=0；x（x﹣3）=0∴x1=0，x2=322．（x﹣2）2=（2x+3）2（x﹣2）2=（2x+3）2即（x﹣2）2﹣（2x+3）2=0（3x+1）（x+5）=0x1=﹣5，x2=23．3x2﹣11x﹣4=0．把方程3x2﹣11x﹣4=0即（x﹣4）（3x+1）=0，解得x1=4，x2=．24．2x（x﹣1）﹣x+1=0原方程变形为：2x（x﹣1）﹣（x﹣1）=0∴（x﹣1）（2x﹣1）=0∴x﹣1=0或2x﹣1=0解得x1=1，x2=；25. 2x2+x﹣3=0原方程变形为：（x﹣1）（2x+3）=0∴x1=1，x2=26．x2﹣2x﹣15=0；原式可化为：（x﹣5）（x+3）=0得x1=5，x2=﹣327. 2x（x﹣3）+x=3．原式可化为：（x﹣3）（2x+1）=0得，x2=328. x（x﹣3）=15﹣5x； x1=3，x2=﹣529．（x﹣1）2﹣2（x﹣1）=0（x﹣1）2﹣2（x﹣1）=0，（x﹣1）（x﹣1﹣2）=0，∴x﹣1=0或x﹣3=0，∴x1=1，x2=330．x（x﹣2）﹣x+2=0；原方程可化为：x（x﹣2）﹣（x﹣2）=0，（x﹣2）（x﹣1）=0，解得：x1=2，x2=1；31. 2x2﹣3x﹣5=0．原方程可化为：（2x﹣5）（x+1）=0，2x﹣5=0或x+1=0，解得：x1=，x2=﹣132.．∵4x2﹣x﹣1=3x﹣2，∴4x2﹣4x+1=0即（2x﹣1）2=0，解得33.解：∴∴34.（x﹣3）2﹣2（x﹣1）=x﹣7．移项，合并同类项得，（x﹣3）2﹣3x+9=0，即，（x﹣3）2﹣3（x﹣3）=0，因式分解得，（x﹣3﹣3）（x﹣3）=0则x﹣3=0或（x﹣6）=0，解得，x1=3，x2=6．35. 3x（x﹣2）﹣2（x﹣2）=0（x﹣2）（3x﹣2）=0x1=2，x2=；36. 3x2﹣x﹣2=0；原方程变形得，（3x+2）（x﹣1）=0∴，x2=1；37. （x﹣6）2﹣（3﹣2x）2=0．原方程变形得，（x﹣6+3﹣2x）（x﹣6﹣3+2x）=038．（x﹣3）2=5（3﹣x）（x﹣3）2=5（3﹣x）（x﹣3）2+5（x﹣3）=0（x﹣3）（x+2）=0∴x1=3，x2=﹣2．39．（2x+1）2=2（2x+1）原方程可化为：（2x+1）2﹣2（2x+1）=0，（2x+1）（2x+1﹣2）=0，（2x+1）（2x﹣1）=0，解得：x1=﹣，x2=．40．（3x﹣1）（x﹣1）=（4x+1）（x﹣1）．（3x﹣1）（x﹣1）﹣（4x+1）（x﹣1）=0，（x﹣1）[（3x﹣1）﹣（4x+1）]=0，（x﹣1）（x+2）=0，∴x1=1，x2=﹣2．41．∵x2﹣x﹣6=0，∴（x+2）（x﹣3）=0，∴x+2=0或x﹣3=0，解得x1=3，x2=﹣2．42．x2﹣8（x+6）=0原方程化为x2﹣8x﹣48=0（x+4）（x﹣12）=0解得x1=﹣4，x2=12．43．2x2﹣6x=0．原方程变形为2x（x﹣3）=0∴2x=0或x﹣3=0∴x1=0，x2=344．（x﹣3）（x+1）=5x2﹣2x﹣8=0，（x﹣4）（x+2）=0∴x1=4，x2=﹣2．45．2x2﹣8x=0；因式分解，得2x（x﹣4）=0，2x=0或x﹣4=0，解得，x=0或x=4；46．x2+2x﹣15=0（x+5）（x﹣3）=0x+5=0或x﹣3=0∴x1=﹣5，x2=3；47. 2x2﹣5x﹣7=0因式分解得（x+1）（2x﹣7）=0解得：，x2=﹣1；48. 2y（y﹣3）=4（y﹣3）2y（y﹣3）﹣4（y﹣3）=0（y﹣3）（2y﹣4）=0（2分）∴y1=3，y2=249. x2﹣7x﹣18=0解：（x﹣9）（x+2）=0x﹣9=0或x+2=0∴x1=9，x2=﹣250. 3x2+8x﹣3=0解：方程可以化为（x+3）（3x﹣1）=0 ∴x+3=0或3x﹣1=0即x1=﹣3，x2=．51． 2x（x﹣3）=9﹣3x2x（x﹣3）﹣（9﹣3x）=02x（x﹣3）+3（x﹣3）=0（x﹣3）（2x+3）=0x1=3，x2=﹣52．x2﹣4x=5x2﹣4x﹣5=0（x﹣5）（x+1）=0∴x﹣5=0，x+1=0∴原方程的解为：x1=5，x2=﹣1．53. ﹣8x2+10x=0x（10﹣8x）=0∴x1=0，x2=54．3x2+4x﹣7=0，（x﹣1）（3x+7）=0，x﹣1=0或3x+7=0，解得：55. 3x2﹣5x+2=0原式变形为：（3x﹣2）（x﹣1）=0∴x1=1，x2=56. 2（x﹣3）2=x2﹣3x原方程变形为：2（x﹣3）2=x（x﹣3）（x﹣3）[2（x﹣3）﹣x]=0（x﹣3）（x﹣6）=0∴x1=3，x2=657．（1）x2=3x；移项得，x2﹣3x=0，因式分解得，x（x﹣3）=0，解得，x1=0，x2=3；58. （3x﹣2）2=（2x﹣3）2解：3x﹣2=±（2x﹣3）3x﹣2=2x﹣3或3x﹣2=﹣（2x﹣3）解得：x1=﹣1，x2=1；59. （y﹣2）2+2y（y﹣2）=0解：（y﹣2）（y﹣2+2y）=0解得：y1=2，y2=60.．2y（y+2）=y+2．原方程变形为：2y（y+2）﹣（y+2）=0，即（y+2）（2y﹣1）=0，解得y1=﹣2，y2=．61. 5x2+3x=0x（5x+3）=0，即：x=0或5x+3=0，∴x1=0，x2=﹣．62. （3x﹣2）2=（2x﹣3）2（3x﹣2）2﹣（2x﹣3）2=0，（3x﹣2+2x﹣3）（3x﹣2﹣2x+3）=0，5（x﹣1）（x+1）=0，即：x﹣1=0或x+1=0∴x1=1，x2=﹣163. x（x﹣3）=5（x﹣3）；x（x﹣3）﹣5（x﹣3）=0，（x﹣3）（x﹣5）=0，∴x1=3，x2=5；64. （2x+3）2﹣5（2x+3）+4=0．（2x+3）2﹣5（2x+3）+4=0（2x+3﹣4）（2x+3﹣1）=0（2x﹣1）（x+1）=0，∴x1=，x2=﹣165. （2x﹣7）2﹣5（2x﹣7）+4=0（2x﹣7﹣4）（2x﹣7﹣1）=0；x2=466. （3x﹣1）2=x2+6x+9（3x﹣1）2﹣（x﹣3）2=0即（2x+1）（x﹣2）=0x1=2，x2=﹣0.567.（2x+2）2=3（2x+2）（x﹣1）（2x+2）2﹣3（2x+2）（x﹣1）=0即（2x+2）【2x+2﹣3（x﹣1）】=0∴（x﹣5）（x+1）=0x1=﹣1，x2=568.（x+7）（x﹣3）+4x（x+1）=0化简：（x+7）（x﹣3）+4x（x+1）=0整理得，5x2+8x﹣21=0，因式分解得，（5x﹣7）（x+3）=0，即5x﹣7=0或x+3=0，所以x1=，x2=﹣3．69.．2x（x+3）﹣3（x+3）=0根据题意，原方程可化为：（x+3）（2x﹣3）=0，∴方程的解为：x1=，x2=﹣370. x﹣2=x（x﹣2）即x﹣2﹣x（x﹣2）=0（x﹣2）（1﹣x）=0x1=2，x2=1；71. x2+8x﹣9=0（x+9）（x﹣1）=0x1=﹣9，x2=172．x（2x﹣5）=4x﹣10．原方程可变形为：x（2x﹣5）﹣2（2x﹣5）=0，（2x﹣5）（x﹣2）=0，2x﹣5=0或x﹣2=0；解得x1=，x2=2．74．（2x﹣5）2﹣（x+4）2=0因式分解，得[（2x﹣5）+（x+4）][（2x﹣5）﹣（x+4）]=0，整理得，（3x﹣1）（x﹣9）=0解得，x1=，x2=9．74．2（x﹣1）2=x2﹣1原方程即为2（x﹣1）2﹣（x2﹣1）=0， 2（x﹣1）2﹣（x+1）（x﹣1）=0，（x﹣1）[2（x﹣1）﹣（x+1）]=0，（x﹣1）（x﹣3）=0， x1=1，x2=3；75.（x﹣1）（x﹣+3）=0，∴x1=1，x2=-376. 4x（2x﹣1）=3（2x﹣1）；原方程可化为：4x（2x﹣1）﹣3（2x﹣1）=0，（2x﹣1）（4x﹣3）=0，2x﹣1=0或4x﹣3=0，解得：，；77. 2x2+x﹣1=0．原方程可化为：（2x﹣1）（x+1）=0，2x﹣1=0或x+1=0，解得：，x2=﹣1．78. （3x﹣2）（x+4）=（3x﹣2）（5x﹣1）；解：（3x﹣2）（x+4）﹣（3x﹣2）（5x﹣1）=0 （3x﹣2）[（x+4）﹣（5x﹣1）]=0（3x﹣2）（﹣4x+5）=03x﹣2=0或﹣4x+5=0；79. （x+1）（x+3）=15．方程整理得：x2+4x﹣12=0（ x+6）（x﹣2）=0x1=﹣6，x2=2．80. x2﹣5x﹣6=0解：（x﹣6）（x+1）=0，x﹣6=0或x+1=0，∴原方程的解是x1=6，x2=﹣1．81. x2﹣2x=99解：（x﹣11）（x+9）=0，x﹣11=0或x+9=0，∴原方程的解是x1=11，x2=﹣9．82. （x﹣3）2﹣4x+12=0解：（x﹣3）2﹣4（x﹣3）=0，（x﹣7）（x﹣3）=0，x﹣3=0或x﹣7=0，∴原方程的解是x1=3，x2=7．83. 4（x+1）2=9（x﹣2）2解：（2x+2）2=（3x﹣6）2，（2x+2+3x﹣6）（2x+2﹣3x+6）=0，即：（5x﹣4）（8﹣x）=0，x=8或x=，∴原方程的解是84. x2=2x移项，得x2﹣2x=0，因式分解，得x（x﹣2）=0，所以x=0或x=2．85. （x+4）2=5（x+4）移项，得，（x+4）2﹣5（x+4）=0，因式分解得，（x+4）[（x+4）﹣5]=0，x+4=0或x﹣1=0，解得，x1=﹣4，x2=187. 16（x﹣1）2=22516（x﹣1）2﹣152=0，所以[4（x﹣1）+15][4（x﹣1）﹣15]=0，即4x+11=0，4x﹣19=0，得x1=﹣，x2=．88. 4x2﹣4x+1=x2﹣6x+9方程变为（2x﹣1）2﹣（x﹣3）2=0，所以[（2x﹣1）+（x﹣3）][（2x﹣1）﹣（x﹣3）]=0，即3x﹣4=0，x+2=0，得x1=，x2=﹣2．89. 9（x+1）2=4（x﹣1）2（4）x2﹣4x+4=（3﹣2x）2原方程变为[3（x+1）]2﹣[2（x﹣1）]2=0，所以[3（x+1）+2（x﹣1）][3（x+1）﹣2（x﹣1）]=0，即（5x+1）（x+5）=0，得x1=﹣，x2=﹣5．90. （x﹣2）2=（3﹣2x）2．（x﹣2）2﹣（3﹣2x）2=0，（x﹣2+3﹣2x）（x﹣2﹣3+2x）=0，（1﹣x）（3x﹣5）=0，所以x1=1，x2=91. （x+2）2﹣10（x+2）+25=0因式分解得，[（x+2）﹣5]2=0，解得，x1=x2=392．x2﹣2（p﹣q）x﹣4pq=0．∵x2﹣2（p﹣q）x﹣4pq=0∴（x﹣2p）（x+2q）=0，∴x1=2p，x2=﹣2q．93．x2+10x+21=0，把左边分解因式得：（x+3）（x+7）=0，则：x+3=0，x+7=0，解得：x1=﹣3，x2=﹣7．94.2（x﹣2）2=3（x﹣2）∵2（x﹣2）2=3（x﹣2），∴（x﹣2）（2x﹣4﹣3）=0，即x﹣2=0或2x﹣7=0，解得：x1=2，x2=；95. 3（x﹣5）2=2（5﹣x），变形得：3（5﹣x）2=2（5﹣x），移项得：3（5﹣x）2﹣2（5﹣x）=0，分解因式得：（5﹣x）（13﹣3x）=0，则：5﹣x=0，13﹣3x=0，解得：x1=5，x2=；96. ，分解因式得：（x﹣）（x﹣）=0，则x﹣=0，x ﹣=0，解得：x1=，x2=．97. 5x2﹣4x﹣12=0，（5x+6）（x﹣2）=0，5x+6=0，x﹣2=0，x1=﹣，x2=2．98. （x ﹣）=5x （﹣x），（x ﹣）+5x（x ﹣）=0，（x ﹣）（1+5x）=0，x﹣=0，1+5x=0，x1=，x2=﹣．99．9（x﹣2）2﹣4（x+1）2=0．9（x﹣2）2﹣4（x+1）2=0（3x﹣6+2x+2）（3x﹣6﹣2x﹣2）=0，整理得：（5x﹣4）（x﹣8）=0，解方程得：x1=，x2=8100．．x（x﹣2）=2（x+6），x2﹣2x=2x+12，x2﹣4x﹣12=0，（x﹣6）（x+2）=0，x1=6，x2=﹣2．∴原方程的根为x1=6，x2=﹣2101．（2）x2﹣8x+15=0；把左边分解因式得：（x﹣3）（x﹣5）=0，则x﹣3=0，x﹣5=0，解得：x1=5，x2=3；102. ；移项得：y2﹣2y+2=0，（y ﹣）2=0，两边开方得：y﹣=0，则y1=y2=；103. 6x2﹣x﹣12=0．由原方程，得（2x﹣3）（3x+4）=0，解得，x=，或x=﹣104. 2x2﹣x﹣6=0原方程化为（2x+3）（x﹣2）=0，解得x1=﹣，x2=2；105. ﹣x2+6x﹣5=0原方程化为x2﹣6x+5=0分解因式，得（x﹣1）（x﹣5）=0，解得x1=1，x2=5；106. （x﹣5）2=（2x﹣1）（5﹣x）移项，得（x﹣5）2+（2x﹣1）（x﹣5）=0，提公因式，得（x﹣5）（x﹣5+2x﹣1）=0，解得x1=5，x2=2107. （x+1）（x+2）=3x+6．∵（x+1）（x+2）=3x+6，∴（x+1）（x+2）=3（x+2），∴（x+1）（x+2）﹣3（x+2）=0，∴（x+2）（x+1﹣3）=0，∴x+2=0或x+1﹣3=0∴x1=﹣2，x2=2108. x2﹣9=0，x2=9，解得：x1=3，x2=﹣3，109. x2+3x﹣4=0，（x﹣1）（x+4）=0，解得：x1=1，x2=﹣4，110. x2﹣3x+2=0，（x﹣1）（x﹣2）=0，解得：x1=1，x2=2111. 4（3x﹣1）2 =25（2x+1）2．∵4（3x﹣1）2﹣25（2x+1）2=0，∴[2（3x﹣1）﹣5（2x+1）][2（3x﹣1）+5（2x+1）]=0，∴2（3x﹣1）﹣5（2x+1）=0或2（3x﹣1）+5（2x+1）=0，∴x1=﹣，x2=﹣．112. （3x+5）2﹣4（3x+5）+3=0设3x+5=y，则原方程变为y2﹣4y+3=0，∴（y﹣1）（y﹣3）=0，解得，y=1或y=3；①当y=1时，3x+5=1，解得x=﹣；②当y=3时，3x+5=3，解得，x=﹣；∴原方程的解是x=﹣，或x=﹣；113. （3x+2）（x+3）=x+14由原方程，得（x+4）（3x﹣2）=0，解得x=﹣4，或x=；114. 3（x+1）2=（x+1）移项得，3（x+1）2﹣（x+1）=0，提公因式得，（x+1）（3x+3﹣1）=0，即x+1=0或3x+3﹣1=0，解得x1=﹣1，x2=﹣115.（x﹣2）2﹣4=0∵（x﹣2﹣2）（x﹣2+2）=0，∴x﹣2﹣2=0或x﹣2+2=0，∴x1=4，x2=0；116.（x﹣3）2+2x（x﹣3）=0 ∵（x﹣3）（x﹣3+2x）=0，∴x﹣3=0或x﹣3+2x=0，∴x1=3，x2=1；117.（3x﹣1）2=（x+1）2∵3x﹣1=±（x+1），即3x﹣1=x+1或3x﹣1=﹣（x+1），∴x1=1，x2=0；118.（x+5）2﹣2（x+5）﹣8=0．∵[（x+5）﹣4][（x+5）+2]=0，∴（x+5）﹣4=0或（x+5）+2=0，∴x1=﹣1，x2=﹣7．119. x2﹣8x=9变形为：x2﹣8x﹣9=0，（x﹣9）（x+1）=0，则：x﹣9=0或x+1=0，解得：x1=9，x2=﹣1；120. （x﹣2）2=（2x+3）2．变形为：（x﹣2）2﹣（2x+3）2=0，（x﹣2+2x+3）（x﹣2﹣2x﹣3）=0，（3x+1）（﹣x﹣5）=0，则：3x+1=0，﹣x﹣5=0，解得：x1=﹣，x2=﹣5．121. x2﹣3=3（x+1）；整理得x2﹣3x﹣4=0，∴（x+1）（x﹣4）=0，∴x+1=0或x﹣4=0，∴x1=﹣1，x2=4；122. （y﹣3）2+3（y﹣3）+2=0 ∵（y﹣3+2）（y﹣3+1）=0，∴y﹣3+2=0或y﹣3+1=0，∴y1=1，y2=2；123. 7x（5x+2）=6（5x+2）∵7x（5x+2）﹣6（5x+2）=0，∴（5x+2）（7x﹣6）=0，∴5x+2=0或7x﹣6=0，∴x1=﹣，x2=124．（3）6（x+4）2﹣（x+4）﹣2=06（x+4）2﹣（x+4）﹣2=0，[3（x+4）﹣2][2（x+4）+1]=0，（3x+4）（2x+7）=0，3x+4=0，2x+7=0，解得：x1=﹣，x2=﹣；125. x2﹣（3m﹣1）x+2m2﹣m=0，（x﹣m）[x﹣（2m﹣1）]=0，x﹣m=0，x﹣（2m﹣1）=0，解得：x1=m，x2=2m﹣1126．x2﹣2x﹣224=0．x2﹣2x﹣224=0（x﹣16）（x+14）=0，解得：x1=16；x2=﹣14．127．方程两边同时乘以2，得（x+3）2=4（x+2）2，移项，得（x+3）2﹣4（x+2）2，=0，（x+3+4x+8）（x+3﹣4x﹣8）=0，即5x+11=0或﹣3x﹣5=0，解得x1=﹣，x2=﹣；128．5x（x﹣3）﹣（x﹣3）（x+1）=0．∵（x﹣3）（5x﹣x﹣1）=0，∴x﹣3=0或5x﹣x﹣1=0，∴x1=3，x2=129．x2﹣11x+28=0x2﹣11x+28=0，（x﹣4）（x﹣7）=0，x﹣4=0，x﹣7=0，x1=4，x2=7130. 4y2﹣25=0；（2y+5）（2y﹣5）=0，所以y1=﹣，y2=；131.（2x+3）2﹣36=0；（2x+3）2﹣36=0；（2x+3+6）（2x+3﹣6）=0，所以x1=﹣，x2=；132. x2﹣3x+2=0；（x﹣1）（x﹣2）=0，所以x1=1，x2=2；133. 2t2﹣7t﹣4=0；（t﹣4）（2t+1）=0，所以t1=4，t2=﹣；134. 5y（y﹣1）=2（y﹣1）方程变形得：5y（y﹣1）﹣2（y﹣1）=0，因式分解得：（y﹣1）（5y﹣2）=0，可得y﹣1=0或5x﹣2=0，解得：y1=1，y2=．135. x2+（1+2）x+3+=0；（x+）（x+1+）=0x+=0或x+1+=0∴x1=﹣，x2=﹣1﹣．136.（x﹣3）2+（x+4）2﹣（x﹣5）2=17x+24．原方程整理得：x2﹣5x﹣24=0（x﹣8）（x+3）=0∴x1=8，x2=﹣3．137.x2﹣3|x|﹣4=0|x|2﹣3|x|﹣4=0（|x|﹣4）（|x|+1）=0|x|﹣4=0|x|+1≠0∴|x|=4∴x1=4，x2=﹣4．。
一元二次方程的概念和解法
一元二次方程的概念和解法一．一元二次方程的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式：20(0)ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项．判断是一元二次方程的标准：①整式方程 ②一元方程 ③二次方程二．一元二次方程的解一元二次方程的解：使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．题模一：概念例1.1.1下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ．2210x x += B ．20ax bx c ++= C ．223253x x x --= D ．()()121x x -+=例1.1.2方程(2)310m m x mx +++=是关于x 的一元二次方程，则m =______例1.1.3若()22230m m x x --+-=是关于x 的一元二次方程，则m 的值为_________例1.1.4已知关于x 的方程：2(2)(1)60m mm x m x --+-+=是一元二次方程，试求m的值_____．例1.1.5若方程()211m x x -=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是__________．例1.1.6方程()13242+=+x x 的二次项系数是______，一次项系数是_______，常数项是_______题模二：解例1.2.1关于x 的一元二次方程()22110a x x a -++-=的一个根是0，则a 的值为_________________．例 1.2.2已知方程()()2230x m x n +-++=的两根分别是2-、3-，则=-n m __________。
例1.2.3已知1x =是关于x 的方程20x mx n ++=的一个根，则222m mn n ++的值为_______．随练1.1关于x 的方程023)1()1(2=++++-m x m x m ，当m __________时是一元一次方程；当m __________时是一元二次方程随练1.2若一元二次方程222(2)3(15)40m x m x m -+++-=的常数项为零，则m 的值为_________随练 1.3已知方程()()2230x m x n +-++=的两根分别是2-、3-，则m n -=__________随练1.4若关于x 的一元二次方程为ax 2+bx+5=0（a ≠0）的解是x=1，则2013-a-b 的值是（ ） A ．2018B ．2008C ．2014D ．2012一．直接开平方法若()20x a a =≥，则x 叫做a 的平方根，表示为x =这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法． 二．直接开平方法的基本类型1．2(0)x a a =≥解为：x =2．2()(0)x a b b +=≥解为：x a += 3．2()(0)ax b c c +=≥解为：ax b += 4．22()()()ax b cx d a c +=+≠ 解为：()ax b cx d +=±+题模一：直接开平方法例2.1.1方程（x ﹣1）2=4的根是__． 例2.1.2方程（x+2）2﹣9=0的解为：__例2.1.3一元二次方程4（x ﹣1）2﹣9=0的解是 ． 例2.1.4求x 的值：21(51)303x --=随练2.1解下列方程：（1）2280x -= （2）225160x -= （3）()2190x --=随练2.2解关于x 的方程：2269(52)x x x -+=-随练2.3若方程()224x a -=-有实数根，则a 的取值范围是________.随练2.4解关于x 的方程：22(31)85x +=作业1若2|1|0b a -+=，则下列方程一定是一元二次方程的是（ ）A ．250ax x b +-=B ．()()221350b x a x -++-=C ．()()21170a x b x -+--=D ．()2110b x ax ---=作业2已知关于x 的方程22()(2)x a ax -=-是一元二次方程，求a 的取值范围．作业3若n （n ≠0）是关于x 方程x 2+mx+2n=0的根，则n+m+4的值为（ ） A ．1B ．2C ．-1D ．-2作业4解关于x21)x -=作业5用直接开平方法解下列一元二次方程 （1）29160x -= （2）()25160x +-= （3）()()22531x x -=+ （4）()()22425931x x -=-一．配方法配方法：把方程化成左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，再利用直接开平方法求解的这样一种方法就叫做配方法．二．配方法的一般步骤：运用配方法解形如20(0)ax bx c a ++=≠的一元二次方程的一般步骤是： 1．二次项系数化1； 2．常数项右移；3．配方（两边同时加上一次项系数一半的平方）； 4．化成2()x m n +=的形式；5．若0n ≥，选用直接开平方法得出方程的解．22220 (0)()0 ()()022b b bax bx c a a x x c a x a c a a a++=≠++=⇒+-+=⇒222224()()2424b b b b aca x c x a a a a-⇒+=-⇒+=．题模一：配方法例1.1.1用配方法解方程：2640x x --=例1.1.2用配方法解下列方程： （1）22810x x +-= （2）2420x x ++= （3）211063x x +-= （4）231y +=例1.1.3已知2246130x y x y ++-+=，x 、y 为实数，求y x 的值例1.1.4选用适当的方法，解下列方程： （1）（x ﹣1）2=3 （2）2x 2﹣5x+3=0．题模二：最值问题例1.2.1试用配方法说明223x x -+的值恒大于0例1.2.2已知x 、y 为实数，求代数式22247x y x y ++-+的最小值随练1.1若把代数式257x x ++化为()2x m k -+的形式，其中m 、k 为常数，则k m -=_________．随练1.2已知a ，b ，c 均为实数，且4a b +=，2210c ab -=-，求ab 的值．随练1.3用配方法说明21074x x -+-的值恒小于0 随练1.4已知x ，y 为实数，求代数式2254824x y xy x +-++的最小值．一．公式法公式法：一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+=根的判别式24b ac ∆=-，12,x x 是方程的两根，若240b ac ∆=-≥，则1,2x =．二．公式法解一元二次方程的一般步骤1．把方程化为一般形式； 2．确定a 、b 、c 的值； 3．计算24b ac -的值；4．若240b ac -≥，则代入公式求方程的根； 5．若240b ac -<，则方程无解．三．判别式与根的关系1．0∆>时，原方程有两个不相等的实数解； 2．0∆=时，原方程有两个相等的实数解； 3．0∆<时，原方程没有实数解．题模一：公式法例2.1.1解方程：x 2+4x ﹣1=0．例2.1.2解方程1(61)432(2)2x x x x ++-=+ 例2.1.3用公式法解关于x 的一元二次方程()()212130m x m x m -+-+-=．例2.1.4解方程：320x x x -+=题模二：判别式与根的关系例2.2.1下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的方程是（ ） A ．x 2+1=0 B ．x 2﹣3x+1=0 C ．x 2﹣2x+1=0 D ．x 2﹣x+1=0例2.2.2已知关于x 的一元二次方程2210mx x +-=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ） A ．1m <- B ．1m > C ．1m <且0m ≠ D ．1m >-且0m ≠例2.2.3关于x 的方程（a-6）x 2-8x+6=0有实数根，则整数a 的最大值是（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9随练2.1用公式法解一元二次方程22310x x --=．随练2.2解方程(5)(7)1x x --= 随练2.3解关于x 的方程：20x px q ++=．随练2.4解关于x 的方程210x x --=．随练2.5下列一元二次方程中无实数解的方程是（ ） A ．x 2+2x+1=0 B ．x 2+1=0 C ．x 2=2x-1 D ．x 2-4x-5=0随练2.6若关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）2210kx x --=A ．B ．C ．且D ．且随练2.7已知关于x 的一元二次方程（m-1）x 2+x+1=0有实数根，则m 的取值范围是（ ） A ．m ≥-54且m ≠1 B ．m ≤54且m ≠1 C ．m ≥54 D ．m ≤-54且m ≠0一．因式分解法因式分解法：当一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用分解因式的方法求解，这种用分解因式解一元二次方程的方法叫做因式分解法．因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个为0，即：若0ab =，则0a =或0b =．题模一：因式分解法例3.1.1用因式分解法解方程：()()23430x x x -+-=例3.1.2用因式分解法解方程：23440x x --=．1k >-1k <1k >-0k ≠1k <0k≠例3.1.3用因式分解法解方程：()()22921610x x --+=．例3.1.4用因式分解法解方程：222320x mx m mn n -+--=，（m 、n 为常数）随练3.1用因式分解法解方程：()22136x x-=-．随练3.2用因式分解法解方程：()22510531x x x -+=-随练3.3用因式分解法解方程：26350x x --=．随练 3.4用因式分解法解关于x 的一元二次方程()()221631720mx m x ---+=（21m ≠）．。
用因式分解法 求解一元二次方程
用因式分解法求解一元二次方程教学设计一、学情分析学生的知识技能基础：在前几册学生已经学习了一元一次方程、二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程等，初步感受了方程的模型作用，并积累了解一元一次方程的方法，熟练掌握了解一元一次方程的步骤；在八年级学生学习了因式分解，掌握了提公因式法及运用公式法（平方差、完全平方）熟练的分解因式；在本章前几节课中又学习了配方法及公式法解一元二次方程，掌握了这两种方法的解题思路及步骤。
学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了用配方法和公式法求一元二次方程的解的过程，并在现实情景中加以应用，切实提高了应用意识和能力，也感受到了解一元二次方程的必要性和作用；同时在以前的数学学习中，学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
二、教学任务分析本课的具体学习任务：能根据已有的分解因式知识解决形如“x(x－a)=0”和“x2－a2=0”的特殊一元二次方程。
但这仅仅是这堂课具体的教学目标，或者说是一个近期目标。
数学教学由一系列相互联系而又渐次递进的课堂组成，因而具体的课堂教学也应满足于远期目标，或者说，数学教学的远期目标，应该与具体的课堂教学任务产生实质性联系。
本课《因式分解法》内容从属于“方程与不等式”这一数学学习领域，因而务必服务于方程教学的远期目标：“经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程，体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型，并在解一元二次方程的过程中体会转化的数学思想，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力。
”同时也应力图在学习中逐步达成学生的有关情感态度目标。
三、教学目标1、能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性；2、会用因式分解法（提公因式法、公式法）解决某些简单的数字系数的一元二次方程；四、教学过程分析本节课设计了七个教学环节：第一环节：复习回顾；第二环节：情境引入，探究新知；第三环节：例题解析；第四环节：巩固练习；第五环节：拓展延伸；第六环节：感悟与收获；第七环节：布置作业。
第四节用因式分解法求解一元二次方程
(1)(x 5)(x 2) 18
解：整理原方程，得
x2－3x－28=0 (x－7)(x+4)=0 x－7=0,或x+4=0
x1=7,x2= -4
(2)(2a 3)2 (a 2)(3a 4)
解：去括号，整理，得 a2 2a 1 0 (a 1)2 0
a1 a2 1.
x 3 0或x 2 0,
x1 3, x2 2.
(3) x2 3 x(3 2x) x(3x 1)
3
2
3
解：去分母，得
2(x2 3) 3x(3 2x) 2x(3x 1), 去括号，移项，合并同类项，得
2x2 7x 6 0,
(x 2)(2x 3) 0
x 2 0或2x 3 0
3x+1+ 5=0或3x+1－ 5 =0
∴ x1=
1 3
5
,
x2=
Байду номын сангаас
1 3
5
用因式分解法解一元二次方程的步骤
1. 方程右边不为零的化为 零 . 2. 将方程左边分解成两个一次因式 的 乘积. 3. 至少 有一个 一次因式为零，得到两 个一元一次方程. 4. 两个 一元一次方程的解 就是原方程 的解.
这样解是否正确呢？ 方程的两边同时除以同一个
不等于零的数，所得的方程与原 方程 同解.
(4)x2 x
解：(1)当x 0时，左边 02 0，右边 0. 左边 右边， x 0是原方程的解；
(2)当x 0时, 方程的两边同除以x，得 x 1
原方程的解为x1 0, x2 1.
(4)x2 x
x1
2，x2
3. 2
3.4 用因式分解法解一元二次方程
你能自己解方程吗？ 你能自己解方程吗？
配方法
解 x2 −3x = 0 : 9 9 x −3x + = 4 4
2
公式法 解:x2 −3x = 0
∵a=1,b=-3,c=0 ∴b2 − 4ac = (−3)2 − 4×1×0 = 9〉0 3± 9 3± 3 ∴x = = 2×1 2 x1 = 3, x2 = 0
2 3.解 程 (2)2x2 + 7x = 4 方 :(1)x − 2x − 2 = 0
解 程:(1)x2 − 2x − 2 = 0 方
解析： 解析： x2 − 2x = 2 (1)
x2 − 2x + (−1)2 = 2 + (−1)2 (x −1)2 = 3 x −1 = ± 3 x = ± 3 +1 ∴x1 = 3 +1, x2 = − 3 +1
忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的． ——卢梭
2
3.x1 = 3 x2 = 2. ;
4.x = − 1 1 4 ; x2 = = x(2x +1 )
5.3x(x + 2) = 5(x + 2)
5 5.x1 = −2; x2 = . 3
3.观察下列各式,也许你能发现些什么? 3.观察下列各式,也许你能发现些什么? 观察下列各式
新课导 入
1用配方法解一元二次方程的关键是将方程转化为 =n（n≥0 (x+m)2=n（n≥0） 的形式 ___________________的形式； ___________________的形式； 一般形式 2.用公式法解一元二次方程应先将方程化为_________； 2.用公式法解一元二次方程应先将方程化为_________； 用公式法解一元二次方程应先将方程化为_________
《用因式分解法求解一元二次方程》示范教学方案
第二章一元二次方程2.4 用因式分解法求解一元二次方程一、教学目标1．能用因式分解法（提公因式法、公式法）解某些数字系数的一元二次方程．2．能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性．二、教学重点及难点重点：会用因式分解法（提公因式法、公式法）解某些简单数字系数的一元二次方程．难点：依据方程的特征，灵活选择方程的解法．三、教学用具多媒体课件.四、相关资源《因式分解法解一元二次方程》微课.五、教学过程【复习引入】1．因式分解的方法有哪几种？提公因式法、公式法2．将下列各式在实数范围内因式分解：（1）4x2-12x；（2）4x2-9；（3）(2x-1)2-(x-3)2．3．判断正误：（1）若ab=0，则a=0或b=0．（）．（2）若(x+2)(x-5)=0，则x+2=0或x-5=0．（）．（学生口答，教师点评）4．解下列方程：（1）2x2+x=0（用配方法）；（2）3x2+6x=0（用公式法）．学生独立解方程，教师找学生代表回答．答案：1．提公因式法、公式法．2．（1）4x(x-3)；（2）(2x+3)(2x-3)；（3）(3x-4)(x+2)．3．（1）对；（2）对．4．（1）x 1=0，x 2=；（2）x 1=0，x 2=-2． 设计意图：回顾与复习因式分解的知识，为下一步学习作好准备，通过观察、讨论发现方程的特征，引导学生思考方程的特殊解法．【探究新知】一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？师生活动：教师出示问题，学生倾听、思考，并尝试列方程．教师找有思路的学生讲述解题思路，并向用因式分解法解一元二次方程引导．设计意图：创设问题情境，激发学生的好奇心和求知欲．针对上面的问题，设这个数为x ，根据题意，得方程x 2=3x ，整理得x 2-3x =0x （x -3）=0x =0或x -3=0所以x 1=0或x 2=3像这样，先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用因式分解法求解．设计意图：通过探究活动，激发学生学习新方法解一元二次方程的积极性和兴趣．教师和学生共同研究因式分解法解一元二次方程的过程，体验因式分解法解一元二次方程的妙用，从而获得成功的喜悦，提高学生学习的热情，体会用因式分解法“降次”的思想．出示题目后可以先让学生各自求解，然后交流，对学生的方法进步比较与评析，如果学生想不到因式分解的方法，再展示用因式分解法解方程。
人教版数学九年级上册《解一元二次方程》一元二次方程(因式分解法)
解一元二次方程的方法：
直接开平方法： 直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法.
用直接开平方法解形如 x m2 nn 的0方 程，
其解为 x n m. 配方法： 把一元二次方程移项之后，在等式两边都加上一次项系数的
一半的平方（配方），使方程一边是完全平方式，另一边是 常数，当此常数是非负数时，直接开平方求解.
新知探究
（1）因式分解法的条件是方程左边易于分解，而右边等于零，关键是熟练 掌握分解因式的知识，理论依旧是“如果两个因式的积等于零，那么至少 有一个因式等于零.” （2）因式分解法，突出了转化的思想方法，鲜明地显示了“二次”转化为 “一次”的过程. （3）在解一元二次方程的时候，要具体情况具体分析，选择合适的解一元 二次方程的方法.
新知探究
例1 解方程：x(x－2)＋x－2＝0. 解： 因式分解，得
(x－2)(x＋1)＝0. 于是得
x－2＝0，或x＋1＝0， x1＝2，x2＝－1.
转化为两个一元 一次方程
新知探究
例2 解方程：5x2 2x 1 x2 2x 3 .
4
4
新知探究
用因式分解法解一元二次方程的步骤： 1.移项：将方程化为一般形式； 2.分解：将方程的左边分解为两个一次式的乘积； 3.转化：令每一个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； 4.求解：解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解.
方法吗？ 10x - 4.9x 2 = 0 x(10 - 4.9x) = 0
两个因式的积等于零
x = 0 或 10 - 4.9x = 0
x1 = 0，x2 =
100 49
至少有一个因式为零
新知探究
解方程10x－4.9x2＝0时，二次方程是如何降为一次的？ 可以发现，上面的解法中，不是用开平方降次，而是先因式分解，使 方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于 0，从而实现降次．这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．
用因式分解法求解一元二次方程教学设计
2.４用因式分解法求解一元二次方程教学目标1、能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性；2、会用因式分解法（提公因式法、公式法）解决某些简单的数字系数的一元二次方程；3、通过因式分解法的学习，培养学生分析问题、解决问题的能力，并体会转化的思想。
教学过程本节课设计了七个教学环节：第一环节：复习回顾；第二环节：情境引入，探究新知；第三环节：例题解析；第四环节：巩固练习；第五环节：拓展延伸；第六环节：感悟与收获；第七环节：布置作业。
第一环节：复习回顾内容：1、用配方法解一元二次方程的关键是将方程转化为(x+m)2=n（n≥0）的形式。
2、用公式法解一元二次方程应先将方程化为一般形式。
3、选择合适的方法解下列方程：①x2-6x=7 ②3x2+8x-3=0目的：以问题串的形式引导学生思考，回忆两种解一元二次方程的方法，有利于学生衔接前后知识，形成清晰的知识脉络，为学生后面的学习作好铺垫。
实际效果：第一问题学生先动笔写在练习本上，有个别同学少了条件“n≥0”。
第二问题由于较简单，学生很快回答出来。
第三问题由学生独立完成，通过练习学生复习了配方法及公式法，并能灵活应用，提高了学生自信心。
第二环节：情景引入、探究新知内容：1、师：有一道题难住了我，想请同学们帮助一下，行不行？生：齐答行。
师：出示问题，一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果能，这个数是几？你是怎样求出来的？说明：学生独自完成，教师巡视指导，选择不同答案准备展示。
附：学生A：设这个数为x，根据题意，可列方程x2=3x∴x2-3x=0∵a=1,b= -3,c=0 ∴ b2-4ac=9∴ x1=0, x2=3∴这个数是0或3。
学生B：:设这个数为x，根据题意，可列方程x2=3x∴ x2-3x=0x2-3x+(3/2)2=(3/2) 2 (x-3/2) 2=9/4 ∴ x-3/2=3/2或x-3/2= -3/2∴ x1=3, x2=0∴这个数是0或3。
用因式分解法解一元二次方程
(2)5 x 2 2 x
1 3 x2 2x , 4 4
设计思路：学生自学例题，培养自主学习能力。 教师点拨： 第一个方程要注意将 x-2 看做一个整体体现了数学中的整体思想对于第二个方程， 很难直接得到合适的方法，可以先行化简，再寻求合适的方法 （四）拓展提升 你能选择合适的方法解下列二次方程吗？ 2 （1）4（x+3） =5 2 (2)x +8x-20=0 2 (3)6x +2=7x (4)5x(x-2)-（x-2）=0 学生自主选择合适的方法解方程 小组交流，小组展示交流结果，小组交流：怎样选择合适的方法解一元二次方程。 设计思路：让学生体会解题方法的多样性，并能比较不同方法间的优劣。 教师点拨：解一元二次方程时，首先观察方程首先考虑能不能用直接开平方法和因式分解法； 对于二次项系数是 1，一次项系数是偶数的可考虑配方法；公式法是万能公式，任何一元二次方 程化为一般式后都能利用公式法解决。 学生完成，不会的交流解决。 设计思路：拓展提升，拓宽学生的视野，加深应用。 （五）、课堂小结 学习了本节课，你在知识方面、方法方面等有哪些收获？还有那些疑惑？ 学生回答 设计思路：回顾总结梳理知识，让学生全面落实教学目标。 （六） 、达标检测： 用合适的方法解一元二次方程： 2 2 （1） （2x+1） =(1-3x) 2 (2)x -3x-10=0 2 (3)2x -7x+3=0 (4)(2y-1)(y+3)=4 学生独立完成
教具：（1）教师自制的多媒体课件； （2）教师为每个学生打印的课堂练习题；教法与学法：合作─探究，总结─归纳 师生互动活动设计：
1、复习整式的加减运算，为引入二次根式的加减运算作铺垫。
2、教师通过自主学习（一）引入同类二次根式的定义． 五、教学方法与手段 1、教学方法：独学，对学，群学
《用因式分解法求解一元二次方程》word教案 (公开课获奖)2022北师版 (2)
2.4分解因式法分解因式法是解某些一元二次方程较为简便且灵活的一种特殊方法．它是把一个一元二次方程化为两个一元一次方程来解．体现了一种“降次”的思想，这种思想在以后处理高次方程时非常重要．这部分内容的基本要求是让学生学会方法．本节的重、难点是利用分解因式法来解某些一元二次方程．由于《标准》中降低了分解因式的要求，根据学生已有的分解因式知识，学生仅能解决形如“x(x-a)＝0”“x2-a2＝0”的特殊一元二次方程．所以在教学中，可以先出示一个较为简单的方程，让学生先各自求解，然后进行比较与评析，发现因式分解是解某些一元二次方程较为简便的方法，从而引出分解因式法．其基本思想和方法是：一个一元二次方程一边是零，而另一边易于分解成两个一次因式时，可以使每一个因式等于零，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原一元二次方程的解．这种思想和方法是用分解因式法解一元二次方程的重点．通过方法的比较，力求让学生根据方程的具体特征，灵活选取适当的解法，从而让学生体会解决问题的多样性．教学目标(一)教学知识点1．应用分解因式法解一些一元二次方程．2．能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法．(二)能力训练要求1．能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性．2．会用分解因式法(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程．(三)情感与价值观要求通过学生探讨一元二次方程的解法，使他们知道分解因式法是一元二次方程解法中应用较为广泛的简便方法，它避免了复杂的计算，提高了解题速度和准确程度．再之，体会“降次”化归的思想．教学重点应用分解因式法解一元二次方程．教学难点形如“x2＝ax”的解法．教学方法启发引导式归纳教学法．教具准备投影片五张．第一张：复习练习(记作投影片§2．4 A)第二张：引例(记作投影片§2．4 B)第三张；议一议(记作投影片§2．4C)第四张：例题(记作投影片§2．4 D)第五张：想一想(记作投影片§2．4 E)教学过程Ⅰ．巧设现实情景，引入新课[师]到现在为止，我们学习了解一元二次方程的三种方法：直接开平方法、配方法、公式法，下面同学们来做一练习．(出示投影片§2．4 A)解下列方程：(1)x2-4＝0；(2)x2-3x+1＝0；(3)(x+1)2-25＝0；(4)20x2+23x-7＝0．[生]老师，解以上方程可不可以用不同的方法?[师]可以呀．[生甲]解方程(1)时，既可以用开平方法解，也可以用公式法来求解，就方程的特点，我采用了开平方法，即解：x2-4＝0，移项，得x2＝4．两边同时开平方，得x＝±2．∴x1＝2，x2=-2．[生乙]解方程(2)时，既可以用配方法来解，也可以用公式法来解，我采用了公式法，即解：这里a ＝1，b ＝-3，c ＝1．b 2-4ac ＝(-3)2-4×1×1＝5>0，∴x=253± ∴x 1=253+，x 2=253- [师]乙同学，你在解方程(2)时，为什么选用公式法，而不选配方法呢?[生乙]我觉得配方法不如公式法简便．[师]同学们的意见呢?[生齐声]同意乙同学的意见．[师]很好，继续．[生丙]解方程(3)时，可以把(x+1)当作整体，这时用开平方法简便，即解：移项，得(x+1)2＝25．两边同时开平方，得x+1＝±5，即x+1＝5，x+1＝-5．∴x 1=4，x 2=-6[生丁]解方程(4)时，我用的公式法求解，即解：这里a ＝20，b ＝23，c ＝-7，b 2-4ac ＝232-4×20×(-7)＝1089＞0，∴x ＝403323202108923±-=⨯±-. ∴x 1= x 2=-.[师]很好，由此我们知道：在已经学习的解一元二次方程的三种方法——直接开平方法、配方法、公式法中，直接开平方法只能解某些特殊形式的方程，配方法不如公式法简便．因此，大家选用的方法主要是直接开平方法和公式法．公式法是解一元二次方程的通法，有普遍的适用性，即可以解任何一个一元二次方程．用公式法解一元二次方程，首先要把方程化为一般形式，从而正确地确定a、b、c的值；其次，通常应先计算b2-4ac的值，然后求解．一元二次方程是不是只有这三种解法呢?有没有其他的方法?今天我们就来进一步探讨一元二次方程的解法．Ⅱ．讲授新课[师]下面我们来看一个题．(出示投影片§2．4 B)一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗?如果相等，这个数是几?你是怎样求出来的?[师]大家先独自求解，然后分组进行讨论、交流．[生甲]解这个题时，我先设这个数为x，根据题意，可得方程x2=3x．然后我用公式法来求解的．解：由方程x2＝3x，得x2-3x=0．这里a=1，b=-3，c＝0.b2-4ac＝(-3)2-4×1×0＝9>0．所以x=293即x1=3，x2＝0．因此这个数是0或3．[生乙]我也设这个数为x，同样列出方程x2＝3x．解：把方程两边同时约去x，得x＝3．所以这个数应该是3．[生丙]乙同学做错了，因为0的平方是0，0的3倍也是0．根据题意可知，这个数也可以是0．[师]对，这说明乙同学在进行同解变形时，进行的是非同解变形，因此丢掉了一个根．大家在解方程的时候，需要注意：利用同解原理变形方程时，在方程两边同时乘以或除以的数，必须保证它不等于0，否则，变形就会错误．这个方程还有没有其他的解法呢?[生丁]我把方程化为一般形式后，发现这个等式的左边有公因式x，这时可把x提出来，左边即为两项的乘积．前面我们知道：两个因式的乘积等于0，则这两个因式为零，这样，就把一元二次方程降为一元一次方程，此时，方程即可解．解：x2-3x＝0，x(x-3)＝0，于是x＝0，x-3＝0．∴x1=0，x2=3因此这个数是0或3．[师]噢，这样也可以解一元二次方程，同学们想一想，行吗?[生齐声]行．[师]丁同学应用的是：如果a×b＝0，那么a=0，b＝0，大家想一想，议一议．(出示投影片§2．4 C)a×b＝0时，a=0和b=0可同时成立，那么x(x-3)=0时，x＝0和x-3＝0也能同时成立吗? [生齐声]不行．……[师]那该如何表示呢?[师]好，这时我们可这样表示：如果a×b=0，那么a＝0或b＝0这就是说：当一个一元二次方程降为两个一元一次方程时，这两个一元一次方程中间用的是“或”，而不用“且”．所以由x(x-3)＝0得到x＝0和x-3＝0时，中间应写上“或”字.我们再来看丁同学解方程x2＝3x的方法，他是把方程的一边变为0，而另一边可以分解成两个因式的乘积，然后利用a×b＝0，则a=0或b＝0，把一元二次方程变为一元一次方程，从而求出方程的解．我们把这种解一元二次方程的方法称为分解因式法，即当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就采用分解因式法来解一元二次方程．因式分解法的理论根据是：如果两个因式的积等于零，那么这两个因式至少有一个等于零．如：若(x+2)(x-3)＝0，那么x+2＝0或．x-3＝0；反之，若x+2＝0或x-3＝0，则一定有(x+2)(x-3)＝0．这就是说，解方程(x+2)(x-3)=0就相当于解方程x+2＝0或x-3=0．接下来我们看一例题．(出示投影片§2．4 D)[例题]解下列方程：(1)5x2=4x；(2)x-2＝x(x-2)．[师]同学们能独自做出来吗?[生]能．[师]好，开始．[生甲]解方程(1)时，先把它化为一般形式，然后再分解因式求解．解：原方程可变形为5x2-4x＝0，x(5x-4)=0，x＝0或5x-4＝0．∴x1=0，x2=．[生乙]解方程(2)时，因为方程的左、右两边都有(x-2)，所以可把(x-2)看作整体，然后移项，再分解因式求解．解：原方程可变形为x-2-x(x-2)＝0，(x-2)(1-x)＝0，x-2＝0或1-x=0．∴x1＝2，x2=1．[生丙]老师，解方程(2)时，能否将原方程展开后，再求解呢?[师]能呀，只不过这样的话会复杂一些，不如把(x-2)当作整体简便．下面同学们来想一想，做一做．(出示投影片§ 2．4 E)你能用分解因式法解方程x2-4＝0，(x+1)2-25=0吗?[生丁]方程x2-4=0的右边是0，左边x2-4可分解因式，即x2-4=(x-2)(x+2)．这样，方程x2-4＝0就可以用分解因式法来解，即解：x2-4=0，(x+2)(x-2)＝0，∴x+2＝0或x-2=0．∴x1=-2，x2=2．[生戊]方程(x+1)2-25＝0的右边是0，左边(x+1)2-25，可以把(x+1)看作整体，这样左边就是一个平方差，利用平方差公式即可分解因式，从而求出方程的解，即解：(x+1)2-25＝0，[(x+1)+5][(x+1)-5]＝0．∴(x+1)+5＝0，或(x+1)-5＝0．∴x1=-6，x2=4．[师]好，这两个题实际上我们在刚上课时解过，当时我们用的是开平方法，现在用的是因式分解法．由此可知：一个一元二次方程的解法可能有多种，我们在选用时，以简便为主．好，下面我们通过练习来巩固一元二次方程的解法．Ⅲ．课堂练习(一)课本P61随堂练习 1、21．解下列方程：(1)(x+2)(x-4)＝0；(2)4x(2x+1)=3(2x+1)．解：(1)由(x+2)(x-4)=0得x+2＝0或x-4＝0。
用因式分解法求解一元二次方程课件(1)
(2x + 3)(2x + 3 - 4)= 0
x1 = -2，x2 = 2.
x+6=0或x- 4=0 x1 = -6，x2 = 4.
达标检测
1. 用因式分解法解下列方程：【选自教材P47 随堂练习】 （1）(x + 2)(x - 4) = 0； （2）4x(2x + 1) = 3(2x + 1).
解：（1） x+2=0或x- 4=0 x1 = -2，x2 = 4.
（1）提公因式法
因
式
am + bm + cm = m(a + b + c)
分
解 （2）公式法
的 方
a2 - b2 = (a + b)(a - b)
法
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
探究新知
一个数的平方与这个数的 3 倍有可能相等吗？如果能， 这个数是几？你是怎样求出来的？
设这个数为 x，根据题意，可得方程 x2 = 3x.
这种用分解因式解一元二次方程的方法称为 因式分解法.
例 解下列方程：
（1）5x2 = 4x； （2）x(x - 2) = x - 2.
解：（1）原方程可变形为
5x2 - 4x = 0 ， x(5x - 4) = 0 ，
x = 0 ，或 5x–4 = 0.
x1
0，x2
=
4 5
.
（2）原方程可变形为 x(x - 2) – (x - 2) = 0 ， (x - 2)(x - 1) = 0 ，
他做得对吗？
如果 ab = 0，那么 a = 0 或 b = 0 .
说一说，你是怎么理解这句话的？ “或”是“二者中至少有一个成立”的意思， 包括两种情况，二者同时成立；二者有一个成立。 “且”是“二者同时成立”的意思。
用因式分解法求解一元二次方程
用因式分解法求解一元二次方程一、因式分解法(重点、难点、掌握)定义：当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，可使这两个一次式分别等于0，即若(x＋a)(x＋b)＝0，则必有x＋a＝0或x＋b＝0，进而求得方程的解．这种解一元二次方程的方法称为因式分解法．【知识拓展】(1)因式分解法是解一元二次方程经常选用的一种方法，其基本思想是转化(将一元二次方程转化为两个一元一次方程)，基本方法是降次(将二次式转化为两个一次因式的积)．(2)因式分解法的理论依据：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个等于0．(3)其一般步骤为：①将方程化为右边为0的形式；②将方程的左边分解成两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为0，得到两个一元一次方程；④分别解一元一次方程可得原方程的解．规律方法小结（1）一元二次方程的解法的选择顺序：先特殊，后一般，即先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，当不能用这两种方法时，再用公式法，没有特殊要求时，一般不用配方法，因为用配方法解方程比较繁琐．(2)对形如(x＋a)2＝b(b≥0)的一元二次方程，应选用直接开平方法．(3)对于右边是0且左边易于分解因式的方程，应选用因式分解法．(4)用公式法解一元二次方程时，要先求出b2－4ac的值，当b2－4ac≥0时，方程有实数根，当b2－4ac＜0时，方程没有实数根．【新课导读·点拨】x2＋2x－120＝0，则(x＋12)(x－10)＝0，解得x1＝－12(舍去)，x2＝10．【例】解方程x(2x－1)＝3(2x－1)．分析：此方程可用因式分解法解，公因式是多项式2x－1；注意整体思想的运用．解：原方程可化为x(2x－1)－3(2x－1)＝0，∴(x－3)(2x－1)＝0，∴x－3＝0或2x－1＝0，∴11 2x ，x2＝3．整理归纳练习(2013．河南中考)方程(x－2)(x＋3)＝0的解是( ) A．x＝2B．x＝－3C．x1＝－2，x2＝3D．x1＝2，x2＝－3答案D##解析##(x－2)(x＋3)＝0，∴x－2＝0或x＋3＝0，∴x1＝0或x2＝－3.故选D.(2013·宁夏中考)一元二次方程x(x－2)＝2－x的根是( )A．－1B．2C．1和2D．－1和2答案D解析原方程可以化为x(x－2)＋(x＋2)＝0，∴(x－2)(x＋1)＝0，x－2＝0或x＋1＝0∴x1＝2，x2＝－1.故选D.(2013·天水中考)从一块正方形的木板上锯掉2 m宽的长方形木条，剩下的面积是48 m2，则原来这块木板的面积是( )A．100 m2B．64 m2C．121 m2D．144 m2答案B解析设原来正方形木板的边长为x m.由题意可知x(x－2)＝48，解得x1＝8，x2＝－6(不合题意，舍去).所以8×8＝64.故选B.主观填空题(2013·巴中中考)方程x2－9x＋18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为______．答案15解析x2－9x＋18＝0，∴(x－3)(x－6)＝0，∴x－3＝0或x－6＝0，∴x1＝3，x2＝6.由长度为3，3，6的三条线段，不能组成三角形，∴等腰三角形的三边长是3，6，6，周长是3＋6＋6＝15典型类型一利用提取公因式法解一元二次方程【例1】解方程(x－3)2＋4x(x－3)＝0．分析：方程的左边提取公因式x－3即可分解因式，因此该方程可用因式分解法求解．解：原方程可化为(x－3)(x－3＋4x)＝0，∴x－3＝0或5x－3＝0，解得x1＝3，235x=．【解题策略】公因式可能是单项式也可能是多项式，是多项式时要注意整体思想的运用．类型二利用平方差公式解一元二次方程【例2】解方程(3x－1)2＝(x＋1)2．分析：先移项，然后用平方差公式分解因式．解：原方程可化为(3x－1)2－(x＋1)2＝0，则(3x－1＋x＋1)(3x－1－x－1)＝0，∴4x＝0或2x－2＝0，解得x1＝0，x2＝1．【解题策略】解一元二次方程常用的方法有直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．类型三利用完全平方公式解一元二次方程【例3】解方程x2－16x＝－64．分析：先移项，然后用完全平方公式进行求解．解：原方程可化为x2－16x＋64＝0，即(x－8)2＝0，∴x1＝x2＝8．【解题策略】首先把一般式配成完全平方的形式，再利用直接开平方法求解．类型四利用“x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)”解一元二次方程【例4】用因式分解法解下列方程．(1)(x－3)(x＋1)＝5；(2)2x2－5x＋2＝0．解：(1)原方程可变形为(x－3)(x＋1)－5＝0，即x2－2x－8＝0，所以(x－4)(x＋2)＝0，所以x－4＝0或x＋2＝0，所以x1＝4，x2＝－2．(2)因为2x2－5x＋2＝0，所以(x－2)(2x－1)＝0，解得x1＝2，212x=．【解题策略】当一元二次方程的一次项系数与常数项分别为两个数的和与积时，就可以利用“x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)”对方程进行因式分解．类型五 一元二次方程与三角形知识的综合应用【例5】一个三角形的两边长是3和4，第三边的长是方程x 2－12x ＋35＝0的根，求该三角形的周长．解：原方程可化为(x －5)(x －7)＝0，∴x 1＝5，x 2＝7． 当x ＝5时，三角形的周长为3＋4＋5＝12，当x ＝7时，3＋4＝7，长为3，4，7的线段不能构成三角形， 故三角形的周长为12．规律方法小结：本题考查一元二次方程的解法和三角形的性质，根据实际情况对一元二次方程的根进行选择，是中考常见题型．类型六 利用换元法解一元二次方程【例6】解方程(x 2－2x)2＋(x 2－2x)－2＝0．分析：把x 2－2x 看成一个整体，用y 来代换，原方程可变为y 2＋y －2＝0，解这个方程，再把y 还原成x 2－2x 求解．解：设y ＝ x 2－2x ，则原方程可变为y 2＋y －2＝0． 解这个方程得．y ＝－2或1，所以x 2－2x ＝－2或1． 当x 2－2x ＝－2时，△＜0，方程没有实数根； 当x 2－2x ＝1时，解得1x =±．∴原方程的根是11x =+，21x =-【解题策略】本题主要考查换元法解一元二次方程，就是把某个式子看成一个整体，用一个字母去替换，这样做，常能使问题化繁为简，化难为易．类型七 解一元二次方程中的“非负数和为0”的问题【例7】已知a ，b ，c 均为实数，且()2130b c ++++=，求方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根．解：由题意得a 2－3a ＋2＝0，b ＋1＝0，c ＋3＝0， ∴a 1＝1，a 2＝2，b ＝－1，c ＝－3．当a ＝1，b ＝－1，c ＝－3时，ax 2＋bx ＋c ＝0即为x 2－x ＋－3＝0．－－ ∴12x±==∴112x +=，212x -=．当a ＝2，b ＝－1，c ＝－3时，ax 2＋bx ＋c ＝0即为2x 2－x －3＝0．∴(2x －3)(x ＋1)＝0，∴32x =或－1．【解题策略】因为0≥，10b +≥，()230c +≥，它们的和为0，所以a 2－3a ＋2＝0，b ＋1＝0，c ＋3＝0．因为a 的取值有两个，所以必须分两种情况对方程进行讨论：类型八 因式分解法解一元二次方程的变形题【例8】先阅读材料，然后解答问题． 【例】解方程2110x x ---=．解：①当x －1≥0，即x ≥1时，x 2－(x －1)－1＝0， 即x 2－x ＝0，解得x 1＝0(不合题意，舍去)，x 2＝1；②当x －1＜0，即x ＜1时，x 2＋(x －1)－1＝0，即x 2－x －2＝0， 解得x 1＝1(不合题意，舍去)，x 2＝－2．综上所述，原方程的解是x ＝1或x ＝－2．依照上例解法，解方程22240x x ++-=．分析：根据题中所给的材料把绝对值符号内的x ＋2分两种情况讨论(x ＋2≥0和x ＋2＜0)，去掉绝对值符号后再解方程． 解：①当x ＋2≥0，即x ≥－2时， x 2＋2(x ＋2)－4＝0，即x 2＋2x ＝0， 解得x 1＝0，x 2＝2．②当x ＋2＜0，即x ＜－2时，x 2－2(x ＋2)－4＝0，即x 2－2x －8＝0，解得x 1＝4(不合题意，舍去)，x 2＝－2(不合题意，舍去)． 综上所述，原方程的解是x 1＝0或x 2＝－2．【解题策略】从题中所给材料找到需要的解题方法是解题的关键，注意在去绝对值符号时要针对绝对值符号内的代数式的正负性分情况讨论．类型九 有关一元二次方程的实际应用【例9】在一块边长为1 m 的正方形铁板上截出一个面积为800 cm 2的矩形铁板，使长比宽多20 cm ，那么矩形铁板的长和宽分别为多少?分析：已知矩形的面积及其长与宽的关系，因此可根据矩形的面积公式列方程求解．解：设矩形铁板的宽为x cm ，则长为(x ＋20)cm ，由题意得x(x ＋20)＝800，解得x 1＝20，x 2＝－40(舍去)． ∴x ＋20＝40．答：矩形铁板的长和宽分别为40 cm 和20 cm ．【解题策略】解题关键是把实际问题转化成数学问题，找出等量关系，建立方程模型．类型十解法规律探究——十字相乘法【例10】根据多项式的乘法与因式分解的关系，可得x2－x－6＝(x＋2)(x－3)，等式右边的两个一次两项式的系数有关系，左边上、下角两数的积是原式左边二次项的系数，右边上、下角两数的积是原式左边的常数项，交叉相乘的积的和是原式左边一次项的系数．这种分解二次三项式的方法叫“十字相乘法”．请认真观察，分析理解后，解答下列问题．(1)解方程：①x2＋4x＋3＝0；②x2＋5x－6＝0．(2)填空：①分解因式：2x2－5x＋2＝______．②解方程：3x2＋x－2＝0，左边分解因式得( )( )＝0，∴x1＝_______，x2＝______．解：(1)①解x2＋4x＋3＝0，分解因式得(x＋1)(x＋3)＝0，所以x＋1＝0或x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝－3．②解x2＋5x－6＝0，分解因式得(x＋6)(x－1)＝0，所以x＋6＝0或x－1＝0，解得x1＝－6，x2＝1．(2)①(2x－1)(x－2) ②x＋1 3x－2 －1 2 3中考链接考点透视一元二次方程的解法及其应用是中考的必考内容之一，主要考查对方程思想的理解及应用．本节知识单独考查时，一般以填空题和选择题为主要题型，在探究题、开放题、阅读理解题、综合应用题中也有着广泛的应用．真题剖析【例1】(2013·新疆中考)方程x2－5x＝0的解是( )A．x1＝0，x2＝－5 B．x＝5C．x1＝0，x2＝5 D．x＝0分析：直接因式分解得x(x－5)＝0，解得x1＝0，x2＝5．故选C’【例2】(2013·天水中考)一个三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程(x－2)(x－4)＝0的根，则这个三角形的周长是( )A．11 B．11或13C．13 D．以上选项都不正确分析：由方程(x－2)(x－4)＝0可得x－2＝0或x－4＝0，解得x＝2或x＝4．当x＝2时，2，3，6不能构成三角形，舍去；当x＝4时，3，4，6能构成三角形，此时周长为3＋4＋6＝13．故选C．【例3】(2013·平凉中考)现定义运算“★”，对于任意实数a，b，都有a ★b＝a2－3a＋b，如：3★5＝32－3×3＋5．若x★2＝6，则实数x的值是______．分析：根据题中的新定义将x★2＝6变形得x2－3x＋2＝6，即x2－3x－4＝0，因式分解得(x－4)(x＋1)＝0，解得x1＝4，x2＝－1，则实数x的值是－1或4．故填－1或4．【例4】(2013·广州中考)解方程x2－10x＋9＝0．分析：用因式分解法求解．解：x2－10x＋9＝0，(x－1)(x－9)＝0，∴x－1＝0或x－9＝0，∴x1＝1，x2＝9．。
《用因式分解法求解一元二次方程》PPT课件
解：令 x2－x＝y，则原方程可化为 y2－4y－12＝0， 即(y＋2)(y－6)＝0. 所以 y＋2＝0 或 y－6＝0，解得 y1＝－2，y2＝6. 当 y＝－2 时，x2－x＝－2，即 x2－x＋2＝0，此方程无实数解； 当 y＝6 时，x2－x＝6，即(x＋2)(x－3)＝0， 解得 x1＝－2，x2＝3. 所以原方程的解为 x1＝－2，x2＝3.
②(x－2)2＋x2＝5；
③(x－2)(x－4)＝4； ④x2－3x－1＝0；
⑤x2－ 2x＋14＝0； ⑥x2＋3x＝0. (1)直接开平方法：___①_____；(2)配方法：__②___③___；
(3)公式法：__④__⑤____；
(4)因式分解法：___⑥_______．
11．解方程 2(x－1)2＝3x－3，最适当的方法是( D )
x＋2＝1，x－2＝5，得方程的根为 x1＝－1，x2＝7；乙同学 说：应把方程右边化为 0，得 x2－9＝0，再分解因式，即
(x＋3)(x－3)＝0，得方程的根为 x1＝－3，x2＝3.对于甲、乙
两名同学的说法，下列判断正确的是A( )
A．甲错误，乙正确
B．甲正确，乙错误
C．甲、乙都正确
D．甲、乙都错误
15．(2018·玉林)已知关于 x 的一元二次方程 x2－2x－k－2＝0 有 两个不相等的实数根．
(1)求 k 的取值范围； 解：根据题意得 Δ＝(－2)2－4(－k－2)＞0，解得 k＞－3.
15．(2018·玉林)已知关于 x 的一元二次方程 x2－2x－k－2＝0 有 两个不相等的实数根．
(2)配方法(3)公式法 15 见习题
(4)因式分解法
16 见习题
10 (1)① (2)②③