因变量是定性变量的回归分析—Logistic回归分析

因变量是定性变量的回归分析一Logistic回归分析

一、从多元线性回归到Logistic回归

例这是200个不同年龄和性别的人对某项服务产品的认可的数据（logi.sav）.

其中：年龄是连续变量，性别是有男和女（分别用1和0表示）两个水平的定性变量,而变量“观点”则为包含认可（用1表示）和不认可（用0表示）两个水平的定性变量。

从这张图可以看出什么呢？

从这张图又可以看出什么呢？

这里观点是因变量，只有两个值；所以可以把它看作成功概率为p的Bernoulli试验的结果. 但是和单纯的Bernoulli试验不同，这里的概率p为年龄和性别的函数.

必须应用Logistic回归。

二、多元线性回归不能应用于定性因变量的原因

首先，多元线性回归中使用定性因变量严重违反本身假设条件，即：

因变量只能取两个值时，对于任何给定的自变量值，e本身也只能取两个值。这必然会违

背线性回归中关于误差项e的假设条件。

其次，线性概率概型及其问题：

由于因变量只有两个值；所以可以把它看作成功概率p,取值范围必然限制在0—1的区间

中，然而线性回归方程不能做到。

另外概率发生的情况也不是线性的。

三、Logistic函数

Logistic的概率函数定义为：

我们将多元线性组合表示为：

于是，Logistic概率函数表示为：

经过变形，可得到线性函数：

这里，事件发生概率=P （y=1）

事件不发生概率=1-P （y=0）

发生比：（odds）—-门

1 -P

对数发生

比：log(odds)刑1_p)「ogit(p)

这样，就可将logistic曲线线性化为：

从P到logit P经历了两个步骤变换过程：

第一步：将p转换成发生比，其值域为0到无穷

第二步：将发生比换成对数发生比，其值域科为1- ::•二I 经过转换，将P^logit P,在将其作为回归因变量来解释就不再有任何值域方面的限制

了，即可线性化!

四、Logistic回归系数的意义

以logit P方程的线性表达式来解释回归系数，即：

在logistic回归的实际研究中，通常不是报告自变量对P的作用，而是报告自变量对logit P

的作用。

以发生比Q的指数表达式来解释回归系数

与logit P不同，发生比Q具有一定的实际意义，代表一种相对风险。因此对logistic回归系数的解释通常是从发生比的指数表达式出发的。

例如：在取得了logistic回归系数的各bi的解以后，将其带入Q函数，

如果分析x变化一个单位对于Q的影响幅度，可以用（x +1）表示，并将其代入上式，得到新的发生比

将两个发生比集中在一起有：

将此称为发生比率，它可测量自变量一个单位的增加给原来的发生比所带来的变化，

一般表达式为：0 /0=exo（b）

说明在其他情况不变的情况下，x 一个单位的变化使原来的发生比扩大 exp（bJ倍。

比如，原来的Q为6:4（比值为1.5），如果一个自变量变化一个单位导致的发生比率为exp （0.693）=2，即表示这一变化将会导致新发生比值Q *为原来的2倍，即新发生比将是12:4（比值为3）。

我们也可用发生比率减1的差来表示发生比的增长率，如发生比率为2.3，就可以说自变量一个单位的变化会使原发生比增加 1.3倍（2.3-仁1.3）.

当logistic回归系数为负数时，发生比率小于1。这时的表达要特别小心。

比如发生比率为0.8时，表示新发生比只有原来的80%,那么下降的倍数则是（1-0.8=）02

五、Logistic回归应用

以上例为例，说明logistic回归分析

SPSS 选项：An alyze —Regressi on—Bi nary logistic

Logistic回归的SPSS输出结果

六、Logistic模型的检验与评价

1.对于整体模型的检验

Logistic回归方程求解参数是采用最大似然估计方法，因此其回归方程的整体检验通过似然函数值，表示为：

-2 Log Likelihood

该值越大，意味着回归方程的似然值越小，模型的拟和程度越差。反之，拟和程度越好。

在评价或检验一个含有自变量的Logistic回归模型时，通常是将其含有自变量的Logistic 的-2 Log Likelihood与截距模型的相比较。两者之差服从卡方分布，进行卡方检验。

所谓截距模型，就是将所有自变量删除后只剩一个截距系数的模型。

2.对于回归系数的检验

Logistic回归系数的检验是用Wald统计量进行的七、L ogistic 回归的标准化回归系数

SPSS进行Logistic回归时不提供标准化回归系数，但是其手工计算公式很简单: Age和Sex的标准

化回归系数分别约为：

八、L ogistic 回归的偏回归系数通过比较两个自变量的标准化回归系数，我们发现对于是否同意该观点来说，年龄的负作用要比性别的负作用要大一些