组合数学在数学竞赛中的应用 毕业论文
关于竞赛数学中排列组合问题的解题策略
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中学数学研究
2021 年第 5 期 (上)
将不定方程化为 (x1 − 1) + (x2 − 1) + · · · + (x8 − 1) = 17, 再 令 y1 = x1 − 1, y2 = x2 − 1, · · · , y2 = x8 − 1, 即 得 y1 + y2 + · · · + y8 = 17, 且 yi 1(其中 1 i 8). 于是上 述问题就转化为以上不定方程的正整数解的组数. 由引理知 其正整数解个数为 C176.
2300 46 例 3 (第一届美国数学邀请赛第 10 题) 数 1447, 1005 和 1231 有某些共同点, 即每一个都是以 1 开头的四位数, 且每 个数恰好有两个数字相等. 这样的数共有多少个?
解法一 首先, 不难发现满足条件的四位数有六种类型: 11AB, 1A1B, 1AB1, 1AAB, 1ABB, 1ABA. 而对于每一类 A 都 有 9 种 可 能, B 都 有 8 种 可 能, 所 以 这 样 的 数 共 有 6 · 9 · 8 = 432 个.
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中学数学研究
2021 年第 5 期 (上)
关于竞赛数学中排列组合问题的解题策略
广东省深圳市前海港湾学校 (518000) 李可欣
摘要 竞赛数学中关于排列与组合的问题, 归根到底利 用的就是排列、组合与四个基本定理, 但是基本解法却多种 多样, 常见的有列举法、分类讨论、构造不定方程和利用递推 关系. 本文结合例题对如上解题方法予以归纳和梳理.
立) (3) 成立. 由 (1) +(2) +(3) 得 ln2(1 + x) + e−2x + sin x 1
组合数学在奥数中的应用
命进行了认真总结。他们认为要使武装斗争取得胜利．就 必须在工人武装的基础上建立一支无产阶级自己的革命军 队。恩格斯在总结自己亲身参加的1849 年5月一7月巴 登— —普 法尔 茨起 义时 明确 指出： “应 该把 可以 调动 的力 量 投入 莱茵 河右 岸的 起义 地区 。使起 义更 加扩 大， 并设 法在 这 些地方通过后备军来建立革命军的核心。”第二天．即27 日， 我们 的队 伍深入 山地 。朝 罗腾菲 尔斯 的方向 往前 转移 了 一些 。军 队所 划分 的各 种战 斗单位 ．各 单位 负责 的地 区， 逐 渐地确定了下来。呱10] 为了把建立无产阶级革命军队思想 真正地灌输到工人阶级中去．特别是教育无产阶级革命政 党的雏型——共产主义者同盟要懂得建立无产阶级革命军 队的重要性和迫切性．马克思和恩格斯又对建立无产阶级 革命 军队 这一 思想 进行 了新 的阐述 。他 们认 为： “必 须立 刻 使整 个无 产阶 级用 步枪 、马 枪、大 炮和 弹药 武装 起来 …… 工 人就应该设法组成由他们自已选出的指挥官和总参谋部来 指挥的独立的无产阶级近卫军．……组成由他们自己选出 的指挥官指挥的独立军团． 或是组成无产阶级近卫军。 ……对于任何一种解除工人武装的企图在必要的时侯都应 该予以武装回 击。消灭资产阶级民主党人 对于工人的影
xl +x2+…+) 【B=25 满足】【i ≥20=1，2’．． ·，8) 的整数解的个数。
．．．n2=Hi ”1‘=H；=C：‘． 3) 对于已确定好的男孩的25个位置，男孩入列的 方法数n 3=25 1 由乘 法原 理，不 同的 排列 的方法 种数 为
mmm=型铲 ．
( 三) 小结
从题中再次看到两个计数基本原理在处理排列组合问 题中的重要作用。我们的经验是：对复杂的排列问题总是 先处 理为 不计顺 序的组 合同 题．然 后再 考虑排 序。事 实上 ， 反过来看组合数公式的推导。有胛=四·m! ，就是很好 的方法上的示范。
排列组合在数学问题中的应用
排列组合在数学问题中的应用在数学中，排列组合是一种非常重要的概念，它在解决各种数学问题中起到了关键的作用。
排列组合不仅仅在数学领域有应用，也广泛应用于许多其他领域，如计算机科学、统计学、经济学等等。
本文将探讨排列组合在数学问题中的应用，并阐述其重要性。
一、排列组合的定义排列和组合是两个与集合相关的概念，它们描述了从给定对象中取出若干元素形成一个子集的方式。
- 排列：从n个不同元素中取出m个元素，按照一定的顺序排列起来，称为一个排列。
排列的个数用符号P(n,m)表示。
- 组合：从n个不同元素中取出m个元素，不考虑元素的顺序，称为一个组合。
组合的个数用符号C(n,m)表示。
二、排列组合的应用1. 数学竞赛问题：在数学竞赛中，排列组合是经常出现的考点。
学生需要通过排列组合的知识，解决各种组合数学问题，如有多少种不同的座位安排方式，有多少种不同的密码组合等等。
2. 概率问题：排列组合也与概率问题密切相关。
在概率计算中，我们经常需要计算某事件的发生概率。
而排列组合可以帮助我们计算事件的总数和有利结果的总数，从而计算出事件的概率。
3. 组合优化问题：在某些实际问题中，我们需要找到最佳的组合方式，以达到某种最优化的目标。
比如，在物流配送中，我们希望找到一种最优的配送路线组合，使得总体成本最低。
4. 计算机科学问题：在计算机科学中，排列和组合也有广泛的应用。
比如，在密码学中，排列和组合常用于生成和破解密码；在算法设计中，排列和组合可以用于解决图论问题、排序问题等。
5. 统计学问题：在统计学中，排列组合可以用于计算样本空间总数、计算事件发生的方式数以及计算排列组合的期望值等。
6. 经济学问题：在经济学中，排列组合有时被用来解决资源的分配问题、市场需求分析问题等。
综上所述，排列组合在数学问题中起到了不可替代的作用，它们能够帮助我们解决各种复杂的计数和计算问题。
无论是在数学竞赛中、在概率计算中、还是在计算机科学、统计学、经济学等领域中，排列组合都发挥着重要的作用。
数学竞赛论-5组合
2-5 数学竞赛中的组合问题数学竞赛中的组合数学不是一个严格的概念，它离中学教材最远，通常指中学代数、几何、算术（数论）之外的内容（俗称杂题）．对中学生而言，这类问题的基本特点是不需要专门的数学语言就可以表述明白，解决起来也没有固定的程式（非常规），常需精巧的构思．从内容上可以归结为两大类：组合计数问题，组合设计问题．（1）组合计数问题这包括有限集合元素的计算、相应子集的计算、集合分拆方法数的计算等，表现为数值计算、组合恒等式或组合不等式的证明．知识基础是加法原理、乘法原理和排列组合公式；常用的方法有：代数恒等变形、二项式定理、数学归纳法、递推、组合分析、容斥原理等．（2）组合设计问题其基本含义是，对有限集合A，按照性质p来作出安排，有时，只是证实具有性质p的安排是否存在、或者验证作出的安排是否具有性质p（称为存在性问题，又可分为肯定型、否定型和探究型）；有时，则需把具体安排（或具体性质）找出来（称为构造型问题）；进一步，还要找出较好的安排（称为最优化问题）．值得注意的一个新趋势是组合与几何、数论的结合，产生组合几何、组合数论，它们与集合分拆一起组成IMO试题的三个热点，突出而鲜明的体现数学竞赛的“问题解决”特征．这三方面之所以成为热点，从思维方式、解题技巧上分析，是因为其更适宜数学尖子的脱颖而出，且常与现代数学思想相联系；从技术层面上分析，还由于都能方便提供挑战中学生的新颖题目．链接资料组合数学又称组合分析或组合学．研究将有限个元素安排到适合（服从）某些限制条件的集合．有三个基本问题：（1）组态问题，解决存在这种安排的条件，给出明确的结论；（2）组态存在时，确定其数目或将它们进行分类；（3）研究安排的性质和结构，包括最优化问题．组合数学最早出现的是神话传说：大禹时代（公元前2200年）的神龟背上驮着的幻方，古代称为"九宫"，即4 9 23 5 78 1 6一般是将2放到n n 格子中，使每行每列各数之和1,2,,n相等，称为n阶幻方．还有缺角棋盘的覆盖问题、柯克曼１５女生散步问题、欧拉３６名军官问题都是著名的组合学例子．现代科学技术中，又提出离散性问题及关系结构分析，图论、信息论、编码、实验设计、线性规定划等领域也提了一系列问题，促进了组合学的发展．一．IMO 中的组合题（智力题） 1．数量统计从6465,IMO IMO --开始，占20% 2．基本类型（1）组合计数问题： ①问题类型有限集合元素的计算， 子集的计算， 集合分拆的计算 ②解题方法： 代数恒等变形 二项式定理 组合等式 递推 组合分析 容斥原理 数学归纳法．（2）组合设计问题：对集合A ，按照某种性质P 来作出安排． ①问题类型存在性问题， 构造性问题， 最优化问题． ②解题方法： 构造法、 反证法 抽屉原理 染色方法 递推方法更多的解题技巧 见 §2-7 3．发展特点以组合计数、组合设计为基础，与数论、几何交叉，形成组合数论、组合几何、集合分拆三大热点．二、基础知识（与基本类型相一致） 有７个定义、9条定理：定义１ 从n 个不同的元素中取出m 个()m n ≤，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的一个排列．相异元素排列数的计算公式为：()()()11!11!!mm mn n n n p n n n m np m C n m --=--+===- ． 定义２ 从n 个不同的元素中取出m 个()m n ≤，并成一组，叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的一个组合．相异元素组合数的计算公式为：()()()1111!!!!mm n mm n nn n m m n n n m p n n C C C p m m n m m -----+=====- ． 定理１ （加法原理）做一件事，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法， ，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有12n N m m m =+++种不同的方法．定理2 （乘法原理）做一件事，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法， ，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有12n N m m m =⨯⨯⨯种不同的方法． 定理3 组合恒等式 （1）()0m n m n n C C m n -=≤≤ （2）()1111m m m n n n C C C m n ---=+≤≤ （3）02.nk n n k C ==∑（4）()010.nk k n k C =-=∑定理4 （二项式定理）().nnk n k kn k a b C a b -=+=∑ 定义３ 从n 个不同的元素中取出m 个，按照一定的顺序排在一个封闭曲线上，叫做环形排列（或循环排列、圆排列）． 相异元素的 圆排列数公式为：()(),1!.mmn n p f n m m C m==-定义４ 从n 个不同的元素中，允许重复取出m 个元素，按照一定的顺序排成一列，称为n 个相异元素允许重复的m 元排列．相异元素的可重复排列数计算公式为：(),.m U n m n =定义５ 从n 个不同的元素中，允许重复取出m 个元素，不管怎样的顺序并成一组，称为n 个相异元素允许重复的m 元组合．相异元素的可重复组合数计算公式为：()1,.mn m f n m C +-=定义６ 若n 个元素中，有1n 个1a ，2n 个2,,a m n 个m a ，且12m n n n n +++= ，则这n 个元素的全排列，称为不尽相异元素的全排列．不尽相异元素的全排列公式为： ()1212!,,.!!!m m n V n n n n n n =定义７ 如果A 是一个n 元有限集合，那么，它的子集12,,,m A A A 组成的集合{}12,,,m R A A A = 叫做A 的一个子集系．定理5 n 元集合A 中含有()0k k n ≤≤个元素的子集有k n C 个；集合A 的所有子集共2n 个． 定理6 （抽屉原理）（1）若把1mn +元素放进n 个集合，则必存在一个集合至少放有1m +个元素．（2）若把()01211m n ++++--⎡⎤⎣⎦ 个元素放进mn 个集合，则至少有1m +个集合的元素一样多．（3）若把1mn -元素放进n 个集合，则必有一个集合至多含有1m -个元素．定理7 （容斥原理）设集合{}12,,,,n A a a a = 12,,,m A A A A ⊆ ，记i A 为i A 对于全集A 的补集，则 (1) 12m A A A()1111121.mi i j i j ki i j m i j k nm m A A A A A A A A A =≤≤≤≤<<≤-=-+-+-∑∑∑(2) 1212.mm A A A A A A A =-定理8 （自然数的良序性）自然数的任一非空子集中，必有一个元素是最小的．定理9 设,A B 是两个有限元集合，,A B 分别是两集合的元素个数，f 是A 到B 的一个映射． （１）若f 是单射，则A B≤；特别的，f 是单射而非满射，则A B<．（２）若f 是满射，则A B≥．（３）若f 是一一映射（双射），则A B=．２．主要类型（1）排列、组合的知识． （2）集合、影射的知识． （3）抽屉原理． （4）容斥原理． （5）组合恒等式． 三、例题讲解例1 （1）将10个苹果分给3个人，每人至少1个，问有几种不同的分法？（10的有序分拆）（2）将10个苹果分成3堆，每堆至少1个，问有几种不同的分法？（10的无序分拆）解（1）设第i 个人分得i x 个苹果，则有()123101i x x x x ++=≥11110+++=对应9个加号取2个的取法，得2936C =．相当于10个苹果一字排开两手拿隔板往里一插，得一种分法．（2）10的3项分拆：每堆先放1个苹果，剩下的7个苹果可以拆开放到3堆，也可以放到2堆，或全放到1堆，故得10的3项分拆=7的3项分拆+7的2项分拆+7的1项分拆=4的3项分拆+4的2项分拆+4的1项分拆+3+1=1+2+1+3+1=8．一般地m的n项分拆=m n-的n项分拆+m n-的1n-项分拆+…+m n-的2项分拆+m n-的1项分拆．数字小时可以列举10=1+1+8=1+2+7=1+3+6=1+4+5=2+2+6=2+3+5=2+4+4=3+3+4共8种例2（1988，高中联赛，例2-104）甲乙两队各出7名队员按事先安排好的顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，依次类推，直到有一方队员全被淘汰为止，另一方获胜利，形成一种比赛过程，那么所有可能出现的比赛过程的种数有多少？（P ．205）解法１12345671234567,,,,,,,,,,,,A A A A A A A B B B B B B B ——714C解法２ 设i A 胜 i x 场，甲胜等价于方程12345677x x x x x x x ++++++=，非负整数解的个数，令1i i y x =+，方程123456714y y y y y y y ++++++=，正整数解的个数1111111111111114+++++++++++++=，从13个加号取6个的方法数613C 种． 同理，乙胜也有613C 种． 得2613C =714C 种．2613C =714C =3432种．例2-1 联欢晚会准备了2n 个礼物，平分为两串公开吊挂在墙上，每个获奖者可以（也只能）从两串的最下方任选一个礼物，则2n 个获奖者选这2n 个礼物，共有 种不同的选法．（2n n C ）例3（1989，306IMO -，例2-105）设n 是正整数，我们说集合{}n 2,,2,1 的一个排列()122,,,n x x x 具有性质p，是指在{}12,,2,1-n 当中至少有一个i ，使得n x x i i =-+||1，求证对于任何n，具有性质p的排列比不具有性质p的排列的个数多．（P ．85）解 1n =显然成立．对2n ≥设不具有性质p 的排列组成集合A ，设恰有一个元素具有性质p 的排列组成集合B ，取()122,,,n X x x x A =∈ ，则存在2k >，使1||k x x n -=，作对应()122112:,,,,,,,k k k k n f X Y x x x x x x x --+→= ，则Y B ∈，且A 中不同的元素在B 中有不同的像，得 A B ≤<具有性质p 的排列个数．例4（1989，高中）如果从数1，2，…，14中按由小到大的顺序取出123,,a a a ，使同时满足 21323, 3a a a a -≥-≥那么，所有符合上述要求的不同取法有多少种？ 解 由已知得121323 10, 30 30, 140,a a a a a a -≥--≥--≥-≥4项均为非负数，相加得()()()()121323133 147a a a a a a -+--+--+-=，于是123,,a a a 的取法数就是不定方程 12347x x x x +++=的非负整数解的个数，作一一对应11i y x =+问题又等价于不定方程 123411y y y y +++= 的正整数解．由11111+++=得310C 个解，即符合要求的不同取法有310C 种．（P ．240）例5 （1992高中联赛） 设集合{}1,2,,n S n = ，若X 是nS 的子集，把X 中的所有数的和称为X 的“容量”（规定空集的容量为0）．若X 的容量为奇（偶数），则称X 为n S 的奇（偶）子集．（1）求证：n S 的奇子集与偶子集个数相等．（2）求证：当3n ≥时，n S 的所有奇子集的容量之和与所有偶子集的容量之和相等．（3）当3n ≥时，求n S 的所有奇子集的容量之和． 证明1 分别求解3问．（1）对n X S ⊆，我们取/n X S ⊆与X 对应：当1X ∈时，就从X 中取出1得/X ；当1X ∉时，就从X 中添上1得/X ．于是，X 与/X 一一对应，且一个为奇（偶）子集时，另一个便为偶（奇）子集，故n S 中的奇子集与偶子集一一对应，个数相等．（2）设n S 中的奇子集个数有n a 个，偶子集个数有n b 个，所有奇子集的容量之和为()n f a ，所有偶子集的容量之和为()n f b ，由第（1）问及n S 中有2n 个子集知12n n n a b -==．1）当3n ≥且n 为奇数时，n S 中的奇（偶）子集由两部分组成，其一是1n S -的奇（偶）子集，其二是1n S -的每一个偶（奇）子集与{}n 的并集，有()()()()()()()()111111111.n n n n n n n n n n n f a f a f b nb f a f b na f b f a na f b ---------=++⎡⎤⎣⎦=++=++⎡⎤⎣⎦=2）当3n ≥且n 为偶数时，则1n -为奇数，由上证，有()()1111n n n n a b f a f b ----==且．此时，n S 中的奇（偶）子集由两部分组成，其一是1n S -的奇（偶）子集，其二是1n S -的每一个奇（偶）子集与{}n 的并集，有()()()111n n n n f a f a f a na ---=++⎡⎤⎣⎦ ()()111n n n f a f a nb ---=++⎡⎤⎣⎦()()()111.n n n n f b f b nb f b ---=++⎡⎤⎣⎦=综上得，当3n ≥时()()n n f a f b =．（3）由于n S 中每个元素都出现在12n -个子集中，所以n S 的所有子集的容量为()()n n f a f b +=()1122n n -+++ =()212n n n -+．得 ()()()12n n n f a f a f b =+=⎡⎤⎣⎦()312n n n -+． 证明2 同时求解3问设n S 中的奇子集个数有n a 个，偶子集个数有n b 个，所有奇子集的容量之和为()n f a ，所有偶子集的容量之和为()n f b ，有11221,2.a b a b ====对3n ≥，用数学归纳法证明命题()()()3,:12.n n n n n a b P f a f b n n -=⎧⎪⎨==+⎪⎩ （1）当3n =时，{}31,2,3S =的奇子集有{}{}{}{}1,3,1,2,2,3，偶子集有{}{},2,1,3,∅{}1,2,3，得()()()3333334,123312.a b f a f b -==⎧⎪⎨===+⎪⎩ 命题P 成立．（2）现假设n k =时，命题P 成立．即()()()3,12.k k k k k a b f a f b k k -=⎧⎪⎨==+⎪⎩ 对1k S +的子集可以分成两部分，一部分是k S 的子集，有12k k k a b -==；另一部分是k S 的子集与{}1k +的并集，其奇子集的个数与偶子集的个数也是相等的．有1122k k k k a a b b ++===．并且，()()()11k k f a f b ++或等于()()()k k f a f b 或的2倍，再加上12k -个1k +，即()()()()()()()()()1113113212212121112,k k k k k k k f a f b f a k k k k k k -++--+-==++=⋅+++=+++⎡⎤⎣⎦这说明1n k =+时，命题P 成立．由数学归纳法知，题目中的3问均已成立． 作业１．从n 个不同的元素中，允许重复取出m 个元素，不管怎样的顺序并成一组，称为n 个相异元素允许重复的m 元组合．证明：相异元素的可重复组合数计算公式为：()1,.m n m f n m C +-=2.凸n 边形（4n ≥）玫瑰园的n 个顶点各栽有1棵红玫瑰，每两棵红玫瑰之间都有一条直小路相通，这些直小路没有出现“三线共点”的情况——它们把花园分割成许多不重叠的区域（三角形、四边形，…），每块区域都栽有一棵白玫瑰或黑玫瑰．⑴ 求出玫瑰园里玫瑰总棵数()f n 的表达式． ⑵ 花园里能否恰有99棵玫瑰？说明理由．作业处理1.求方程3222009x x y +=的整数解. 解：由2009的分解式，有 ()222212009741x x y +=⨯=⨯，有 21,1,1,1004,1005,22009,x x x y y x y ==-⎧=⎧⎧⇒⎨⎨⎨==+=⎩⎩⎩227,7,717,24.241,x x x y y x y ==-⎧=⎧⎧⇒⎨⎨⎨==+=⎩⎩⎩2、2009年9月9日的年、月、日组成“长长久久、永不分离”的吉祥数字20090909，而它也恰好是一个不能再分解的素数．若规定含素因子20090909的数为吉祥数，请证明最简分数111220090908m n =+++的分子m 是吉祥数．证明：由111220090908m n =+++1111111200909082200909071004545410045455200909092009090920090909120090908220090907100454541004545520090909,122009090720090908p⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=+++⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯ 其中p 为正整数，有20090909122009090720090908n p m ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯ ，这表明，20090909整除122009090720090908m ⨯⨯⨯⨯⨯ ，但20090909为素数，不能整除122009090720090908⨯⨯⨯⨯ ，所以20090909整除m ，得m 是吉祥数．。
组合数学在奥林匹克数学中的应用
目录摘要 (1)关键词 (1)Abstract. (1)Keywords (1)0前言 (1)1 鸽巢原理 (2)1.1 鸽巢原理 (2)1.2鸽巢原理在奥林匹克数学中的应用 (3)2排列与组合 (5)2.1四个基本的计数原理 (5)2.2 集合的排列与组合及其在奥林匹克数学中的应用 (6)2.3 多重集的排列与组合及其在奥林匹克数学中的应用 (8)2.3.1多重集的排列 (8)2.3.2 多重集的组合 (9)3 容斥原理 (10)3.1.容斥原理 (11)3.2 错位排列问题 (12)3.3 容斥原理在奥林匹克数学中的应用 (13)结束语 (14)参考文献 (15)组合数学在奥林匹克数学中的应用学生姓名：学号：数学与信息科学学院数学与应用数学专业指导老师：职称：摘要：奥林匹克数学竞赛在中学很受欢迎，其中组合问题占了很大的一部分．本文结合大学组合数学理论给出解释,并采用鸽巢原理、排列组合方法和容斥原理进行研究和讨论．关键词：奥林匹克数学竞赛；鸽巢原理；排列组合；容斥原理The application of the combinatorial mathematicsin the Olympic mathematicsAbstract: Olympic mathematics competitions in middle school are very popular, in which the Combinatorial problems accounts for a large proportion. In this article we combines with the university of combinatorial mathematics theory and explanations, and adopts the pigeon nest principle, permutation and combination methods and exclusion principle to make the research and discussion.Keywords: Olympic mathematics competitions; pigeon nest principle; permutation and combination methods; exclusion principle0 前言组合数学是研究离散数学结构的存在、计数、分析和优化等问题的一门学科．它源于数学游戏．组合数学早期研究的内容是对象的安排数，及符合特定条件的安排是否存在．公元1666年德国著名数学家莱布尼茨为它命名为“组合学”（Combinatorics）,并预言了这一分支的诞生．随着计算机科学的发展和日益增多的组合问题的出现，丰富和发展了组合理论．近些年，数学奥林匹克这一群众性数学课外活动，逐渐在广大学生中发展起来．对于竞赛中的一些问题，很难把它们归类为代数问题或几何问题，但它们涉及到的解题目标和解题方法可以归入组合问题和组合分析．本论文希望结合组合数学和奥林匹克数学竞赛有关理论知识，针对竞赛中的组合问题，利用大学组合数学理论给出解释．由于组合体系异常庞大，本文仅从鸽巢原理、排列组合、充斥原理三个方面在数学奥林匹克中常见的问题进行分析、讨论、总结．1 鸽巢原理鸽巢原理也叫做Dirichlet 抽屉原理或鞋盒原理是一个极其初等而又应用广泛的数学原理．应用它可以解决许多有趣的问题，并且常常得到一些令人惊异的结果．它常被用来证明一些存在性的数学问题，并且在数论和密码学中也有着广泛的应用．对于一些比较特殊的问题，若用一般的数学方法去研究很复杂或根本解决不了，但用鸽巢原理往往能起到事半功倍的效果，所以鸽巢原理是奥林匹克数学竞赛中的重要内容，在数学竞赛中具有很大的应用意义．应用这个原理在解初等数学题时，对启迪思维，开阔视野，掌握解题规律都是有益的．1.1 鸽巢原理]1[]2[定理2.1.1 （简单形式）如果1n +个物体被放进n 个盒子，那么至少有一个盒子包含两个或更多的物体．证明：将盒子编号为：n ,,2,1 ，设第i 个盒子有i q 个物体，则121n q q q n +++=+．但若定理结论不成立，即1i q ≤，亦有12n q q q n +++≤，从而有121n n q q q n +=+++≤矛盾．由此定理可得到以下性质：性质1 任意三个整数中，必有两个整数的和是2的倍数．性质2 任意五个整数中，必有三个整数的和是3的倍数．定理3.1.2 （加强形式） 令12,,,n q q q 为正整数．如果将 121n q q q n +++-+个物体放入n 个盒子内，则下列事件至少有一个成立：即第i 个盒子的物品数不少于i q 个，1,2,.i n =．证明：设将121n q q q n +++-+个物体分放到n 个盒子中．如果对于每个1,2,.i n =，第i 个盒子含有少于i q 个物体，那么所有盒子中的物体总数不超过()()()1212111n n q q q q q q n -+-++-=+++-该数比所分发的物体总数少1，因此我们断言，对于某一个1,2,.i n =，第i 个盒子至少包含品i q 个物体．显然当122n q q q ====时，鸽巢原理的加强形式即为简单形式．根据定理的结果，不难得出下述结论．推论1：如果()11+-r n 个物体放入n 个盒子中，那么至少有一个盒子含有r 个或更多的物体．推论2：如果n 个非负整数n m m m ,,,21 的平均数大于1-r ： 121->+++r nm m m n 那么至少有一个整数大于或等于r ．推论3：如果n 个非负整数n m m m ,,,21 的平均数大于1+r ，即：121+<+++r nm m m n 那么其中至少有一个整数小于1+r ．1.2 鸽巢原理在奥林匹克数学中的应用]2[]3[]4[例1 试证明从)2,1(kn ，， 中选1+n 个数，总存在2个数，它们之间最多相差1-k ．证明 把)2,1(kn ，，分为n 部分：)2,1(k ，， ,)2,,2,1(k k k ++， ，},,2)1(,1)1{(kn k n k n +-+-，即做n 个鸽巢．从中任选1+n 个数，由鸽巢原理，必有2个数选在同一个鸽巢中，所以它们的差最大为1-k ．例2]2[给定m 个整数m a a a ,,,21 ，存在整数k 和l ，m l k ≤<≤0，使得l k k a a a ++++21能够被m 整除．证明 考虑m 个和m a a a a a a a a a a +++++++ 321321211,,,,如果这些和当中的任意一个可被m 整除，那么结论就成立．因此，我们可以设这些和中的每一个除以m 都有一个非零余数，余数等于1,,2,1-m ．由于存在m 个和而只有1-m 个余数，则必有两个和数除以m 有相同的余数．因此，存在整数k 和l ，l k <，使得k a a a +++ 21和l a a a +++ 21除以m 有相同的余数r ：r bm a a a k +=+++ 21， r cm a a a l +=+++ 21二式相减，得到：m b c a a l k )(1-=+++从而l k a a +++ 1能够被m 整除．例3]3[ 某俱乐部有13+n 名成员，对每一个人，其余的人中恰好有n 个愿与他打网球，n 个愿与他下象棋，n 个愿与他打乒乓球．证明该俱乐部至少有3个人，他们之间玩的游戏三种俱全．证明 将每个人作为平面上的一个点，且任何三点不共线．由每一点引出n 条红边、n 条蓝边、n 条黑边．分别代表打网球、下象棋及打乒乓球．问题等价于要证明图中至少有三边颜色全都相同的三角形．考虑有这个13+n 点的所有连边构成的异色角（即两条异色的边所构成的角）的总数l ，由于每个顶点处有23n 个异色角．所以)13(32+=n n l平均每个三角形有2136)13(33132>-=++n n C n n n 个异色角，因此至少有一个三角形有3个异色角．那么这个三角形的三条边也不同色．证毕．例4]4[一个国际象棋大师有11周的时间备战一场锦标赛，他决定每天至少下1盘棋，但为了不使自己过于疲劳他还决定在每周不能下超过12盘．证明存在连续若干天，期间这位大师恰好下了21盘棋．证明 令i a 表示在从一天到第i 天所下的总盘数，771≤≤i ．由于每天至少要下一盘棋，故数值序列7721,,,a a a 是一个严格递增的序列．此外，11≥a ，而且由于每周下棋最多是12盘，132111277=⨯≤a ．因此有13217721≤<<<≤a a a序列21,,21,217721+++a a a 也是一个严格递增序列：15321132212121227721=+≤+<<+<+≤a a a于是，这154个数21,,21,21,,,77217721+++a a a a a a ，中的每一个都是1到153之间的一个整数．由此可知，它们中间有两个是相等的．既然7721a a a ，，， 中没有相等的数，并且21,,21,217721+++a a a 中也没有相等的数，因此必然存在一个m 和一个n 使得21+=n m a a ．从而这位国际象棋大师在第1+n ，2+n ，…，m 天总共下了21盘棋．例5 从整数1,2，…，200中选择101个整数．证明：在所选的这些整数之间存在两个这样的整数，其中的一个可被另一个整除．证明 任一个整数都可以写成a k ⨯2的形式，其中0≥k 并且a 是奇数．对于1和200之间的一个整数，a 是100个数1,3，…，199中的一个．因此在所选的101个整数中存在两个整数，当写成上述形式时这两个数具有相同的a 值．令这两个数是a r ⨯2和a s ⨯2．如果s r <，那么第二个数可以被第一个数整除，否则第一个数被第二个数整除．2 排列与组合2.1 四个基本的计数原理]1[1) 加法原理设集合S 划分为部分m S S S ,,,21 ．则S 的元素的个数可以通过找出它的每一部分的元素个数来确定，我们把这些数相加，得到m S S S S +++= 21如果集合可以重叠，那么我们能够使用一个更深刻的原理来计算S 中元素的个数---容斥原理.2) 乘法原理令S 是元素的序偶()b a ,的集合,其中一个元素a 来自大小为p 的一个集合，而对于a 的每个选择，元素b 存在着q 种选择．于是，S 的大小为q p ⨯：q p S ⨯=3) 减法原理令A 是一个集合，而U 是包含A 的更大的集合．设}:{A x U x A ∉∈=是A 在U 中的补．那么A 中的元素个数A 由下列法则给出：A U A -=4) 除法原理令S 是一个有限集，它以下述方式被划分成k 部分，每一部分A 包含相同数目的元素．此时，划分中的部分的数目由下述公式给出：A Sk =于是，如果我们知道S 中元素个数以及各部分所含元素相同的个数，则可以确定部分的数目．2.2 集合的排列与组合及其在奥林匹克数学中的应用]1[]2[]5[定义1 （排列Permutation ）设n 元集},,{21n a a a S ，=，从中取出r 个不同元素按次序排列，称为S 的一个r -排列，其个数称为r 排列数，记作),(r n P ．当r n =时，S 的r -排列又称为S 的全排列，其个数()r n P ,又称全排列数．定理2.2.1 对于正整数n 和r ，n r ≤，有)1()1(),(+-⨯⨯-⨯=r n n n r n P证明 在构建n -元素集的一个r -排列时，我们可以用n 种方法选择第1项，用1-n 种方法选择第二项，…，用)1(--r n 种方法选择第r 项．根据乘法原理，这r 项可以用)1()1(+-⨯⨯-⨯r n n n 种方法选出．定理2.2.2 n 个元素的集合的循环r -排列的个数由!)(!),(r n r n r r n P -⋅= 给出．特别地，n 个元素的循环排列的个数是!)1(-n ．定义2 （组合Combination ）设n 元集},,{21n a a a S ，=，从中取出r 个不同元素构成一组，称为称为S 的一个r -组合，其个数称为r -组合数，记作⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛r n ．定理2.2.3 对于n r ≤≤0，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=r n r r n P !),( 因此)(!!r n r n r n -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 推论2.2.4 对于n r ≤≤0，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛r n n r n 例1 平面上任三点都不共线的25个点，问：可形成多少条直线？多少个三角形？解 25个点中任取2点即可唯一确定一条直线，故可形成300!23!2!25225==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 条直线；同理，任取3点即可唯一确定一个三角形，故三角形的数目等于2300!22!3!25325==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛．例2 把n 个不同颜色的念珠串成一条项链，能够做成多少不同的项链？ 解 20个念珠共有!20种不同的排列．由于每条项链都可以旋转而不必改变念珠的排列，项链的数目最多为！！192020=．又由于项链还可以翻转过来而念珠的排放未改动，因此项链的总数2!19．例3 已知直线0=++c by ax 中c b a ,,是取自集合中}3,2,1,0,1,2,3{---的3个元素，并且该直线倾斜角为锐角，那么这样的直线有多少条？ 分析：直线倾斜角为锐角，即0tan >-=b a θ，b a ,异号．则b a ,不为0. 解： 不妨设0,0<>b a ．⑴0=c 时，b a ,均有3种取法，但是其中033,022,0=-=-=-y x y x y x 为同一条直线，则有7233=-⨯条．⑵0≠c 时，b a ,均有3种取法，当b a ,取定时c 有4种取法，由乘法原理有36433=⨯⨯条．综上，符合条件的直线共有43736=+条．2.3 多重集的排列与组合及其在奥林匹克数学中的应用]1[]2[]6[2.3.1 多重集的排列如果S 是一个多重集，那么S 的一个r -排列是S 的r 个元素的一个有序排放．如果S 的元素总个数是n （包括计算重复元素），那么S 的n -排列也将称为S 的排列． 定理2.3.1.1 令S 是一个多重集，它有k 个不同类型的元素，每一个元素都有无限重复次数．那么，S 的r -排列的个数是r k ．证明 在构造S 的一个r -排列时，由于的所有元素的重复数都是无限的，因此每一项的不同选择的个数总是k ，而且不依赖于任何前面项的选择．根据乘法原理．r 项可以有r k 种选择方法．定理2.3.1.2 令S 是一个多重集，有k 个不同类型的元素，各元素的重数分别为k n n n ,,,21 ．设S 的大小为k n n n n +++= 21．则S 的排列数等于!!!21k n n n n ！ 证明 给定多重集S ，有k 个不同类型的元素，比如说k a a a ,,,21 ，且分别有重数k n n n ,,,21 ．元素的总个数为k n n n n +++= 21．由于S 种有1n 个1a ，必须从n 个位置的集合选出1n 个位置的子集，有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1n n 种方法选出这种子集．同理有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-21n n n 种方法来放置2a ．进而，由乘法原理可知，S 的排列的总数等于⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-k k n n n n n n n n n n n n n n 121321211 ()()()()()()()!!!!!!!21121321321212111k k k n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n -----------------=- ！！！！！ 化简后得到!!!!!!0!!!!!321321k k n n n n n n n n n n = 例1 考虑3种类型9个元素的多重集{}c b a S ⋅⋅⋅=4,2,3．求S 的8-排列的个数． 解 S 的8-排列可以分为3个部分：⑴ {}c b a ⋅⋅⋅4,2,2的8-排列，有420!4!2!2!8= ⑵ {}c b a ⋅⋅⋅4,1,3的8-排列，有2804138=！！！！ ⑶ {}c b a ⋅⋅⋅3,2,3的8-排列，有560!3!2!3!8= 因此，S 的8-排列的个数为1260560280420=++2.3.2 多重集的组合如果S 是一个多重集，那么S 的一个r -组合是S 的r 个元素的一个无序选择．因此，S 的一个r -组合本身就是一个多重集——S 的一个子多重集．如果S 有n 个元素，那么S 只有一个n -组合，即S 自己．如果S 含有k 种不同类型的元素，那么就存在S 的k 个1-组合．定理2.3.2.1 令S 为具有k 种类型元素的一个多重集，每种元素均具有无限重复次数．则S 的r -组合的个数等于⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+111k k r r k r证明 令S 的k 种类型的元素为k a a a ,,,21 ，满足},,,{21k a a a S ⋅∞⋅∞⋅∞=S 的任一个r -组合均呈},,,{2211k k a x a x a x ⋅⋅⋅ 的形式，其中k x x x ,,,21 皆为非负整数，且r x x x k =+++ 21．因此，S 的r -组合的个数等于方程r x x x k =+++ 21的解的个数，其中k x x x ,,,21 皆为非负整数．而这些解的个数等于两种不同类型元素的多重集*})1(,1{⋅-⋅=k r T的排列的个数．由定理2.3.1.2可知它等于⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=--+r k r k r k r 1)1()1(！！！ 例1 方程204321=+++x x x x的整数解的个数是多少？其中5,0,1,34321≥≥≥≥x x x x ．解 我们引入新的变量：5,,1,344332211-==-=-=x y x y x y x y此时方程变为114321=+++y y y y每个i x 的下界能够满足当且仅当这些i y 是非负的．新方程的非负解的个数是3641114111411=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+．3 容斥原理容斥原理是由十九世纪英国数学家西尔维斯特首先建立的．我们知道加法原理的基础是分划．但是，要找到一个分划且使其中的所有子集都是易于计数的，有时是困难的，更何况对某些问题也并非一定要这样去做．我们可以把加法原理加以推广，即把有限集合A 分成若干个彼此相容的子集n A A A ,21 ，，．这时显然有 n A A A A +++< 21 )1-3(对于)1-3(式，在计算i A 时，对某些元素重复计数了，为了计算A ，就得把上式右边重复计数的部分减去，但是如果减得太多了，就应设法加回去．如此，我们应做多退少补的工作，而完成这项工作的基本思想就是容斥原理．3.1.容斥原理]1[]2[定理3.1.1 设n A A A ,21 ，，为有限集S 的子集，n A A A S 21=，则()i ni n n j i j i n i i i n i A A A A A U S 111111=-≤≤==-++-==∑∑ )2-3( 证明：当1=n 时，设B A A =21 ，B A A 11='，B A A 22='，由加法公式有 11A B A =+'，22A B A =+' 21A A B A A 21''= B A A +'+'=21()()B B A B A +-+-=21 2121A A A A -+=结论成立．若k n =时结论成立，则由111i k 1i 1k 1i ||||+=+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=k i k i k i A A A A A )(||1k 11i k 1i +=+=-+=k i i k A A A A ∑∑∑=++=-≤≤=-+-++-=k i k i k i k i k k j i j ik i i A A A A A A A 1111111||||||)1(|||| |)(|)1(|)()(|11111+=≤≤++-+++∑k i k i k k j i k j k i A A A A A A ||)1(||||111111i k i k k j i j i k i i A A A A +=+≤≤+=-++-=∑∑ 知1+=k n 时结论成立． 由归纳原理知，对任意自然数n ，这个公式都成立．这个公式称为容斥公式．如果将i A 看成具有性质i P 的元素的集合，那么n A A A X 22=就是至少具有n 个性质n P P P ,,,21 之一的元素的集合，因此，容斥公式常用来计算至少具有某几个性质之一的元素的数目．定理3.1.2 设n A A A ,21 ，，为有限集S 的子集，则||||||111i ni i n i i n i A I A A ===-== ||1()||||||111i n i n j n j i i n i i A A A A I =≤<≤=-+++-=∑∑ 这个定理由||||||S A A =+及i n i i n i A A 11=== ,i ni i n i A A 11=== 和)2-4(式容易证明． 式)3-4(与式)1-4(讨论的计数问题相反，它是用来计算不具有某几个性质中的任何一个性质的元素的个数．3.2 错位排列问题]2[利用容斥原理可以解决这个问题：n 个元素依次给以标号n ，，2,1，n 个元素的全排列中，求每个元素都不在原来自己位置上的排列数．定理3.2.1 设n D 表示},,2,1{n 的错位排列的个数，对于1≥n ，()⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-+-=!11!31!21!111!n n D n n 证明：令S 是},,2,1{n 的全部!n 的排列的集合，令i A ),,2,1(n i =表示数i 在它的自然位置上的全体排列的集合．那么},,2,1{n 的错位排列正是n A A A 21中的那些排列．因此||21n n A A A D =因数字i ),,2,1(n i =不动，所以!)1(||-=n A i ；同理对于},,2,1{n 的任意2-组合},{j i ，有!)2(||-=n A A j i ；同样对于满足n k ≤≤1的任意整数k ，)!(||21k n A A A k -= ；更一般地，对},,2,1{n 的任意k-组合}{21k i i i ，，， !)(||21k n A A A ik i i -=由于存在},,2,1{n 的⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k n 个k -组合，应用容斥原理得到!0)1()!3(3)!2(2)!1(1!⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n n n n n n n n D n n ！n n n n n n n !)1(!3!!2!!1!!-++-+-= ⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-+-=！n n n 1)1(!31!21!111! 由此，定理得证．3.3 容斥原理在奥林匹克数学中的应用]7[]8[]9[例1 数10,,2,1 的全排列中，求偶数在原来位置上，其余都不在原来位置上的错排列数目．解 这道题实际上是9,7,5,3,1五个数的错排问题，总数为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-55!145!235!325!415!5 445206012012416121120=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=例2 某校六年级二班有49人参加了数学、英语、语文学习小组，其中数学有30人参加，英语有20人参加，语文小组有10人．老师告诉同学既参加数学小组又参加语文小组的有3人，既参加数学又参加英语和既参加英语又参加语文的人数均为质数，而三种全参加的只有1人，求既参加英语又参加数学小组的人数．解：根据已知条件画出图数学 30 质 20 英语3 1 质10语文49人假设既参加数学又参加英语的有x 人，既参加语文又参加英语的有y 人，可列出这样的方程：4913102030=+---++y x整理后得：9=+y x由于y x ,均为质数，因而这两个质数中必有一个是2，另一个是7．所以既参加英语小组又参加数学小组的有2人或7人．例3 求从1到1000不能被5,6和8整除的整数个数．解：令S 为由前1000个正整数组成的集合，令321,,A A A 分别表示S 中不能被8,6,5整除的整数的集合．另外引入},{b a lcm 表示b a ,的最小公倍数．则：20051000||1=⎥⎦⎥⎢⎣⎢=A 16661000||2=⎥⎦⎥⎢⎣⎢=A 12581000||3=⎥⎦⎥⎢⎣⎢=A 由于120}8,6,5{,24}8,6{,40}8,5{,30}6,5{====lcm lcm lcm lcm ，所以33301000||21=⎥⎦⎥⎢⎣⎢=A A 25401000||31=⎥⎦⎥⎢⎣⎢=A A 41241000||32=⎥⎦⎥⎢⎣⎢=A A 81201000||321=⎥⎦⎥⎢⎣⎢=A A A 则：6008)412533()125166200(1000||321=-+++++-=A A A ．结束语数学奥林匹克中不乏好题，而很多经典好题都出自组合中．鸽巢原理是一个非常简单但又是应用广泛的原理，它是证明存在性问题的有效方法．排列组合和容斥原理都可归于组合计数问题，而组合计数问题综合性比较强，解题过程充满着思辨性和解法的多样性，对运用数学思想与方法技巧的要求较高．由于组合体系庞大，本文仅简单粗略地讨论了组合数学在奥林匹克数学竞赛中的应用．组合数学已经积累了大量漂亮的模型、原理、典型方法与技巧．在学习组合数学的过程中，要善于培养学生的组合性思维和组合思想，让学生在解题中得心应手．参考文献：[1]（美）Richard A.Brualdi 著,冯舜玺，罗平，裴伟东译．组合数学[M]．第四版．机械工业出社；2005．[2] 田秋成等编著．组合数学[M]．北京：电子工业出版社．2006．[3] 何颖智．浅谈抽屉原则[J]．内蒙古科技与经济．1997（2）:22-23．[4] 高耀华．组合数学的重要原理——抽屉原则[J]．乌鲁木齐成人教育学院学报．1993（1）:34-36．[5] 黄国勋．奥林匹克数学方法选讲[M]．上海：上海教育出版社．2003．[6] 陈传理，张同君．竞赛数学教程[M]．北京：高等教育出版社．1996．[7] 崔军．容斥原理及其简单应用[J]．新疆广播电视大学学报．2006，34(10)：42-44．[8] 周春荔．例谈用容斥原理证明问题[J]．数学通讯．2002，41（2）:86-87．[9] 张垚．数学奥林匹克小丛书高中卷13（组合问题）[M]．上海：华东师范大学出版社．2005．。
组合数学论文1800字_组合数学毕业论文范文模板
组合数学论文1800字_组合数学毕业论文范文模板组合数学论文1800字(一)：浅论生成函数在组合数学中的应用【摘要】发生函数是组合数学中许多问题的首要解决方法，他可以将很多数学问题转化为生成函数问题，从而简单明了提供解题思路与方法，使得复杂困难的问题迎刃而解。
本文主要研究生成函数在组合计数、整数拆分、递推问题和恒等式证明等问题中的应用，从而体现生成函数在组合数学中的作用。
【关键词】组合函数；数学；应用引言所谓生成函数也就是母函数，又被称为发生函数，它是链接离散函数和连续函数的结合点，是组合数学中许多问题的首要解决方法。
可以将很多数学问题转化为生成函数问题，从而简单明了的为数学中的许多问题提供解题思路与方法，使得复杂困难的问题迎刃而解。
1.生成函数在组合计数中的应用生成函数作为在组合计数学习中极其重要的一个工具，在处理某些相关问题时运用生成函数，往往会使问题简单明了。
例1.现有1分2分5分邮票，邮票可重复使用，则能贴出那些面值的邮票？每种面值有多少种贴法？解：a把表示为用1分2分5分邮票贴出面值为n的有票的不同贴法，则我们可以得到一个数列{a}的生成函数f（x）=∑n≥0anxn=（1+x+x2+x3+…）（1+x2+x4+…）（1+x5+x10+…）=1+x+2x2+2x3+3x4+4x5+…根据生成函数展开式可知x表示贴出面值为1分的方案有1种：1分2x表示贴出面值为2分的方案有2种：1分+1分，2分2x表示贴出面值为3分的方案有2种：1分+1分+1分，2分+1分3x表示贴出面值为4分的方案有3种：1分+1分+1分+1分，2分+1分+1分，2分+2分……由生成函数就可以看出，可以贴出那些面值的邮票，贴出n面值的邮票有多少种贴法。
通过上述例子我们可以看出，在现实学习生活中，很多问题看似复杂，处理起来毫无头绪，但只要我们合理的运用生成函数处理为，很多难题复杂题迎刃而解，且过程简单明了，容易掌握。
2.生成函数在整数拆分中的应用在很多数学实际问题中，往往会整数拆分与组合数学联系在一起，既将组合数学中的很多实际问题看做整数拆分问题。
数学与应用数学-排列组合及其应用探究论文
排列组合及其应用探究摘要排列组合在很多领域都有着广泛的应用,它是组合学最基本的概念，也是高考必考内容之一，在中学阶段的学习中，它在解题中大大简化了计算的过程。
但这一知识点与其他章节的联系不大，一道题目往往有多个解法，学生在学习这方面内容时会比较困难。
本文以高考和数学联赛真题为例，通过例题对排列组合在数学学科以及实际生活中的一些应用进行分析解答，帮助学生形成严密的数学思维，培养学生联系实际解决问题的能力，最后结合课程标准的要求，对教师的教学提出一些建议。
关键词排列组合应用中学数学Reserch on permutation and combination and its applicationAbstract Permutation and combination are widely used in many fields. It is the most basic concept of combinatorics, and it is also one of the content of the college entrance examination. In the middle school stage of learning, it greatly simplifies the calculation process in solving problems. However, this knowledge is not related to other chapters. There are many solutions to a problem, so it is difficult for students to learn this aspect. This paper takes the real problems of college entrance examination and mathematics league as examples to analyze and solve some applications of permutation and combination in mathematics subjects and real life, so as to help students form a rigorous mathematical thinking, cultivate students' ability to solve problems in connection with the actual situation, and finally put forward some suggestions for teachers' teaching combined with the requirements of curriculum standards.Key words Permutation Combination Application Middle School Mathematics引言 (1)1研究概述 (1)1.1研究背景 (1)1.2研究现状 (1)1.3研究意义 (2)1.4研究内容和方法 (3)2理论基础 (3)2.1普通高中数学课程标准中“排列组合”的要求 (3)2.2“排列组合”部分的高考解读 (3)2.3排列组合基本概念 (4)2.3.1排列组合定义与公式 (4)2.3.2两个计数原理 (4)2.3.3解题技巧 (5)3排列组合的应用 (5)3.1排列组合在数学中的应用 (5)3.1.1排列组合在数字问题中的应用 (5)3.1.2排列组合在函数问题中的应用 (6)3.1.3排列组合在概率问题中的应用 (6)3.1.4排列组合在几何问题中的应用 (8)3.2排列组合在实际问题中的应用 (9)结论 (11)参考文献 (13)致谢........................................................................................................................... 错误!未定义书签。
数学竞赛中的组合数学
数学竞赛中的组合数学在高中数学竞赛中，组合数学是一个重要且常见的考点。
它在数学中的地位也越来越重要，不仅能帮助我们在比赛中取得更好的成绩，更能增强我们的逻辑思维能力。
组合数学的基本概念是排列和组合。
排列是指从n个不同的元素中取出m个元素排成一列，不同排列的个数为A(n,m)=n×(n-1)×(n-2)×...×(n-m+1)。
组合是指从n个不同的元素中取出m个元素，不考虑排列顺序，不同组合的个数为C(n,m)=A(n,m)/m!=n!/[m!(n-m)!]。
在组合数学的学习中，一个重要的定理是乘法原理和加法原理。
乘法原理是指若有两个事件A、B，那么总的事件数为它们发生的方式数的积。
加法原理是指若有两个互相排斥的事件A、B，那么总的事件数为它们发生的方式数的和。
另一个重要的组合数学定理是排列组合公式。
它是指在概率问题中常用的计算公式，能用于求解排列和组合的概率。
其公式为P(n,m)=n!/[m!(n-m)!]，其中n是元素总数，m是取出的元素个数。
组合数学还可以用于求解各种排序和组合问题。
例如，在比赛中出现的一道题目：用1、2、3、4、5一共五个数字，组成不能重复的三位数并将这些三位数排序，求第k（k<60）个数是多少？这类问题可以用排列组合公式和乘法原理解决。
除此之外，组合数学还在各种实际问题中得到广泛应用。
统计学中，组合数学用于计算随机事件的概率；密码学中，组合数学用于设计和破解密码算法；计算机科学中，组合数学用于算法设计以及计算模型的研究。
总之，组合数学是数学竞赛中的重要一环，也是我们日常生活中的必要技能之一。
学好组合数学可以帮助我们更好的解决各种实际问题，并提高我们的思维能力。
在数学竞赛中，掌握组合数学的知识可以帮助我们更好的理解和解决问题，从而提高我们的比赛成绩。
组合数学在程序设计竞赛中的应用
容斥原理应用
例：zju1619Present n个朋友每人买了一份礼物，混合在一起后，每 人拿一份，求恰有m人拿到了恰好是自己买的礼 物的概率。 即:n个数的全排列中，m个保位,(n-m)个错位的排 列数占总排列数的比例。 全排列数：n! m个保位,(n-m)错位的排列数：C(n,m)Dn-m 结论：p = C(n,m)Dn-m/n!
分母
}//欧几里德辗转相除法求最大公 约数
int C(int n ,int m) { int i,a,fz=1,fm=1;
return fz/fm;
}
排列组合数的一般计算方法
（二）使用double类型
double C2(int n , int m )
/* 在输出结果是应该注意要以 整数形式输出.*/
n
1 2 3 5 8 13 1 2 3 5 8 21 1 2 3 5 8 34 1 2 3 5 13 21 ……
组合的生成算法
Code:
#include<iostream> #include<memory> #include<algorithm> int main(){ int n_case = 0, i; while(cin>>k&&k) {
(n+r-1)! RC(∞,r)=C(n+r-1,r) = r!(n-1)!
排列组合例题 例1：电子锁
某机要部门安装了电子锁。M工作人员每 人发一张磁卡，卡上有开锁的密码特征，为了 确保安全，规定至少有N人同时使用各自的磁 卡才能将锁打开。 现在需要计算一下，电子锁上至少要有多 少种特征，每个人的磁卡上至少要有多少特征。
循环又叫轮换，二阶轮换叫对换源自论轮换上乘上一个对换的效果：
信息学竞赛中的组合数学问题与解决方法
信息学竞赛中的组合数学问题与解决方法组合数学是一门研究离散结构及其性质的数学学科，它在信息学竞赛中扮演着重要角色。
组合数学问题在竞赛中常常出现，并且需要灵活运用数学原理和方法来解决。
本文将探讨信息学竞赛中的组合数学问题及其解决方法，帮助读者提升解题能力。
一、全排列与组合的概念及性质在组合数学中，全排列（Permutation）和组合（Combination）是最基本的概念。
全排列指的是将一组元素按照一定规则进行排列，而组合则是从一组元素中选择出若干元素的集合。
全排列的个数可以通过求解阶乘来得到，例如n个元素的全排列个数为n!（n的阶乘）。
组合的个数则可以通过组合数公式来计算，即C(n,m) = n! / (m! * (n-m)!)，其中n表示元素总数，m表示需要选择的元素个数。
了解全排列和组合的概念及性质有助于我们更好地解决相关问题。
二、排列组合在竞赛中的应用在信息学竞赛中，排列组合问题常常涉及到选择、排序、计数等方面。
下面将介绍几个常见的组合数学问题及其解决方法。
1. 选取问题选取问题是组合数学中的一类常见问题，涉及在给定集合中选择符合条件的元素。
例如，给定一个集合{1, 2, 3, ..., n}，我们需要从中选出m个元素，并且满足某种特定条件。
解决这类问题时，可以运用组合数公式进行计算，同时结合条件进行筛选。
2. 重复选取问题重复选取问题是指从给定的元素集合中进行有放回地选择。
在这类问题中，元素可以被选择多次。
解决重复选取问题时，可以利用全排列的思想，根据元素的重复次数进行计算。
3. 排列问题排列问题是指将一组元素按照一定规则进行排序。
在信息学竞赛中，常见的排列问题包括全排列和部分排列。
解决排列问题时，可以通过递归、动态规划等算法设计方法。
三、解决组合数学问题的常用技巧与策略除了掌握基本的概念和方法外，还需要掌握一些常用的解题技巧和策略，以提高解题效率。
1. 计数技巧在解决组合数学问题时，经常需要统计满足条件的排列组合的个数。
组合数学在奥数中的应用 2021年精选文档
组合数学在奥数中的应用 2021年精选文档组合数学在奥数中的应用-2021年精选文档组合数学在数学奥林匹克竞赛中的应用奥数在数学的学习中，虽然不是其科目的必修部分，但是，从提升自身数学能力的角度来看，对其数学逻辑分析能力、良好习惯的养成等具有重要的促进意义。
因此，作为一名学生，在对数学知识进行学习的过程中，要充分重视其组合数学在奥数中的应用，从而更好的促进其奥数问题的有解决。
目前，数学奥林匹克运动会越来越受到广泛的认可和重视。
在这种情况下，为了更好地有效地解决其数学奥林匹克问题，积极系统地应用其组合数学是非常重要的。
从目前我国的发展来看，奥林匹克数学竞赛的知识面越来越广，题目的种类越来越丰富。
然而，相关参考文献严重不足。
因此，本文主要以学生的视角为基点，从组合数学入手，系统分析组合数学在奥林匹克数学中的应用，以更好地促进学生对组合数学知识的吸收，促进我国教育的进一步发展。
一、组合数学的相关概述在系统研究组合数学在奥数解题中的应用之前，首先要详细了解组合数学的基本概念，这不仅可以更有效地加深我们对组合数学的深入理解，也有助于我们从另一个角度理解组合数学在奥数竞赛中的应用。
具体地说，组合数学分为大类义的组合数学与狭义的组合数学。
（一）广义的组合数学广义上主要指离散数学，即只要它涉及一个以离散为对象的基本问题，并能有效地解决具有一定离散数据信息的问题，就可以称为广义的组合数学。
（二）狭义的组合数学从狭义上讲，它主要指一些具有代数结构、数字形式逻辑等知识的数学类型。
它对某些数据的存在、形式和组合设计都有一定的要求。
因此，在解决问题的具体过程中，我们应该从其基本框架入手，根据组合数据回答问题。
二、从奥数竞赛出发，提出问题奥运竞赛题目的设置对学生的数学思维能力、知识掌握和自身知识应用能力有较高的要求。
从这个角度出发，为了更全面地备战奥运会比赛，更准确地掌握他们的解题能力，积极对他们的组合数学进行系统的研究和分析。
组合数学论文1700字_组合数学毕业论文范文模板
组合数学论文1700字_组合数学毕业论文范文模板组合数学论文1700字(一)：浅谈“组合数学”的研究性教学方法【摘要】组合数学是计算机相关专业的一门专业课程，其内容抽象，形式化程度高，如何提高该课程的教学水平，使学生真正学懂并不断提高逻辑思维和抽象思维能力是该课程教学研究和探讨的重点.【关键词】研究性教学；组合数学；启发式学习伴随着信息时代的来临，特别是计算机科学技术的迅猛发展，计算机相关专业课程的学习方法研究成为热点.组合数学作为一门应用性较强的数学分支，对于高校特别是计算机相关专业学生，培养他们运用组合数学方法分析和解决相关问题的能力已经成为必要.如何在教学过程中提高学生学习组合数学的兴趣，建立组合数学的逻辑思维并用于解决实际问题是教育工作者需要思考的问题.一、课程特点与现状分析组合数学在计算机科学、信息科学中具有重要的地位，是理科及工科院校的一门必修课，其发展改变了传统数学中分析和代数占统治地位的局面.组合数学主要研究符合一定条件的组态对象、计数及构造等方面的问题，主要内容包括排列与组合、容斥原理及其应用、递推关系、生成函数、鸽巢原理和Polya定理等.然而，組合数学课程中概念、定理、性质和证明非常多而且都比较抽象，形式化程度高，学生在学习、理解和应用时比较困难.因此，需要通过研究性教学方法来激发和增强学生的学习兴趣，从而培养和增强学生的抽象思维、逻辑思维和理论联系实际的综合能力.二、研究性教学改革与实践（一）研究性教学理念研究性教学是目前高等教育教学研究的一个热点方向[1]，它是一种教师指导下的以学生为主体的自主学习和实践过程，包含了教与学两个方面：前者以教师为主导，在课堂教学中创设一种类似科学研究的情境或途径，把凝结在知识点背后的思想、方法和创新过程揭示出来，在引导学生学习和掌握新知识的同时，又能受到知识创新和科学研究方法的熏陶和训练；后者指学生在教师指导下，以科学研究的方式查阅资料、搜集信息，并通过分组协作和讨论来完成指定项目或问题的一种主动的、独创性的学习活动[2].（二）教学改革的目标通过启发式教学方法进行组合数学教学，锻炼学生的论证能力，用组合数学的思想培养学生分析问题和解决问题的能力，使学生能得到严格的逻辑推理与抽象思维能力的锻炼，了解数学中的抽象思维、建立数学模型与计算机科学实践之间的内在联系，不仅提高专业开发能力，而且为其他课程的学习打好数学基础.（三）研究性教学改革的实施方案根据组合数学的课程要求，在整个教学改革过程中，按照教学内容分成三个层次来安排：1.第一层次为基础知识的学习在研究性教学改革中，对课程的教学内容进行凝练和概括，对学时分配进行了优化.对于基础知识的学习依然采用传统的教学方法，夯实基础.2.第二层次为综合应用知识的学习为了加强学生综合应用知识的能力，对学生进行了分组，让每组学生独立完成设置好的一些案例.通过这些案例的研究性教学和讨论，可以使学生明白学习的目标不只是为了记住结论、公式、定理，而是会运用知识解决问题，真正由“学会”变为“会学”，这才是研究性教学的根本所在.3.第三层次为创新知识的学习为了培养学生创新能力，设置多个创新性课题，旨在探索并建立以问题和课题为核心的教学模式，激发学生的创新思维和创新意识，逐渐掌握思考问题、解决问题的方法，提高其创新实践的能力.三、研究性教学效果分析在组合数学的研究性教学开展中，经过不懈努力，取得了一定成果和效果.1.教师方面：教育的观念变了，教师在教学过程中真正成为学生学习的组织者、参与者、帮助者、引导者和促进者，从备课到上课，先进的教学理论得以实施，教学案例也是新颖而且有价值的.2.学生方面：改变了学生学习的方式，一改“在听中学”的单一方式，创造“在做中学”“在尝试中学”等多种学习方式；二改学生被动的学习态度；三改学生接受式学习的习惯，大力开展研究性学习；四改学生机械模仿的习惯，帮助学生进行创造性的有意义的学习.学生接受了新的教学法，能够按要求撰写学案，懂得了要合作学习，分享成果，也明白探究过程对个人的发展起到了积极的作用.四、结论通过开展组合数学课程的研究性教学改革，不仅较好地激发了学生学习的兴趣，更重要的是使学生深刻认识和领会到严谨的逻辑思维和高度的抽象思维及形式化表示在计算机科学发展及应用计算机求解等一些复杂的深层次问题中的作用.组合数学毕业论文范文模板(二)：基于组合数学课程的小班化教学改革实践[摘要]小班化教学，也称“小班化教育”，是指减少班级人数、缩小班级规模、降低师生比例，以有利于教师提高教学质量。
数学教育毕业论文 将竞赛数学应用到中学数学教育中的意义
将竞赛数学应用到中学数学教育中的意义摘要：国际数学竞赛的兴起，发展至今，它不仅对数学，而且对中小学的数学教育、应试考试都产生了影响。
本文从竞赛数学教育的性质，教育功能出发探讨数学竞赛教育在发展学生思维能力方面的作用，结合我国现阶段的数学奥林匹克培训的实际情况，阐述将数学竞赛思想与思维方法引入到现阶段的中学数学教学当中去的重要意义，阐述数学竞赛教育与中学数学教育的关系。
关键词：竞赛数学、中学教育、性质、教育功能Will be applied to the secondary schoolmathematics contest the significance ofmathematics educationAbstract：The rise of an international mathematics competition, the development has not only mathematics, but also for primary and secondary school mathematics education, exam have had an impact test.This article from the nature of mathematics Olympic education, educational function of mathematics competition starting to develop students thinking skills education in the role of mathematics in our country at this stage the actual situation of the Olympic training to explain mathematical ideas and thinking to introduce competition to the stage mathematics teaching in secondary schools to the importance of them to explain mathematics and mathematics education, personnel training race relations.Key Words: Mathematics Competition Secondary Education Nature Educational function目录中文摘要 (3)英文摘要 (4)1、传统数学教学的弊端及融于竞赛数学的必要性 (5)1.1传统数学教学注重注入式和题海战术 (5)1.2传统数学教学重结果轻过程 (5)1.3传统数学教学注重目标技能化 (5)2、竞赛数学教育的特点 (6)2.1内容广泛 (6)2.2命题新颖 (6)2.3解题方法具有创造性 (7)3、从竞赛数学中学数学教育 (9)3.1加强数学思想方法的教育 (9)3.2重视数学意识的形成 (11)3.3促进数学兴趣的提高 (11)3.4注意主体意识的培养 (12)结束语 (14)参考文献 (15)致谢 (15)1、传统数学教学的弊端及融于竞赛数学的必要性传统的数学教学注重注入式和题海战术。
组合数学竞赛中的应用
统计物理
在统计物理中，组合数学用于描述大量粒子的集 体行为，如熵和概率论中的组合结构。
数据结构和数据压缩
组合数学中的哈希表、二叉树等数据结构以及数 据压缩算法在计算机科学中广泛应用。
工程学中的组合数学应用
01
02
03
控制系统
03
组合恒等式的应用
组合恒等式在解决计数问题中具有广泛的应用，如通过组合恒等式可以
将一些复杂的问题转化为简单的问题，或者通过组合恒等式得到一些有
用的性质和结论。
03
组合优化问题
最优组合问题
最大匹配问题
01
在给定无向图中寻找最大的匹配数，使得每条边只匹配一次。
最小顶点覆盖问题
02
在给定无向图中寻找最小的顶点集合，使得图中的每条边至少
统计推断中的组合数学应用
参数估计
组合数学中的排列组合理论在参数估计中有着广泛应用， 例如在样本均值的分布、方差分析等领域。
假设检验
假设检验是统计推断的重要部分，组合数学中的一些概念 和定理，如贝叶斯决策理论、似然比检验等，在假设检验 中起到关键作用。
回归分析
回归分析是探索自变量和因变量之间关系的一种统计方法， 组合数学中的一些概念和定理，如最小二乘法、多元线性 回归等，在回归分析中有着广泛应用。
04
组合数学在计算机科学中的应用
数据压缩算法
Huffman编码
利用树的权值进行数据压缩，通过构 建一个最优二叉树，使得编码后的数 据长度最短，从而达到压缩的目的。
LZ77
通过查找数据中的重复子串，并用指 向重复子串的指针替换重复子串，从 而达到压缩数据的目的。
第四届丘成桐中学数学奖获奖论文-组合数学的若干结论
m ⎛ m + i +1 ⎞ + − k 1 ( ) ∑ ⎜ ∑ ⎟ , ak ⎠ + ak = m −i +1 ⎝ 2i, a2 , i = 0 a2 +
∑
⎛ m + i +1 ⎞ ⎜ ⎟ , ak ⎠ + ak = m −i ⎝ 2i + 1, a2 ,
m +1 ⎛ m + i +1 ⎞ = ∑⎜ ⎟ i = 0 ⎝ m − i + 1, 2i ⎠ a2 +
∑ A ( n, k ) x k = x∑ k ! S ( n, k )( x − 1)
k =1 k =1
n
n
n−k
= ∑ k ! S ( n + 1, k + 1)( x − 1)
k =1
n
n−k
N\K 1 1 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 1
2 1 3 7
3 1 6
4 1
5 -
6 -
1110011111221mmmi?mi?iimimi?mimii?kki??????????????1011111221mmi?imimi?mimii?ki???????????????????111002i2i111121121mmmi?mi?iimi?mi?kkmimi??????????????比较两式即有211nnnaak?an
An +1 + ( k − 1) An
= =∑
m +1 i = 0 a2 +
a1 + 2 a2 +
∑
⎛ a1 + a2 + + ak ⎞ ⎛ a1 + a2 + + ak ⎞ ∑ ⎜ ⎟ + ( k − 1) ⎜ ⎟ a1 , a2 , , ak ⎠ a1 , a2 , , ak ⎠ a1 + 2 a2 + + 2 ak = n ⎝ + 2 ak = n +1 ⎝
组合数学在数学竞赛中的应用 毕业论文
目录1.引言 (1)2组合数学与数学竞赛简介. (1)2.1组合数学 (1)2.2数学竞赛 (1)3 组合数学的几种方法在数学竞赛中的应用 (2)3.1抽屉原理 (2)3.2容斥原理 (2)3.3排列组合 (8)4.探索高中数学竞赛中的组合问题 (9)4.1熟练掌握四个基本的技术原理 (9)4.2学习组合数学的几点建议 (10)4.3培养学生的组合性思维和组合思想 (11)4.4常见排列组合的解题策略 (11)参考文献 (12)致谢 (12)组合数学在数学竞赛中的应用Combinatorial Mathematics in Applied Mathematics(0521110329 Class 2 Grade 2005 Mathematics & Applied Mathematics School of Mathematics & Information) Abstract: Mathematical competitions in high school and junior high school are very popular in which the portfolio problem accounts for a large proportion. As for this issue, the writer combines with the portfolio mathematics and competitive mathematics in university, and adopts the drawer principle, exclusion principle and permutation and combination methods to make the research and discussion.Importantly, the writer carries new research on the problems of combination in mathematical competition.Key words: order; combination; drawer principle; Exclusion principle1. 引言组合数学是可以追溯到公元前2200既古老而又年轻的数学分支, 它的源泉可以追溯到公元前2200年的大禹时期，中外历史上许多著名的数字游戏是它古典部分的主要内容. 公元1666年，德国著名数学家莱布尼茨为它请名为“组合学”(Combinatorics),并预言了这一数学分支的诞生. 随着科学技术的发展，组合数学这门历史悠久的学科得到了迅速发展．数学活动离不开解题，掌握数学的一个重要标志就是善于解题．现在专门以中学生为对象的数学竞赛成为时代的时尚，本论文希望结合组合数学和数学竞赛有关理论知识，针对在数学竞赛中占很大比例的组合问题，利用大学组合数学理论给出解释，并结合初等数学向学生渗透和合理讲解．在此过程中，提出自己直接的见解和总结．2.组合数学与数学竞赛简介2.1 组合数学组合数学历史悠久，几千年前，我国的《河图》、《洛书》就已涉及一些简单有趣的组合问题．组合问题在日常生活中也随处可见．例如，在玩扑克牌游戏中计算“同花顺”的概率、一笔画和幻方等都是组合数学问题．组合数学自20世纪60年代急速发展的部分原因在于计算机在我们的生活中所发挥的重要影响，而且这种影响还在继续发挥．由于远算速度的持续增加，计算机已经能够解决大型问题，这在以前是不可能做到的．近年来，由于计算机科学、编码理论、规划论、数字通讯、试验设计、社会科学、生物科学等学科的迅猛发展，大大促进了组合数学的研究，使这一古老的数学分支成为了一门充满活力的数学学科．组合数学可以一般地描述为：组合数学是研究离散结构的存在、计数、分析和优化等问题的一门学科．现代的组合数学几乎是与图论不可分割的．图论是数学的一个分支，它以图为研究对象，研究顶点和边组成的图形的数学理论和方法．有关图论的第一篇文章是由著名瑞士学家欧拉写于1736年，他探讨的是著名的哥尼斯堡七桥问题，图论在智力难题和游戏方面有着历史根源，而今天它为许多学科的研究提供了一种非常重要的语言和框架．2.2 数学竞赛围绕着数学竞赛而开展的各种活动已经搭起了一个数学教育新分支的框架，其特点是以开发智力为根本目的、以问题解决为基本形式、以竞赛数学为主要内容．最本质的是对中学生进行“竞赛数学”的教育，这种教育的性质是：较高层次的基础教育、开发智力的素质教育、生动活泼的业余教育、现代教学的普及教育．竞赛数学是一中“中间数学”，介乎于中小学与大学数学之间；竞赛数学是一种“前沿数学”，追求内容的新颖性，不断推陈出新，时刻涌现出新问题新方法和新结果；竞赛数学是一种“艺术数学”，它把现代化的内容与趣味性的问题有机结合，把普遍性的问题与独创性的技巧有机结合，展示出数学美的魅力；竞赛数学是一种“教育数学”，它称为教育数学中最接近研究数学的“先头部队”，利用自己所处的地位，大量地、方便地吸收着前沿成果初等化，也把古典问题高等化．3. 组合数学的几种方法在数学竞赛中的应用3.1 抽屉原理抽屉原理又称鸽巢原理或重叠原理，是组合数学的两大基本原理之一，是一个极其初等而又应用较广的数学原理．抽屉原理要解决的是存在性问题，即在具体的组合问题中，要解决某些特定问题求解的方案数，其前提就是要知道这些方案的存在性．定理3.1.1（基本形式）将1n +个物品放入n 个抽屉，则至少有一个抽屉中的物品数不少于两个．证 反证之． 将抽屉编号为：1,2,...n ，设第i 个抽屉放有i q 个物品，则12...1n q q q n +++=+ 但若定理结论不成立，即1i q ≤，亦有12...n q q q n +++≤，从而有 121...n n q q q n +=+++≤矛盾．定理3.1.2（推广形式）将12...1n q q q n +++-+个物品放入n 个抽屉，则下列事件至少有一个成立：即第i 个抽屉的物品数不少于i q 个，1,2,...i n =．证 反证．不然，设第i 个抽屉的物品数小于(1,2,...)i q i n =（即该抽屉最多有1i q -个物品），则有 11n i i q n =-+=∑物品总数111n ni i i i q q n ==≤-=-∑∑ 与假设矛盾．根据定理的结果，不难得出下述结论．推论3.1.1将(1)1n r -+个物品放入n 个抽屉，则至少有一个抽屉中的物品个数不少于 r个．推论3.1.2将m 个物品放入n 个抽屉，则至少有一个抽屉中的物品个数不少于11m m n n -⎢⎥⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥个．其中x ⎢⎥⎣⎦表示取正数x 的整数部分，x ⎡⎤⎢⎥表示不小于 x 的最小整数． 推论3.1.3若n 个正整数(1,2,...,)i q i n =满足12...1n q q q r +++>-则至少有一个i q ，满足i q r ≥．利用抽屉原理可以得到下面两个性质：性质 1 任意三个整数中，必有两个整数的和是2的倍数．性质 2 任意五个整数中，必有三个整数的和是3的倍数．例1 任意15个整数中，必有8个整数的和是8的倍数．证 15个整数是任意的，所以我们用1231415,,....,a a a a a 这15个字母来表示，有性质1，123,,a a a 中122a a a +=（a 为整数），同理可得，456,,a a a 中有452a a b +=（b 为整数），789,,a a a 中782a a c +=（c 为整数），101112,,a a a 中10112a a d +=（d 为整数）。
组合数学论文
生活中的组合数学摘要:组合数学在基础理论方面和生活应用方面都发挥着越来越重要的作用,组合数学不仅在基础数学研究中具有极其重要的地位，在其他的学科中也有重要的应用，如在计算机科学、编码和密码学、物理、化学、生物等学科中均有重要应用。
如果说微积分和近代数学的发展为近代的工业革命奠定了基础，那么组合数学的发展则是奠定了21世纪计算机革命的基础。
因此随着计算机科学和其它许多新兴应用学科的发展,组合数学在基础理论方面和生活应用方面都发挥着越来越重要的作用,进而需要我们对其进行更加深层次的研究.关键词:组合数学;鸽巢原理;数学游戏引言随着计算机的普及推广,组合数学这门古老的学科焕发出蓬勃的生机.组合数学是一门研究内容丰富、应用广泛的学科,同时它也是一门讲究方法,讲究技巧的学科.组合数学的魅力在于找到巧妙的解法来完善的解决一个组合数学问题,计算机强大的计算能力为寻求组合数学问题的巧妙解法提供了无限的可能,同时组合数学也反过来有效地推动了计算机科学的发展.组合数学在国外已有较快发展,在很多大学已设立组合数学与优化理论专业来培养专门人才.我国对组合数学的研究具有一定的基础,特别是图论研究和区组设计等方面已取得一定的成果.组合数学的发展显然已经改变了传统数学中分析和代数占统治地位的局面,奠定了本世纪的计算机革命的基础.因此需要对其进行更加深入的理论探讨和实践.本文正是基于这种思想,希望借以简单的阐述引起人们对组合数学的更深层次的理解,并能够将其灵活应用于生活中.所以我想通过一些实例和数学史上的一些故事和难题,介绍了组合数学是如何在生活中应用的.在研究了一些典型的例子和趣味性的故事的基础上,系统的查阅了相关文献，并结合生活中涉及组合数学的相关知识进行阐述,具体说明了组合数学的基本方法及其在生活中的应用.这样就使得晦涩的组合数学显得更加形象,也使抽象的理论概念变得浅显具体,更易被初学者理解和接受,以至于可以激发人们在生活中应用组合数学的意识.1.组合数学的基本内容1.1概念伴随着计算机科学的高速发展,近年来,组合数学已渐渐成为一门新兴起来的边缘性、综合性学科.关于组合数学到底是什么,数学界有许多种的看法.Richard A.Brualdi在其所著的《Introductory Combinatorics》一书中提到组合数学研究的是事物按照一定的规则安排,其中包括:对已知安排问题的研究，计数性问题,存在性问题.在《Basic Techniques of Combinatorial Theory》中有如此描述: 组合数学即为对已给定描述事物的研究有多少种或者是对某事物发生的途径有多少种.综上所述,组合数学主要研究的就是事物安排中所涉及的有关数学问题[]1.组合数学是研究任意一组离散性事物按照一定规则安排或配置的数学.特别是当指定的规则较简单时,计算一切可能的安排或配置的方法数,就成为它研究的主要问题.现代组合数学有两个主要特点:其一,它大量应用了抽象代数学工具和矩阵工具促使问题的提法和处理方法表现出极大的普遍性;其二,为了适应计算机科学的发展,它很注重对方法的能行性和程序化问题进行研究.这样,它又派生出算法组合学和组合算法等新的亚分支学科.1.2主要内容组合数学最早是同数论和概率论交叉在一起的.本世纪五十年代以来,特别是由于计算机科学的巨大发展,促使组合数学成为一支富有生命力的新兴数学分支.与传统的数学课程相比,组合数学研究的主要是一些离散事物之间所存在的某些数学关系,包括计数性问题、存在性问题、最优化问题以及构造性问题等,其内容主要是枚举和计数.组合学中研究最多的主要是计数问题,该问题通常出现在所有的数学分支之中.计算机科学通常需要研究有关算法的内容,就必须估计出算法所需的存储单元和运算量,即分析算法的空间复杂性和时间复杂性[]2.综上,组合数学主要研究:排列组合、递推关系和生成函数、鸽巢原理和容斥原理、贝恩赛特引理与波利亚定理以及区组设计与编码等等.2.组合数学的基本解题方法组合数学是离散数学的一个分支,其内容零散,思想方法繁多,对于长期接受连续性数学学习的我们来说,通常感到很难抓住其要领,无从下手,尤其是对新颖繁多的各种组合方法感到有些茫然.组合数学的方法很多,如加乘法则,抽屉法则,母函数法,逐步淘汰法等等,了解这些方法有助于培养我们学生的组合思维。
竞赛数学中的组合数学问题
组合数学论文竞赛数学中的组合数学问题20075251徐海波竞赛数学中的组合数学问题组合数学是上个世纪五十年代后逐步建立和完善起来的一门数学分支，组合数学也称为组合学、组合论，组合分析。
教科书上对组合分析的定义：按某种要求把一些元素构成有限集合的研究叫做组合分析。
这种研究比传统的数学讨论的对象更广泛，在实际生活和实践活动中应用性更大。
这种研究一般讨论以下问题：在一定的约束条件下，对象——构成的存在性（有与没有、能与不能）问题；构成的分类与计数；构成的方法（构造方法）及最优化方法。
人们常把竞赛中某些问题称为杂题，又称为组合数学问题。
为什么？中学数学竞赛中的一些问题，很难把它们归类为代数问题或几何问题，但它们涉及到的解题目标和解题方法可以归入组合问题和组合分析；当然一些组合数学的习题也直接用作竞赛题。
初等数学竞赛中的组合问题与组合分析常用的方法有抽屉原理、递推（归）原理、容斥原理、染色方法等，这些原理方法都很一般，重要的是经验和技巧——应用的能力。
本文重点研究竞赛数学中的组合数学计数问题。
计数问题组合数学中的计数问题，数学竞赛题中的熟面孔，看似司空见惯，不足为奇．很多同学认为只要凭借课内知识就可左右逢源，迎刃而解．其实具体解题时，时常会使你挖空心思，也无所适从。
对于这类问题往往首先要通过构造法描绘出对象的简单数学模型，继而借助在计数问题中常用的一些数学原理方可得出所求对象的总数或其范围。
1、计数中求最大值：第一步：分类讨论（1）情况一，推出目标数f ≤m1；（2）情况二，推出目标数f ≤m2；…（s）情况s，推出目标数f ≤m s；第二步：m0=max{m1，m2，…，m s}，则f ≤m0；第三步：构造模型使计数恰好等于常数m0，则常数m0即为最大值。
另一种叙述:第1步：由目标数f≤m推出可以符合条件；第2步：由f =m+1推出是不能符合条件；所以f max = m 。
2、计数中求最小值：第一步：分类讨论（1）情况一，推出目标数f ≥m1；（2）情况二，推出目标数f ≥m2；…（s）情况s，推出目标数 f ≥m s；第二步：m0=min{m1，m2，…，m s}，则f ≥m0；第三步：构造模型使计数恰好等于常数m0，则常数m0即为最小值。
组合计数在数学竞赛中的应用
组合计数在数学竞赛中的应用
王慧兴
【期刊名称】《中等数学》
【年(卷),期】2015(000)007
【摘要】组合计数是各类高中数学竞赛的必考内容，题材广泛，方法灵活，是培养学生组合思维能力的基础题材．笔者基于多年竞赛培训经历撰写本文，希望能给初学者有效引领．
【总页数】6页(P2-7)
【作者】王慧兴
【作者单位】清华大学附属中学朝阳学校,100027
【正文语种】中文
【中图分类】O157
【相关文献】
1.母函数在组合计数中的应用 [J], 刘会科
2.生成函数在组合计数中的应用 [J], 程绩
3.母函数在组合计数中的应用 [J], 刘会科;
4.母函数在组合计数中的应用 [J], 刘会科;
5.组合计数方法在数论中的应用 [J], 王麒翔
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目录1.引言 (1)2组合数学与数学竞赛简介. (1)2.1组合数学 (1)2.2数学竞赛 (1)3 组合数学的几种方法在数学竞赛中的应用 (2)3.1抽屉原理 (2)3.2容斥原理 (2)3.3排列组合 (8)4.探索高中数学竞赛中的组合问题 (9)4.1熟练掌握四个基本的技术原理 (9)4.2学习组合数学的几点建议 (10)4.3培养学生的组合性思维和组合思想 (11)4.4常见排列组合的解题策略 (11)参考文献 (12)致谢 (12)组合数学在数学竞赛中的应用Combinatorial Mathematics in Applied Mathematics(0521110329 Class 2 Grade 2005 Mathematics & Applied Mathematics School of Mathematics & Information) Abstract: Mathematical competitions in high school and junior high school are very popular in which the portfolio problem accounts for a large proportion. As for this issue, the writer combines with the portfolio mathematics and competitive mathematics in university, and adopts the drawer principle, exclusion principle and permutation and combination methods to make the research and discussion.Importantly, the writer carries new research on the problems of combination in mathematical competition.Key words: order; combination; drawer principle; Exclusion principle1. 引言组合数学是可以追溯到公元前2200既古老而又年轻的数学分支, 它的源泉可以追溯到公元前2200年的大禹时期，中外历史上许多著名的数字游戏是它古典部分的主要内容. 公元1666年，德国著名数学家莱布尼茨为它请名为“组合学”(Combinatorics),并预言了这一数学分支的诞生. 随着科学技术的发展，组合数学这门历史悠久的学科得到了迅速发展．数学活动离不开解题，掌握数学的一个重要标志就是善于解题．现在专门以中学生为对象的数学竞赛成为时代的时尚，本论文希望结合组合数学和数学竞赛有关理论知识，针对在数学竞赛中占很大比例的组合问题，利用大学组合数学理论给出解释，并结合初等数学向学生渗透和合理讲解．在此过程中，提出自己直接的见解和总结．2.组合数学与数学竞赛简介2.1 组合数学组合数学历史悠久，几千年前，我国的《河图》、《洛书》就已涉及一些简单有趣的组合问题．组合问题在日常生活中也随处可见．例如，在玩扑克牌游戏中计算“同花顺”的概率、一笔画和幻方等都是组合数学问题．组合数学自20世纪60年代急速发展的部分原因在于计算机在我们的生活中所发挥的重要影响，而且这种影响还在继续发挥．由于远算速度的持续增加，计算机已经能够解决大型问题，这在以前是不可能做到的．近年来，由于计算机科学、编码理论、规划论、数字通讯、试验设计、社会科学、生物科学等学科的迅猛发展，大大促进了组合数学的研究，使这一古老的数学分支成为了一门充满活力的数学学科．组合数学可以一般地描述为：组合数学是研究离散结构的存在、计数、分析和优化等问题的一门学科．现代的组合数学几乎是与图论不可分割的．图论是数学的一个分支，它以图为研究对象，研究顶点和边组成的图形的数学理论和方法．有关图论的第一篇文章是由著名瑞士学家欧拉写于1736年，他探讨的是著名的哥尼斯堡七桥问题，图论在智力难题和游戏方面有着历史根源，而今天它为许多学科的研究提供了一种非常重要的语言和框架．2.2 数学竞赛围绕着数学竞赛而开展的各种活动已经搭起了一个数学教育新分支的框架，其特点是以开发智力为根本目的、以问题解决为基本形式、以竞赛数学为主要内容．最本质的是对中学生进行“竞赛数学”的教育，这种教育的性质是：较高层次的基础教育、开发智力的素质教育、生动活泼的业余教育、现代教学的普及教育．竞赛数学是一中“中间数学”，介乎于中小学与大学数学之间；竞赛数学是一种“前沿数学”，追求内容的新颖性，不断推陈出新，时刻涌现出新问题新方法和新结果；竞赛数学是一种“艺术数学”，它把现代化的内容与趣味性的问题有机结合，把普遍性的问题与独创性的技巧有机结合，展示出数学美的魅力；竞赛数学是一种“教育数学”，它称为教育数学中最接近研究数学的“先头部队”，利用自己所处的地位，大量地、方便地吸收着前沿成果初等化，也把古典问题高等化．3. 组合数学的几种方法在数学竞赛中的应用3.1 抽屉原理抽屉原理又称鸽巢原理或重叠原理，是组合数学的两大基本原理之一，是一个极其初等而又应用较广的数学原理．抽屉原理要解决的是存在性问题，即在具体的组合问题中，要解决某些特定问题求解的方案数，其前提就是要知道这些方案的存在性．定理3.1.1（基本形式）将1n +个物品放入n 个抽屉，则至少有一个抽屉中的物品数不少于两个．证 反证之． 将抽屉编号为：1,2,...n ，设第i 个抽屉放有i q 个物品，则12...1n q q q n +++=+ 但若定理结论不成立，即1i q ≤，亦有12...n q q q n +++≤，从而有 121...n n q q q n +=+++≤矛盾．定理3.1.2（推广形式）将12...1n q q q n +++-+个物品放入n 个抽屉，则下列事件至少有一个成立：即第i 个抽屉的物品数不少于i q 个，1,2,...i n =．证 反证．不然，设第i 个抽屉的物品数小于(1,2,...)i q i n =（即该抽屉最多有1i q -个物品），则有 11n i i q n =-+=∑物品总数111n ni i i i q q n ==≤-=-∑∑ 与假设矛盾．根据定理的结果，不难得出下述结论．推论3.1.1将(1)1n r -+个物品放入n 个抽屉，则至少有一个抽屉中的物品个数不少于 r个．推论3.1.2将m 个物品放入n 个抽屉，则至少有一个抽屉中的物品个数不少于11m m n n -⎢⎥⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥个．其中x ⎢⎥⎣⎦表示取正数x 的整数部分，x ⎡⎤⎢⎥表示不小于 x 的最小整数． 推论3.1.3若n 个正整数(1,2,...,)i q i n =满足12...1n q q q r +++>-则至少有一个i q ，满足i q r ≥．利用抽屉原理可以得到下面两个性质：性质 1 任意三个整数中，必有两个整数的和是2的倍数．性质 2 任意五个整数中，必有三个整数的和是3的倍数．例1 任意15个整数中，必有8个整数的和是8的倍数．证 15个整数是任意的，所以我们用1231415,,....,a a a a a 这15个字母来表示，有性质1，123,,a a a 中122a a a +=（a 为整数），同理可得，456,,a a a 中有452a a b +=（b 为整数），789,,a a a 中782a a c +=（c 为整数），101112,,a a a 中10112a a d +=（d 为整数）。
有性质1得2a b m +=（m 为整数）2c d n +=（n 为整数），13,,m n a 中2m n e +=（e 为整数）128....2()4()8a a a a b c d m n e +++=+++=+=．证毕例2 任意三个整数，必有两个之和为偶数（其差也为偶数）．证 制造两个抽屉：“奇数”和“偶数”，3个数放入两个抽屉，必有一个抽屉中至少有两个数．有整数求和的奇、偶性质，即知此二数之和比为偶数．同理可知，二者之差也为偶数．例 3 某俱乐部有31n +名成员．对每一个人，其余的人中恰好有n 个愿与他打网球，n 个愿与他下象棋，n 个愿与他打乒乓球．证明该俱乐部至少有3个人，他们之间玩的游戏三种俱全．证 将每个人作为平面上的一个点，且任何三点不共线．由每一点引出n 条红边、n 条蓝边、n 条黑边，分别代表打网球、下象棋及打乒乓球．问题等价于要证明图中至少有一个三边颜色全部相同的三角形．考虑有这个31n +点的所有连边构成的异色角（即两条异色的边所构成的角）的总数．每个顶点处有23n 个异色角，所以23(31)L n n =+平均每个三角形有23313(31)6231n n n n C n ++=>-个异色角．因此，至少有一个三角形有3个异色角，那么，这个三角形的三条边当然互不同色．证毕．例4设ABC为一等边三角形，E是三边上点的全体．对于每一个把E分成两个不交子集的划分，问这两个子集中是否至少有一个子集包含着一个直角三角形的三个顶点证如下图，在边BC CA AB上分别取三点P、Q、R，显然△ARQ，△BPR，△CQP都是直角三角形．它们的锐角是30°及60°．设E1，E2是E的两个非空子集，且1212,E E E E E==∅由抽屉原则P、Q、R中至少有两点属于同一子集，不妨设P、Q∈E1．如果BC边上除P之外还有属于E1的点，那么结论已证明．设BC的点除P之外全属于E2，那么只要AB上有异于B的点S属于E2，设S在BC上的投影点为S′，则△SS′B为直角三角形．再设AB内的每一点均不属于E2，即除B之外全属于E1，特别，R、A∈E1，于是A、Q、R∈E1，且AQR为一直角三角形，从而命题得证．【评述】此例通过分割图形构造抽屉．在一个几何图形内有若干已知点，我们可以根据问题的要求把图形进行适当的分割，用这些分割成的图形作为抽屉，再对已知点进行分类，集中对某一个或几个抽屉进行讨论，使问题得到解决．例5：在1,4,7,10,13,,100中任选出20个数，其中至少有不同的两组数，和都等于104，试证明之．（第39届美国普特南数学竞赛题）证给定的数共有34个，其相邻两数的差均为3，我们把这些数分成如下18个不相交的集合．{1},{52},{4,100},{7,97},{49,55}．且把它们分作是18个抽屉，从已知的34个数中任取20个数，即把前面两个抽屉中的数1和52都取出，则剩下的18个数在后面的16个抽屉中至少有不同的两个抽屉中的数全被取出，这两个抽屉中的数互不相同，每个抽屉中的两个数的和都是104．【评述】此例是根据某两个数的和为104来构造抽屉．一般地，与整数集有关的存在性问题也可根据不同的需要利用整数间的倍数关系、同余关系来适当分组而构成抽屉．小结： 用抽屉原则解题的本质是把所要讨论的问题利用抽屉原则缩小范围，使之在一个特定的小范围内考虑问题，从而使问题变得简单明确．用抽屉原则解题的基本思想是根据问题的自身特点和本质，弄清对哪些元素进行分类，找出分类的规律．用抽屉原则解题的基本思想是根据问题的自身特点和本质，找出分类的规律． 用抽屉原则解题的关键是利用题目中的条件构造出与题设相关的“抽屉” ．3.2 容斥原理当我们试图对某些对象的数目从整体上计数碰到困难时，考虑将整体分解为部分，通过对每个部分的计数来实现对整体的计数是一种明智的选择．将整体分解为部分也就是将有限集X 表示成它的一组两两互异的非空真子集A 1，A 2，…A n 的并集，即},,,{.2121n n A A A A A A X ==ϕ集合叫做集合X 的一个覆盖。