组合数学在数学竞赛中的应用 毕业论文

目录

1.引言 (1)

2组合数学与数学竞赛简介. (1)

2.1组合数学 (1)

2.2数学竞赛 (1)

3 组合数学的几种方法在数学竞赛中的应用 (2)

3.1抽屉原理 (2)

3.2容斥原理 (2)

3.3排列组合 (8)

4.探索高中数学竞赛中的组合问题 (9)

4.1熟练掌握四个基本的技术原理 (9)

4.2学习组合数学的几点建议 (10)

4.3培养学生的组合性思维和组合思想 (11)

4.4常见排列组合的解题策略 (11)

参考文献 (12)

致谢 (12)

组合数学在数学竞赛中的应用

Combinatorial Mathematics in Applied Mathematics

(0521110329 Class 2 Grade 2005 Mathematics & Applied Mathematics School of Mathematics & Information) Abstract: Mathematical competitions in high school and junior high school are very popular in which the portfolio problem accounts for a large proportion. As for this issue, the writer combines with the portfolio mathematics and competitive mathematics in university, and adopts the drawer principle, exclusion principle and permutation and combination methods to make the research and discussion.Importantly, the writer carries new research on the problems of combination in mathematical competition.

Key words: order; combination; drawer principle; Exclusion principle

1. 引言

组合数学是可以追溯到公元前2200既古老而又年轻的数学分支, 它的源泉可以追溯到公元前2200年的大禹时期，中外历史上许多著名的数字游戏是它古典部分的主要内容. 公元1666年，德国著名数学家莱布尼茨为它请名为“组合学”(Combinatorics),并预言了这一数学分支的诞生. 随着科学技术的发展，组合数学这门历史悠久的学科得到了迅速发展．

数学活动离不开解题，掌握数学的一个重要标志就是善于解题．现在专门以中学生为对象的数学竞赛成为时代的时尚，本论文希望结合组合数学和数学竞赛有关理论知识，针对在数学竞赛中占很大比例的组合问题，利用大学组合数学理论给出解释，并结合初等数学向学生渗透和合理讲解．在此过程中，提出自己直接的见解和总结．

2.组合数学与数学竞赛简介

2.1 组合数学

组合数学历史悠久，几千年前，我国的《河图》、《洛书》就已涉及一些简单有趣的组合问题．组合问题在日常生活中也随处可见．例如，在玩扑克牌游戏中计算“同花顺”的概率、一笔画和幻方等都是组合数学问题．

组合数学自20世纪60年代急速发展的部分原因在于计算机在我们的生活中所发挥的重要影响，而且这种影响还在继续发挥．由于远算速度的持续增加，计算机已经能够解决大型问题，这在以前是不可能做到的．近年来，由于计算机科学、编码理论、规划论、数字通讯、试验设计、社会科学、生物科学等学科的迅猛发展，大大促进了组合数学的研究，使这一古老的数学分支成为了一门充满活力的数学学科．

组合数学可以一般地描述为：组合数学是研究离散结构的存在、计数、分析和优化

等问题的一门学科．

现代的组合数学几乎是与图论不可分割的．图论是数学的一个分支，它以图为研究对象，研究顶点和边组成的图形的数学理论和方法．有关图论的第一篇文章是由著名瑞士学家欧拉写于1736年，他探讨的是著名的哥尼斯堡七桥问题，图论在智力难题和游戏方面有着历史根源，而今天它为许多学科的研究提供了一种非常重要的语言和框架．

2.2 数学竞赛

围绕着数学竞赛而开展的各种活动已经搭起了一个数学教育新分支的框架，其特点是以开发智力为根本目的、以问题解决为基本形式、以竞赛数学为主要内容．最本质的是对中学生进行“竞赛数学”的教育，这种教育的性质是：较高层次的基础教育、开发智力的素质教育、生动活泼的业余教育、现代教学的普及教育．

竞赛数学是一中“中间数学”，介乎于中小学与大学数学之间；竞赛数学是一种“前沿数学”，追求内容的新颖性，不断推陈出新，时刻涌现出新问题新方法和新结果；竞赛数学是一种“艺术数学”，它把现代化的内容与趣味性的问题有机结合，把普遍性的问题与独创性的技巧有机结合，展示出数学美的魅力；竞赛数学是一种“教育数学”，它称为教育数学中最接近研究数学的“先头部队”，利用自己所处的地位，大量地、方便地吸收着前沿成果初等化，也把古典问题高等化．

3. 组合数学的几种方法在数学竞赛中的应用

3.1 抽屉原理

抽屉原理又称鸽巢原理或重叠原理，是组合数学的两大基本原理之一，是一个极其初等而又应用较广的数学原理．抽屉原理要解决的是存在性问题，即在具体的组合问题中，要解决某些特定问题求解的方案数，其前提就是要知道这些方案的存在性．

定理3.1.1（基本形式）将1n +个物品放入n 个抽屉，则至少有一个抽屉中的物品数不少于两个．

证 反证之． 将抽屉编号为：1,2,...n ，设第i 个抽屉放有i q 个物品，则

12...1n q q q n +++=+ 但若定理结论不成立，即1i q ≤，亦有12...n q q q n +++≤，从而有 121...n n q q q n +=+++≤矛盾．

定理3.1.2（推广形式）将12...1n q q q n +++-+个物品放入n 个抽屉，则下列事件至少有一个成立：即第i 个抽屉的物品数不少于i q 个，1,2,...i n =．

证 反证．不然，设第i 个抽屉的物品数小于(1,2,...)i q i n =（即该抽屉最多有1i q -个物品），则有 11n i i q n =-+=∑物品总数111n n

i i i i q q n ==≤-=-∑∑ 与假设矛盾．

根据定理的结果，不难得出下述结论．

推论3.1.1将(1)1n r -+个物品放入n 个抽屉，则至少有一个抽屉中的物品个数不少于 r