测量误差基本知识.ppt
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第五章 测量误差的基本知识
容 = 3m 有时对精度要求较严，也可采用容 = 2m作为容许误 差。
在测量工作中，如某个误差超过了容许误差，则相应 观测值应舍去重测。
3.相对误差
绝对误差值与观测值之比，称为相对误差。在某 些测量工作中，有时用中误差还不能完全反映测量精度， 例如测量某两段距离，一段长200m，另一段长100m， 它们的测量中误差均为±0.2m，为此用观测值的中误差 与观测值之比，并将其分子化为1，即用1/K表示，称为 相对误差。
180°00ˊ00"
0
0
179°59ˊ57"
-3
9
180°00ˊ01"
+1
1
24
130
m2
2 3.6 10
两组观测值的误差绝对值相等 m1 < m2，第一组的观测成果的精度高于第二组观测成
果的精度
2.容许误差
容许误差又称极限误差。根据误差理论及实践证明， 在大量同精度观测的一组误差中，绝对值大于两倍中误差 的偶然误差，其出现的可能性约为5%；大于三倍中误差 的偶然误差，其出现的可能性仅有3‰，且认为是不大可 能出现的。因此一般取三倍中误差作为偶然误差的极限误 差。
全微分
dZ Kdx
得中误差式 mZ K 2mx2 Kmx
例：量得 1:1000 地形图上两点间长度l =168.5mm0.2mm,
计算该两点实地距离S及其中误差ms： 解：列函数式 S 1000 l
求全微分 dS 1000dl
mS 1000ml 1000 0.2 200mm 0.2m
测量误差＝观测值－真值
观测误差来源于仪器误差、人的感官能力和外界环境 （如温度、湿度、风力、大折光等）的影响，这三方面的 客观条件统称观测条件。
在测量工作中，如某个误差超过了容许误差，则相应 观测值应舍去重测。
3.相对误差
绝对误差值与观测值之比，称为相对误差。在某 些测量工作中，有时用中误差还不能完全反映测量精度， 例如测量某两段距离，一段长200m，另一段长100m， 它们的测量中误差均为±0.2m，为此用观测值的中误差 与观测值之比，并将其分子化为1，即用1/K表示，称为 相对误差。
180°00ˊ00"
0
0
179°59ˊ57"
-3
9
180°00ˊ01"
+1
1
24
130
m2
2 3.6 10
两组观测值的误差绝对值相等 m1 < m2，第一组的观测成果的精度高于第二组观测成
果的精度
2.容许误差
容许误差又称极限误差。根据误差理论及实践证明， 在大量同精度观测的一组误差中，绝对值大于两倍中误差 的偶然误差，其出现的可能性约为5%；大于三倍中误差 的偶然误差，其出现的可能性仅有3‰，且认为是不大可 能出现的。因此一般取三倍中误差作为偶然误差的极限误 差。
全微分
dZ Kdx
得中误差式 mZ K 2mx2 Kmx
例：量得 1:1000 地形图上两点间长度l =168.5mm0.2mm,
计算该两点实地距离S及其中误差ms： 解：列函数式 S 1000 l
求全微分 dS 1000dl
mS 1000ml 1000 0.2 200mm 0.2m
测量误差＝观测值－真值
观测误差来源于仪器误差、人的感官能力和外界环境 （如温度、湿度、风力、大折光等）的影响，这三方面的 客观条件统称观测条件。
误差测量基本知识-公路工程测量电子课件
三、一般函数的中误差 设函数
Z=f（x1，x2，…，xn）
xi（i=1，2，…，n）
函数的中误差为
mz
(
f x1
)
2
m21
Байду номын сангаас
(
f x2
)2
m2
2
( f )m2n xn
课堂练习
【例5—5】有一长方形，测得其长为 32.42±0.04m，宽为24.36±0.04m。求该长方形的面积 及其中误差。
3.865 3.877
课堂练习
【例5－1】对三角形的内角进行两组观 测（各测10次），根据两组观测值中的偶然 误差（真误差），分别计算其中误差。
（2）相对误差
1 相对误差：绝对误差的绝对值与观测值之比 N
绝对误差：真误差、中误差、容许误差
意义： 观测 1000m 观测 800m
中误差 中误差
m 2cm m 2cm
二、和差函数的中误差 设函数
z x1 x2 xn
函数的中误差为
mz
m2 x1
m2x2
m2xn
课堂练习
【例5—4】用经纬仪观测某角四个测回，其观 测值为L1=60°30′36″、L2=60°30′42″、 L3=60°30′24″、L4=60°30′38″，如果一测回测角 的中误差为6″，试求该角的中误差。
▪观测值：对该量观测所得的值，一般用Li表示 。 ▪真误差：观测值与真值之差， 一般用i= Li -X表示。
二、测量误差产生的原因
• 仪器误差: 如：i角误差、尺长误差等，一般由于仪器校正 不完善所致；
• 观测误差: 如：照准误差、读数误差等，由于观测者感官有 限所致；
• 外界条件误差: 如：地球曲率、大气折光等。
测量误差基本知识和平差基础共47页
L1，L2， ····， Ln 真误差:真值 X 与观测值 Li 之间的差值，用△i 表示。
△i = X - Li
三、偶然误差的特性 2、实例
三角形内角和真误差:
在相同的观测条件下，观测了358个三角形的全部内角。
Δi = 180 − (L 1 i L 2 i L 3 i)(i = 1,2,3,........358) 7 2 2 0 6 5 8 5 1 0 6 3 1 2 0 1 4 2 1 6 1
观测所得的三角形闭合差分别为（单位：″）：+3，-2，-4，
+2，0，-4，+3，+2，-3，-1。
3 22 24 22 20 24 23 22 23 2 1 2 m
10 2 .7
另一台仪器的结果（单位：″）：0，-1，-7，+2，+1， +1， -8， 0， +3，-1。
m 02 1 27222 1 2 1 28 2023 2 1 2 10
三、偶然误差的特性
误差区间
0"~3" 3"~6" 6"~9" 9"~12" 12"~15" 15"~18" 18"~21" 21"~24" >24" 合计
误差分布表
正误差
负误差
个数 频率
个数
频率
45
0.126
46
0.128
40
0.112
41
0.115
33
0.092
33
0.092
23
0.064
21
0.059
二、测量误差的分类与处理原则
△i = X - Li
三、偶然误差的特性 2、实例
三角形内角和真误差:
在相同的观测条件下，观测了358个三角形的全部内角。
Δi = 180 − (L 1 i L 2 i L 3 i)(i = 1,2,3,........358) 7 2 2 0 6 5 8 5 1 0 6 3 1 2 0 1 4 2 1 6 1
观测所得的三角形闭合差分别为（单位：″）：+3，-2，-4，
+2，0，-4，+3，+2，-3，-1。
3 22 24 22 20 24 23 22 23 2 1 2 m
10 2 .7
另一台仪器的结果（单位：″）：0，-1，-7，+2，+1， +1， -8， 0， +3，-1。
m 02 1 27222 1 2 1 28 2023 2 1 2 10
三、偶然误差的特性
误差区间
0"~3" 3"~6" 6"~9" 9"~12" 12"~15" 15"~18" 18"~21" 21"~24" >24" 合计
误差分布表
正误差
负误差
个数 频率
个数
频率
45
0.126
46
0.128
40
0.112
41
0.115
33
0.092
33
0.092
23
0.064
21
0.059
二、测量误差的分类与处理原则
测量误差基本知识PPT课件
大量的偶然误差具有统计性，或称之为 具有概率论的规律。
（三）误差处理原则
粗差（错误） 测错，记错，算错……可以避免
错误在测量成果中不允许存在，舍弃重测。
防止粗差和提高成果精度（偶然误差方面）
“ 多余观测”发现粗差剔除或重测，由 多余观测产生的往返差、不符值、闭合差， 可根据差值大小评定精度，超限重测，不超 限调整之。
系统误差应尽可能按其产生的原因和 规律加以改正、抵消或削弱，如： 校正 仪器、观测值加改正数、对称观测：水准， 前后视距离相等；测角，盘左盘右取平均 值。
不同时间的多次观测，有可能削弱部 分情况不明的系统误差
四、偶然误差的特性 测量误差理论主要讨论具有偶然误差的
一系列观测值中如何求得最可靠的结果和评 定成果的精度
n
n
可证明其合理性和可靠性
推导过程
设未知量的真值为X，可写出观测值的真 误差公式为
i li X （i=1，2，…，n） 将上式相加得
1 2 n ( l1 l2 ln ) nX
或
[][l]nX
故
X l
nn
观测值的算术平均值 x 算术平均值真误差x
则有
X xx
由偶然误差第四特性知道，当观测次数无限 增多时，Δx趋近于零，
标准差为
第二节 评定精度的标准
为对观测值的精度作出科学的评定，常 用中误差、极限误差、相对误差为评定精度 的标准。
一.中误差
定义 在相同条件下，对某量（真值为X）
进行n次观测，观测值l1，l2，……，ln，偶然误
差（真误差）Δ1， Δ2，……，Δn，则中误 差M的定义式为：
M 2 lim n n
误差的容许误差，即Δ容=2m 或 Δ容=3m 。
（三）误差处理原则
粗差（错误） 测错，记错，算错……可以避免
错误在测量成果中不允许存在，舍弃重测。
防止粗差和提高成果精度（偶然误差方面）
“ 多余观测”发现粗差剔除或重测，由 多余观测产生的往返差、不符值、闭合差， 可根据差值大小评定精度，超限重测，不超 限调整之。
系统误差应尽可能按其产生的原因和 规律加以改正、抵消或削弱，如： 校正 仪器、观测值加改正数、对称观测：水准， 前后视距离相等；测角，盘左盘右取平均 值。
不同时间的多次观测，有可能削弱部 分情况不明的系统误差
四、偶然误差的特性 测量误差理论主要讨论具有偶然误差的
一系列观测值中如何求得最可靠的结果和评 定成果的精度
n
n
可证明其合理性和可靠性
推导过程
设未知量的真值为X，可写出观测值的真 误差公式为
i li X （i=1，2，…，n） 将上式相加得
1 2 n ( l1 l2 ln ) nX
或
[][l]nX
故
X l
nn
观测值的算术平均值 x 算术平均值真误差x
则有
X xx
由偶然误差第四特性知道，当观测次数无限 增多时，Δx趋近于零，
标准差为
第二节 评定精度的标准
为对观测值的精度作出科学的评定，常 用中误差、极限误差、相对误差为评定精度 的标准。
一.中误差
定义 在相同条件下，对某量（真值为X）
进行n次观测，观测值l1，l2，……，ln，偶然误
差（真误差）Δ1， Δ2，……，Δn，则中误 差M的定义式为：
M 2 lim n n
误差的容许误差，即Δ容=2m 或 Δ容=3m 。
测量误差的基本知识
m乙 =
=
= 4.3
n
6
12
二、相对误差
l 绝对误差 :真误差、中误差 l 相对误差: 在某些测量工作中，绝对误差不能完全
反映出观测的质量。 相对误差K—— 等于误差的绝对值与相应观测值的
比值。常用分子为1的分式表示，即：
相对误差
=
误差的绝对值 观测值
=1 T
13
l 相对中误差：当误差的绝对值为中误差m 的绝对值时， K称为～，即 k=1/m 。
3
1．系统误差
l 系统误差：在相同的观测条件下，对某一未知量进行一系列 观测，若误差的大小和符号保持不变，或按照一定的规律变 化，这种误差称为～ 。
l 系统误差产生的原因 ： 仪器工具上的某些缺陷；观测者的 某些习惯的影响；外界环境的影响。
l 系统误差的特点： 具有累积性
4
系统误差消减方法 ❖1、在观测方法和观测程序上采取一定的措施;
中误差、相对误差、极限误差和容许误差
10
一、中误差
在测量实践中观测次数不可能无限多，实际应用中，以 有限次观测个数n计算出标准差的估值定义为中误差m，作 为衡量精度的一种标准：
m = ±sˆ = ± [ ]
n
在测量工作中，普遍采用中误差来评定测量成果的精度。
11
l 有甲、乙两组各自用相同的条件观测了六个三角 形的内角，得三角形的闭合差（即三角形内角和 的真误差）分别为：
例：经纬仪的LL不垂直于VV对测角的影响
5
2．偶然误差 l 偶然误差：在相同的观测条件下，对某一未知量 进行一系列观测，如果观测误差的大小和符号没有 明显的规律性，即从表面上看，误差的大小和符号 均呈现偶然性，这种误差称为 ～。 l 产生偶然误差的原因： 主要是由于仪器或人的感 觉器官能力的限制，如观测者的估读误差、照准误 差等，以及环境中不能控制的因素(如不断变化着的 温度、风力等外界环境)所造成。
第五章测量误差的基本知识
mC
试求 中误差
5.3等精度直接观测量的最可靠值及其中 误差
▪ 当观测次数n趋于无穷大时，算术平均值趋 于未知量的真值。当n为有限值时，通常取 算术平均值做为最可靠值。
▪ 利用观测值的改正数vi计算中误差：
m [vv] (n 1)
▪ 算术平均值中误差：
M m [vv] n n(n 1)
例：对某直线丈量了6次，丈量结果如表，求算术
▪ 4相同的观测条件下,一测站高差的中误差为 _______。
▪ 5衡量观测值精度的指标是_____、_______和 ______。
▪ 6对某目标进行n次等精度观测,某算术平均值的中 误差是观测值中误差的______倍。
▪ 7在等精度观测中,对某一角度重复观测多次,观测 值之间互有差异,其观测精度是______的。
第五章 测量误差的基本知识
第五章 测量误差基本知识
5.1 测量误差与精度 5.2误差传播定律 5.3等精度直接观测量的最可靠值及其中误 差 5.4非等精度直接观测值的最可靠值及其中 误差
第五章 测量误差基本知识
▪ 主要内容：测量误差的概念、来源、分类 与处理方法；精度概念及评定标准；误差 传播定律；观测值中误差计算；直接观测 值的最可靠值及其中误差
Ｃ.水准管轴不平行与视准轴的误差
▪ 经纬仪对中误差属（ ）
▪ Ａ.偶然误差； Ｂ.系统误差； Ｃ.中误差
▪ 尺长误差和温度误差属（ ）
▪ Ａ.偶然误差； Ｂ.系统误差； Ｃ.中误差
▪ 下面是三个小组丈量距离的结果，只有（ 测量的相对误差不低于1/5000的要求
）组
▪ Ａ.100m 0.025m； Ｂ.200m 0.040m； Ｃ.150m 0.035m
工程测量6测量误差的基本知识-29页PPT资料
P { 2 2} 1 2e2 22d0.955
2 2
P { 3 3} 1 3e2 22d0.997
2 3
Δ限=3σ≈3m 偶然误差的容许值: |Δ容|=2σ≈2m
6-3 误差传播定理
未知量不可能直接观测，但是一些直接观测量的函数，
怎样计算观测值函数的中误差？
和差函数的中误差 平方求和得：
6-3 误差传播定理
和差函数的中误差
例1：水准测量时，一站的高差为 h=a-b
mh2= ma2 + mb2 , 设ma=ma=1mm, 则: 两次m高h差=之1.4差m（m变仪器高或双面尺法）Δ=h1-h2
则: mΔ2= mh12 + mh22 综,m合Δ取=2mmΔm=3。mm Δ限=2mΔ 例2：=求6闭mm合水准测量路线的闭合差fh容
能否用一个简单的数字来反映误差分布情况？
平均误差 nl im |ni|
方差
Dnl im n
标准偏差（中误差）
Dnl i m
n
当n有限时，所求均为估值，测量中常用 m 来表
示σ的估值，并称之为中误差
6-2 评定精度的标准
按观测值的真误差计算中误差
次序
第一组观测
观测值l
Δ
Δ2
第二组观测
观测值l
Δ
5-1 测量误差概述
偶然误差
当n∞，Δ0时，频率 直方图上部的折线变成了一 条光滑的曲线，称为正态分 布密度曲线或高斯曲线
高斯根据偶然误差的四个特性推导出该曲线的方程式为：
y f() 1 e222
2
式中σ为与观测条件有关的参数
6-2 评定精度的标准
怎样来衡量一组等精度观测值的精度？ 频率直方图
第6章 测量误差基本知识
水准仪：
经纬仪：
⑵采用对称观测的方法 大小相等、符号相反的系统误差，相互抵消 水准测量：前、后视距大致相等 角度测量：盘左、盘右取平均值
⑶测定系统误差的大小，对观测值加以改正 钢尺量距：尺长改正、温度改正、倾斜改正
3）偶然误差 偶然误差：在一定观测条件下的一系列观测值中，其误差大小、 正负号不定，但符合一定统计规律的测量误差。 也称随机误差 偶然误差反映观测结果的精密度。 精密度：在一定观测条件下，一组观测值与其数学期望值接近 或离散的程度，也称内部符合精度。 如：对中误差、瞄准误差、估读误差等
设Z为独立变量 x1，x2， … ，xn的函数，即
Z=f x1，x2， xn
2
2
mZ =
f
x1
m12
f x2
m22
f xn
2
mn2
例1：
在1:500的地形图上量得A、B两点间的距离d=234.5mm，中误差 md=±0.2mm。求A、B两点间的实地水平距离D及其中误差mD。
h值越小，曲线两侧坡度越缓， 小误差出现的概率小，精度越低
2.中误差
与精度指数成反比
m n
式中：[△△]——偶然误差平方和 n——偶然误差个数
3.极限误差 由偶然误差的特性“误差绝对值不会超过一定限值”（有界性）
这个限值就是极限误差。
P m 0.683 68.3%
31.7%
P 2m 0.954 95.4% 4.6%
K
D往 D返
D
=
=
1
=1
1
2
D往 +D返
D平均
D平均 D
M
5.相对中误差
观测值中误差与相应观测值之比。
工程测量测量误差的基本知识课件
偶然误差的特点
01
偶然误差具有随机性， 即误差的大小和符号都 是随机的，无法预测。
02
偶然误差具有独立性， 即每个误差都是独立的， 与其他误差无关。
03
偶然误差具有对称性， 即正负误差出现的概率 是相等的。
04
偶然误差具有抵偿性， 即随着测量次数的增加， 偶然误差的平均值趋近 于零。
偶然误差的消除方法
工程测量测量误差的 基本知识课件
目录
• 偶然误差 • 粗大误差 • 测量误差的表示与处理
测量误差概述
测量误差的定义
测量误差
在测量过程中，由于各种因素的影响，使得测量结果与被测量的 真实值之间存在一定的差异。这个差异即为测量误差。
真实值
被测量的实际值，是客观存在的理想值。
测量结果
通过测量得到的数值。
任心，减少人为失误。
测量误差的表示与处理
测量误差的表示方法
绝对误差
相对误差
表示测量值与真实值之间的差值，其计算 公式为 Δ=X-X0，其中 Δ 为绝对误差，X 为测量值，X0 为真实值。
表示测量误差相对于真实值的比例，其计 算公式为 ε=Δ/X0×100%，其中 ε 为相对 误差，Δ 为绝对误差，X0 为真实值。
影响。
测量误差的分类
01
02
03
系统误差
具有规律性和可预测性的 误差，通常由固定的因素 引起，可以通过校准和修 正来减小。
随机误差
具有随机性和无规律性的 误差，通常由一些不确定 的因素引起，无法通过校 准和修正来减小。
粗大误差
明显超出正常范围的误差， 通常由测量人员的失误、 外界干扰等因素引起，需 要识别和剔除。
将测量数据舍入到最接近的整数，若 舍入后数值小于原数则向下取整。
《测量学》第五章测量误差基本知识
系统误差的来源与消除方法
总结词
系统误差的来源主要包括测量设备误差、环境因素误差和测量方法误差。消除系统误差的方法包括校准设备、改 进测量方法和采用适当的修正公式。
详细描述
系统误差的来源多种多样，其中最常见的是测量设备误差，如仪器的刻度不准确、零点漂移等。此外，环境因素 如温度、湿度和气压的变化也可能导致系统误差。为了消除这些误差，可以采用定期校准设备、选择适当的测量 方法和采用修正公式等方法。
相对测量法
通过比较被测量与标准量之间 的差异来得到被测量的值，并 评估误差。
组合测量法
将被测量与其他已知量进行组 合，通过测量组合量来得到被
测量的值，并评估误差。
测量结果的表示与处理
测量结果的表示
测量结果应包括被测量的值、单位、 测量不确定度以及置信区间等。
异常值的处理
在数据处理过程中，如果发现异常值， 应进行识别、判断和处理，以确保测 量结果的准确性和可靠性。
测量学第五章 测量误差 基本知识
contents
目录
• 测量误差概述 • 系统误差 • 随机误差 • 粗大误差 • 测量误差的估计与处理
测量误差概述
01
测量误差的定义
测量误差
在测量过程中，由于受到测量仪器、 环境条件、操作者技能等因素的影响 ，使得测量结果与被测量的真实值之 间存在一定的差异。
不确定度的评定方法
不确定度的传递
不确定度的评定方法包括A类评定和B类评 定，其中A类评定基于统计分析，B类评定 基于经验和信息。
在多个量之间存在函数关系时，需要将各 个量的不确定度传递到最终的测量结果中 ，以确保最终结果的准确性和可靠性。
THANKS.
数据修约
根据测量不确定度对数据进行修约， 以确保数据的完整性和一致性。
数字地形测量学课件第三章 测量误差基本知识
多次观测中寻找偶然误差的规律：
对358个三角形在相同的观测条件下观测了全部内角,
三角形内角之和的真值为180°，观测值为三个内角之和
(i +i+ i)，因此其真误差(三角形闭合差)为：
i = 180°– ( i + i+ i)
观测数据统计结果列于
表5-1,据此分析三角形
内角和的真误差 i 的
分布规律。
抵偿性：当观测次数无限 增大时，由于正负相消， 偶然误差的平均值趋近于 零。用公式表示为：
三角形闭合差的频率直方图
lim 1 2 n lim [] 0
n
n
n n
12
Байду номын сангаас
数字地形测量学 —— 教学课件
12
§3.1 测量误差概念
正态分布曲线以及标准差和方差
在统计理论上如果观测次数无限增多(n→∞)，而
结论：观测误差不可避免(粗差除外)
有关名词： 观测条件 — 上述三大因素总称为观测条件 观测精度 — 在观测条件基本相同的情况下进行的 观测，称为“等精度观测”；否则， 称为“不等精度观测”。
4
数字地形测量学 —— 教学课件
4
§3.1 测量误差概念 二、测量误差的分类与处理原则
按测量误差产生原因和对观测成果的影响，分为系统
误差、偶然误差和粗差。
（一）系统误差
在相同的观测条件下，对某一量进行一系列观测， 如果误差的出现在符号(正负号)和数值上都相同，或 按一定的规律变化，这种误差称为“系统误差”。
系统误差对观测值的影响有一定(数学或物理)的 规律性。如能够发现其规律，则可进行改正或用一定 方法使其削弱或抵消。
5
数字地形测量学 —— 教学课件
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❖ 解：c=180º- A - B
❖ Mc= mβ 2=±15“=±21"
❖ 例4.对某三角形内角（a,b,c）作n次等精度观测， 其三角形闭合差wi=ai+bi+ci-180º,(i=1,2···n), 试求一测回角的中误差。
解：mw=± mβ 3= ±
[ ww ] n
❖ mβ= [ww]
3n
❖ 例5.若量得正方形一边之长为a,其中误差为ma, 试求正方形面积及中误差?若量得正方形两边 之长,则正方形面积的中误差又为何值?
❖A
P
❖
mp mu
❖
β
S
P'mt
❖
B
❖ 解:中误差关系式: ❖ m²p=m²t+m²u ❖ 令mt=mu,则mt=mu=mp/√2 ❖ 故纵向误差为mt=±0.05/ √2=±0.035m ❖ 或 mt=0.035/200=1/5700 ❖ 横向误差为 mu=S ·mβ/ρ ❖ mβ= ρmu/S=(206265×0.05/√2)/200=±36“ ❖ 为了使P点的点位误差达到5cm的要求,需要1/5700
n ❖ mz=±m
❖ 例2.在视距测量中，当视线水平时，读得的 视距间隔n=1.23m±1.4mm,试求水平距离及 其中误差。
❖ 解：由 D＝kn=100×1.23=123m.
❖ mD=100mn=±140mm,
❖ 最后的结果为：D=123±0.14m
❖ 例3.在三角形ABC内角观测中，对A,B两角 各观测一个测回，每测回测角中误差 mβ=±15“,试求角C的中误差mc.
第5章 测量误差的基本知识
由于观测次数n有限，不可能n→∞,采用σ的估值m作为中误差
m ˆ
[21 22 2n ] n
n
❖ 例1.分组对某量进行了5次观测，其真误差分 别是：
❖ 甲组：3“、-3“,-4“,2“,-1“. ❖ 乙组：-6“,0“, 0“,6“,1“.求中误差分别是多少？ ❖ m甲=±sqrt[(9+9+16+4+1)/5]=±2.8“.
f x1
x1
f x2
x2
f xn
xn
❖ (3)将真误差换成中误差关系式： ❖ 将中误差mi替换真误差Δxi,将各项平方，求和。
❖ A=a²± a√2ma
❖ 后一种将精度提高了√2 倍 ❖ 原因:两个a独立的直接观测值,而真误差关系
式不是倍乘关系 ΔA=2aΔa,而是
❖ΔA=aΔa + a Δa
❖ 例6.如图所示,要在已知点上用极坐标法测定P 点,使其点位中误差小于±5cm,若S=200m,试 问要用什么样的精度来测定β角和距离S(同 影响)?
❖ m乙=±sqrt[(36+0+0+36+1)/5]=±3.8 “.
❖ 由于观测值带 有误差,由观测 值构成的函数 也随之产生误 差,这种阐明直 接观测值与函 数之间误差关 系的规律,称为 误差传播律.
❖ (1)倍函数 Z＝kx ❖ m²z=k²m²,mz=±km
❖ (2)和差函数 Z＝x1±x2±···xn
❖ 解ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1)设A为正方形面积,则
❖ A=a²
❖ 2)对上式微分,得
❖
ΔA=2aΔa.
❖ 3)将真误差关系式转换成中误差关系式
❖ mA=±2ama
❖ 故得结果为 A=a²± 2ama
❖ 如果量得两边之长 ❖ 1)A=a×a ❖ 2)微分得 ΔA=aΔa + a Δa . ❖ 3)m²A=a²m²a + a²m²a=2a²m²a ❖ m²A=± 2 ama
的量距精度, ±36“的测角精度.
❖ 问题:如果mβ=±15“,请问测距精度为多少时才能满
足mp=±5cm的要求?
❖ 总结误差传播律的步骤如下：
❖ （1）列函数式：根据所提问题中函数与自变量的关 系列出，
❖ Z=f(X1,X2,… …Xn).
❖ (2) 求真误差关系式：将函数进行全微分，即得
❖ ΔZ=
❖ Mc= mβ 2=±15“=±21"
❖ 例4.对某三角形内角（a,b,c）作n次等精度观测， 其三角形闭合差wi=ai+bi+ci-180º,(i=1,2···n), 试求一测回角的中误差。
解：mw=± mβ 3= ±
[ ww ] n
❖ mβ= [ww]
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❖ 例5.若量得正方形一边之长为a,其中误差为ma, 试求正方形面积及中误差?若量得正方形两边 之长,则正方形面积的中误差又为何值?
❖A
P
❖
mp mu
❖
β
S
P'mt
❖
B
❖ 解:中误差关系式: ❖ m²p=m²t+m²u ❖ 令mt=mu,则mt=mu=mp/√2 ❖ 故纵向误差为mt=±0.05/ √2=±0.035m ❖ 或 mt=0.035/200=1/5700 ❖ 横向误差为 mu=S ·mβ/ρ ❖ mβ= ρmu/S=(206265×0.05/√2)/200=±36“ ❖ 为了使P点的点位误差达到5cm的要求,需要1/5700
n ❖ mz=±m
❖ 例2.在视距测量中，当视线水平时，读得的 视距间隔n=1.23m±1.4mm,试求水平距离及 其中误差。
❖ 解：由 D＝kn=100×1.23=123m.
❖ mD=100mn=±140mm,
❖ 最后的结果为：D=123±0.14m
❖ 例3.在三角形ABC内角观测中，对A,B两角 各观测一个测回，每测回测角中误差 mβ=±15“,试求角C的中误差mc.
第5章 测量误差的基本知识
由于观测次数n有限，不可能n→∞,采用σ的估值m作为中误差
m ˆ
[21 22 2n ] n
n
❖ 例1.分组对某量进行了5次观测，其真误差分 别是：
❖ 甲组：3“、-3“,-4“,2“,-1“. ❖ 乙组：-6“,0“, 0“,6“,1“.求中误差分别是多少？ ❖ m甲=±sqrt[(9+9+16+4+1)/5]=±2.8“.
f x1
x1
f x2
x2
f xn
xn
❖ (3)将真误差换成中误差关系式： ❖ 将中误差mi替换真误差Δxi,将各项平方，求和。
❖ A=a²± a√2ma
❖ 后一种将精度提高了√2 倍 ❖ 原因:两个a独立的直接观测值,而真误差关系
式不是倍乘关系 ΔA=2aΔa,而是
❖ΔA=aΔa + a Δa
❖ 例6.如图所示,要在已知点上用极坐标法测定P 点,使其点位中误差小于±5cm,若S=200m,试 问要用什么样的精度来测定β角和距离S(同 影响)?
❖ m乙=±sqrt[(36+0+0+36+1)/5]=±3.8 “.
❖ 由于观测值带 有误差,由观测 值构成的函数 也随之产生误 差,这种阐明直 接观测值与函 数之间误差关 系的规律,称为 误差传播律.
❖ (1)倍函数 Z＝kx ❖ m²z=k²m²,mz=±km
❖ (2)和差函数 Z＝x1±x2±···xn
❖ 解ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1)设A为正方形面积,则
❖ A=a²
❖ 2)对上式微分,得
❖
ΔA=2aΔa.
❖ 3)将真误差关系式转换成中误差关系式
❖ mA=±2ama
❖ 故得结果为 A=a²± 2ama
❖ 如果量得两边之长 ❖ 1)A=a×a ❖ 2)微分得 ΔA=aΔa + a Δa . ❖ 3)m²A=a²m²a + a²m²a=2a²m²a ❖ m²A=± 2 ama
的量距精度, ±36“的测角精度.
❖ 问题:如果mβ=±15“,请问测距精度为多少时才能满
足mp=±5cm的要求?
❖ 总结误差传播律的步骤如下：
❖ （1）列函数式：根据所提问题中函数与自变量的关 系列出，
❖ Z=f(X1,X2,… …Xn).
❖ (2) 求真误差关系式：将函数进行全微分，即得
❖ ΔZ=