第2章控制系统的数学模型

0

t
s 0
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③常用函数的拉氏变换：
单位阶跃函数：
单位脉冲函数： F (s) L[ (t )] 1
1 f (t ) 1(t ), F ( s) s
1 f (t ) t , F ( s) 2 单位斜坡函数： s 1 1 2 单位抛物线函数： f (t ) t , F ( s) 3 2 s 正弦函数： f (t ) sin t , F ( s ) 2 s 2 其他函数可以查阅相关表格获得。
uc(t)
sUc ( s) 0.1 Uc ( s) Ur ( s) 1 0.1 U c ( s) uc (t ) 1 e t 0.1e t s( s 1) s 1
R1C1sUc (s) Uc (s) Ur (s) 零初始条件下取拉氏变换：
U c (s ) 1 U r (s ) R 1 C 1 s 1
(
1 R1 ) I1 ( s ) R1 I 2 ( s ) 0 Cs
R2 I 2 ( s ) U O ( s )
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整理得：
U 0 ( s) 1 1 Ts G( s) U i ( s) 1 Ts
R1 R2C T R1 R2
R1 R2 R2
e
j
S平面
j 0
s0 0 j0
0
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①定义：如果有一个以时间t为自变量的函数f(t)，它的定 义域 t>0，那么下式即是拉氏变换式：
F (s) f (t )e dt
st 0

将一个时间域的函数变换到s域的复变函数，式中s为复数。 记作
F (s) L[ f (t )]
ui
①
L
idt u
i
R
C
uo
i
i

C
duo dt
②
uo
ui
输入
输出
将②代入①得：
d 2 uo duo LC RC u o ui 2 dt dt
这是一个线性定常二阶微分方程。
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[例2-2]：求理想运算放大器电路的微分方程 [解]：理想放大器正、反相输 入端的电位相同，且输入电流 为零。据基尔霍夫电流定理： R Ui(t) + C Uo(t)
2
同一物理系统有不同形式的数学模型，而不同类型的系统 也可以有相同形式的数学模型。
相似系统： 具有相同的数学模型的不同物理系统称为相似系统。例2-1 与例2-3为力－－电荷相似系统。
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思考题：给出双RC电路的微分方程
R1 i1 ic C1 i2 u C2 R2 解答
ui
F(s) —- 象函数，f(t) —- 原函数 记
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f (t ) L1[ F (s)]
为反拉氏变换
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②性质：
L[f1 (t ) f 2 (t )] F1 (s) F2 (s) ⑴线性性质：
df (t ) (2)微分定理： L[ ] sF ( s ) f (0) dt d 2 f (t ) 2 L[ ] s F ( s ) sf (0) f （0） 2 dt n d n f (t ) n nk ( k 1) L s F ( s ) s f ( 0) n dt k 1
３、消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方程；
４、微分方程标准化。
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2.2.1
电气系统
由电阻、电容、电感、运算放大器等元件组成的装置。
对于这类系统，要使用基尔霍夫电流和电压定律，以及理想电 阻、电感、电容两端电压、电流与元件参数的关系。
基尔霍夫电压定律：对于任意一个集中参数电路中的任意一个回路，在 任何时刻，沿该回路的所有支路电压代数和等于零。
uo
d 2u0 C1C2 R1 R2 2 (R1C1 R1C2 dt du0 R2C2 ) u 0 ui dt
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2.2.3
拉普拉斯变换
连续时间对应的复频域是用直角坐标 s j 表示的复 数平面，简称为S平面或连续时间复频域（s域）。 st S平面上的每一个点s都代表一个复指数信号 ,整个S平面上 所有的点代表了整个复指数信号集。
dv d 2x F m a m dt m dt2
牛顿转动定律：
dω d 2θ T Jα 百度文库 J dt J dt2
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直线运动物体受到的摩擦力：
dx Fc FB F f f Ff dt
FB 为粘性摩擦力，Ff 为恒值摩擦力，f 为粘性阻尼系数。
[解]：图1和图2分别为系统原理结 构图和质量块受力分析图。图中， m为质量，f为粘性阻尼系数，k为 弹性系数。
m f
图1
m
y(t)
fk
图2
FB
根据牛顿定理，可列出质量块的力平衡方程如下：
这也是一个两阶定常微分方程。y为输出量，F为输入量。
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d y(t) dy(t) m f ky(t) F(t) 2 dt dt
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传递函数的性质
适用于线性定常系统
与线性常系数微分方程一一对应 与系统的动态特性一一对应。
不能反映系统或元件的学科属性和物理性质
物理性质和学科类别截然不同的系统可能具有完全 相同的传递函数 研究某传递函数所得结论可适用于具有这种传递函 数的各种系统。
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例2-4 已知R1=1，C1=1F，uc(0)=0.1v, ur(t)=1(t)，求 uc(t)
解：
i 1(t) R1
duc R1C1 uc ur dt R1C1 sU c ( s) R1C1uc (0) Uc ( s) Ur ( s)
ur(t)
C1
建立系统的数学模型，是定量分析和设计控制系统的 首要工作（或基础工作）。
不同类型自控系统可能具有完全相同的数学模型，可 摆脱不同系统的外部特征，研究内在的共性运动规律。
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3.建模方法
解析法 本课研究 实验法 系统辨识课研究
4.常用数学模型 微分方程（或差分方程） （时域） 传递函数（或结构图） （复域） 频率特性 （频域） 状态空间表达式（或状态模型）
忽略了初始条件的影响。
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传递函数的性质
仅与系统的结构和参数有关，与系统输入无关
只反映了输入和输出之间的关系 不反映中间变量的关系。
主要适用于单输入单输出系统
若系统有多个输入信号，求传递函数时，除了一个 有关的输入外，其它的输入量一概视为零。
是复变量s的有理分式，对实际系统，传递函数的 分母阶次n总是大于或等于分子阶次m，此时称为n 阶系统。
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零点、极点形式：
Y ( s ) bm Q( s ) G (s) Kg X ( s ) an P ( s )
(s z ) (s p )
j 1 j i 1 n i
m
( s z1 )(s z 2 )...(s zm ) Kg ( s p1 )(s p2 )...(s pn )
ui(t) du 0(t) C 0 R dt
整理后得，
这是一阶系统。
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R
du 0 ( t ) RC u i ( t ) dt
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2.2.2
机械系统
机械系统：存在机械运动的装置，遵循物理学的力学定律。 根据运动的方式，包括牛顿第二定律和牛顿转动定律等。 牛顿第二定律：
第2章 控制系统的数学模型
主要内容:
数学模型基础 控制系统的微分方程 控制系统的传递函数 控制系统的结构图 信号流图与梅逊公式
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2.1
数学模型基础
1. 数学模型 ： 用数学的方法和形式表示并描述系统中各
物理量（或变量）的动态关系。
2.建立数学模型的目的

∑u=0
基尔霍夫电流定律：对于任意一个集中参数电路中的任意一个结点或闭 合面，在任何时刻，通过该结点或闭合面的所有支路电流代数和等于零

∑i=0
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2.2.1
电气系统
[例2-1]：写出RLC串联电路的微分方程
[解]：据基尔霍夫电压定理：
di 1 L Ri dt C
Y(s) G(s) X(s)
Y(s) G(s)X(s)
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[例2-5] 求下图的传递函数：
R1 (i2 i1 ) R2i2 ui
1 C
C i1
i dt R (i
1 1
ui
i2 ) 0
R1 i2
R2
uO
1
R2 i2 uO
进行拉氏变换
R1 I1 ( s ) ( R1 R2 ) I 2 ( s ) U i ( s )
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⑶积分定理：（设初值为零） F (s) L[ f (t )dt] s F (s) n L[ f (t )(dt) ] n s 自动控制理论
证明
⑷位移定理：L[ f (t T )] est f (t T )dt esT F (s)
0

实域中的位移定理，当原函数沿时间轴平移T，相应于其象函数乘 以 esT
y(t)为系统输出量，y(I)表示输出的I阶导数
x(t)为系统输入量，x(I)表示输入的I阶导数
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建立微分方程的一般步骤：
１、根据系统情况，确定输入和输出量； ２、从输入端开始，按照信号的传递顺序，根据各变量所 遵循的物理定律，列写出各元器件的动态方程，一般为微
分方程组；
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2.2.4
线性方程的求解
研究控制系统在一定的输入作用下，输出量的变化情况 经典法，拉氏变换法和数字求解 在自动控制系统理论中主要使用拉氏变换法。 拉氏变换求微分方程解的步骤： ①对微分方程两端进行拉氏变换，将时域方程转换为s域的 代数方程。 ②求拉氏反变换，求得输出函数的时域解。
L[eat f (t )] F (s a)
复域中的位移定理，当像函数的自变量s位移a时，相应于原函数乘 以 e aT
f (t ) lim sF ( s ) ⑸初值定理：lim t 0 s
⑹终值定理： lim f (t ) lim sF ( s )
t
⑺卷积定理： L[ f1 (t ) f 2 ( )d ] F1 (s) F2 (s)
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5.由数学模型求取系统性能指标的主要途径
求解 线性微分方程 傅 氏 变 换 拉氏变换 时间响应 观察 性能指标
拉氏反变换 估算 估算
传递函数
S=jω 频率特性 计算
频率响应
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2.2 控制系统的微分方程
对单输入、单输出的线性定常系统，采用下列微分方程来 描述。 y(n)(t) + an-1y(n-1)(t) + … + a0y(t) = bmx(m)(t) + bm-1x(m-1)(t) + … + b0x (t) 其中：
转动的物体受到的摩擦力矩：
d Tc TB T f K C Tf dt
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TB 为粘性摩擦力，Tf 为恒值摩擦力，KC 为粘性阻尼系数，
θ 为角位移。
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[例2-3] 求弹簧-阻尼-质量的机械位移系统的微分方程。输 入量为外力F，输出量为位移y(t)。 mg F k F
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[传递函数的几种表达形式]： 有理分式形式：
Y ( s) bm s m bm1s m1 b0 G( s) X (s) an s n an1s n1 a0
ai , b j —为实常数，一般n≥m 式中：
上式称为n阶传递函数，相应的系统为n阶系统。
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2.3 传递函数
一定形式的传递函数对应于一定的微分方程。有了传递函 数，在许多情况下，可以不用解微分方程，而直接研究传递函 数，就可以了解系统的重要特性。
2.3.1
传递函数的定义
在 初始条件为零时 ，线性定常系统元件输出信号的拉氏 变换式Y(s)与输入信号的拉氏变换式X(s)之比。