二次曲线的射影定义

2 展开, 得 T ≡ ∑ Aij ui u j = 0. 且Aij = A ji , | Aij |=| aij | ≠ 0.
§ 4.1 二次曲线的射影定义
六、二阶曲线与二级曲线的统一
定理4.3(Maclaurin) 一条非 非 退化二阶曲线的全体切线构成 退化 一条非退化二级曲线. 定理4.3'(Maclaurin) 一条非 非 退化二级曲线的全体切点构成 退化 一条非退化二阶曲线.
Γ1：AP ⋅ CD = 0; Γ2：AC ⋅ AD = 0;
Γ3：AC ⋅ AD = 0.
Γ1：AP ⋅ CP = 0; Γ2：AC ⋅ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱAC = 0;
Γ3：AC ⋅ AC = 0.
只有两条相异.
只有两条相异.
§ 4.1 二次曲线的射影定义
七、二阶曲线束
例4 (P.108,例4.3, 请自学, 体会如何应用二阶曲线束解题). 例5 已知二阶曲线Γ过点A(1,0,1), C(0,0,1), E(3,2,1), 并与直线l1: x1–3x2– x3=0, l2: 2x1–x2=0相切. 求Γ的方程. 解 易见A∈l1, C∈l2. 于是Γ分别与l1, l2相切 于点A, C. 令A=B, C=D. 则 第一步.
(2).
(3).
∂S ∂S ∂S ∂x x1 + ∂x x2 + ∂x x3 = 0. 1 p 2 p 3 p
∂S ∂S ∂S ∂x p1 + ∂x p2 + ∂x p3 = 0. (3)式与解析几何中 1 2 3 的切线方程一致
§ 4.1 二次曲线的射影定义
五、二级曲线的切点
T ≡ ∑ bij ui u j = 0 (bij = b ji ) | bij |≠ 0 (1' ) 设 Γ': 1. 定义 一般地, 过平面上一点有Γ'的两条直线. 若过平面上某 定义. 点P有且仅有Γ'的一条直线, 则称P为Γ'的一个切点 切点. 切点
C ( B ' , A, B, A' ) C ' ( B' , A, B, A' ) A' B' ( B' , E ' , D ' , A' ) AB( D, A, B, E ). A' B ' ( B' , E ' , D ' , A' ) AB ( D, A, B, E ).
由二级曲线的射影定义, 这两个射影点列的对应点连线以及点 列的底共六条直线属于同一条二级曲线, 这六条直线恰好是已知两 个三点形的六条边. 结论成立. 注：本题的逆命题成立. (见P.110, Ex. 5)
第二步. 将E(3,2,1)代入, 得λ=2. 故Γ的方程为
2 2 x12 + 7 x2 − 7 x1 x2 − 2 x1 x3 + x2 x3 = 0.
今日作业
P.110: 1, 5, 9
The Class is over. Goodbye!
∂S ∂S ∂S ∂x ∂x ∂x 3 p 1 p 2 p = = = ρ. u1 u2 u3 a11 a12 a13 u1
a12 a13 u1
a22 a23 u2
a23 u2 =0 a33 u3 u3 0
(4.13)
AB : x1 − 3 x2 − x3 = 0, AC : x2 = 0,
CD : 2 x1 − x2 = 0, BD : x2 = 0.
于是, 过A, B, C, D四点的二阶曲线束的方程为： 即
AB ⋅ CD + λAC ⋅ BD = 0, 2 ( x1 − 3x2 − x3 )(2 x1 − x2 ) + λx2 = 0.
证明：对偶地, 可证明定理4.3'. 注：本定理提供了二次曲线的点坐标、线坐标方程互化方法. 利用(4.13), 可将非退化二次曲线的点坐标方程写为线坐标方 程; 利用(4.13)的对偶, 可将非退化二次曲线的线坐标方程写为点 坐标方程; 推论4.4 若bij=αAij(α≠0), 则S=0与T=0表示同一条二次曲线.
§ 4.1 二次曲线的射影定义
六、二阶曲线与二级曲线的统一
定理4.3(Maclaurin) 一条非 非 退化二阶曲线的全体切线构成 退化 一条非退化二级曲线. u与Sp=0为同一直线 定理4.3'(Maclaurin) 一条非 非 退化二级曲线的全体切点构成 退化 一条非退化二阶曲线.
证明：设 Γ : S ≡ ∑ aij xi x j = 0. 则u=[u1,u2,u3]为Γ上P(pi)处的切线
§ 4.1 二次曲线的射影定义
七、二阶曲线束
定理4.6 平面上任一二阶曲线束中必有三条退化的二阶曲线, 它们是以四个基点为顶点的完全四点形的三双对边 三双对边. 三双对边 注：如图, 三条相异的退化二阶曲线为： Γ1 ：AB ⋅ CD = 0;
Γ2：BC ⋅ AD = 0;
Γ3：AC ⋅ BD = 0. 实用性很强的两种极限形式如下：
§ 4.1 二次曲线的射影定义
六、二阶曲线与二级曲线的统一
例3 求证：x1x3–x22=0与4u1u3–u22=0表示同一条二次曲线. 证明. 第一步. 验证已知两条二次曲线为非退化. 第二步. 将aij, u1, u2, u3代入(4.13)式, 展开即得4u1u3–u22=0.
§ 4.1 二次曲线的射影定义
也有各种常用的等价写法, 请自行补出.
§ 4.1 二次曲线的射影定义
五、二级曲线的切点
例2 (P.110, Ex. 6)如果两个三点形ABC与A'B'C'同时内接于一条 二次曲线, 求证它们也同时外切于一条二次曲线. 证. 设交点D, E; D', E'如图. 因为A, B, C, A', B', C'在同一条二次曲线上, 据二阶曲线的射影定义, 有 C ( B' , A, B, A' ) C ' ( B' , A, B, A' ). 又
七、二阶曲线束
定理4.4 平面上两条相异的二阶曲线一般有四个交点. f =0 证明. 设Γ1：f ≡∑aijxixj=0, Γ2： g≡∑bijxixj=0, 则联立 g = 0 即为Γ1与Γ2的交点, 显然, 在复数范围内一般有四个解. 定义4.5 设f =0, g=0为平面上两条相异的二阶曲线. 则称由 f + λg = 0 λ∈R (4.14) 所决定的二阶曲线的全体为以f =0, g=0的四个交点为基点 二阶 基点的二阶 基点 四点形束. 曲线束. 四点形束 曲线束 若f =0, g=0的四个交点相异, 则称为二阶曲线的四点形束 定理4.5 经过平面上任一点P(非基点), 必有一条二阶曲线属于 已知束f +λg=0. 证明. 因为P不是f =0与g=0的交点, 故fpp与gpp不同时为零. 不妨 设gpp≠0. 令 f pp λ0 = − . 则f + λ0g=0为过P且属于 f + λg=0的二阶曲线. g pp
§ 4.1 二次曲线的射影定义
一、二次曲线的代数定义 二、二次曲线的几何结构 三、二次曲线的射影定义 四、二阶曲线的切线
注：Sp=0常用的等价写法
(1). a11 ( p1 , p2 , p3 ) a12 a 13 a12 a22 a23 a13 x1 a23 x2 = 0. a33 x3
§ 4.1 二次曲线的射影定义
五、二级曲线的切点
T ≡ ∑ bij ui u j = 0 (bij = b ji ) | bij |≠ 0 (1' ) 设 Γ': 1. 定义 一般地, 过平面上一点有Γ'的两条直线. 若过平面上某 定义. 点P有且仅有Γ'的一条直线, 则称P为Γ'的一个切点 切点. 切点 2. 切点方程 观点：用两条相交直线描述点. 观点 方法：取一直线l[li], 以动直线m[mi] l[l m[m ]与之相交, 有交点l×m. , l m. 方法 目标：若P=l×m为切点, 求其方程. 目标 过程：与二阶曲线的切线完全对偶, 可以求出切点方程. 过程 结论： 结论 Tl 2 = TllT (5' ) 一般(Γ'在l上的切点)： 一般 Tl = 0 (6' ) 特殊(l属于Γ')： 特殊
§ 4.1 二次曲线的射影定义
五、二级曲线的切点
例2 (P.110, Ex. 6)如果两个三点形ABC与A'B'C'同时内接于一条 二次曲线, 求证它们也同时外切于一条二次曲线. 注：假设P.110, Ex. 5已经证明. 则有：两个三点形ABC与A'B'C' 同时内接于一条二次曲线 它们也同时外切于一条二次曲线. 注：(P.110, Ex. 7)若已知两条二次曲 线Γ与Γ'以及内接于Γ并外切于Γ' 的一 个三点形. 试讨论是否存在其他三点形 也满足此条件? 若存在, 有多少? 答：存在, 有无穷多. (依据：P.110, Ex. 5, 6; 推论4.1, 4.1'.)