数列求和的“裂项相消法”讲解

对于本题通项公式类型的数列，采用的“求前n 项和”的方法叫“裂项相消法”——就是把通项拆分成“两项的差”的形式，使得恰好在求和时能够“抵消”多数的项而剩余少数几项。

很多题目要善于进行这种“拆分”

请看几例：

（1） 本题： 1

111n n n n n a n n n n -+-+===++-+（变形过程中用了“分子有理化”技巧 ）

得 1223341111111111

n n n n S n +-+=++++==+-----… 【 往 下 自 己 求 吧 ！ 答案 C 】

（2）求和 1111122334(1)

n S n n =++++⨯⨯⨯+… 解：通项公式：()()()1111111

n n n a n n n n n n +-===-+++ 所以 111111*********n S n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

… 1111n n

n =-

+=+

（3）求和 1111377111115(41)(43)

n S n n =++++⨯⨯⨯-+… 解：()()()()()()43411

111141434414344143n n n a n n n n n n +--⎛⎫===- ⎪-+-+-+⎝⎭

得 1111377111115(41)(43)

n S n n =++++⨯⨯⨯-+… 11111111143771111154143n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦

… 1114343n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭

()343n n =

+

（4）求和 1111132435(2)

n S n n =++++⨯⨯⨯+… ()()()21111122222n n n a n n n n n n +-⎛⎫===- ⎪+++⎝⎭ ()()()()1111111113243546572112n S n n n n n n =

++++++++⨯⨯⨯⨯⨯--++... 1111111111111112132435462112n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-++-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥--++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ (11111212)

n n =+--++ （仔细看看上一行里边“抵消”的规律 ） 311212

n n =--++ 最后这个题，要多写一些项，多观察，才可能看出抵消的规律来。