全等三角形与旋转问题

全等三角形与旋转问题

1、如图，C 是线段BD 上一点，分别以BC 、CD 为边在BD 同侧作等边△ABC 和等边△CDE ,AD 交CE 于F ，BE 交AC 于G ，则图中可通过旋转而相互得到的三角形对数有_____________。

A ．1对

B ．2对

C ．3对

D ．4对

K

G

F

E

D

C B

A

2、已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形．求证：AN BM =．

M D N

E

C B

F

A

∵ACM ∆、CBN ∆是等边三角形，

∴MC AC =，CN CB =，ACN MCB ∠=∠ ∴ACN MCB ∆∆≌，∴AN BM =

3、如图，B ，C ，E 三点共线，且ABC ∆与DCE ∆是等边三角形，连结BD ，AE 分别交AC ，DC 于M ，N 点．求证：CM CN =．

N

M

E

D

C

B

A

∵ABC ∆与DCE ∆都是等边三角形

∴BC AC =，CD CE =及60ACB DCE ∠=∠=︒ ∵B ，C ，E 三点共线

∴180BCD DCE ∠+∠=︒，180BCA ACE ∠+∠=︒ ∴120BCD ACE ∠=∠=︒ 在BCD ∆与ACE ∆中

BC AC BCD ACE DC EC =⎧⎪

∠=∠⎨⎪=⎩

∴BCD ACE ∆∆≌， ∴CAN CBM ∠=∠

∵120BCD ACE ∠=∠=︒，60BCM NCE ∠=∠=︒ ∴60ACD ∠=︒

在BCM ∆与ACN ∆中

60BC AC BCM ACN CBM CAN =⎧⎪

∠==︒⎨⎪∠=∠⎩

∴BCM ACN ∆∆≌，∴CM CN =．

4、已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形．求证：CF 平分AFB ∠．

M D N

E

C B

F

A

G

M H D

N

E

C B

F A

过点C 作CG AN ⊥于G ，CH BM ⊥于H ，由ACN MCB ∆∆≌，

利用AAS 进而再证BCH NCD ∆∆≌，可得到CG CH =，故CF 平分AFB ∠．

如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形．

请你证明： ⑴AN BM =； ⑵DE AB ∥；

⑶CF 平分AFB ∠．

M D N

E

C B

F

A

此图是旋转中的基本图形．其中蕴含了许多等量关系． 60MCN ∠=与三角形各内角相等，

及平行线所形成的内错角及同位角相等； 全等三角形推导出来的对应角相等… 推到而得的：AFC BFC ∠=∠；

AN BM =，CD CE =，AD ME =，ND BE =； AM CN ∥，CM BN ∥；DE AB ∥

ACN MCB ∆∆≌，ADC MCE ∆∆≌，NDC BEC ∆∆≌； DEC ∆为等边三角形．

⑴∵ACM ∆、CBN ∆是等边三角形，

∴MC AC =，CN CB =，ACN MCB ∠=∠ ∴ACN MCB ∆∆≌，∴AN BM =

⑵由ACN MCB ∆∆≌易推得NDC BEC ∆∆≌，所以CD CE =，又60MCN ∠=， 进而可得DEC ∆为等边三角形．易得DE AB ∥．

⑶过点C 作CG AN ⊥于G ，CH BM ⊥于H ，由ACN MCB ∆∆≌，

利用AAS 进而再证BCH NCD ∆∆≌，可得AFC BFC ∠=∠，故CF 平分AFB ∠．

5、如图，四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG ．求证：AE CG =．

G F

E D

C

B

A

∵ADC EDG ∠=∠

∴CDG ADE ∠=∠ 在CDG ∆和ADE ∆中

CD AD CDG ADE DG DE =⎧⎪

∠=∠⎨⎪=⎩

∴CDG ADE ∆∆≌ ∴AE CG =

6、如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形，D 是AN 中点，E 是BM 中点，求证：CDE ∆是等边三角形．

M D

N

E

C

B

A

∵ACN MCB ∆∆≌，∴AN BM =，ABM ANC ∠=∠

又∵D 、E 分别是AN 、BM 的中点，

∴BCE NCD ∆∆≌，∴CE CD =，BCE NCD ∠=∠

∴60DCE NCD NCE BCE NCE NCB ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒ ∴CDE ∆是等边三角形

7、如下图，在线段AE 同侧作两个等边三角形ABC ∆和CDE ∆(120ACE ∠<°)，点P 与点M 分别

是线段BE 和AD 的中点，则CPM ∆是_____________。

P

M

B

C D

E

A

A ．钝角三角形

B ．直角三角形

C ．等边三角形

D ．非等腰三角形

8、如图，等边

9、三角形ABC ∆与等边DEC ∆共顶点于C 点．求证：AE BD =．D

E

C

B

A

∵ABC ∆是等边三角形，∴60ACB ∠=︒，AC BC =．

∴60BCD DCA ∠+∠=︒，同理60ACE DCA ∠+∠=︒，DC EC =．∴BCD ACE ∠=∠ 在BCD ∆与ACE ∆ 中，

BC AC BCD ACE DC EC =⎧⎪

∠=∠⎨⎪=⎩

∴BCD ACE ∆∆≌，∴BD AE =．

9、如图，D 是等边ABC ∆内的一点，且BD AD =，BP AB =，DBP DBC ∠=∠，问BPD ∠的度数是否一定，若一定，求它的度数；若不一定，说明理由．

P

D

C B

A

A

B C D

P

连接CD ，将条件BD AD =，BP AB =这两个条件，易得ACD BCD ∆∆≌(SSS )，得

1

302

BCD ACD ACB ∠=∠=∠=︒，由BP AB BC ==，DBP DBC ∠=∠，BD BD =(公共边)，知

BDP BDC ∆∆≌(SAS )，∴30BPD BCD ∠=∠=︒．故BPD ∠的度数是定值．

10、如图，等腰直角三角形ABC 中，90B =︒∠，AB a =，O 为AC 中点，EO OF ⊥．求证：BE BF +为定值．

O

B E

C

F A

连结OB 由上可知，1290+∠=︒∠，2390∠+=∠，13∠=∠，而445C =∠=︒∠，OB OC =．

∴OBE OCF ∆∆≌，∴BE FC =，∴BE BF CF BF BC a +=+==．

如图，正方形OGHK 绕正方形ABCD 中点O 旋转，其交点为E 、F ，求证：AE CF AB +=．