材料力学例题

AA1
Δl1
FN1l1 EA1
1.197mm
AA2
Δl2
FN 2 l 2 EA2
0.765mm
B
2m
1
30°
C2
A2 l2 Al1 A1
F
y
FN1
30° FN2
Ax
F
AA3 为所求A点的位移
A2 A A2 A AA
Δl2
l1 cos 30
A2 A3
A2 A tan30
l2 tan30
l1 sin 30
2EAcos
（伸长）
变形的几何条件相容是变形后，两杆仍应铰结在一起.
B
C
1
2
1
2
A
l1
A2
A1
A A
A''
以两杆伸长后的长度BA1 和 CA2A为' 半径作圆弧相交
于 A,即为A点的新位置.AA 就是A点的位移.
因变形很小,故可过 A1，A2 分别做两杆的垂线，相交
于 A
可认为 AA AA
ΔA
F
F
A
2
（3）挤压强度校核 d 2d1 挤压面
F2
这两部分的挤压力相等，故应取
长度为d的中间段进行挤压强度校核. FS
FS
bs
F A
F
dd
150MPa
bs
故销钉是安全的.
D d
思考题
（1）销钉的剪切面面积 A h （2）销钉的挤压面面积 Abs
F
D d
挤压面
d
h d
A πdh
剪切面
FN1
FN 3
EA E3 A3
cos2
F
FN3 1 2
EA
cos3
E3 A3
FN1
FN 2
2 cos
F E
E3 A3
A cos2
Δl3
1
3
2
A
1 3F 2
A
Δl1
A'
例题10 图示平行杆系1、2、3 悬吊着刚性横梁AB，在 横梁上作用着荷载F。各杆的截面积、长度、弹性模量 均相同，分别为A，l，E.试求三杆的轴力 FN1, FN2, FN3.
[ ] [ ]
d 2 3F / 2
4 [ ]
FRAy FRAx
d=24.4mm 取d=25mm A
D
F
C B
2a
a
FNCD
F
C
B
例题5 图示为一变截面圆杆ABCD.已知F1=20kN，
F2=35kN，F3=35kN. l1=l3=300mm，l2=400mm.d1=12mm，
d2=16mm，d3=24mm. 弹性模量为 E=210GPa. 试求： （1） Ⅰ-Ⅰ、Ⅱ-Ⅱ、III-III截面的轴力并作轴力图
例题4 刚性杆ACB有圆杆CD悬挂在C点,B端作用集中力
F=25kN,已知CD杆的直径d=20mm,许用应力
[]=160MPa，试校核CD杆的强度,并求：
（1）结构的许可荷载[F];
D
（2）若F=50kN,设计CD杆的直径.
F
A
C B
2a
a
解：
（1） 求CD杆的内力
MA 0
FNCD
3F 2
A
FNCD A
ΔlT lΔT l
A
（3）补充方程
l ΔT
l
FRB l EA
（4）温度内力
FRA A
FRB EA l
由此得温度应力
ΔT
T
FRB A
l E ΔT
B
lT B'
lF
B
B'FRB
例题13 齿轮与轴由平键连接,已知轴的直径d=70mm,
键的尺寸为b×h×L=20 ×12 ×100mm,传递的扭转力
B
2m
1
30°
C2
A2 l2
Al1 A1
A2 A
F
A'
l 2
30°
l1 A1
A A3 ( AA2 )2 ( A2 A3 )2 3.797mm 30°
A3
例题8 设横梁ABCD为刚梁，钢索的横截面面积为
76.36mm²的钢索绕过无摩擦的滑轮。设 P=20kN， E=177GPa，试求钢索的应力和 C点的垂直位移。
lAD ΔlAB ΔlBC lCD -0.047mm
例题6 图所示杆系由两根钢杆 1 和 2 组成. 已知杆端铰接，
两杆与铅垂线均成 =30° 的角度, 长度均为 l = 2m,直径
均为 d=25mm,钢的弹性模量为 E=210GPa.设在A点处悬
挂一重物 F=100 kN,试求 A点的位移 A.
Ⅲ
FRD
DⅢ l3
Ⅱ
F3
C
Ⅱ
l2
FRD
FN3 FN2
Ⅰ
F2
F1
B
ⅠA
l1
F1 F2
FN3 FRD 0 FN3 50kN ()
F1 F2 FN2 0 FN2 15kN ()
Ⅲ
FRD
DⅢ l3
-
50
Ⅱ
F3
C
Ⅱ
l2
15
Ⅰ
F2
F1
B
ⅠA
l1
20
+
FN1 =20kN （+） FN2 =-15kN （-） FN3 =- 50kN （-）
max = 176.8MPa
发生在AB段.
Ⅲ
FRD
DⅢ l3
Ⅱ
F3
C
Ⅱ
l2
Ⅰ
F2
F1
B
A Ⅰ
l1
（3） B截面的位移及AD杆的变形
Δl AB
FN1l1 EA1
2.53 10-4m
ΔlBC
FN2l2 EA2
1.42 10-4m
ΔlCD
FN 3 l3 EA3
1.58 10-4m
uB ΔlCD ΔlBC -0.3mm
28.5MPa
（3）校核挤压强度
bs
F Abs
F lh 2
57 103 100 6106
95MPa
bs
综上，键满足强度要求.
例题14 一销钉连接如图所示， 已知外力 F=18kN,被连接的构件
A 和 B 的厚度分别为 d=8mm 和 d1=5mm ,销钉直径 d=15mm ,
销钉材料的许用切应力为
偶矩Me=2kN·m,键的许用切应力为[]= 60MPa ,许用挤
压应力为[bs]= 100MPa.试校核键的强度.
Me
h
F
l
Me h
b d
解：（1）键的受力分析如图
F
d 2
Me
F
2Me d
2 2 103 70 103
57kN
（2）校核剪切强度
Me
h
F
FS F
l b
Ad
FS A
F bl
57 103 20 100 106
度应力.
A
B
l
解: 这是一次超静定问题 A
变形相容条件是
l
杆的总长度不变.
Δl 0
A
杆的变形为两部分, 即由温度升高引起的变
形 lT 以及与轴向压力 FRA A FR相应的弹性变形 lF
B
lT B'
lF
B
FRBB'
（1）变形几何方程
A
Δl ΔlT ΔlF 0
l
（2）物理方程
ΔlF
FRB l EA
（2） 杆的最大正应力max
（3） B截面的位移及AD杆的变形
Ⅲ
Ⅱ
Ⅰ
DⅢ l3
F3
C
Ⅱ
l2
F1 F2
B
A Ⅰ
l1
Ⅲ
FRD
DⅢ l3
Ⅱ
F3
C
Ⅱ
l2
Ⅰ
F2
F1
B
A Ⅰ
l1
解：求支座反力 FRD = -50kN
（1）Ⅰ-Ⅰ、Ⅱ-Ⅱ、III-III
FN1
F1
截面的轴力并作轴力图
F1 FN1 0
FN1 20kN ()
Ⅲ
FRD
Ⅱ
F3
DⅢ l3
C
Ⅱ
B
l2
（2） 杆的最大正应力max
AB段 AB
FN1 176.8MPa A1
()
BC段 BC
FN2 A2
74.6MPa
()
DC段 DC
FN3 A3
110.5MPa
()
Ⅰ
F2
F1
ⅠA
l1
FN1 =20kN （+） FN2 =-15kN ( - ) FN3 =- 50kN ( - )
B
C
1
2
A
B
C
1
2
A
y
FN1
FN2
1
2
x A
F
解：（1） 列平衡方程,求杆的轴力
Fx 0 FN2 sin FN1 sin 0
Fy 0 FN1 cos FN2 cos F 0
F
FN1 FN2 2cos
B
C
1
2
B
C
1
2
A A
A''
（2）两杆的变形为
Δl1
Δl2
FN1l1 EA
Fl
l2 C
l1 A
B
B
C
A
F
（2） 变形几何方程 Δl1 Δl3 2Δl2
物理方程
Δl1
FN1l1 EA1
Δl2
FN 2 l EA
（3） 补充方程 FN1 FN3 2FN2
Δl3
FN 3 l EA
3
2
1
B
C
A
l
3 a
2 a
1
l 3
l2 C
l1 A
B
B
C
A
F
（4）联立平衡方程与补充方程求解 Fx 0
d
[] = 60MPa ,许用挤压应力为 [bs]= 200MPa .试校核销钉的
强度.
F
B
A
d1
d d1
F
解: （1）销钉受力如图b所示
F
剪切面
F
d
F
F
2
2
挤压面
d
B
A
d1
d d1
F
（2）校核剪切强度
剪切面
F
由截面法得两个面上的剪力
FS
F 2
d
剪切面积为 A d 2
4
FS 51MPa
F
Abs
π(D2 4
d2)
挤压面
例15 冲床的最大冲压力F=400kN,冲头材料的许用压
应力[]=440MPa,钢板的剪切强度极限u=360MPa,试 求冲头能冲剪的最小孔径d和最大的钢板厚度 d .
F
钢板
冲头
d
冲模
F
钢板
F
冲模
F
冲头
d
剪切面
解： （1）列平衡方程
Fx 0 FN1 FN2 Fy 0 FN1 cos
B
DC
1
3
2
A
F
y
FN1FN3
FN2
x
A
FN2 cos FN3 F 0
F
这是一次超静定问题﹗
B
DC
1
3 2
A
F
（2）变形几何方程
y
FN1FN3
FN2
x
A
F
B
DC
1
3
2
A
A'
由于问题在几何,物理及 受力方面都是对称,所以变形 后A点将沿铅垂方向下移.变形协调条件是变形后三杆仍 铰接在一起﹗
AA
Δl1
cos
Fl
2EAcos2
1.293mm()
例题7 图示三角形架AB和AC 杆的弹性模量 E=200GPa A1=2172mm2，A2=2548mm2. 求:F=130kN时节点A的位移.
解：(1)由平衡方程得两杆的 轴力
FN1 2F
FN2 1.732F
1 杆受拉,2 杆受压
（2）两杆的变形
B
DC
1
3
2
A
B
DC
1
3
2
A
1 32
A
Δl1
Δl3
F
A'
A'
变形几何方程为 Δl1 Δl3 cos
物理方程为
Δl1
FN1l1 EA1
Δl3
FN3l cos
E3 A3
（3）补充方程
FN1
FN 3
EA E3 A3
cos2
（4）联立平衡方程与补充方程求解 B
DC
FN1 FN2
FN1 cos FN2 cos FN3 F 0
3
2
1
l
a
a
B
C
A
F
解：（1） 平衡方程
Fx 0 Fx 0 l
3 a
2 a
1
Fy 0
B
C
A
FN1 FN2 FN3 F 0
MB 0
F FN3
FN2
FN1
3 a
2 a
1
FN1 2a FN2a 0
B
C
A
Fx
这是一次超静定问题,且假设
ຫໍສະໝຸດ Baidu
均为拉杆.
F
3
2
1
B
C
A
l
3 a
2 a
1
l 3
A 76.36 3) C点的位移为：
1
T2L
W 2 Pc
U 2EA
W U
T 2L 11.552 1.6 c PEA 20177 76.36 0.79mm
三、一般超静定问题举例 (Examples for general statically
indeterminate problem)
例题9 设 1，2，3 三杆用铰链连结如图所 示，l1 = l2 = l，A1 = A2 = A， E1 = E2 = E，3杆 的长度 l3 ,横截面积 A3 ,弹性模量E3 。试求 在沿铅垂方向的外力F作用下各杆的轴力.
钢索
A
B 60° 60° D
800 400C 400
P
TT
A
BC D
P
解：能量法：（外力功等于变形能 1）求钢索内力：以ABD为对象：
mA T sin 60 0.8 1.2P 1.6T sin 60 0
T P / 3 11.55KN
2) 钢索的应力为：
T 11.55 109 151MPa
B1
1
C1
A1
2
l
C1 3
B
C
a
A
a
e C'
B1
1
C1
A1
2
l1 = l2
B C
A
l C1
3
l3 e
C''
（1）变形几何方程为 Δl1 Δl3 Δe
（2）物理方程
Δl1
FN1l1 EA
Δl3
FN3l E3 A3
FN1
B'
（3）补充方程
FN3l Δe FN1l
E3 A3
EA
FN3 C' FN2 A'
FN12a FN2a 0 FN1 FN2 FN3 F 0
FN1 FN3 2FN2
FN1 F / 6 FN2 F / 3 FN3 5F / 6
例题11 两铸件用两根钢杆 1. 2 连接, 其间距为 l =200mm. 现要将制造得过长了 e=0.11mm的 铜杆 3 装入铸件之间, 并保持三根杆的轴线平行 且等间距 a, 试计算各杆内的装配应力. 已知： 钢杆直径 d=10mm, 铜杆横截面积为2030mm 的矩形, 钢的弹性模量E=210GPa, 铜的弹性模量 E3=100GPa. 铸件很厚,其变形可略去不计,故可 看作刚体.
3F / 2 d 2 / 4
119MPa
[ ]
（2）结构的许可荷载[F]
由
CD
FNCD A
[ ]
FRAy FRAx
A
D
F
C B
2a
a
FNCD
F
C
B
得
FNCD
[
]A
3F 2
[F]=33.5kN
（3） 若F=50kN，设计CD杆的直径
由
CD
FNCD A
[ ]
A
得 A FNCD 3F / 2
x
（4）平衡方程 FN1 FN2
FN3 FN1 FN2 0 联立平衡方程与补充方程求解,即可得装配内力， 进而求出装配应力.
例题12 图示等直杆 AB 的两端分别与刚性支 承连结.设两支承的距离（即杆长）为 l,杆的 横截面面积为 A,材料的弹性模量为 E,线膨
胀系数为 .试求温度升高 T 时杆内的温