圆锥曲线与导数习题

导数与圆锥曲线

同学们，恭喜大家进入最后的复习专题，让我们一起完成最后的复习吧，做一件事要善始善终，不要给自己留下没有复习完，就考试的遗憾。所以我们一块加油，共创辉煌。也祝大家考进梦想的大学。

一、 导数及其应用

从近五年的高考试题来看,对导数在函数中的应用的考查常常是一大一小两个题目，小题考察切线方程（主要解决）、函数与导数的综合应用（难）。 a.知识点复习

原函数

导函数 f (x )=c (c 为常数) f'(x )=0 f (x )=x α(α∈Q ,α≠0) f'(x )= f (x )=sin x f'(x )= f (x )=cos x

f'(x )= f (x )=a x (a>0,且a ≠1) f'(x )= f (x )=e x

f'(x )=

f (x )=lo

g a x (a>0,且a ≠1)

f'(x )= f (x )=ln x

f'(x )=

b.小题练习

①.一些简单的原函数求导

(1) y=e x ·cos x (2) y=ln(3x-2); (3)y=ln x+1

x ; (4)y=cosx e x

; (5)y=ln(2x-5).

(6) f(x)=ln x+3e 2x (7) ()sin ln(1)f x x x =-+ (8) f (x )=aln x −x+1

x−1

(9) 32()2f x x ax b =-+. (10)y =3(x 2+x)e x (11)()()2

2ln 1f x x x m x =+-+

②.切线方程

1.(2018天津,文10)已知函数f(x)= e x ln x, f'(x)为f(x)的导函数,则f'(1)的值为

2．（2020·广西高三月考（理））设曲线1

x y ax e +=+在点（0，e ）处的切线方程(1)y e x =+，则a =___________.

3.（2019年新课标全国卷Ⅰ）曲线23()e x y x x =+在点(0,0)处的切线方程为___________．

4.（2019年新课标全国卷Ⅲ）已知曲线e ln x y a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为

2y x b =+，则（ ）A. ,1a e b ==- B. ,1a e b == C. 1,1a e b -== D. 1,1a e b -==-

5. （2020·福建高三期末（理））函数()2

ln f x a x bx =+在点()1,1处的切线方程为

4y x m =+，则a b +=______.

6. (2018课标Ⅰ,5,5分)设函数f(x)=x 3

+(a-1)x 2

+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为( )A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x

7. (2018课标Ⅲ,14,5分)曲线y=(ax+1)e x 在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a= .

8. （2020·河南省实验中学高三二测（理））已知函数()x

f x ae x b =++，若函数()f x 在

(0,(0))f 处的切线方程为23y x =+，则ab 的值为（ ）A ．1B ．2 C ．3 D ．4

9.已知()f x 为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则曲线()y f x =在点(1,3)-处的切线方程是

10.（2017•新课标Ⅱ,11）若2x =-是函数21`

()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的

极小值为（ ）A.1- B.3

2e -- C.3

5e - D.1

c.大题练习（求函数的单调性、极值、最值）

1.（2010课标全国卷·12分）设函数2

()1x f x e x ax =---。 (I)若0a =，求()f x 的单调区间；

2.（2013课标全国II 卷·12分）已知函数f (x ) = e

x

- ln(x + m )

（Ι）设x = 0是f (x )的极值点，求m ，并讨论f (x )的单调性。

3. （2007宁夏卷·12分）设函数2

()ln()f x x a x =++

（I ）若当1x =-时，()f x 取得极值，求a 的值，并讨论()f x 的单调性；

4. （2014课标全国Ⅱ卷·12分）已知函数()f x =2x x e e x --- （Ⅰ）讨论()f x 的单调性

(3) f (x )g (x ) '=

f '(x )

g (x )-f (x )g '(x )

[g (x )]2

(g (x )≠0).

5.（2018课标全国Ⅰ卷·12分）已知函数1

()ln f x x a x x

=

-+． （1）讨论()f x 的单调性；

6.（2017•北京,19）已知函数()e cos x f x x x =-．（二次求导）

（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π[0,]2

上的最值

7. 1(2019安徽合肥一模,21)（二次求导）已知函数f(x)= e x -ln(x+1)(e 为自然对数的底数). (1)求函数f(x)的单调区间;

8.

1(2019山东菏泽一模,21)已知函数h(x)=ln x-ax(a ∈R).（二次求导） (1)设f(x)=h(x)+ +(a+1)x,求函数f(x)的单调区间;

2.高考衔接

1.（2018全国Ⅱ，21）已知函数f(x)=e x −ax 2． （1）若a =1，证明：当x ≥0时，f(x)≥1；

2.（2017•新课标Ⅱ,21）已知函数f （x ）=ax 2﹣ax ﹣xlnx ，且f （x ）≥0． （Ⅰ）求a ；

3. （2017·天津,20）设a ∈Z ，已知定义在R 上的函数f （x ）=2x 4+3x 3﹣3x 2﹣6x+a 在区间（1，2）内有一个零点x 0 ， g （x ）为f （x ）的导函数． （Ⅰ）求g （x ）的单调区间；

4.（2017•新课标Ⅲ,21）已知函数f （x ）=x ﹣1﹣alnx ． （Ⅰ）若 f （x ）≥0，求a 的值；

26.(2015·北京,18)已知函数f (x )＝ln 1＋x

1－x

.

(1)求曲线y ＝f (x )在点(0,f (0))处的切线方程；

圆锥曲线 一、 小题练习

1.(2016·全国Ⅱ,4)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1,则a ＝

2.(2015·新课标全国Ⅱ,7)过三点A (1,3),B (4,2),C (1,-7)的圆交y 轴于M 、N 两点,则|MN |＝

3.(2015·广东,5)平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是( )

A.2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0

B.2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0

C.2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0

D.2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0

4.(2015·新课标全国Ⅰ,14)一个圆经过椭圆x 216＋y 2

4

＝1的三个顶点,且圆心在x 轴的正半轴上,则该

圆的标准方程为________.

5（2017•浙江,）椭圆 + =1的离心率是

6.（2018浙江，2）双曲线

x 23

−y 2=1的焦点坐标是( )

A ．(−√2，0)，(√2，0)

B ．(−2，0)，(2，0)

C ．(0，−√2)，(0，√2)

D ．(0，−2)，(0，2)

7．（2018全国Ⅱ，5）双曲线x 2

a 2−y 2

b 2=1 (a >0, b >0)的离心率为√3，则其渐近线

方程为( )A ．y =±√2x B ．y =±√3x C ．y =±

√2

2

x D ．y =±

√32

x 二、大题练习

1. （2018天津，19）设椭圆2

2

221x x a

b

+= (a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B . 已知椭

圆的离心率为

5，点A 的坐标为(),0b ，且62FB AB ⋅=.

（I）求椭圆的方程；

2.(2016·全国Ⅱ，20)已知椭圆E ：x 2t ＋y 2

3

＝1的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k (k >0)的

直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA . (1)当t ＝4，|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积；

3.（2018天津，19）设椭圆22

221x x a b

+= (a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B . 已知椭

圆的离心率为5，点A 的坐标为(),0b ，且62FB AB ⋅=.

（I）求椭圆的方程；

4.（2020·广东高三（理））在圆224x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足，当点P 在圆上运动时，点M 在线段PD 上，且1

2DM DP =，点M 的轨迹为曲线1C .

lnx x