典型机械系统的建模精品PPT课件

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或写成
J
..
mga
mg
a 2
h
..
J
a 2 mg
0
Jh
由此求得摆动周期为
2
T a 2 mg
Jh
得到转动惯量J
J
T
a2mg
2 h
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例3.2 单摆系统 下图所示的单摆系统Ti (t )为输入力矩、
0 (t ) 为输出摆角、m为小球质量、L为摆长。
根据力系平衡建立系统方程：
Ti (t)
mgSinθ0(t)
moy (F ) 0,
moz (F ) 0
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二、牛顿第二定律数学表达式
牛顿第二定律告诉我们，物体受外力作用时，所获得的加速度
大小与合力大小成正比，与物体的质量成反比，加速度的方向与合
外力的方向相同。其数学表达式为：
F
ma
m
d 2s dt
m
dv dt
在直角坐标系下有
d2x
Fx m dt
其中，u( t )等于施加在小车上的外力，l 是质量到铰接
点的距离。铰接点处的转矩之和为：
..
..
ml y ml 2 m lg 0
(b)
选定两个2 阶系统的状态变量为：
.
.
( x1 , x2 , x3 , x4 ) ( y , y , , )
将a、b两式写成状态变量的形式，可得：
.
.
M x2 ml x4 u( t ) 0
..
.
.
m y2 C2 ( y2 y1 ) k2 ( y2 y1 ) f
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整理得
M1
M 2
..
y12 ( c1 c2 )
..
.
y22 c2 y1 c2
.
.
y1 c2 y2 ( k1 k2 ) y1
.
y2 k2 y1 k2 y2 f
k2
y2
0
..
.
矩阵形式： M Y C Y KY F
.
x1 x2 ,
.
x3 x4 ,
. mg
1
x2 M x3 M u( t )
.g
1
x4
3.1 基于力学理论的机械系统建模
一、空间任意力系的平衡方程
由理论力学可知，空间任意力系平衡的必要和充分条 件是：力系中所有各力在三坐标轴中每一轴上的投影和分 别等于零，又这些力对于这些轴的力矩的代数和也分别等 于零。其数学表达式为：
Fx 0, Fy 0, Fz 0
mox (F ) 0,
其中：M
M1
0
0
M
2
C
c1 c2
c2
c2
c2
K
k1 k2
k2
k2
k2
0
F
f
Y
y1
y2
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例 3.5 机械式加速度计
下图给出机械式加速度计测量悬浮试验橇加速度的示意图。试 验橇采取磁悬浮方式以较小的高度e悬浮于导轨上方。由于质量M相 对于及速度计箱体的位移y与箱体的（即试验橇的）加速度成正比， 因而加速度计能测得试验橇的加速度。
u
安装在一个不计质量的小车上，如下
图所示。推导系统数学Leabharlann Baidu型。
k
假设t<0时小车静止不动，并且安
b
装在小车上的系统也处于静止状态。
在这个系统中，u( t )是小车的位移，
并且是系统的输入量。
不计小车的质量，得到
d2 y
dy du
m
dt 2
b( dt
) k( y u) dt
即
d 2 y dy
du
m
dt 2
b dt
ky b
dt
ku
y m
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例 3.4 有一质量-弹簧-阻尼系统如图所示，运用力学方
法建立该系统的数学模型。
y1
y2
c1
c2
f
M1
M2
k1
k2
..
m y1
FC 1
FC 2
M1
Fk 1
Fk 2
..
m y2
FC 2
f
M2
Fk 2
系统图
力分解图
根据力平衡原理，建立系统方程
..
.
.
.
m y1 C1 y1 k1 y C2 ( y2 y1 ) k2 ( y2 y1 )
(c)
.
.
x2 l x4 gx3 0
12(d)
.
为得到1阶微分方程组，解出式（d）中的 l,代x4入式
（c），并注意到M >> m，则有：
.
M x2 mgx3 u( t )
(e)
.
再解出式（c）中的 ，x 2并代入式（d），可得：
.
Ml x4 Mgx3 u( t ) 0
于是，4个1阶微分方程为：
假设物体绕通过重心的垂直轴
转一个小的角度 时，夹角 和夹角
2a
间存在下列关系
a h
因此
a
h
注意，每根绳索的受力F 的垂直 分量等于mg/2。F 的水平分量为 mg /2。两根绳索的F 的水平分 量产生扭矩mg a 使物体转动。 因此，摆动的运动方程为：
mg mg 2 2
F
F
mg
h
mg 2
mg 2
F (t )为引擎推力(M s
M )，于是有：
d 2 y dy
M
M
dt 2
C
dt
ky Ms
F (t )
或
d2 dt
y
2
C M
dy dt
k M
y
F (t ) Ms
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例 3.6 到立摆系统
左下图为人手保持倒摆平衡的问题，相应的平衡条
件为θ(t ) 0和dθ/dt 0 。右下图表示的是小车上的倒
摆控制问题。小车必须处于运动状态才能保持质量m始终
处于小车上方。系统状态变量应当与旋转角θ(t )以及小车
的位移有关。
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人手到立摆的平衡
小车和倒摆
设M >> m ,旋转角θ足够小，于是可以对运动方程做线
性近似处理。这样，系统水平方向受力之和将为：
..
..
M y ml u( t ) 0
(a)
L
mL2
θ0(t)
这是一个非线性方程，根据Taylor级 数展开得：
Sinθ0
θ0
θ03 3!
θ05 5!
当 0 很小时，高阶小数可以忽略，
0
则：
Sinθ0 θ0
非线性系统方程可简化成线性系统方程
m Ti
..
mL2 θ 0 (t) mgLθ0(t) Ti(t)
mg
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例3.3 设一个弹簧、质量、阻尼系统
我们的目的 是设计一个具 有合理动态响 应的加速度计， 它能在可以接 受的时间内测 得所需要的特 征量：
y(t)=qa(t)
(q为常数)
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分析质量M的受力情况，我们有：
C
dy dt
ky
M
d2 dt 2
(
y
x)
或
d 2 y dy
d2x
M dt 2 C dt ky M dt 2
由于M s
d2x dt 2
d2y
Fy m dt
d 2z
Fz m dt
在极坐标系中有
Fr
F
..
..
m(r r 2)
..
m(r 2 2r
)
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例 3.1 测量转动惯量实验装置 如右图一个转动物体，它的质量为 m ,由两根垂直的绳索（无弹性）挂起，每根绳索的长度为h，绳索 相距为2a。重心位于通过连接绳索两点的中点的垂线上，假设物体 绕通过重心的垂直轴转一个小的角度，然后释放。求摆动周期T， 物体通过重心的垂直轴转的转动惯量J。