工程力学 扭转

第7章 扭转

7．1 扭转的概念和工程实际中的扭转问题

扭转变形是杆件的基本变形之一。它的外力特点是杆件受力偶作用，力偶作用在与轴线垂直的平面内，如图7-1所示。杆件的变形特点是：杆件的任意两个横截面围绕其轴线作相对转动，杆件的这种变形形式称为扭转。扭转时杆件两个横截面绕轴线相对转动的角度称为扭转角（angle of twist ）ϕ。以扭转变形为主的杆件通常称为轴。

工程上有很多圆截面等直杆，受到一对大小相等、方向相反的外力偶矩作用。如图7-2所示的驾驶盘轴，在轮盘边缘作用一对方向相反的切向力构成一力偶。根据平衡条件，在轴的另一端，必存在一反作用力偶，在此力偶矩作用下，各横截面绕轴线作相对旋转。此轴产生的变形即为扭转变形。在工程中，受扭杆件是很常见的，比如机械中的传动轴（图7-3）、攻螺纹所用丝锥的锥杆（图7-4）以及钻杆等，它们的主要变形都是扭转，但同时还可能伴随有拉压、弯曲等变形。如果后者不大，往往可以忽略，或者在初步设计中，暂不考虑这些因素，将其视为扭转构件。

圆轴是最常见的扭转变形构件，本章主要讨论圆轴的扭转。

B

A

M

AB ϕ

图7-1

图7-2

图7-3

图7-4

7. 2 杆件扭转时的内力

要研究受扭杆件的应力和变形，首先需要计算杆件横截面上的内力。 一、外力偶矩的计算

作用于圆轴上的外力偶矩往往不是直接给出的，通常是给出轴的转速n 和轴所传递的功率P 。此时需要根据功率、转速、力矩三者之间的关系来计算外力偶矩的大小。以工程中常用的传动轴为例，已知它所传递的功率P 和转速n ，作用在轴上的外力偶矩可以通过功率P 和转速n 换算得到。因为功率是每秒钟内所做的功，有

60

2101033π

ωn M M P e e ⨯

⨯=⨯⨯=−− 于是，作用在轴上的外力偶矩为

n

P

M e 9550

= (7-1) 式中:M e —作用在轴上的外力偶矩，单位为N·m

P —轴传递的功率， 单位为kW ω—转轴的角速度，单位为rad/s n —轴的转速，单位为是r/min 。 从式(7—1)可看出，轴所承受的力偶矩与轴传递的功率成正比， 与轴的转速成反比。因此，在传递同样功率时，低速轴的力偶矩比高速轴大。所以在传动系统中，低速轴直径比高速轴直径大。

二、扭矩和扭矩图 在求出了所有作用于轴上的外力偶矩后，即可用截面法求任意截面上的内力。现以图(7-5)所示圆轴为例，在任一横截面n-n 处假想将其分成左右两段，并任选一段，如左段为研究对象，如图(b )所示。由于整个轴在外力偶作用下是平衡的，所以左段也处于平衡状态，在截面n-n 上必然有一内力偶M n 。根据左段的平衡方程，有

0,0=−=∑e n x

M M M

x

n

M n

图7-5

(b)

（a ）

（c ）

得

e n M M =

力偶矩M n 称为扭矩(torsional moment)，是左右两部分在截面n-n 上相互作用的分布内力系的合力偶矩。

如取轴的右段为研究对象，仍然可以求得e n M M = (如图7-5(c )所示)，其方向则与用左段求出的方向相反。

为使从轴的左、右两段求得的同一截面上的扭矩具有相同的正负号，可将扭矩作如下的 符号规定：采用右手螺旋法则。如果以右手四指弯曲的方向表示扭矩的转向，则拇指的指向与截面外法线方向一致时，扭矩为正；反之，为负。（如图7-6所示）

当轴上同时有几个外力偶作用时，杆件各截面上的扭矩则需分段求出。为了确定最大扭矩的所在位置，以便找出危险截面，常用一个图形来表示各横截面上的扭矩沿轴线变化的情况，这种图形称为扭矩图(torgue diagram)。其方法是：建立一直角坐标系，以横轴表示横截面的位置，纵轴表示相应截面上的扭矩，将各截面扭矩按代数值标在坐标系上，即得此杆扭矩图。

现举例说明如何画出扭矩图。

例7-1 传动轴如图7-7（a ）所示。主动轮A 输入功率kW 75.36=A P ，从动轮D

C B 、、输出功率分别为kW 7.14,kW 11===

D C B P P P ，轴的转速为n =300r/min 。试画出轴的扭矩图。

解 （1）计算外力偶矩：由于给出功率以kW 为单位，根据式（7-1）得：

(a )

(c ) I II

D M A M D M B M B M n Ⅱ M C M M n (d ) (e )

图7-7

(b )

C B I II III III M nI M

D x

图7-6 M 468 700 350 x T/ N·m

1170300

75.3695509550

=⨯==n P M A A (N ·m) 35130011

95509550=⨯===n P M M B C B (N ·m)

4683007

.1495509550=⨯==n P M D D (N ·m)

（2）计算扭矩：由图7-7（a ）知，外力偶矩的作用位置将轴分为三段：AD CA BC 、、。现分别在各段中任取一横截面，也就是用截面法，根据平衡条件计算其扭矩。

BC 段：以1n M 表示截面Ⅰ－Ⅰ上的扭矩，并任意地把1n M 的方向假设为图7-7（b ）所示。根据平衡条件0=∑x m 得：

01=+B n M M

3511−=−=B n M M (N ·m)

结果的负号说明实际扭矩的方向与所设的相反，应为负扭矩。BC 段内各截面上的扭矩不变，均为351N ·m 。所以这一段内扭矩图为一水平线。

同理，在CA 段内：

M n Ⅱ＋0=+B C M M Ⅱn M = －B C M M −= －702(N ·m)

AD 段：

0=D n M M －Ⅲ

468==D n M M Ⅲ(N ·m)

根据所得数据，即可画出扭矩图[图7－7（e ）]。由扭矩图可知，最大扭矩发生在CA 段内，且702max =n M N·m

要注意的是，计算时，一般假设截面上的扭矩为正。若所得结果为负，则说明该截面扭矩的实际方向与假设方向相反。

7．3 切应力互等定理与剪切胡克定律

扭转内力确定后，要计算横截面上的应力，必须要确定应力在横截面上的分布规律。为此，我们先观察薄壁圆筒的扭转变形。 一．薄壁圆筒扭转时横截面上的切应力

实验时取一等厚薄壁圆筒，其平均半径为r ，壁厚为δ（其中r 10

1

≤

δ），实验前在圆筒表面用圆周线和纵向线画成许多小矩形。然后在两端施加外力偶矩e M 。当变形很小时可观察到下列现象，如图7-8所示。