(专升本)第五章定积分及其应用

b f (x)dx f ()(b a) a
（ a b ）．
说明：该公式称为积分中值公式， f ( ) 1
b
f (x)dx 称为函数 f (x) 在区间
ba a
[a, b] 上的平均值．
三、积分上限函数及其导数
1．积分上限函数的定义
设函数 f (x) 在区间[a, b] 上连续，并且设 x 为[a, b] 上的一点，由于 f (x) 在区间
限分别代入 (t) 中然后相减就行了．
a
例如：计算
a2 x2 dx
（a 0）
0
解：设 x a sin t ，则 dx a costdt ，当 x 0 时， t 0 ，当 x a 时， t ． 2
于是
a
a2 x2 dx a2
2
cos2 tdt
a2
2 (1 cos 2t )dt
b
限 I 为函数 f (x) 在区间[a, b] 上的定积分（简称积分），记作 f (x)dx ，即 a
b a
f
(x)dx
I
lim 0
n i1
f
(i ) x i
，
其中 f (x) 叫做被积函数， f (x)dx 叫做被积表达式，x 叫做积分变量，a 叫做积分下限，
b 叫做积分上限，[a, b] 叫做积分区间．
b
f (x)dx lim
b
f (x)dx ，
t t
b
b
这时也称反常积分 f (x)dx 收敛；如果上述极限不存在，则称反常积分 f (x)dx 发
散．
3．函数在无穷区间 (, ) 上的反常积分
设 函 数 f (x) 在 区 间 (, ) 上 连 续 ， 如 果 反 常 积 分
0
f (x)dx 和
b
所围成的曲边梯形位于 x 轴的下方，定积分 f (x)dx 在几何上表示上述曲边梯形面积的 a
负值．
在区间[a,b] 上 f (x) 既取得正值又取得负值时，函数 f (x) 的图形某些部分在 x 轴
b
的上方，而其他部分在 x 轴的下方，此时定积分 f (x)dx 表示 x 轴上方图形的面积减去 a
a
(x) d (x) f (t)dt f [(x)](x) ．
dx a
若积分下限为函数 (x) ，即 (x) a f (t)dt ，求导法则可按下述公式进行： (x)
(x) d a f (t)dt d ( (x ) f (t)dt) f [(x)](x) ．
dx ( x)
dx a
dx 0
0
四、牛顿——莱布尼茨公式 定理 3：如果函数 F (x) 是连续函数 f (x) 在区间[a, b] 上的一个原函数，则
b
f (x)dx F (b) F (a) ．
a
这个定理表明，一个连续函数在区间 [a,b] 上的定积分等于它的任一个原函数在区间 [a, b] 上的增量，这就给定积分提供了一个有效而简便的计算方法．通常把上述公式称为
b udv uvb
b
vdu
．
a
a
a
a
a
a
这就是定积分的分部积分公式．
3．定积分的两个简便公式
（1）若 f (x) 在[a, a] 上连续且为奇函数，则 a f (x)dx 0 ；若 f (x) 在[a, a] a
上连续且为偶函数，则
a
f (x)dx 2
a
f (x)dx ．
a
0
（2）设
a f (x)dx
a
g(x)dx ．
a
b
b
说明：该性质对于有限个函数都是成立的．
性质 4．
b kf (x)dx k
b
f (x)dx
（ k 是常数）．
a
a
性质 5．
b f (x)dx
c f (x)dx
b
f (x)dx ．
a
a
c
说明：该性质称为定积分对于积分区间的可加性．
b
b
性质 6．如果在区间[a,b] 上 f (x) 1，则 1dx dx b a ．
微积分基本公式．
五、定积分的换元法和分部积分法
1．定积分的换元法
设函数 f (x) 在区间[a,b] 上连续，函数 x (t) 满足条件：
（1）( ) a ，( ) b ；
（2） (t) 在[ , ] （或[ , ] ）上具有连续导数，且其值域 R [a,b] ，则有
b f (x)dx f [(t)](t)dt ．
说明：由以上两个充分条件可知，函数 f (x) 在区间[a,b] 上连续，则 f (x) 在[a,b] 上
一定可积；若 f (x) 在[a,b] 上可积，则 f (x) 在区间[a,b] 上不一定连续，故函数 f (x)
在区间[a, b] 上连续是 f (x) 在[a, b] 上可积的充分非必要条件．
a
a
b
性质 7．如果在区间[a,b] 上 f (x) 0 ，则 f (x)dx 0 （ a b ）． a
推论（1）： 如果在区间[a,b] 上 f (x) g(x) ，则
b
b
f (x)dx g(x)dx （ a b ）．
a
a
推论（2）：
b f (x)dx
b
f (x) dx
（ a b ）．
3．定积分的几何意义
b
在 区 间 [a, b] 上 函 数 f (x) 0 时 ， 定 积 分 f (x)dx 在 几 何 上 表 示 由 曲 线 a
y f (x) 、两条直线 x a 、 x b 与 x 轴所围成的曲边梯形的面积． 在区间[a,b] 上 f (x) 0 时，由曲线 y f (x) 、两条直线 x a 、x b 与 x 轴
若积分上限和下限均有函数，即 (x)
h(x)
f (t)dt ，求导法则可按下述公式进行：
(x)
(x) d h(x) f (t)dt d ( h(x) f (t)dt 0 f (t)dt)
dx ( x)
dx 0
(x)
d ( h(x) f (t)dt (x) f (t)dt) f [h(x)]h (x) f [ (x)](x) ．
a
a
散，这时记号 f (x)dx 就不再表示数值了． a
2．函数在无穷区间 (, b] 上的反常积分
b
设函数 f (x) 在区间 (, b] 上连续，取 t b ，如果极限 lim f ( x)dx 存在， t t
则称此极限为函数 f (x) 在无穷区间 (, b] 上的反常积分，记作 b f (x)dx ，即
第五章 定积分
【考试要求】
1．理解定积分的概念和几何意义，了解可积的条件． 2．掌握定积分的基本性质． 3．理解变上限的定积分是变上限的函数，掌握变上限定积分求导数的方法． 4．掌握牛顿——莱布尼茨公式． 5．掌握定积分的换元积分法与分部积分法． 6．理解无穷区间广义积分的概念，掌握其计算方法． 7．掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积．
0
0
20
a2 2
t
1 2
sin
2t
2 0
a2 4
．
2．定积分的分部积分法
依据不定积分的分部积分法，可得
b a
u(x)v(x)dx
u(x)v(x)dx
b a
u(x)v(x)
v(
x)u
(
x)dx
b a
u(x)v(x)b bv(x)u (x)dx ，
a
a
简记作 b uvdx uvb b vudx 或
a
a
性质 8．（估值不等式）设 M 及 m 分别是函数 f (x) 在区间[a, b] 上的最大值和最小值，
则
b
m(b a) f (x)dx M (b a) （ a b ）． a
性质 9．（定积分中值定理）如果函数 f (x) 在积分区间[a, b] 上连续，则在[a, b] 上至少
存在一点 ，使得下式成立：
f (x)dx 都收敛，则称上述两反常积分之和为函数 f (x) 在区间 (, ) 上的反常 0
积分，记作 f (x)dx ，即
f (x)dx
0
f (x)dx
f (x)dx ，
0
这时也称反常积分 f (x)dx 收敛；否则就称反常积分 f (x)dx 发散．
4．无穷限广义积分的计算方法
【考试内容】
一、定积分的相关概念
1．定积分的定义
设函数 f (x) 在[a, b] 上有界，在[a, b] 中任意插入若干个分点 a x0 x1 x2 xn1 xn b ，
把区间[a, b] 分成 n 个小区间[x0 , x1] ，[x1, x2 ] ，，[xn1, xn ] ， 各个小区间的长度依次为 x1 x1 x0 ，x2 x2 x1 ，，xn xn xn1 ．在 每个小区间[ xi1, xi ] 上任取一点i （ xi1 i xi ），作函数值 f (i ) 与小区间长度
个函数，记作 (x) ： (x)
x
f (t)dt
（ a x b ），这个函数即为积分上限
a
函数（或称变上限定积分）．
2．积分上限函数的导数
定理 1：如果函数 f (x) 在区间[a, b] 上连续，则积分上限函数 (x)
x
f (t)dt 在
a
[a, b] 上可导，并且它的导数
(x) d
In
2 sinn xdx
0
2 cosn xdx ，则
0
当 n 为正偶数时， In
n 1 n
n n
3 2
3 4
1 2
2
；
当 n 为大于1的正奇数时， In
n 1 n
n 3 n2
4 5
2 3
．
六、无穷限的广义积分
1．函数在无穷区间[a, ) 上的反常积分
设函数 f (x) 在区间[a, ) 上连续，取 t a ，如果极限 lim
n
xi 的乘积 f (i )xi （i 1, 2,, n ），并作出和 S f (i )xi ． i1
记 max{x1, x2,, xn} ，如果不论对 [a,b] 怎样划分，也不论在小区间 [ xi1, xi ] 上点i 怎样选取，只要当 0 时，和 S 总趋于确定的极限 I ，那么称这个极
设 F (x) 为 在 [a, ) 上 的 一 个 原 函 数 ， 若 lim F ( x) 存 在 ， 则 反 常 积 分 x
f (x)dx F (x) F () F (a) lim F (x) F (a) ；
a
a
x
b
f
(x)dx
t
f ( x)dx 存在，
t a
则称此极限为函数 f (x) 在无穷区间[a, ) 上的反常积分，记作 f (x)dx ，即 a
f (x)dx lim
t
f (x)dx ，
a
t a
这时也称反常积分 f (x)dx 收敛；如果上述极限不存在，则函数 f (x) 在无穷区间 a
[a, ) 上的反常积分 f (x)dx 就没有意义，习惯上称为反常积分 f (x)dx 发
x 轴下方面积所得之差．
二、定积分的性质
下列各性质中积分上下限的大小，如不特别指明，均不加限制；并假定各性质中所列出 的定积分都是存ห้องสมุดไป่ตู้的．
性质 1．当 a b 时， b f (x)dx 0 ． a
性质 2．当 a b 时，
b f (x)dx
a
f (x)dx ．
a
b
性质 3．
b[ f (x) g(x)]dx
说明：定积分的值只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关，也就是说
b f (x)dx
b f (t)dt
b
f (u)du ．
a
a
a
2．定积分存在的充分条件（可积的条件）
（1）设 f (x) 在区间[a,b] 上连续，则 f (x) 在[a,b] 上可积．
（2）设 f (x) 在区间[a, b] 上有界，且只有有限个间断点，则 f (x) 在区间[a, b] 上可积．
a
说明：应用换元公式时有两点值得注意：① 用 x (t ) 把原来变量 x 代换成新变量 t 时，
积分限也要换成相应于新变量 t 的积分限；② 求出 f [ (t)] (t) 的一个原函数 (t) 后，
不必像计算不定积分那样再要把 (t) 变换成原来变量 x 的函数，而只要把新变量 t 的上下
x
[a, x] 上仍旧连续，因此定积分 f (x)dx 存在．这里， x 既表示定积分的上限，又表示 a
积分变量．因为定积分与积分变量的记法无关，所以为了明确起见，可以把积分变量改用其
x
他符号，例如用 t 表示，则上面的定积分可以写成 f (t)dt ．如果上限 x 在区间[a, b] 上 a
任意变动，则对于每一个取定的 x 值，定积分有一个对应值，所以它在[a, b] 上定义了一
x
f (t)dt f (x)
dx a
（ a x b ）．
定理 2：如果函数 f (x) 在区间[a,b] 上连续，则函数 (x)
x
f (t)dt 就是 f (x) 在
a
[a, b] 上的一个原函数．
(x)
说明：对于积分上限函数的复合函数 (x)
f (t)dt ，求导法则可按下述公式进行：