高二数学(文科)中段考试题(附答案)

高二数学(文科)中段考试题
说明:1.试卷满分150分,考试时间120分钟.
2.选择题选项涂在答题卡上，填空题和解答题答案写在试卷纸上。

一、选择题（10×5分＝50分） 1、设15|{+=
=k x x A ，}N k ∈，6|{≤=x x B ，}x Z ∈，则=⋂B A （ *** ）。

A ．{1，4}
B ．{1，6}
C ．{4，6}
D ．{1，4，6} 2、为研究变量x 和y 的线性相关性，甲、乙二人分别作了研究，利用线性回归方法得到回归直线方程1l 和2l ，两人计算知x 相同，y 也相同，下列正确的是(***)
A ． 1l 与2l 重合 B. 1l 与2l 一定平行 C . 1l 与2l 相交于点(,)x y D. 无法判断1l 和2l 是否相交 3、,P Q 是两个非空集合，定义P @Q ={}(,)|,a b a P b Q ∈∈，若{}2,3,4p =，
{}4,5,6Q =，则P @Q 中元素的个数（ *** ）
A. 3个
B. 4 C . 9 D. 12
4、有一段演绎推理是这样的：“直线b ⊆/平面α，直线a ≠
⊂平面α，若直线b ∥平
面α，则直线b ∥直线a ”.该结论显然是错误的，这是因为 （ *** ） A ．大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 5、分析法证明不等式的推理过程是寻求使不等式成立的（ *** ）
A ．必要条件；
B ．充分条件；
C ．充要条件；
D ．必要条件或充分条件
6、已知)()()(b f a f b a f +=+且2)1(=f ，则)()2()1(n f f f +++ 不能是（***）
A ．)1()1(3)1(2)1(nf f f f ++++
B ．]2
)
1([
+n n f C ．)1(+n n D ．)1()1(f n n + 7、11()(
)()(),11n n
i i f n n Z i i
+-=+∈-+则集合{}|()x x f n =中的元素个数（ *** ）
A. 1个
B. 2个 C . 3个 D. 无穷多个
8、已知2()22x f x x =-，则在下列区间中，()0f x =有实数解的是（ *** ）．
A ．（－3，－2）
B .（－1，0） C. （2，3） D.（4，5）
9、把正整数按下图所示的规律排序，则从2003到2005的箭头方向依次为（ B ）
10、我们把1，3，6，10，15，……这些数叫做三角形数，因为这些数目的点子可以排成一个正三角形（如下图）。

试求第七个三角形数是（***）
A 、27
B 、28
C 、29
D 、30
二、填空题（4×5分＝20分）
11、若复数(m 2－3m －4)＋(m 2－5m －6)i 是虚数，则实数m 满足 m ≠－1且m
≠6 . 12、偶函数)(x f 在0(，)∞+上是增函数，且(4)0f -=，则不等式0)(<x xf 的解集是 {x|x ＜－4，或0＜x ＜4} 。

13、观察1=1，1+3=4，1+3+5=9，1+3+5+7=16，……，猜想其一般规律是 1＋3＋5＋7＋…＋（2n —1）＝n 2。

14、将大小不同的两种钢板截成A 、B 两种规格的成品，每张钢板可同时截得这两种规格的成品的块数如右表所示．现在需要A 、B 两种规格的成品分别为12块和10块，则至少需要这两种钢板共 7 张． 三、解答题（共6大题，80分）
15、(12分)解不等式2
1
12
2
log (2)log (22)x x x -->-。

解：不等式等价于2220220222x x x x x x ⎧-->⎪
->⎨⎪--<-⎩
⇔2(2)(1)0
1030x x x x x -+>⎧⎪->⎨⎪-<⎩⇔211
03
x x x x ><-⎧⎪>⎨⎪<<⎩或 ⇔23x << ∴不等式的解为 23x <<
16、(12分)某高校调查询问了56名男女大学生，在课余时间是否参加运动，得到下表所示的数据。

从表中数据分析，有多大把握认为大学生的性别与参加运动之间有关系。

（8分）
∵a ＝20，b ＝8，c ＝12，d ＝16，a ＋b ＝28，a ＋c ＝32，c ＋d ＝28，b ＋d ＝24，n ＝56，
∴2
K 的观测值为667.428
282432)8121620(562
≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=
k ∵P( 3.841k ≥)＝0.05＝5%,∴有95%把握认为性别与参加运动有关。

17、(14分)若,,a b c 均为实数，且2222,2,22
3
6
a x y
b y z
c z x π
π
π
=-+
=-+
=-+。

求证：a ，b ，c 中至少有一个大于0.
解：假设a ，b ，c 都不大于0，则a ≤0，b ≤0，c ≤0。

即
2
22
202203206x y y z z x πππ⎧-+≤⎪⎪
⎪-+≤⎨
⎪
⎪-+≤⎪⎩
⇒222
(2)(2)(2)0236x y y z z x πππ-++-++-+≤ ⇒222(1)(1)(1)30x y z π-+-+-+-≤显然错误。

∴“假设a ，b ，c 都不大于0”是错误的，∴a ，b ，c 中至少有一个大于0。

18、(14分)用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的
3
4
，写出存留污垢与漂洗次数的函数关系式，若使存留的污垢不超过原有的1%,则至少要漂洗几次？（lg 20.3010≈，
lg30.4771≈）
解：设原来的污垢是a ，至少要漂洗x 次，
∵每次能洗去污垢的
34，∴每次漂洗后存留污垢为原来的14
， ∴1
1111()1%()lg lg 2441004100
x x a a x ≤⇒≤
⇒≤=-⇒2lg 22x -≤-
∴11 3.32lg 20.3010
x ≥
=≈，,4x N x ∈∴≥ ∴至少要漂洗4次, 才能使存留的污垢不超过原有的1%.
19、(14分)已知函数1()lg
1x
f x x
-=+。

（1）求()f x 的定义域与值域； （2）判断()f x 的奇偶性并给出证明；（3）判断并证明()f x 的单调性。

解：（1）10(1)(1)0111x
x x x x
->⇒+-<⇒-<<+由
， ∴()f x 的定义域是11x -<< ∵11x -<<当时
12(1)2
1(0,)111x x x x x
--+==-∈+∞+++，∴()f x 的值域是R 。

（2）∵()f x 的定义域是11x -<<，
且1111()lg
lg()lg ()111x x x
f x f x x x x
-+---===-=--++ ∴()f x 是奇函数。

（3）()f x 是增函数
20、(14分)在各项为正的数列{}n a 中，数列的前n 项和n S 满足⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+=n n n a a S 121 （1） 求321,,a a a ；（2） 由（1）猜想数列{}n a 的通项公式；（3） 求n S 答案：（1
）1231,1,a a a ===
(2)n a =
(3)n S =。